空间直线(一)平行直线
空间直线(一)---平行直线
教学目标：
1．了解空间两直线的三种位置关系----平行、相交、异面
2．掌握公理4，并能熟练应用其判别空间的两直线平行
3．理解并掌握等角定理及推论，并能运用它们
教学重点： 两直线的位置关系及公理4，等角定理
教学难点： 同上
教学方法： 探究法
教 具： 模具
教学过程
一、复习引入：
1．平面的特征？
2．平面的基本性质及其作用？
3．今天来研究两直线的位置关系，回忆初中学习过的两直线的位置关系有哪些？
二、新授：
1．空间两直线的位置关系：
①相交：两直线有且仅有一个公共点，则该两直线是相交直线
②平行：在同一平面内，若两直线没有公共点，则该两直线为平行直线 ③异面：不同在任何一个平面的两直线称为异面直线
2．空间两直线位置关系的分类：
①据是否共面分：????????相交直线共面:平行直线异面:异面直线
②据是否有公共点来分：????????
有一个公共点:相交直线平行直线无公共点:异面直线 ex:如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线AB 与BC 是_____直线，直线AB 与A 1B 1是___直线，直线AB 与CC 1是____直线
3．平行直线：
公理4：同平行于同一条直线的两直线是平行的
符号表示：,a b a c a b c b c ????即 注：1.公理4又称为平行公理.
2．公理4是证明平行的重要工具.
4．等角定理：
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 证：略.
注：证明的过程采用类比的方法
.
5．推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
注：对于平面图形得出的结论，有些可以推广到立体图形中，例如上面的定理和推论，但是并非关于平面图形成立的结论，对于立体图形仍然适用，所以必须证明。
三、例题选讲：
例1．已知空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，证明四边形EFGH 是平行四边形.
证明：连结BD 、AC ，
∵E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点
∴EF ∥AC,GH ∥AC,EH ∥BD,FG ∥BD
由于公理4，∴EF ∥GH ，EH ∥FG
∴四边形EFGH 是平行四边形.
申1：已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的
中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且满足23
CF CG CB CD ==，求证：四边形EFGH 有一组对边平行但不相等.
证：略.
申2：上题中若改为，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且满足12
AE AH EB HD ==，2CF CG FB GD
==，①求证：EFGH 是梯形.②若BD=a ，求梯形EFGH 的中位线的长. 申3：若把上题中改为，已知空间四边形ABCD ，AB=BC ，CD=DA ，M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，试研究四边形MNPQ 是什么样的特殊四边形
申4：若上题中AC=BD 呢？
申5：若AC=BD ，且AC ⊥BD 呢？
例2．求证：过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行.
例3．如图所示，两个三角形ABC 和DEF 的对应顶点的连线AD 、BE 、CF 交于点O ，
O 在平面ABC 和平面DEF 之间，且23
AO BO CO OD OD OF ===， (1)求证：AB ∥DE ，BC ∥EF ，CA ∥FD
(2)求ABC DEF
S S ??的值 四、练习：课本P 11 五、小结：本节主要学习了两直线的位置关系，与平行公理
注意平行公理的应用与等角定理及其推论的应用.
