电磁场与电磁波例题详解
第1章 矢量分析
例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。
解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为
0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ：
0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z +=
例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x
++=的矢量线方程。
解： 矢量线应满足的微分方程为 ：
z
y dz
y x dy xy dx 222== 从而有 ???????==z y dz xy
dx y
x dy xy dx 2222
解之即得矢量方程???=-=2
2
21c y x x
c z ，c 1和c 2是积分常数。
例1.3 求函数xyz z xy -+=22?在点（1，1，2）处沿方向角
3
,4
,3
π
γπ
βπ
α=
=
=
的方向导数。
解：由于
1)
2,1,1(2)
2,1,1(-=-=??==M M yz
y x ?, 02)
2,1,1()
2,1,1(=-=??==M M xz
xy y
?,
32)
2,1,1()
2,1,1(=-=??==M M xy
z z
?,
2
1cos ,22cos ,21cos ===
γβα 所以
1cos cos cos =??+??+??=
??γ?β?α??z
y x l
M
例1.4 求函数xyz =?在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。
解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为
1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l
++=-+-+-=
其单位矢量
3147
31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5,
10,
2)
2,1,5()2,1,5()2,1,5()
2,1,5()
2,1,5()
2,1,5(==??==??==??xy
z
xz
y
yz
x
?
??
所求方向导数
314
123
cos cos cos =
??=??+??+??=
?? l z y x l
M
?γ?β?α??
例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=?，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。
解：由于)66()24()32(-+-++++=?z a x y a y x a z y x
?
所以 623)
0,0,0(z y x a a a
---=?? ，36)
1,1,1(y x a a +=??
例1.6 运用散度定理计算下列积分：
??++-+=S
z y x S d z y xy a z y x a xz a I
)]2()([2322
S 是0=z 和2
2
22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。
解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+=
则由散度定理???=??τ
τs
S d A d A
可得
50
420
20
420
2022225
2sin sin )(a dr
r d d d drd r d r d y x z d A S d A I a
a
s
πθθ??
θθτ
ττπ
π
π
π
τ
ττ====++=??=?=????
??
????
例1.7 试求A ??和A
??:
(1) 2
2332y x a z x a z xy a A z y x ++=
(2) ???sin cos ),,(22r a r a z r A z r
+=
(3) θθθ?θ?θcos 1
sin 1sin ),,(2r a r a r a r A r ++=
解：
323200)
1(z y z y z
A
y A x A A z y x =++=??+??+??=??
)
23()23()2(32222322
2332xyz z x a xy z xy a x y x a y x z x z xy z y x a a a A A A z y x a a a A z y x z y x z y x z y x -+-+-=??????=
??????=??
?????cos 3)sin (0)cos (11)(1)
2(23r r z
r r r z A A r rA r r A z r =??++??=??+??+??=??
]
sin sin 2cos )]sin 0()sin 20()0cos ([1sin 0cos 112222???????
????????r a r a r a r a r a r r a r r r z r a a r a r A rA A z r a a r a r A z r z r z r z r z r
+-=++-+-=??????=
??????=
??
θ
θθ?θ
θθθθ?θθθθθ?
θcos 2
sin 3)cos 1
(sin 1)sin 1(sin 1)sin (1sin 1)(sin sin 1)(1)
3(22
23222r
r r r r r r r A r A r A r r r A r +=??+??+??=??+
????+??=?? θ
θθθθθθθθθθθ
θ
?θθθθ?θθθ?θ?θ?
θ?
θ
?
θcos cos 1sin 2cos )]cos 0(sin )2sin 210()02cos 1([sin 1cos sin 1
sin sin sin sin 1
sin sin sin 133222
2
a r
a r a r a r r a r r a r r
r r a r a r a r A r rA A r
a r a r a r A r r r r
r
-+=-+++-=
??????=??????=??
例1.8 在球坐标中，已知2
04cos r
p e πεθ
φ=
，其中e p 、0ε为常数，试求此标量场的负梯度构成的矢量场，即φ-?=E
。
解： 在球坐标戏中，?
φθθφφφ?θ??+??+??=?sin 11r a r a r a r
)
sin cos 2(44sin 2cos 04)
sin (1)2(4cos )4cos (sin 1)4cos (1)4cos (3
0303
020302
02020θθπεπεθ
πεθπεθπεθπεθ?θπεθθπεθφθθ
θ
?θa a r p r p a r p a r p r a r p a r p r a r p r a r p r a E r e e e r e e r e e e r
+=
+=-----=??-??-??-=-?=∴
例1.9 在由5=r ，0=z 和4=z 围成的圆柱形区域上，对矢量z a r a A z r 22
+=验
证高斯散度定理。
解：因为要求验证高斯散度定理，即需要根据给出条件分别计算???τ
τd A
和
??s
S d A ，得到二者结果相同的结论。
在柱坐标系下，有
23)2(0)(11)(13+=??++??=??+??+??=??r r z
r r r z A A r rA r r A z r ??
在由5=r ，0=z 和4=z 围成的圆柱形区域内取一个小体积元τd ，可知
dz rdrd d ?τ=，其中50≤≤r 、π?20≤≤、40≤≤z ，故
ππ??τππτ
120042150)23()23(4
20
50
50
20
40
=??=+=+=?????????dz d rdr r dz rdrd r d A
而5=r ，0=z 和4=z 围成的圆柱形区域的闭合外表面由三部分构成：圆柱
上表面1S （面元矢量?rdrd a S d z
=1，50≤≤r 、π?20≤≤、4=z ）、圆柱下表
面2S （面元矢量?rdrd a S d z
-=2，50≤≤r 、π?20≤≤、0=z ）和圆柱侧表面3S （面元矢量dz rd a S d r ?
