合肥工业大学高数习题册上册答案

习题11- 函数

1．设函数2,0,

()2,0,x x x f x x +≤?=?>?

，求

（1）(1)f -，(0)f ，(1)f ；（2）

()(0)f x f x

?-?，()(0)

f x f x -?-?（0x ?>）．

【解】（1）2|2)1(,2|)2()0(,1|)2()1(101===+==+=-==-=x x x x f x f x f ；

（2）

()(0)f x f x ?-????????-=??

?????-=??.0,

1,0,220,2)2(,0,22x x x x x x x x x

x ()(0)f x f x

-?-?)0(12

)2(>?-=?-?-=x x x 。■

2．已知21

()1f x x x

=+()f x ．

【解】令x t 1=，则2111)(t t t f +

+=，故2

111)(x x x f ++=。■ 3．证明：()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数．【证】方法1（定义法）

∵对任意2121),,(,x x x x <+∞-∞∈，有

)sin 2()sin 2()()(112212x x x x x f x f +-+=-

sin 2cos

2)(2sin sin )(21221121212x

x x x x x x x x x -++-=-+-= 2)1(2)(22sin )1(2)(212121212x

x x x x x x x -?-?+->-?-?+-≥

012>-=x x ，其中用到)0(sin ,cos 1>≤≤-x x x x ，

∴()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数。方法2（导数法）

∵)(0cos 2)(+∞<<-∞>-='x x x f

∴),()(+∞-∞∈↑x f 。■

4．设()f x 在[,]a a -上是奇函数，证明：若()f x 在[0,]a 上递增，则()f x 在[,0]a -上也递增．

【证】∵对任意0,],0,[,2121><-∈a x x a x x ，有2121],,0[,x x a x x ->-∈--，

∴由()f x 在)0](,0[>a a 上单调增加可得：)()(21x f x f ->-。又∵()f x 在[,]a a -上是奇函数，即)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-， ∴)()(21x f x f ->-，即)()(21x f x f <，故()f x 在[,0]a -上也是单调增加。■

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习题21- 极限

1．

求下列极限：

(2)3(1)lim

(2)3n n

n n n ++→∞-+-+；【解】分之分母同除n 3，利用四则运算极限法则和幂极限可得

13)3

)(2(1

)32

(lim =+--+-=∞→n n n L 。■

222111

(2)lim(1)(1)(1)23n n

→∞--???-；【解】∵)1

1]()1(11[)411)(311)(211(22222n

n ------

Λ 22222222221)1(1)1(414313212n n n n -?----?-?-=Λ2

2222)

1)(1()1()2(453342231n

n n n n n +-?-?-?????=Λ n

n n n 21111111121+=+???=

Λ， ∴2

121lim =+=∞→n n L n

。■ 22(3)lim[(1)(1)(1)]n

n r r r →∞

+++L (1)r <；

【解】∵r

r r r r r r r n

-+++-=

+++1)

1()1)(1)(1()1()1)(1(22

22ΛΛ

r r r r r n n

--==-++-=+111)1()1)(1(1

2222ΛΛ，

∴r

r r

L n n n n -=

--=

--=++∞

→∞→11

1lim 111lim

2。■

(4)lim

x ；

【解】∵)1()

1)(1()1(x x x x x x x

x x x ++++-+=-+1111

1++=

++=

x x

， ∴21

11lim

=++=+∞

→x

L x 。■ 3

(5)lim(

)11

x x x →--++．【解】)1)(1()

2)(1(lim 1

2lim 1)1(3lim 21321321x x x x x x x x x x x L x x x +-+-+=+-+=++--=-→-→-→ 13

312lim

21==+--=-→x x x x 。■

2．求常数a 和b

，使得02

lim

1x x

→-=．

【解】∵0

1x →=，0lim 0=→x x ，

∴02)2(lim

=-=-+→b b ax x ，即4=b 。于是，())

24()