六、板书设计：
D
空间直线与平面的方程及其位置关系
空间直线与平面的方程及其位置关系
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空间直线与平面的方程以及位置关系 高天仪 20101105295 数学科学学院 数学与应用数学专业 １0级汉二班 指导教师 李树霞 摘 要 解析几何中,在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具,通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。 关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程 1.１ 直线的对称式（点向式)方程 空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量. 任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一 点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v （非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1－1） 叫做直线l 的向量式参数方程,（其中ｔ为参数)。 如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ,那么 （１.1-1）式得 ?? ? ??+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （１.１-2) （1.１－1)叫做直线l 的坐标式参数方程。
空间直线异面直线间距离的一个简明公式
异面直线间距离的一个简明公式 本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用. 定理 如图1，异面直线AB ，CD 分别在二面角α—AC —β的面α和β内，二面角α—AC —β的大小为θ，AC =l ，∠ACD =x ，∠BAC =y .那么异面直线AB 与CD 间的距离 d =.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin 222θθθ y x y x l +++ 证：如图1，过点D 作平面α的垂线DF ，F 为垂足.在平面α内，过点F 作FG ⊥AB 于G ，FE ⊥AC 于E ，连结DE ，DG . 则∠DEF =θ，且（DG ）min =d . 设DF =t ，在Rt △DFE 中，EF =t ctg θ. 在Rt △DEC 中，EC =DE ctg x =t csc θ·ctg x . ∴AE =AC -EC =l -t csc θctg x . 图1 图2 在四边形AEFG 中（图2），过点F 作AE 的平行线交AG 于M ，过点M 作MN ⊥AE 于N .则 MF =NE =AE -AN =.ctg ctg ctg csc ctg )ctg csc (y t x t l y EF x t l θ-θ-=-θ- 在Rt △MGF 中，FG =.sin )ctg ctg ctg csc (sin y y t x t l y MF θ-θ-= 所以在22222]sin )ctg ctg ctg csc [(,Rt y y t x t l t DF GF GD DGF θ-θ-+=+=?中 .sin )cos ctg sin sin ctg (sin 2])cos ctg sin sin ctg (1[2222y l t y y x y l t y y x +θ+θ ?-θ+θ+= 根据二次函数的极值公式可得 )4/()4()(2min 2a b ac GD -=
空间两点之间的距离公式
空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC
例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结
空间中直线和平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为
(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外， 我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边 形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一 条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有 一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个 平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l αααα?b αα?b α.1 C ?答案：B 变式3、 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系. 图3 解：直线l 与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
空间点到直线的距离公式
空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页
人教版数学必修二2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 教案
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系教案 教学目标： 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系。 2. 学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系. 教学重点：直线与平面的三种位置关系及其作用． 教学难点：直线与平面的三种位置关系及其作用 问题提出 1. 空间点与直线，点与平面分别有哪几种位置关系？ 2. 空间两直线有哪几种位置关系？ 探究：直线与平面之间的位置关系 思考1:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？ 思考2:如图，线段A ′B 所在直线与长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′的六个面所在的平面各是什么位置关系？ 思考3:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系有哪些？靠什么来划分呢？ 思考4:用图如何表示直线与平面的三种位置？如何用符号语言描述这三种位置关系？ 思考5:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线l 平行于平面α，则直线l 与平面α内的直线的位置关系如何？ B A D C A' B' D' C'
理论迁移 例1 给出下列四个命题： (1)若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α. (2)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行. (3)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点. (4)若直线l 在平面α内，且l 与平面β平行，则平面α与平面β平行. 其中正确命题的个数共有 __个. 随堂练习：判断正误 1、若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α( ) 2、若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行( ) 3、如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行( ) 4、如果平面外的两条平行直线中的一条直线与平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行（ ） 5、若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点( ) 巩固练习 1．选择题 （1）以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面） ①若a ∥b ，b ?α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ?α，则a ∥b 其中正确命题的个数是 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 （2）已知a ∥α，b ∥α，则直线a ，b 的位置关系 ①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 （ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 （3）如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系 一定是（ ） （A ）平行 （B ）相交 （C ）平行或相交 （D ）AB ?α （4）已知m ，n 为异面直线，m ∥平面α，n ∥平面β，α∩β=l ，则l （ ） （A ）与m ，n 都相交 （B ）与m ，n 中至少一条相交 （C ）与m ，n 都不相交 （D ）与m ，n 中一条相交 （5）已知直线a 在平面α外，则 （ ） （A ）a ∥α （B ）直线a 与平面α至少有一个公共点 （C ）a A α ?= （D ）直线a 与平面α至多有一个公共点 课本49页练习 课堂小结 课外作业 一、选择题： 1．下列命题中正确的是（ ） A ．平行于同一个平面的两条直线平行
高中数学立体几何空间距离问题
立体几何空间距离问题 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角 （2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离
●案例探究 ［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为 原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2 a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=?>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.