=3，π?20≤≤、40≤≤z 、5=r ），故有：
π
ππ?????
ππ
π
π
π
120042125225412508)2()
()2()2(20
4
50
20
5
4
20
20
5
20
24
5
20
23
213
2
1
=??+??=++=?++-?++?+=?+?+?=???
?
?
??
?
?
?
?????===dz
d drd r dz
rd a z a r a rdrd a z a r a rdrd a z a r a S d A S d A S d A S d A r r z r z z z r z z z r S S S S
πττ
1200=?=??∴??s
S d A d A
，即证。
例1.10 现有三个矢量场A 、B
、C ,分别为：
??θ?θ?θsin cos cos cos sin a a a A r
-+=，????sin 2cos sin 22rz a z a z a B z r
++=，
z a x a x y a C z y x 2)23(22
++-=。
哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示？
解：本题考查的是矢量场的场源关系，即：标量函数的梯度是一个有散无旋的场，并根据发散场旋度为零，漩涡场散度为零进行反推。
故先分别求出矢量的散度和旋度：
sin sin cos cos cos sin sin sin 1sin sin sin 10
)sin (sin 1)cos cos (sin sin 1)cos sin (1sin 1)(sin sin 1)(12
2
22
22
=-??????=??????=??=-??+??+??=??+????+??=???
θ?θ?θ?θθθ
θ?θθθ??
θ?θθθθ?θ?θθθθθ?
θ
?
θ
?
θ?
θr r r a r a r a r A r rA A r
a r a r a r A r r r r r A r A r A r r r A r r
r
r
sin 2cos sin 11sin 2)sin 2()cos (1)sin (11)(12222=??????=??????=??=??+??+??=??+
??+??=????????
?????????rz rz z z r a a r a r B rB B z r a a r a r B r rz z
z r rz r r z B B r rB r r B z
r z r z r z r )
62(2230
20222
y x a z
x x y z
y x a a a C C C z y x a a a C z C y C x C C z z
y x z y x z y x z
y x -=-??????=??????=??=++-=??+??+??=??
故B
可以由一个标量函数的梯度表示，C 可以由一个矢量的旋度表示。
第2章 静电场与恒定电场
例2.1 已知半径为a 的球内、 外的电场强度为下式所示，求电荷分布。
)
(2325)
(330220a r a r a r E a E a r r
a E a E r r
??
? ??-=>=
解：由高斯定理的微分形式0
ερ=??E ， 得电荷密度为E
??=0ερ
用球坐标中的散度公式φθθθθ?
θ??+??+??=??A r A r r A r r
A r sin 1)(sin sin 1)(122 可得： ???????<-=-??>=??=??)
()(215)]2325([1)(0)(1223033
02222
022a r r a a E a r a r E r r
r a r r a E r r r A o ε
例2.2 一个半径为a 的均匀极化介质球，极化强度是0P z a
，求极化电荷分布。
解：建立球坐标系，让球心位于坐标原点。
极化电荷体密度为00=?-?=?-?=P a P z p
ρ
极化电荷面密度为θρcos 00P a P a n P r z ps =?=?=
例2.3 一个半径为a 的导体球，带电量为Q ，在导体球外套有外半径为b 的同
心介质球壳， 壳外是空气，如图2.1所示。求空间任一点的P E D
、、以及束缚电荷密度。
图
2.1
解：由介质中的高斯定律可知，
在a r ≥区域内：Q r D S d D r s
=?=??2
4π ，故2
4r Q a D r π = 由本构方程E E P E D r
εεεε==+=00得：
介质内(a 0241,41r Q a E D P r Q a D E r r r r πεεεεπεε-=-=== 介质外(b 00 === P r Q a D E r πεε 介质内表面束缚电荷面密度分别为： 2 41a Q a P n P r r r a r ps πεερ--=?-=?== ，2 41b Q a P n P r r r b r ps πεερ--=?=?== 例2.4 若真空中电荷q 均匀分布在半径为a 的球体内，计算球内，外的电场强度以及电场能量。 解：由电荷分布可知，电场强度是球对称的，在距离球心为r 的球面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。 在球外)(a r >，取半径为r 的球面作为高斯面，利用高斯定理计算： q r D S d D r s =?=?? 24π 故有2 4r q D r π= ，20041r q D E r r πεε== 对球内)(a r <，也取球面作为高斯面，同样利用高斯定理计算： 33332 3 4344a q r a q r r D S d D r s ==?=??πππ 故有3 4a rq D r π= ，30041a rq D E r r πεε== a q dr r r dr r a r q d E W a a V e 022 422302 002020341442121πεπππεετε= ????????+??? ?????? ? ??==??∞电场能量 例2.5 计算图2.2所示深埋地下半径为a 的导体球的接地电阻。已知土壤的电导率为σ。 图 2.2 解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率， 可将导体球看作等位体。用静电比拟法，位于电介质中的半径为a 的导体球的电容为επa C 4= 所以导体球的接地电导为 πσ4=G 所以导体球的接地电阻为 σ πa G R 41 1= = 例2.6 半径分别为)(,b a b a >，球心距为)(b a c c -<的两球面之间有密度为ρ的均匀体电荷分布，如图2.3所示，求半径为b 的球面内任一点的电场强度。 图2.3 解：为了使用高斯定理，在半径为b 的空腔内分别加上密度为+ρ和ρ-的体电荷，这样，任一点的电场就相当于带正电的大球体和一个带负电的小球体共 同产生，正负带电体所产生的场分别由高斯定理计算。 正电荷在空腔内产生的电场为10 113r a r E ερ=， 负电荷在空腔内产生的电场为 20 223r a r E ερ-=， 其中单位向量1r a ，2r a 分别以大、小球体的球心为球面坐标的原点。 考虑到x r r a c a r a r =-2211，最后得到空腔内的电场为： x a c E 0 3ερ= 例2.7 一个半径为a 的均匀带电圆柱体（无限长）的电荷密度是ρ，求圆柱体内、外的电场强度。 解：因为电荷分布是柱对称的，因而选取圆柱坐标系求解。