24)(24(lim

2lim

0000

++++-+=-+→→ax x ax ax x b ax x x 14

241lim )24(lim

00==++=++=→→a

ax a ax x ax x x ， ∴4==b a 。■

3．若1

11()1x x

e f x e

-，求0lim ()x f x -

→，0lim ()x f x +

→，0

lim ()x f x →．

【解】∵-∞=-→x x 1lim 0，+∞=+→x

x 1

lim 0，∴0lim 10=-→x x e ，+∞=+→x x e 1

0lim 。

从而，1lim 1lim 111lim

)(lim 10

00=-+=

-+=---

→→→→x

x x x x

x x x e

e x

f ，

111lim 11lim 1111lim 11lim 11lim )(lim 1

110

0-=-+=-+=-+=-+=+∞→+∞→+∞→+∞→=→→++t t t t t t t t t

t x

t x x x x e e e

e e e e e x

f ，故0

lim ()x f x →不存在。■

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习题22- 无穷小与无穷大

1．利用等价无穷小的代换求下列极限：

0tan(2)ln(1)

(1)lim

sin(3)arctan(2)

x x x x x →?+?；【解】3

232lim

=??=→x x x x L x 。■

(2)lim

sin x x

→

【解】)

cos 12()

cos 12)(cos 12(lim

20x x x x L x ++?+++-=→ 2

4122121lim cos 121lim cos 1lim 220020=?=++?-=→→→x x

x x x x x x 。■ 2

1cos(sin )

(3)lim

x x x →-．【解】2

1)sin lim (21sin 21lim 20220===→→x x x x

L x x 。■ 2

．设ln(12)

,0,(),10,x x x

f x x x +?>??=?-≤

确定正数a 的值，使得0

lim ()x f x →存在．

【解】∵a

x a x a x x a x a x f x x x 1

2lim lim

)(lim 000=

-++=--+=--

→→→， 22lim )21ln(lim

)(lim 000==+=+

→→→x

x x x f x x x ， ∴当

21=a

，即41

=a 时，0lim ()x f x →存在。■

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习题23- 极限存在准则

1．计算下列极限：

0tan sin (1)lim

x x x

x →-；【解】200020cos 1lim cos 1lim sin lim )cos 1cos 1sin (lim x

x x x x x x x x L x x x x -=-??=→→→→ 2

2111=??=。■

22sin(2)(2)lim 4

x x x →--；【解】4

41121lim 2)2sin(lim 22=?=+--=→→x x x L x x 。■ 2(3)lim()x

x x x →∞-；【解】22

222])211(lim [])211[(lim ---∞→--∞→=-+=-+=e x

x L x

x x

x 。■ 2

221(4)lim()1

x x x x →∞+-．【解】212

2222

)11(lim )

11(lim 1111lim e e e x x x x L x x x x x x ==-+=????

=-∞→∞→∞→。■ 2．设110,x

=1n x +=(1,2,3,)n =???，试证数列{}n x 的极限存在，并求此数列极

限．

【证】（1）证明极限的存在性

·单调性：

∵46,10121=+==x x x ，∴010412<-=-x x 。 ∵11

116666----+-<+++-=

+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ，

∴由数学归纳法可知：01<-+n n x x ，即),2,1(1Λ=<+n x x n n ，故{}n x 为单调减少数列。 ·有界性：只需证明有下界。

显然，0>n x 。或者由数学归纳法

∵,3101>=x 34612>=+=x x ，310623>=+=x x ，

396106634=+>+=+=x x ，

33661=+>+=-n n x x ，

∴{}n x 有下界。

于是，由单调有界收敛准则知：存在极限n n x ∞

→lim 。

（2）求极限：设a x n n =∞

→lim ，则由16-+=n n x x 求极限可得a a +=6，即

0)3)(2(62=-+=--a a a a ，

解得：3,2-=a 。注意到0>n x ，故3=a 。■

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习题24- 连续函数及其性质

1．求函数11()1x x

f x e

-的间断点，并说明其类型．

【解】显然，当1,0=x 时，函数无定义，故1,0=x 均为间断点。

∵011)1(lim 0*

*1lim

0=-=-=---→→e e e x

x x

x x x ，

∴∞=→)(lim 0

x f x ，即0=x 为第二类间断点，且为无穷间断点。

∵-∞=-=-=-∞+--→-→-

e e

e x

x x x 11)1(lim 1lim

111，

10111)1(lim 1lim

1=-=-=-=-∞---→+→+e e

x x x ，

∴1)(lim ,0)(lim 11==+

→→x f x f x x ，即1=x 为第一类间断点，且为跳跃间断点。■

注：*极限四则运算法则，**x e 的连续性。

2．设221()lim

n x f x x x →∞-=+，试求函数()f x 的表达式，若有间断点，并说明其类型．【解】∵??