空间中直线与直线之间的位置关系(附规范标准答案)
空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结 论可作为定理使用) 反证法 假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平 行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不 是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ? ? ?共面直线 ?? ? ??相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 知识点三 空间等角定理 1.定理 判断或证明两个角相等或互补 2.推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 思考 如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？ 答 不一定.这两条直线可能相交、平行或异面 知识点四 异面直线所成的角 1.概念：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).
高中数学立体几何专题：空间距离的各种计算(含答案)
高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 【 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . ； 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 、 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23 ,∴CF =FD =2 1,∠EFC =90°,EF = 2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： } （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离 例1题图 例2题图
平面、空间直线及其方程
一、向量的向量积：b a ? 二、平面及其方程 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点) , , ( z y x M和它的一个法线向量} , , {C B A = n，对平面上的任一点) , , (z y x M，有向量⊥ M M n，即 M M ?= n 代入坐标式，有： ) ( ) ( ) ( = - + - + -z z C y y B x x A此即平面的点法式方程。 【求平面方程的方法】 233231131221 {,,}. a b a b a b a b a b a b a b ?=--- ; (1)在平面上找出一个点. (2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)
二、 平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： 0=+++D Cz By Ax 几个平面图形特点： 1）D ＝0：通过原点的平面。 2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。 3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n
例2：设平面过原点及点)2,3 ,6(-，且与平面8 2 4= + -z y x垂直，求此平面方程。 解：设平面为0 = + + +D Cz By Ax，由平面过原点知0 = D 由平面过点)2,3 ,6(-知0 2 3 6= + -C B A， {4,1,2} ⊥- n0 2 4= + - ∴C B A C B A 3 2 - = = ? 所求平面方程为0 3 2 2= - +z y x 三、空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为： ? ? ? = + + + = + + + 2 2 2 2 1 1 1 1 D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程 平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。 已知直线上的一点) , , ( z y x M和它的一方向向量} , , {p n m = s，设直线上任一点为) , , (z y x M，那么 M 与s平行，由平行的坐标表示式有： p z z n y y m x x - = - = - 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。 . 的直线 为方向向量 ) 3 , 0,2 ( 且以 ) 3,2,1( 表示过点 3 - 3 2 2 1 例如- - = - = - s z y x
空间中直线与平面的位置关系 说课稿 教案 教学设计
1 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 （1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、学法与教学用具 1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 教师以生活中的实例以及课本P49的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题） （二）研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α 例4（投影） 师生共同完成例4 例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。 2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系： （1）两个平面平行 —— 没有公共点 （2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为 α β α β L
高三数学教案 空间的平行直线与异面直线1