在半径为r 的柱面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。计算柱内电场时，取半径为r ，高度为1的圆柱面为高斯面。在此柱面上，使用高斯定理，有 202,,2ερρππεr E l r q q rl E S d D r r s ====?? 计算柱外电场时，取通过柱外待计算点的半径为r ，高度为1的圆柱面为高斯面。对此柱面使用高斯定理，有 022 02,,2ερρππεr a E l a q q rl E S d D r r s ====?? 例2.8 一个半径为a 的均匀带电圆盘，电荷面密度是0s ρ，如图2.4所示。求轴线上任一点的电场强度。 图2.4 解：由电荷的电荷强度计算公式 dS r r r r r r E s s ? --= 30' ) ')((41)( ρπε 及其电荷的对称关系，可知电场仅有z 的分量。 代入场点源点 x a z r = ??sin 'cos ''r a r a r y x += ?d dr r dS ''= 电场的z 向分量为 ??????+-=+=??2/12200200 2 /32200)(12)'(''4z a z s r z dr zr d s E a z ερ?περπ 上述结果适用于场点位于z>0时。但场点位于z<0时，电场的z 向量为 ]) (1[22/12200 z a z s E z +-- =ερ 例2.9 已知半径为a 的球内,外电场分布为 ??????? ? ??>??? ??=a r a a r E a r a r a E E r r 2 020 求电荷密度。 解：从电场分布计算计算电荷分布,应使用高斯定理的微分形式: ρ=??D 用球坐标中的散度公式,并注意电场仅仅有半径方向的分量,得出 () () 0r r 1 : a E 3r r 1: r 2 2 00r 2 20 =E ??=>=E ??= a r r a r ερερ时时 例2.10 电荷分布如图2.5所示。试证明，在r>>l 处的电场为4 02 23r ql E r πε= 证明： 用点电荷电场强度的公式及叠加原理，有])(2)([ 412 220 l r q r q l r q E r -+-+=πε 当r>>l 时, )321(1) 1(11 )(122 222 2 -+-≈+= +r l r l r r l r l r )321(1) 1(11 )(122 222 2 +++≈-= -r l r l r r l r l r 将以上结果带入电场强度表达式并忽略高阶小量，得出4 02 23r ql E r πε= 图2.5 例 2.11 真空中有两个点电荷，一个电荷q -位于原点，另一个电荷2/q 位于 )0,0,(a 处，求电位为零的等位面方程。 解：由点电荷产生的电位公式得电位为零的等位面为 04241 00=+-r q r q πεπε 其中 2 12 2 2 )(z y x r ++=， 2 122 2 1])[(z y a x r ++-= 等位面方程简化为 r r =12 即 222222])[(4z y x z y a x ++=++- 此方程可以改写为 2 2223234?? ? ??=++??? ??-a z y a x 这是球心在)0,0,34(a ,半径为3 2a 的球面。 例2.12 如图2.6所示，一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴方向，介质柱的高度为L ，半径为a ，且均匀极化，求束缚体电荷分布及束缚面电荷分布。 图2.6 解：选取圆柱坐标系计算，并假设极化强度沿其轴向方向，x a P P 0=如图 示，由于均匀极化，束缚体电荷为 0=?-?=P ρ。 在圆柱的侧面，注意介质的外法向沿半径方向r a n =，极化强度在z 方向，故 0=?=r a P ρ 在顶面，外法向为x a n =，故 0P a P x sp =?= ρ 在底面，外法向为x a n -=，故 0)(P a P x sp -=-?= ρ 例2.13 假设x<0的区域为空气，x>0的区域为电解质，电解质的介电常数为03ε， 如果空气中的电场强度z y x a a a E 541++=（V/m ），求电介质中的电场强度2E 。 解：在电介质与空气的界面上没有自由电荷，因而电场强度的切向分量连 续，电位移矢量的法向分量连续。在空气中，由电场强度的切向分量 x y t a a E 541+=，可以得出介质中电场强度的切向分量x y t a a E 542+=；对于法向分量，用n D D n 21=，即 x x E E 210εε=，并注意013,3εε==x E ，得出12=x E 。将所得到的切向分量相叠加，得介质中的电场为 )/(542m V a a a E z y x ++= 例2.14 一个半径为a 的导体球面套一层厚度为b-a 的电解质，电解质的介电常数为ε，假设导体球带电q ，求任意点的电位。 解：在导体球的内部，电场强度为0。对于电介质和空气中的电场分布，用高斯定理计算。在电介质或空气中的电场取球面为高斯面，由 ?==?s r q D r S d D 2 4π 得出2 4r q D r π= 电场为：2 4r q E r πε= 在介质中（a E r πε= 在空气中（r>b ）。 电位为 )1 1(44440220b r q b q dr r q dr r q Edr r b b r -+=+==?? ? ∞ ∞ πεπεπεπε? （a ??∞∞= ==r r r q dr r q Edr 02044πεπε? (r>b) 例2.15 真空中有两个导体球的半径都为a ，两球心之间距离为d ，且d>>a,试计算两个导体之间的电容。 解：因为球心间距远大于导体的球的半径，球面的电荷可以看作是均匀分布。由电位系数的定义，可得 a p p 0221241πε= =， d p p 0211241πε= = 让第一个导体带电q, 第二个导体带电-q ，则 d q a q q p q p 001211144πεπε?- = -=， a q d q q p q p 002221244πεπε?- = -= 由2 1??-== q U q C 化简得a d ad C -= 02πε 例2.16 球形电容器内，外极板的半径分别为a,b ，其间媒质的电导率为σ，当外加电压为0U 时，计算功率损耗并求电阻。 解：设内,外极板之间的总电流为0I ，由对称性，可以得到极板间的电流密度为 r a r I J π2= r a r I E 24πσ= 0U =a b Edr ?= 114I a b πσ??- ??? 从而 I =0 411U a b πσ-，r a r b a U J 20)11(-= σ 单位体积内功率损耗为 p =2 J σ=2 0211U r a b σ?? ??? ?????- ??????? 总功率耗损为 P=2 4b a p r dr π?= 2 02 2 411b a U dr r a b πσ?? -???? ? =2 0411U a b πσ- 由P=2 0U R ，得 R=114I a b πσ??- ??? 例2.17 一个半径为a 的导体球作为作为电极深埋地下，土壤的电导率为σ。略去地面的影响，求电极的接地电阻。 解：当不考虑地面影响时，这个问题就相当于计算位于无限大均匀点媒质中的导体球的恒定电流问题。设导体球的电流为I ,则任意点的电流密度为 r a r I J 24π=，r a r I E 24πσ= 导体球面的电位为（去无穷远处为电位零点） U =2 4a I dr πσ∞ ?