??>∞+=<=∞

→,1||,,1||,1,1||,0lim 2x x x x n n ∴??

??>-=<=+-∞

→,

1||,1,1||,0,

1||,111lim 22x x x x x n

n 即?????>-=<=。1||,,1||,0,1||,)(x x x x x x f

由图形易知：1±=x 为第一类间断点，且为跳跃间断点。■

3．设21cos ,0,

(),0,

x x f x x a x x ?

>?=?

?+≤? 要使()f x 在(),-∞+∞内连续，确定常数a ．【解】显然，函数在),0(),0,(+∞-∞内为初等函数，故连续。

只需讨论分界点0=x 处函数的连续性。 ∵a x a x f x x =+=-

→→)(lim )(lim 200，

cos lim )(lim 00==-+→→x

x x f x x （无穷小与有界函数积）， ∴当0=a 时，()f x 在(),-∞+∞内连续。■

．讨论sin ,0,()1,0,0x

x x f x x x ?

==?>的连续性．【解】显然，只需讨论分界点0=x 处函数的连续性。

∵1sin lim

)(lim 00==--

→→x

x f x x ，

lim )11(2lim )(lim 00

=-+=-+=++

+→→→x x x x f x x x ， ∴)0(1)(lim 0

f x f x ==→，即()f x 在(),-∞+∞内连续。■

5．求下列极限：

0ln(1)

(1)lim

x x x

α→+(α为常数）；【解】方法1 由等价无穷小可得：αα==→x

L x 0

lim

。

方法2 由重要极限与连续性可得：

αααα==+=+=→→e x x L x

x x

x ln )1(lim ln )1ln(lim 10

。■

sin sin (2)lim

x a x a

x a

→--；【解】由三角函数公式、重要极限与连续性可得：

a a

x a

x a x a x a x a x L a x a x a

x cos 2

2sin lim 2cos lim 2sin 2cos

2lim

=--+=--+=→→→。■

0(3)lim x x

x e e x

αβ→-(,αβ为常数）．【解】显然，当βα=时，0=L 。

当βα≠时，x

e x e x e x e L x x x x x x x 1

lim 1lim )11(lim 000---=---=→→→βαβα βαβα-=-=→→x

x x 0

lim

。■

6．设函数()f x 在[]0,2π上连续，且(0)(2)f f π=，证明在[]0,π上至少存在一点ξ，使得()()f f ξξπ=+．

【解】作辅助函数)()()(π+-=x f x f x F ，则

∵()f x 在[]0,2π上连续，且(0)(2)f f π=， ∴],0[)(πC x F ∈。

∵)()0()0(πf f F -=，)0()()2()()(f f f f F -=-=ππππ)0(F -=， ∴①当)()0(πf f =时，可取πξ,0=，满足0)(=ξF ；

②当)()0(πf f ≠时，0)()0(<πF F ，由零点定理可知：存在),0(πξ∈，使得0)(=ξF ，即

()()f f ξξπ=+。

综合可得：存在],0[πξ∈，使得0)(=ξF ，即()()f f ξξπ=+。■

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习题31- 导数的概念

1．求曲线1y x x =-在点13

,22??

- ???

