通俗讲解一阶导数和二阶导数物理意义及其程序代码

%本程序旨在说明函数y2与其一阶导数d1，二阶导数d2的物理意义：%导数在离散数学中，是一种差分（就是两个相邻点做减法的差值）；%一阶导数d1是函数y2的斜率，表示函数y2的倾斜程度，实际上是函数y2的变化程度；即

%斜率d1越大，（在自变量t具有相同变化量的时候，函数的因变量y2的变化量越大，）就是说y2变化越快。所以当y2表示成“路程”时，t 就成为了时间，而d1就变成了速度，表示单位时间内，经过的路程——路程变化量，那么二阶导数d2就是加速度，相应地，表示为速度的变化量。

%同时函数y2的二阶导数d2和y2的曲率有关，二阶导数d2表示曲线的弯曲程度，d2越大，表明y2越弯曲，见图figure2

%这就是为什么要用二阶导数来判断曲线凹凸性的一个原因。%

%下面是程序代码（如果拷贝，最好用英文命名，防止因matlab版本的不同而带来的报错）

clear all;close all;clc;

t=-pi:pi/1000:pi;

y2=exp(-t/3).*sin(3*t);

%hold on;%保留上一个曲线

t1=-pi+pi/1000:pi/1000:pi;

%注意这里导数的离散点比原来的函数减少了一个点，

%故导数的值域要减少一个点，否则程序报错

t2=-pi+pi/500:pi/1000:pi;

%注意这里二阶导数的离散点比原来的函数减少了二个点，

%故二阶导数的值域要减少二个点，否则程序报错

d1=diff(y2,1);

%求一阶导数的公式，diff(y2,m)为求m阶导数的方法

d2=diff(y2,2);

plot(t,y2,'r',t1,d1,'b',t2,d2,'g');

%画图y2,d1,d2在一起比较

grid on ;

%加网格

axis([-pi,pi,-2.8,1.9]) ;

%坐标系，水平x轴区域为[-pi,pi]；垂直y轴区域为[-0.02,0.02] figure,

%创建一个新的图像区域

subplot(3,1,1);

plot(t,y2);

grid on;

axis([-pi,pi,-3,3]) ;

title('y2');

subplot(3,1,2);plot(t1,d1);

grid on;axis([-pi,pi,-0.03,0.02]) ;

title('y2的一阶导数d1');

subplot(3,1,3);

plot(t2,d2);

grid on;axis([-pi,pi,-0.0003,0.0003]) ; title('y2的二阶导数d2');

实验结果Figure 1 & Figure 2

由图可见，y2越倾斜，d1的绝对值越大；y2越弯曲，d2绝对值越大；反之亦然。