= 4I a πσ 接地电阻为 R =U I =4I a πσ 例2.18 如图2.7所示，平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分别为1d 和2d ，介电常数分别为1ε和2ε，电导率分别为1σ和2σ，当外加电压U 0时，求分界面上的自由电荷面密度。 解：设电容器极板之间的电流密度为J ，则 2211E E J σσ== 2 211,σσJ E J E = = 于是 2 2 1 1 0σσJd Jd U + = 即 2 2 1 1 0σσd d U J + = 分界面上的自由面电荷密度为 2 2 110112 21122112212σσσεσεσεσεεερd d U J E E D D n n s +???? ??-=???? ??-=-=-= 图2.7 例 2.19 在电场强度x a y a E y x +=的电场中把带电量为)(2C q -的点电荷从点 )1,1,2(-移到点)1,2,8(-，试计算电场沿下列路径移动电荷所做的功。 (1)沿曲线22y x =；(2)沿连接该两点的直线。 解：本题要求电场力移动电荷所做的功，最直接的办法就是根据功=作用力×作用距离，由给出的电场强度确定电荷所受电场力，再在对应的移动路径C 上进行线积分，即???-=?=C C l d E q l d F W 2。但注意到题目给出的场强为静电场 的电场强度，则可根据静电场为保守场，由静电力所做的功与电荷移动路径无关，至于电荷运动起止点的电位差有关这一特点进行计算。 方法一：0=??E ，此电场为静电场，电场力所做的功与电荷移动路径无关。 由x a y a E y x +=-?=?可得，电位C xy z y x +-=),,(?，其中C 为常数。 点)1,1,2(-到点)1,2,8(-之间的电位差14)1,2,8()1,1,2(=---=??U 故无论是沿曲线22y x =还是沿连接该两点的直线，电场力移动电荷)(2C q -所做的功)(282J q qU W -=-=。 方法二：电场力)2()2(2qx a qy a E q F y x -+-=-= ， 0U 点)1,1,2(-移到点)1,2,8(-变化的只是x 和y ， 故有dy a dx a l d y x +=，qxdy qydx l d F 22--=? (1)曲线C ：22y x = 有ydy dx 4= )(2812)2242(2 1 221 2J q dy qy y qdy ydy qy l d F W C -=-=?-?-=?=∴??? (2)曲线C ： 61 21=--x y ，即46-=y x ，有dy dx 6= )(28)824()]46(262[2 1 21J q dy q qy y qdy dy qy l d F W C -=+-=-?-?-=?=∴??? 例2.20 球形电容器内外导体球半径分别为a 和b ，如果保持内外导体间电位差U 不变，试证明当内外导体球半径满足关系a=b/2时，内导体球表面的电场最小，并求此最小电场强度。 解：要求得内导体球表面的最小电场强度，需先求出空间各点电场强度的分布，再根据高等数学中函数最小值出现在函数一阶导数零点的知识，求出内导体球表面的电场强度最小值，并得到此时内外导体球半径之间的关系。 由于内外导体球间存在电位差，故内导体球表面存在电荷，可设在内导体球面上均匀分布有总量为Q 的电荷，因此以导体球球心为坐标原点建立球坐标系，内导体球面为a r =，外导体球面为b r =。 在b r a <<的区间包围原点做一个半径为r 的闭合球面S ，由于电荷和电场的分布满足球对称，在S 上应用高斯定理，有 02 20 24sin επ?θθπο Q E r d d r E S d E r r S = =?=???? 2 02 04,4r Q a E r Q E r r πεπε == ∴ 设外导体电位为0，则内导体电位为U ，将点电荷从内导体表面搬到外导体上所需要的电场力所做功为： ab a b Q b a Q dr r Q l d E U b a b a -=-= ?=?=? ? 002 04)11(44πεπεπε 故可反解出U a b ab Q -= 04πε，)(2 b r a r U a b ab a E r <<-= 在内导体球表面a r =，有),(2 b a E a ab bU E r r =-= 22)()2(a ab b a bU a E r --=?? ，0=??∴a E r ，即02=-a b ，2/b a =时有r E 的最值。 又2/b a >时， 0>??a E r ；2/b a <时，0 E r ；故2/b a =时r E 有最小值。 ∴当内外导体球半径满足关系a=b/2时，内导体球表面的电场最小。 此最小值为b U a a U a E r r 42min ==。 例2.21 电场中一半径为a 的介质球，已知球内、外的电位函数分布为： a r r E a r E ≥+-+ -=,cos 2cos 2030001θ εεεεθ? a r r E ≤+-= , cos 2300 2θεεε? 验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。 解：题目给出的边界面，是介于介质和空气之间的球面，其法向为球的径向 r a ，切向则为θa 和?a 方向。要验证分界面上的边界条件，可以从电场矢量方面 入手，根据题目给出电位分布，求出电场强度的分布，得到在边界面a r =上t t E E 21 =； 也可以直接根据电位的边界条件，在a r =的分界面上，得到21??=的结论。而要计算球面的束缚电荷密度，可根据n P ps ?=ρ来计算。 1）验证边界条件： 方法一：直接利用电位的边界条件，有： a r =时，200 00001cos 23cos 2cos ?θεεεθεεεεθ?=+-=+-+ -=r E aE a E 21??=∴，边界条件成立。 方法二：?-?=E a r r E a E a r E a E a E r ≥+-+-++-+=-?=∴),sin 2sin ()cos 22cos (3030003030001 1θεεεεθθεεεεθ?θ a r E a E a E r ≤-+= -?=),sin cos (23000 022θθεεε?θ 分界面a r =上，r a n = t t E E a E E a E 200 000001sin 23)sin 2sin ( =+-=+-+-=∴θεεεθεεεεθθθ t t E E 21 =∴，边界条件成立。 2）计算球表面的束缚电荷密度： 由上面可得 a r r E a E a r E a E a E r ≥+-+-++-+=),sin 2sin ()cos 22cos (3030003 030001θεεεεθθεεεεθθ a r E a E a E r ≤-+= ), sin cos (23000 02θθεεεθ E P E D εε=+=0 E P )(0εε-=∴ a r E r a a E r a a E P r ≥+-+-++-+-=-=],sin )21(cos )221()[()(03 300033000101θεεεεθεεεεεεεεθ a r E P ≤=-=, 0)(2002 εε 例2.22 有一半径为a ，带电荷量为q 的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的介电常数分别为1ε和2ε，分界面可视为无限大的平面，求： (1)球的电容量；(2)储存的总静电能。 