处的切线方程与法线方程．【解】∵21

y +

='，∴5|5.0='=x y 。从而，所求切线方程为)21

(523-=+x y ，

法线方程为)21

(5123--=+x y 。■

2．若函数()f x 可导，求lim [()()]n a b

n f x f x n n

→∞+-- (,0)a b ≠．【解】n

n b x f x f x f n a x f L n 1

)]

()([)]()([lim

--+-+=∞→ n

n b x f x f b n a x f n a x f a n n )

()(lim

)()(lim --+-+=∞→∞→ )()()()(x f b a x f b x f a '+='+'=。■

3．讨论函数()sin f x x =在点0x =处的连续性与可导性．【解】（1）连续性：

∵)0(0|0||sin lim ||sin |lim )(lim 0

f x x x f x x x =====→→→，

∴()sin f x x =在点0x =处的连续性。（2）可导性： ∵10

sin lim )0()(lim

00-=--=--

-→→x

x x f x f x x ， 10sin lim )0()(lim 00=-=-++→→x

x x f x f x x ， ∴()sin f x x =在点0x =处不可导。

注：也可从可导性入手。左右可导函数必连续，但未必可导。■

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习题32- 求导的运算法则

1．求下列函数的导数：

2(1)ln 2lg 3log y x x x =-+；

【解】2

ln 3

10ln 11

x x x y +-

='。■ (2)2(sin cos )x y x x x =+；

【解】)sin cos (sin 2)cos sin (2ln 2x x x x x x x y x x -+++='

]cos )cos sin (2[ln 2x x x x x x ++=。■

(3)1

x y x -=

+；【解】2

222)1(21)1(2)1(1+--=+--+='x x x x x x x y 。■

sec (4)1tan x

y x

+；

【解】∵x

x y cos sin 1

，∴2)cos (sin sin cos x x x x y +--='。■

(5)ln

y = 【解】∵)]ln()[ln(2

1x a x a y +--=，

∴2

)11(

21a x a

x a x a y -=+---='。■ 2

1sin (6)x

y e

=；

【解】由复合函数求导法则可得：

e x

x x x x e

y 1

sin 221

sin 22

2sin 1)1(1cos 1sin 2-=-???='。■

2(7)ln(2

a y x =+；

【解】由四则运算求导法则与复合函数求导法则可得：

)2211(12)221(2122222222

2x a

x a x x a x a x x a x y ?-+-+?-?-?+-=' 22a x -=。■

(8)y =．

【解】由复合函数求导法则与四则运算求导法则可得：

2222222

2)(2211

x a a x a x

x x a a x

a a x

y -+----+?

???

? ??-++=

a x a a x x a a y 21)()(1

2222

222=

+-?+-+=

'。注意：也可先分母有理化，再求导。■

2．设()f x 可导，求函数)(2

x f x y =的导数。

【解】)

()

()(22

2x f x f x x f x y '-='。■ 3．设()f x 满足1

3()2()f x f x x

+=，求()f x '．【解】∵13()2()f x f x x

+=，……①

∴换x 为x 1可得：x x f x

f 3)(2)1(=+。……②

由①②解得：x x f 12)(+=。于是，2

)(x x f -='。■ 4．已知2sin()y x =，求

dy dy dy

dx dx dx ．【解】2cos 2x x dx dy =，2

2cos x dx

dy =，222233cos 23cos 2x x x dx x dx x x dx dy ==。■

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习题33- 高阶导数

1．设lnsec y x =，求y '''．【解】∵x x x x

y tan tan sec sec 1

=?=

'，x y 2sec =''， ∴y '''x x tan sec 22=。■

．设()f x g =，其中g 是二阶可导函数，试求()f x ''．【解】∵g x

x f '=

'21)(，∴g x

g x

x f ''+

=''41

41)(3。■ 3．设1y

y xe =+，求22

x d y

=．

【解】隐函数求导法。

对x 求导，视y 为x 的函数：y xe e y y y '+='，……①

再对x 求导，视y ，y '均为x 的函数：)(2y xe y xe y e y e y y y y y ''+'+'+'=''……② ∵在原方程中代入0=x 可得：1)0(=y ，由①可得：e y =')0(，再由②可得：

22)0(e y =''。■

4．求下列函数的n 阶导数()n y ：

(1)ax y e = (α为常数）；

【解】∵Λ,,2x x e y e y αααα=''='，∴x n n e y αα=)(。■ 2

(2)32

y x x =

-+；

【解】∵1121)2)(1(1---=--=x x x x y ，而1

)

()

)1(1+--=?

??-n n

n a x n a x ， ∴??

????----=??

??--??