课 题：9．2空间的平行直线与异面直线(一) 教学目的： 1.会判断两条直线的位置关系. 2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行. 3.掌握等角定理,并能运用它解决有关问题. 4.了解平移的概念，初步了解平几中成立的结论哪些在立几中成立 5. 掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面； 6.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角 教学重点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角. 教学难点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节共有两个知识点，平行直线、异面直线以平行公理和平面基本性质为基础进一步学习平行直线的性质，把平行公理和平行线的传递性推广到空间并引出平移概念，了解了平移的初步性质在这一节还由直线平行的性质学习异面直线及其夹角的概念 要求学生正确掌握空间平行直线性质和异面直线及其夹角的概念，这样就为学生学习向量和空间图形的性质打下了基础 教学过程： 一、复习引入： 把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？ （答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的） 你还能举出生活中的相关应用的例子吗？ 二、讲解新课： 1 空间两直线的位置关系 （1）相交——有且只有一个公共点； （2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．． 一个平面内，没有公共点； 2 平行直线 （1）公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：//,////a b b c a c ．
《空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系》教学设计(优质课)
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力. 2．过程与方法 （1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识. （二）教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系. 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系. （三）教学方法 借助实物，让学生观察事物、思考等，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标. 有几种位置关系？：有三种位置关系： ）直线与平面平行
图形语言是： 直线a与面α相交的 直线a与面α ∥α. 图形语言是：
′C′D′的六 平面与平面平行的符号语 .图形语言是：
（1）AB没有被平面
备用例题 例1 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（） A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．任意一条直线都不相交 D．无数条直线都不相交 【解析】直线与平面平行，那么直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C. 例2 “平面内有无穷条直线都和直线l平行”是“α // l”的（）. A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面 平行，应选B. 例3 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内. 已知：l∥α，点P∈α，P∈m，m∥l 求证：mα ?. 证明：设l与P确定的平面为β，且αβ= m′，则l∥m′. 又知l∥m，m m P '=，
空间两异面直线距离的 若干求法
存档编号 赣南师范学院科技学院学士学位论文 空间两异面直线距离的 若干求法 系别数学与信息科学系 届别 2014届 专业数学与应用数学 学号 1020151224 姓名刘禹伟 指导老师陈海莲 完成日期
目录 内容摘要 (1) 关键字 (1) Abstract (1) Key words (1) 1、引言 (2) 2、空间两异面直线的相关概念 (2) 2.1、空间两异面直线的概念 (2) 2.2、空间两异面直线间距离的概念 (2) 3、求异面直线距离的常用方法 (3) 3.1、直接法 (3) 3.2、线面距离法 (4) 3.3、面面距离法 (4) 3.4、等体积法 (5) 4、求解异面直线间距离的其他方法 (6) 4.1、运用极值法 (6) 4.2、公式法 (7) 4.3、射影面积法 (9) 5、分析比较求解方法 (10) 6、结语 (11) 致谢 (12) 参考文献 (13)
内容摘要：立体几何中的异面直线间距离( 即两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度) 问题是教材中的一个难点, 学生普遍反映困难, 主要由于学生思维不全面和认识上的不足, 又由于学生由平面几何到立体几何思维上的转化存在着问题, 从而导致解题和学习上困难。本文我们来着重讲解空间两异面直线间的距离的求法，即直接或利用转换和利用体积来求解。在其基础上再深入研究，利用解析几何的思想来探讨求解异面直线间距离。比较各种求法，让学生在求异面直线间距离方面简单。 关键字：异面直线间距离直接法转化法体积法解析几何 Abstract：The differences between the three-dimensional geometry of the surface linear distance (ie two different male faces straight vertical line in these two segments of different lengths between straight face) problem is a difficult textbook. Students generally reflect difficulties, Mainly due to the students' thinking is not comprehensive and lack of understanding, Also due to the transformation of the students from the plane geometry on the three-dimensional geometry of thinking there is a problem, resulting in the problem-solving