解：此导体球为单导体系统，选无穷远点为零电位点，球的电容量可由Φ = Q C 求出，其中Q 为导体球所带电荷量，即q ；Φ为导体球表面电位与零电位点的电位差。故求球的电容量，就需求导体球外电场强度的分布。同样，静电场的能量也可由电场强度求出，故本题的核心在于求电场强度的空间分布。 一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 电磁场与电磁波实验报告 班级： 学号： 姓名： 同组人： 实验一电磁波的反射实验 1.实验目的： 任何波动现象（无论是机械波、光波、无线电波），在波前进的过程中如遇到障碍物，波就要发生反射。本实验就是要研究微波在金属平板上发生反射时所遵守的波的反射定律。 2.实验原理： 电磁波从某一入射角i射到两种不同介质的分界面上时，其反射波总是按照反射角等于入射角的规律反射回来。 如图（1-2）所示，微波由发射喇叭发出，以入射角i设到金属板M M',在反射方向的位置上，置一接收喇叭B，只有当B处在反射角i'约等于入射角i时，接收到的微波功率最大，这就证明了反射定律的正确性。 3.实验仪器： 本实验仪器包括三厘米固态信号发生器，微波分度计，反射金属铝制平板，微安表头。 4.实验步骤： 1）将发射喇叭的衰减器沿顺时针方向旋转，使它处于最大衰减位置； 2）打开信号源的开关，工作状态置于“等幅”旋转衰减器看微安表是否有显示，若有显示，则有微波发射； 3）将金属反射板置于分度计的水平台上，开始它的平面是与两喇叭的平面平行。 4）旋转分度计上的小平台，使金属反射板的法线方向与发射喇叭成任意角度i，然后将接收喇叭转到反射角等于入射角的位置，缓慢的调节衰减器，使微 μ）。 安表显示有足够大的示数（50A 5）熟悉入射角与反射角的读取方法，然后分别以入射角等于30、40、50、60、70度，测得相应的反射角的大小。 6）在反射板的另一侧，测出相应的反射角。 5.数据的记录预处理 记下相应的反射角，并取平均值，平均值为最后的结果。 5.实验结论：?的平均值与入射角0?大致相等，入射角等于反射角，验证了波的反射定律的成立。 6.问题讨论： 1.为什么要在反射板的左右两侧进行测量然后用其相应的反射角来求平均值？ 答：主要是为了消除离轴误差，圆盘上有360°的刻度，且外部包围圆盘的基座上相隔180°的两处有两个游标。，不可能使圆盘和基座严格同轴。 在两者略有不同轴的情况下，只读取一个游标的读数，应该引入离轴误差加以考虑——不同轴的时候，读取的角度差不完全等于实际角度差，圆盘半径偏小 A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。 4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程 6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。 . 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?u v u u v u v ,B E t ???=-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? u v u u v g ? S D ds ρ =?u v u u v g ? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H r r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u v u v 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ?r g 6电位满足的泊松方程为 2ρ?ε?=- ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ? 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=g D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v ，并令 B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u v g ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ? ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω=r r 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-?r r r 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S u u v u u v g ?S d q =?得2 4q D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e u u v u u v v r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r u u v u u v v u u v g g g r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε== 第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+? B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角 速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。 本科实验报告 课程名称：电磁场与微波实验 姓名：wzh 学院：信息与电子工程学院 专业：信息工程 学号：xxxxxxxx 指导教师：王子立 选课时间：星期二9-10节 2017年 6月 17日 Copyright As one member of Information Science and Electronic Engineering Institute of Zhejiang University, I sincerely hope this will enable you to acquire more time to do whatever you like instead of struggling on useless homework. All the content you can use as you like. I wish you will have a meaningful journey on your college life. ——W z h 实验报告 课程名称：电磁场与微波实验指导老师：王子立成绩：__________________ 实验名称： CST仿真、喇叭天线辐射特性测量实验类型：仿真和测量 同组学生姓名： 矩形波导馈电角锥喇叭天线CST仿真 一、实验目的和要求 1. 了解矩形波导馈电角锥喇叭天线理论分析与增益理论值基本原理。 2．熟悉 CST 软件的基本使用方法。 3．利用 CST 软件进行矩形波导馈电角锥喇叭天线设计和仿真。 二、实验内容和原理 1. 