? ??-=++11)

()

()1(1

)2(1!)1(1121n n n n n n x x n x x y 。■ 2(3)sin y x =．

【解】∵x x x y 2sin cos sin 2=='，)2

2sin(22cos 2π

+==''x x y ，

22sin(2)22cos(222π

π?+=+

='''x x y ，……，

∴]2

)1(2sin[21)

(π

-+=-n x y n n 。■

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习题34- 隐函数与参变量函数的求导方法

1．求下列函数的导数

dy dx

： (1)x y xy e += ；

【解】对x 求导，视y 为x 的函数：)1(y e y x y y x '+='++，解得：

)

1()

1(*y x x y e x y e y y

x y x --=--='++。注：*利用原方程可以变形。■ (2)y x x y =．

【解】取对数得：y x x y ln ln =，再对x 求导，视y 为x 的函数：y y

y x y x y '+=+

'ln ln ，解得：2

ln ln x

x xy y y xy y --='。■ 2．证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积都等于22a ．

【证】设切点为),(00y x ，则

∵22x a y -='，∴20

0)(x a x y -='。

所求切线方程为)(020

0x x x a y y --=-，即

1/22020=+x a y x x 。于是，切线在两坐标轴上得截距分别为：02

02,2x a B x A ==。

从而，所求三角形面积为20

02|2||2|21||21a x a x AB S ===?。■

3．设(),()(),x f t y tf t f t '=??'=-?

其中()f t 二阶可导，求22d y

dx ．

【解】参量函数求导法。 ∵

t f f f t f x y dx dy t t ='

''-''+'=''=， ∴f f dt

d t dt d

dt dx y dt d y dx d dx y d ''=

'='='=1

)()

()()(22

。■ 4

．设ln tan ,

x y arc t ??=?=??求22d y dx ．

【解】∵2

2121121t t

t t x t +=?+?

='，211t y t

+='， ∴t x y dx dy t t 1=''=，322

222111)1()(t

t t dt dx t dt d dx dy dx d dx y d +-=+-===。■

5．求曲线(1)0,

10y x t t te y +-=??++=?

在对应于0t =的点处的切线方程．

【解】当0t =时，1,0-==y x 。

∵)1(-=t t x ，∴,12-='t x t

由01=++y te y

对t 求导，视)(t y y =：0='+'+t t y

y y te e ，解得y

t te

e y +-='1。于是，1

1,0,000|1

211||--======-?+-=''=e t te e x y dx dy y x t y

y t t t t ，故所求切线方程为

11-=-x e y 。■

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习题41- 微分中值定理

1．证明：arctan arccot 2

x x π

．

【证】设x x x f cot arc arctan )(+=（+∞<<∞-x ），则

∵)(0)11

(11)(2

2+∞<<-∞≡+-++=

'x x

x x f ，从而，C x f ≡)(。取点1=x 可得C f ==

+=24

1cot arc 1arctan )1(π

，故在),(+∞-∞内

arctan arccot 2

x x π

。■

2．设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导．证明：至少存在一点(),a b ξ∈，

使得

()()

()()bf b af a f f b a

ξξξ-'=+-．

【证】作辅助函数)()(x xf x F =，则

∵()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，

∴)(x F 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导,且)()()(x f x x f x F '+='。于是，由拉格朗日中值定理可得：至少存在一点(),a b ξ∈，使得

)()

()(ξF a

b a F b F '=--，

即

()()

()()bf b af a f f b a

ξξξ-'=+-。■

3．若()f x 在[],a b 上二阶可导，且123()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<，证明：在(,)a b 内至少存在一点c ，使得()0f c ''=．【证】∵()f x 在[],a b 上二阶可导，且123()()()f x f x f x ==，

∴对)(x f 分别在],[],,[3221x x x x 上应用罗尔定理可得：分别存在),(211x x c ∈，

),(322x x c ∈，使得有：0)()(21='='c f c f 。

再对)(x f '在],[21c c 上应用罗尔定理可得：存在),(),(21b a c c c ?∈，使得有：

()0f c ''=。■

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习题42- 洛必达法则

1．求下列极限：

sin (1)lim

x x x

→-；【解】6

6sin lim 3cos 1lim )(02000==-=→-→-x x x x L x rule L x rule

L 。■ （2）)tan 11(lim 20x

x x x -→；【解】∞-∞型不定式。

1tan lim 3131sec lim )(tan lim tan tan lim 2202200030~tan 020==-=-=-=→→'→→→x x x x x x x x x x x L x x L x x x x 通分