and learning difficulties. In this paper, we explain the space to focus on the distance between the two different method for finding straight face, that directly or using the conversion and use of volume to solve. The basis of its further in-depth study to explore solving linear distance between the different faces of the use of analytic geometry ideas. Comparative method for finding a variety of students in terms of a simple distance between divergent straight face. Key words：The distance between lines in different planes The direct method Volume method Transformation method Analytic geometry
新必修二 8.5空间直线、平面的平行(教案+练习)
8.5空间直线、平面的平行 【学习目标】 1.掌握直线与平面平行的判定定理； 2.掌握两平面平行的判定定理； 3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题． 【要点梳理】 要点一、直线与直线平行 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：//a b ，////b c a c ?. 基本事实4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 要点二、直线和平面平行的判定 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行. 图形语言： 符号语言：a α?、b α?，//a b //a α?. 要点诠释： （1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件： ①直线a 在平面α外，即a α?； ②直线b 在平面α内，即b α?； ③直线a ，b 平行，即a ∥b ． 这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立． （2）定理的作用 将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可． 要点三、直线和平面平行的性质定理 定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行. 符号语言：若//a α，a β?，b αβ=I ，则//a b . 图形语言： 要点诠释： 直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a ∥α， αβ?，，则a ∥b ．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a 与b 平行
空间点到直线距离的多种解法
空间点到直线距离的多种解法 摘 要 在空间解析几何中，空间点、直线、平面之间的关系是学习的重点，点和直线的位置关系包括两种：点在直线上，点在直线外.当点在直线外时，点到直线距离的计算随之出现.关于解决点到直线距离的问题，涵盖了空间解析几何中两点间距离、向量运算、直线方程、平面方程等诸多知识点.本文将对一具体例题，介绍点到直线距离的多种解法. 关键词 点、直线、距离、向量、平面、解法 例：求点A （2，4，1）到直线L ：3 2 221--= =+z y x 的距离 1运用向量积的计算及向量积的几何意义 已知直线方程111 x x y y z z X Y Z ---== ，直线外一点A ()000,,x y z ，直线上 一点M ()111, ,x y z ，以v 和A M 构成平行四边形，这里v 为直线的方向向量.显 然直线外一点A 到直线的距离d 就是这平行四边形的对应于以v 为底的高.即 d= v v A ?M = 2 2 2 1 01 0101 0101 0Z Y X Y X y y x x X Z x x z z Z Y z z y y ++--+--+-- 解：如图（1），过点A 作直线L 的垂线，垂足为B. 设M （-1，0，2）为L 上任一点， v ={2，2，-3} 为L 的方向向量. 以v 和A M 为两边构成平行四边形 S=v A ?M ， 显然点A 到直线L 的距离AB 就是 这平行四边形的对应于以v 为底的高 即AB = v = v v A ?M = () 2 2 2 2 2 2 3222 2432 3313 21 4 -+++ --+ --=3
空间直线(一)平行直线
空间直线(一)---平行直线 教学目标： 1．了解空间两直线的三种位置关系----平行、相交、异面 2．掌握公理4，并能熟练应用其判别空间的两直线平行 3．理解并掌握等角定理及推论，并能运用它们 教学重点： 两直线的位置关系及公理4，等角定理 教学难点： 同上 教学方法： 探究法 教 具： 模具 教学过程 一、复习引入： 1．平面的特征？ 2．平面的基本性质及其作用？ 3．今天来研究两直线的位置关系，回忆初中学习过的两直线的位置关系有哪些？ 二、新授： 1．空间两直线的位置关系： ①相交：两直线有且仅有一个公共点，则该两直线是相交直线 ②平行：在同一平面内，若两直线没有公共点，则该两直线为平行直线 ③异面：不同在任何一个平面的两直线称为异面直线 2．空间两直线位置关系的分类： ①据是否共面分：????????相交直线共面:平行直线异面:异面直线 ②据是否有公共点来分：???????? 有一个公共点:相交直线平行直线无公共点:异面直线 ex:如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线AB 与BC 是_____直线，直线AB 与A 1B 1是___直线，直线AB 与CC 1是____直线 3．平行直线： 公理4：同平行于同一条直线的两直线是平行的 符号表示：,a b a c a b c b c ????即 注：1.公理4又称为平行公理. 2．公理4是证明平行的重要工具. 4．等角定理： 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 证：略. 注：证明的过程采用类比的方法 .