喇叭天线概述 喇叭天线是一种应用广泛的微波天线,其优点是结构简单、频带宽、功率容量大、调整与使用方便。合理的选择喇叭尺寸,可以取得良好的辐射特性：相当尖锐的主瓣,较小副瓣和较高的增益。因此喇叭天线在军事和民用上应用都非常广泛,是一种常见的测试用天线。喇叭天线的基本形式是把矩形波导和圆波导的开口面逐渐扩展而形成的,由于是波导开口面的逐渐扩大,改善了波导与自由空间的匹配,使得波导中的反射系数小,即波导中传输的绝大部分能量由喇叭辐射出去,反 电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量— 电磁场与电磁波例题详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第1章 矢量分析 例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。 解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为 0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ： 0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z += 例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x ++=的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为 ： z y dz y x dy xy dx 222== 从而有 ???????==z y dz xy dx y x dy xy dx 2222 解之即得矢量方程???=-=2 2 21c y x x c z ，c 1和c 2是积分常数。 例1.3 求函数xyz z xy -+=22?在点（1，1，2）处沿方向角 3 ,4 ,3 π γπ βπ α= = = 的方向导数。 解：由于 1) 2,1,1(2) 2,1,1(-=-=??==M M yz y x ?, 02) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xz xy y ?, 32) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xy z z ?, 2 1cos ,22cos ,21cos === γβα 所以 1cos cos cos =??+??+??= ??γ?β?α??z y x l M 例1.4 求函数xyz =?在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。 解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为 1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l ++=-+-+-= 其单位矢量 3147 31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5, 10, 2) 2,1,5()2,1,5()2,1,5() 2,1,5() 2,1,5() 2,1,5(==??==??==??xy z xz y yz x ? ?? 所求方向导数 314 123 cos cos cos = ??=??+??+??=?? l z y x l M ?γ?β?α?? 例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=?，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。 解：由于)66()24()32(-+-++++=?z a x y a y x a z y x ? 所以 623) 0,0,0(z y x a a a ---=?? ，36) 1,1,1(y x a a +=?? 例1.6 运用散度定理计算下列积分： ??++-+=S z y x S d z y xy a z y x a xz a I )]2()([2322 S 是0=z 和2 2 22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。 解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+= 则由散度定理???=??τ τs S d A d A 可得 电磁场与电磁波复习材料 简答 1． 简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 2． 试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 3． 试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分） 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 4． 什么是色散？色散将对信号产生什么影响？ 答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分） 5．已知麦克斯韦第二方程为t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 6．试简述唯一性定理，并说明其意义。 7．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 8．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 9．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分） 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究 10．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分） 方程的微分形式： 11．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。 12．已知麦克斯韦第一方程为 t D J H ??+ =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 重庆大学 电磁场与电磁波课程实践报告 题目：点电荷电场模拟实验 日期：2013 年12 月7 日 N=28 《电磁场与电磁波》课程实践 点电荷电场模拟实验 1.实验背景 电磁场与电磁波课程内容理论性强，概念抽象，较难理解。在电磁场教学中，各种点电荷的电场线成平面分布，等势面通常用等势线来表示。MATLAB 是一种广泛应用于工程、科研等计算和数值分析领域的高级计算机语言，以矩阵作为数据操作的基本单位，提供十分丰富的数值计算函数、符号计算功能和强大的绘图能力。为了更好地理解电场强度的概念，更直观更形象地理解电力线和等势线的物理意义，本实验将应用MATLAB 对点电荷的电场线和等势线进行模拟实验。 2.实验目的 应用MATLAB 模拟点电荷的电场线和等势线 3.实验原理 根据电磁场理论，若电荷在空间激发的电势分布为V ，则电场强度等于电势梯度的负值，即： E V =-? 