。■ （3）bx ax

x cos ln cos ln lim

0+→ (0,0)a b >>；

【解】∞

∞

型不定式。

法1（等价无穷小）

原式=22

220

00)(2

1)(21

lim 1cos 1cos lim )]1(cos 1ln[)]1(cos 1ln[lim b a

bx ax bx ax bx ax x x x =--=--=-+-++++→→→。

法2（洛必达法则）

原式2

0tan tan lim b a bx ax b a x 等价无穷小==+→.■

（4）)(lim 11x

x x b a x -∞

→ (0,0)a b >>；【解】∞?0型不定式。

原式1

ln ln lim )(lim

00001b

b a a t b a t t t rule L t t t x

t -=-=→-→=b

b a continuity

ln ln =-=。■

合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题

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合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题

合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x = ??x x x x f d cos )(则 . 3. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 4. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 5. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 6. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 7. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 8. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 9. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 并讨论' ()g x 在=0x 处的连续性. 10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1 (1)9y 的解. 四、解答题（本大题10分）

合肥工业大学2012-2013《高等数学》A(1)试卷B(答案)

2012～2013 学年第一学期课程代码课程名称高等数学A(1) 学分课程性质:必修;、选修、限修考试形式:开卷、闭卷;专业班级（教学班）考试日期 2012.11.20 命题教师高等数学课程组系（所或教研室）主任审批签名刘植

2012～2013 学年第一学期课程代码课程名称高等数学A(1) 学分课程性质:必修;、选修、限修考试形式:开卷、闭卷; 专业班级（教学班）考试日期 2012.11.20 命题教师高等数学课程组系（所或教研室）主任审批签名刘植五、（12分）设()f x 在上具有二阶导数，且，， [,]a b ()()0f a f b ==()()0f a f b + ?′′>证明：（1）存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=；（2）存在(,)a b η∈，使()0f η′′=. 证明：（1）不妨设：，，即 ()0f a +′>()0f b ?′> 1()()() ()lim lim 0,x a x a f x f a f x f a x a x a x a + ++→→?′==>??>??使 1()0f x > 2()()()()lim lim 0,x b x b f x f b f x f b x b x b x b ? ? ?→→?′==>??

合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222 216x y z ++=在点 0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________． 2、设曲线L 的方程为2 21x y +=，则 2 [() ]L x y y ds +-=? ． 3、设 ()2 1, 0,1,0, x f x x x ππ--<≤?=?+<≤? 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为． 5、设2 3 (,,)2f x y z x y z =++，则 (1,1,1)grad f =u u u u u r ．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设2 2 2z x y ze ++=,则11 x y dz ===( ) 2 、二次积分 2 (,)dx f x y dy ? 化为极坐标下累次积分为（） 3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线 1121 410214 x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（） )(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交 5、设曲面∑的方程为2 22,x y z z ++=， 1∑为∑ 在第一卦限的部分，则下列结论不正．．确．的是（）．（A ） 0xdS ∑ =?? （B ） 0zdS ∑ =?? （C ） 1 224z dS z dS ∑ ∑=???? （D ）2 2 x dS y dS ∑ ∑ =???? 三、（本题满分10分）设 (,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????．四、（本题满分12分）求 22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ： 2 2 14 y x +≤上的最大值和最小值. 五、（本题满分10分）计算二重积分： 2D I y x d σ=-??，其中 :11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分 22(5())()x x L y ye f x dx e f x dy ---+?与路径无关,且 6 (0)5 f = .求()f x ,并计算 (2,3) 22(1,0) (5())(x x I y ye f x dx e f x --=-+? . 七、（本题满分12分）计算积分 223222 ()(xz dydz x y z dzdx I x y z ∑ +-+=++??

合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 2. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 3. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 4. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 5. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 6. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 7. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 8. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 9. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 10. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 11. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

合工大高等数学A(上)习题册.