5．推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 注：对于平面图形得出的结论，有些可以推广到立体图形中，例如上面的定理和推论，但是并非关于平面图形成立的结论，对于立体图形仍然适用，所以必须证明。 三、例题选讲： 例1．已知空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，证明四边形EFGH 是平行四边形. 证明：连结BD 、AC ， ∵E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点 ∴EF ∥AC,GH ∥AC,EH ∥BD,FG ∥BD 由于公理4，∴EF ∥GH ，EH ∥FG ∴四边形EFGH 是平行四边形. 申1：已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的 中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且满足23 CF CG CB CD ==，求证：四边形EFGH 有一组对边平行但不相等. 证：略. 申2：上题中若改为，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且满足12 AE AH EB HD ==，2CF CG FB GD ==，①求证：EFGH 是梯形.②若BD=a ，求梯形EFGH 的中位线的长. 申3：若把上题中改为，已知空间四边形ABCD ，AB=BC ，CD=DA ，M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，试研究四边形MNPQ 是什么样的特殊四边形 申4：若上题中AC=BD 呢？ 申5：若AC=BD ，且AC ⊥BD 呢？ 例2．求证：过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行. 例3．如图所示，两个三角形ABC 和DEF 的对应顶点的连线AD 、BE 、CF 交于点O ， O 在平面ABC 和平面DEF 之间，且23 AO BO CO OD OD OF ===， (1)求证：AB ∥DE ，BC ∥EF ，CA ∥FD (2)求ABC DEF S S ??的值 四、练习：课本P 11 五、小结：本节主要学习了两直线的位置关系，与平行公理 注意平行公理的应用与等角定理及其推论的应用. 六、板书设计： D
高中数学 空间点,直线和平面的位置关系公式
空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 符合表示：
β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα //////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα
空间直线—异面直线间的距离
空间直线（四）—异面直线间的距离 一、 教学目的：（1）理解两条异面直线垂直的概念；（2）了解两条异面直线的公垂线； （3）会求两条异面直线间的距离及主要方法。 二、 教学重点、难点：异面直线间的距离。 三、 教学过程：1、复习： （1）异面直线的定义： ； （2）两条异面直线所成的角： ； ?当两条异面直线互相垂直时 ； 两条异面直线所成的角的范围是 ； 2、观察正方体ABCD —1111D C B A 中，正方体的棱1AA 和11C B 所在的 直线，直线11B A 和它们都 ， 直线1AA 和11D C 直线，直线11D A 和它们都 。 3、两条异面直线的公垂线的定义： 4、两条异面直线间的距离的定义： 练习（1）；设上图中，已知正方体ABCD —1111D C B A 的棱为a . （1）则异面直线AB 和11C B 的公垂线为 ；它们的距离是 ； （2）则异面直线1AA 和C B 1的公垂线为 ；它们的距离是 ； （3）则异面直线AC 和11D B 的公垂线为 ；它们的距离是 ； [思考题]：则异面直线AC 和1BD 的公垂线为 ；它们的距离是 ； [例1]：如图，PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=15. （1） 求直线PA 、BC 间的距离； （2） 求直线PA 、BD 间的距离； （3） 求直线AD 与PC 所成角的余切值。 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 P A B C D
[例2]：已知正四面体ABCD 中（各边均相等的四面体），若AB=1。 求：AB 和CD 间的距离。 练习（2）1、判断题； （1）d c b a ,,,是4条直线，;////,//,//d a d c c b b a ?-------------（ ） （2）若b a ,是直线，βα,是平面，且,,βα??b a 则b a ,一定是异面直线（ ） （3）b c a c b a ⊥?⊥,//---------------------------------------------------------------（ ） （4）b a c b c a //,?⊥⊥--------------------------------------------------------------（ ） 2、填空题： （1）已知b a ,是两条直线，且b a //，φ=?b a ，那么a 与b ； （2）已知c b a ,,是三条直线，且a b a ,//和c 所成的角为0 30，那么b 和c 所成的角的 大小为 ； （3）1AA 是长方体的一条棱，这个长方体中与1AA 垂直的棱共有 ； （4）如果b a ,是异面直线，直线c 与b a ,都相交，那么由这三条直线中的两条所确定 的平面共有 个。 3、如图，已知长方体的长和宽都是cm 32，高是cm 2. （1） BC 和11C A 所成的角是多少度？ （2） 1AA 和1BC 所成的角是多少度？ 11B A 和1DD ，以及11C B 和CD 的距离各是多少？ 作业： P 15 7、8 A B C D A B C D A 1 B 1 C 1 D 1