真空中若以无穷远为电势零点，则在两个点电荷的电场中，空间的电势分布为： 1 212010244q q V V V R R πεπε=+=+ 本实验中，为便于数值计算，电势可取为 1212 q q V R R =+ 4.实验内容 应用MATLAB 计算并绘出以下电场线和等势线，其中q 1位于(-1,0,0)，q 2位于(1,0,0)，n 为个人在班级里的序号： (1) 电偶极子的电场线和等势线（等量异号点电荷对q 2:q 1 = 1，q 2为负电荷）； (2) 两个不等量异号电荷的电场线和等势线（q 2:q 1 = 1 + n /2，q 2为负电荷）； (3) 两个等量同号电荷的电场线和等势线； (4) 两个不等量同号电荷的电场线和等势线（q 2:q 1 = 1 + n /2）； (5) 三个电荷，q 1、q 2为(1)中的电偶极子，q 3为位于(0,0,0)的单位正电荷。、 n=28 （1） 电偶极子的电场线和等势线（等量异号点电荷对q 2:q 1 = 1，q 2为负电荷）； 程序1： clear all q=1; xm=2.5; ym=2; x=linspace(-xm,xm); y=linspace(-ym,ym); [X,Y]=meshgrid(x,y); R1=sqrt((X+1).^2+Y.^2); R2=sqrt((X-1).^2+Y.^2); U=1./R1-q./R2; u=-4:0.5:4; figure contour(X,Y,U,u,'--'); hold on plot(-1,0,'o','MarkerSize',12); plot(1,0,'o','MarkerSize',12); [Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1)); 一、选择题 1、以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是（ ） A 、电场是无旋场 B 、电场和磁场相互激发 C 、电场与磁场无关 2、区域V 全部用非导电媒质填充，当此区域中的电磁场能量减少时，一定是（ ） A 、能量流出了区域 B 、能量在区域中被消耗 C 、电磁场做了功 D 、同时选择A 、C 3、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的的是（ ） A 、线圈的尺寸 B 、两个线圈的相对位置 C 、线圈上的电流 D 、空间介质 4、导电介质中的恒定电场E 满足（ ） A 、0??=E B 、0??=E C 、??=E J 5、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ） A 、镜像电荷是否对称 B 、电位方程和边界条件不改变 C 、同时选择A 和B 6、在静电场中，电场强度表达式为3(32)()y x z cy ε=+--+x y z E e e e ，试确定常数 ε的值是（ ） A 、ε=2 B 、ε=3 C 、ε=4 7、若矢量A 为磁感应强度B 的磁矢位，则下列表达式正确的是（ ） A 、=?B A B 、=??B A C 、=??B A D 、2=?B A 8、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =平面， 若已知空气中的电场强度124= +x z E e e 。则电介质中的电场强度应为（ ） A 、1216=+x z E e e B 、184=+x z E e e C 、12=+x z E e e 9、理想介质中的均匀平面波解是（ ） A 、TM 波 B 、TEM 波 C 、TE 波 10、以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是（ ） A 、不再是平面波 B 、电场和磁场不同相 C 、振幅不变 D 、以T E 波的形式传播 二、填空 1、一个半径为α的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为 σ，略去地面的影响，则电极的接地电阻R = 2、 内外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀的分布着轴向电流I ，设空间离轴距离为()r r a <的某点处，B= 3、 自由空间中，某移动天线发射的电磁波的磁场强度 第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= = =e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （ 4 ） 由 c o s AB θ =1 1 2 3 8 = A B A B ， 得 1 c o s A B θ- =(135.5- = （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =- A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1 230 4 1 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123P P P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 邮电大学 电磁场与微波测量实验报告 实验六布拉格衍射实验 一、实验目的 1、观察微波通过晶体模型的衍射现象。 2、验证电磁波的布拉格方程。 二、实验设备与仪器 DH926B型微波分光仪，喇叭天线，DH1121B型三厘米固态信号源，计算机 三、实验原理 1、晶体结构与密勒指数 固体物质可分成晶体和非晶体两类。任何的真实晶体，都具有自然外形和各向异性的性质，这和晶体的离子、原子或分子在空间按一定的几何规律排列密切相关。 晶体的离子、原子或分子占据着点阵的结构，两相邻结点的距离叫晶体的晶 10ｍ，与X射线的波长数量级相当。因此，格常数。晶体格点距离的数量级是-8 对X射线来说，晶体实际上是起着衍射光栅的作用，因此可以利用X射线在晶体点阵上的衍射现象来研究晶体点阵的间距和相互位置的排列，以达到对晶体结构的了解。 图4.1 立方晶格最简单的晶格是立方体结构。 如图6.1这种晶格只要用一个边长为ａ的正立方体沿3个直角坐标轴方向重复即可得到整个空间点阵，ａ就称做点阵常数。通过任一格点，可以画出全同的晶面和某一晶面平行，构成一组晶面，所有的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏。这样一族晶面不仅平行，而且等距，各晶面上格点分布情况相同。 为了区分晶体中无限多族的平行晶面的方位，人们采用密勒指数标记法。先找出晶面在ｘ、ｙ、ｚ3个坐标轴上以点阵常量为单位的截距值，再取3截距值的倒数比化为最小整数比（ｈ∶ｋ∶ｌ），这个晶面的密勒指数就是（ｈｋｌ）。当然与该面平行的平面密勒指数也是（ｈｋｌ）。利用密勒指数可以很方便地求出一族平行晶面的间距。对于立方晶格，密勒指数为（ｈｋｌ）的晶面族，其面 间距 hkl d可按下式计算：2 2 2l k h a d hkl + + = 图6.2立方晶格在ｘ—ｙ平面上的投影 如图6.2，实线表示（100）面与ｘ—ｙ平面的交线，虚线与点画线分别表示（110）面和（120）面与ｘ—ｙ平面的交线。