习题1 函数的概念具有某种特性的函数 1? 初等函数两个常用不等式 1.设函数2,0(2,0, x x x f x x ,+≤?=?>?,求(1(1f ?,(0f ,(1f ; (2((0f x f x Δ?Δ,((0 f x f x ?Δ?Δ(0x Δ>. 2.已知1 (f x x =(f x . 3.证明:(2sin f x x =+x 在(,?∞+∞内是严格递增函数. 4.设(f x 在[,上是奇函数,证明:若]a a ?(f x 在[0上递增,则,]a (f x 在[,上也递增. 0a ?] 5.利用均值不等式证明:1 11 (1(11n n n n ++<++(1,2,n = . 6.求证:1 (13n n +<(1,2,n = . 习题数列的极限函数的极限极限的性质

21?1. 求下列极限:1(23(1lim (23n n n n n ++→∞?+?+1; 221 11(2lim(1(1(123n n →∞??????2; 22(3lim[(1(1(1]n n r r r →∞+++ (1r <; (4lim x ; 313 1 (5lim(11x x x →??++. 2.求常数a和b ,使得 2 lim1 x x →

?=. 3.若1 1 1 ( 1 x x e f x e + = ? ,求lim( x

f x ? → , lim( x f x + → , lim( x f x → . 习题无穷小、无穷大 22?1.利用等价无穷小的代换求下列极限:0tan(2ln(1(1lim sin(3arctan(2x x x x x →?+?; 20(2lim sin x x →?;

合肥工业大学第一学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0 lim(13) x x x →+= ． 2、设2 arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2 x e -，则()________xf x dx '=? ． 4、曲线x e y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ =从0=θ至2 π θ= 的一段弧长=l ____________．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，3 1x +与3(1)x +为（） (A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小 2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（） (A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x - 3、设()f x 在0x =处连续，且0() lim 11cos x f x x →=-，则在点0x =处（）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值 4、下列广义积分发散的是（） (A) 1 +∞ ? 111sin dx x -? (C) 221ln dx x x +∞? (D) 2 x xe dx +∞--∞? 5、曲线2 2 11x x e y e --+= -（） (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分） 1、22 211 1lim ( )2n n n n n n ππ π →∞ ++++++． 2、)cos 1)(1(1 cos sin 3lim 20x e x x x x x +---→． 3、求sin (0)x y x x =>的导数()y x '． 4、已知()2 ln 1,arctan , x t y t ?=+??=??求 22d d ,d d y y x x ． 5、2arctan x dx x ?．６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥?? =??? 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2 x e y =，切线2 e y x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V . 六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11 ln ≥+ x x . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．

合肥工业大学高数习题册上册答案

习题11- 函数 1．设函数2,0, ()2,0,x x x f x x +≤?=?>? ，求（1）(1)f -，(0)f ，(1)f ；（2） ()(0)f x f x ?-?，()(0) f x f x -?-?（0x ?>）．【解】（1）2|2)1(,2|)2()0(,1|)2()1(101===+==+=-==-=x x x x f x f x f ；（2） ()(0)f x f x ?-????????-=?? ?????-=??.0, 1,0,220,2)2(,0,22x x x x x x x x x x ()(0)f x f x -?-?)0(12 )2(>?-=?-?-=x x x 。■ 2．已知21 ()1f x x x =+()f x ．【解】令x t 1=，则2111)(t t t f + +=，故2 111)(x x x f ++=。■ 3．证明：()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数．【证】方法1（定义法） ∵对任意2121),,(,x x x x <+∞-∞∈，有 )sin 2()sin 2()()(112212x x x x x f x f +-+=- 2 sin 2cos 2)(2sin sin )(21221121212x x x x x x x x x x -++-=-+-= 2)1(2)(22sin )1(2)(212121212x x x x x x x x -?-?+->-?-?+-≥ 012>-=x x ，其中用到)0(sin ,cos 1>≤≤-x x x x ， ∴()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数。方法2（导数法） ∵)(0cos 2)(+∞<<-∞>-='x x x f