由图不难看出 2、微波布拉格衍射 根据用X射线在晶体原子平面族的反射来解释X射线衍射效应的理论，如有一单色平行于X射线束以掠射角θ入射于晶格点阵中的某平面族，例如图4.2所示之（100）晶面族产生反射，相邻平面间的波程差为 θ sin 2 100 d QR PQ= +（6.1） 式（6.1）中 100 d是（100）平面族的面间距。若程差是波长的整数倍，则二反射波有相长干涉，即因满足 《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。 第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。 电磁场与微波测量实验报告 学院： 班级： 组员： 撰写人： 学号： 序号： 实验一电磁波反射和折射实验 一、实验目的 1、熟悉S426型分光仪的使用方法 2、掌握分光仪验证电磁波反射定律的方法 3、掌握分光仪验证电磁波折射定律的方法 二、实验设备与仪器 S426型分光仪 三、实验原理 电磁波在传播过程中如遇到障碍物，必定要发生反射，本处以一块大的金属板作为障碍物来研究当电磁波以某一入射角投射到此金属板上所遵循的反射定律，即反射线在入射线和通过入射点的法线所决定的平面上，反射线和入射线分居在法线两侧，反射角等于入射角。 四、实验内容与步骤 1、熟悉分光仪的结构和调整方法。 2、连接仪器，调整系统。 仪器连接时，两喇叭口面应相互正对，它们各自的轴线应在一条直线上，指示 两喇叭的位置的指针分别指于工作平台的90刻度处，将支座放在工作平台上， 并利用平台上的定位销和刻线对正支座，拉起平台上的四个压紧螺钉旋转一个 角度后放下，即可压紧支座。 3、测量入射角和反射角 反射金属板放到支座上时，应使金属板平面与支座下面的小圆盘上的某一对刻 线一致。而把带支座的金属反射板放到小平台上时，应使圆盘上的这对与金属 板平面一致的刻线与小平台上相应90度的一对刻线一致。这是小平台上的0刻 度就与金属板的法线方向一致。 转动小平台，使固定臂指针指在某一角度处，这角度读书就是入射角， 五、实验结果及分析 记录实验测得数据，验证电磁波的反射定律 表格分析： （1）、从总体上看，入射角与反射角相差较小，可以近似认为相等，验证了电磁波的反射定律。 （2）、由于仪器产生的系统误差无法避免，并且在测量的时候产生的随机误差，所以入射角 第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+ 电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度 在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ?? ????++=??= div ； 散度在圆柱坐 标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。 二者的关系 n dS dC e A ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该点最 大环量密度的方向。 4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e 的表达 式 ； 7、直角坐标系下方向导数 u l ??的数学表达式是cos cos cos l αβγ????????ｕｕｕｕ＝＋＋ｘｙｚ ，梯度的表达式x y z G e e e grad x y z φφφφφ???=++=?=???； 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。 《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度和磁场满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。 二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量，，求 （1） （2） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1）试写出其时间表达式； （2）说明电磁波的传播方向； 四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。试求 （1）球内任一点的电场强度 （2）球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程； （2）求槽内的电位分布 《电磁场与电磁波》仿真实验 2016年11月 《电磁场与电磁波》仿真实验介绍 《电磁场与电磁波》课程属于电子信息工程专业基础课之一，仿真实验主要目的在于使学生更加深刻的理解电磁场理论的基本数学分析过程，通过仿真环节将课程中所学习到的理论加以应用。受目前实验室设备条件的限制，目前主要利用 MATLAB 仿真软件进行，通过仿真将理论分析与实际编程仿真相结合，以理论指导实践，提高学生的分析问题、解决问题等能力以及通过有目的的选择完成实验或示教项目，使学生进一步巩固理论基本知识，建立电磁场与电磁波理论完整的概念。 本课程仿真实验包含五个内容： 一、电磁场仿真软件——Matlab的使用入门 二、单电荷的场分布 三、点电荷电场线的图像 四、线电荷产生的电位 五、有限差分法处理电磁场问题 目录 一、电磁场仿真软件——Matlab的使用入门……………............................................... .4 二、单电荷的场分 布 (10) 三、点电荷电场线的图像 (12) 四、线电荷产生的电位 (14) 五、有限差分法处理电磁场问题 (17) 实验一电磁场仿真软件——Matlab的使用入门 一、实验目的 1. 掌握Matlab仿真的基本流程与步骤； 2. 掌握Matlab中帮助命令的使用。 二、实验原理 （一）MATLAB运算 1.算术运算 (1)．基本算术运算 MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、 ^(乘方)。 注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是 一种特例。 (2)．点运算 在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.\和.^。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。 例1：用简短命令计算并绘制在0≤x≦6范围内的sin(2x)、sinx2、sin2x。 程序：x=linspace(0,6) y1=sin(2*x),y2=sin(x.^2),y3=(sin(x)).^2; plot(x,y1,x, y2,x, y3) （二）几个绘图命令 1. doc命令：显示在线帮助主题 调用格式：doc 函数名 例如：doc plot，则调用在线帮助，显示plot函数的使用方法。 2. plot函数：用来绘制线形图形 plot(y),当y是实向量时，以该向量元素的下标为横坐标，元素值为纵坐标画出一条连续曲线，这实际上是绘制折线图。 plot(x,y),其中x和y为长度相同的向量，分别用于存储x坐标和y 坐标数据。 plot(x,y,s)(完整版)电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
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