合肥工业大学新编第二学期高等数学试卷A试题

合肥工业大学新编第二学期高等数学试卷A试题 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

合肥工业大学2014-2015第一学期《高等数学》试卷A .答案

一、填空题１．6 e ；２. 4 22 12)arctan(x x x ++ ；３. 22 22x x x e e C ----+；４. ex y =；５ . 1)e π -．二、选择题１. C ；２. B ；３. B ；４. B ；５. D ．三、解：１．利用夹逼准则, 22222 221 11ππ2πππ n n n n n n n n n n ?? <+++< ?+++++?? 再由22π 1 lim lim 1 1πn n n n n n →∞→∞==++，222π1lim lim 11πn n n n n →∞→∞==++ 22 2111 lim ( )12n n n n n n ππ π →∞+++ =+++ ２．原式23-0)(-3211 cos x -3sinx lim 2120x =+=-=→x x ；３．两边取对数 , 化为隐式ln sin ln y x x =?，两边对 x 求导， 1sin cos ln x y x x y x '=?+ sin sin (cos ln )x x y x x x x '∴ =?+ ；４． 22 23d 1d 1, d 2d 4y y t x t x t +==-；５．解： 22arctan 1111 arctan ()arctan 1x dx xd x dx x x x x x =-=-+?+??? 22 1111arctan ()arctan ln ln(1)12x x dx x x x C x x x x =-+-=-+-+++?６． 2 1012 1101 (1)()(1)1f x dx f x dx dx ln x dx x ---==+++? ??? 2ln 214 π = +-．

合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷A试题

合肥工业大学2016-2017年第二学期高等数学A卷答案

一、填空题（每题3分，共15分） 1. 1 ． 2. 19 5 ． 3. 8． 4. 4π 5. 2 二、选择题（每题3分，共15分） 1. D ． 2． C ． 3. B ． 4. A ． 5. A ．三、（本题满分10分）解：在方程两边关于x 求偏导数得1z z z e x x ??- =??， (1) 当(,)(1,0)x y =时，0z =，代入上式，得 (1,0)1 2 z x ?=?．类似可得 (1,0)12z y ?=?．在(1)式两边关于y 求偏导数得22 z z z z z z e e x y x y x y ????-=?+??????，代入1,0,0x y z ===，(1,0)12 z x ?=?及(1,0)1 2 z y ?=?，解得 (1,02)18z x y ?=-??．或者：计算得1 1z z z x y e ??==??+，23(1)z z z e x y e ?-=??+，同理可得(1,02)18z x y ?=-??．四、（本题满分12分）解：令2 (,)260, (,)3120,x y f x y x f x y y '=-+=???'=-=??得驻点(3,2),(3,2)-．又 (,)2,(,)0,(,)6xx xy yy f x y f x y f x y y ''''''=-==．在驻点(3,2)处，(3,2)2,(3,2)0,(3,2)12xx xy yy A f B f C f ''''''==-====， 2240AC B -=-<，故(3,2)不是极值点；在驻点(3,2)-处，(3,2)2,(3,2)0,(3,2)12xx xy yy A f B f C f ''''''=-=-=-==-=-， 2240AC B -=>，且0A <，故(3,2)-是极大值点，且极大值为(3,2)18.f -=-

合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：2 2 2 216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________． 2、设曲线L 的方程为2 2 1x y +=，则 2[()]L x y y ds +-=? ． 3、设()2 1, 0,1,0, x f x x x ππ--<≤?=?+<≤? 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为． 5、设2 3 (,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f =u u u u u r ．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设2 2 2z x y ze ++=,则11 x y dz ===( ) )(A 2(dx dy)-+ ) (B 22 (z 1)e (z 1)e z z dx dy --+++ )(C 22dx dy + )(D 22dx dy -+ 2 、二次积分 2 (,)dx f x y dy ? 化为极坐标下累次积分为（） dr r F d D dr r F d C dr r F d B dr r F d A ),(2)(),()(),()(),()(cos 20 2 cos 20 22 cos 20cos 200 θθθθθθθθθπ θππθππ θπ? ? ?? ? ? ? ?- - 3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线 1121 410214 x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（） )(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交 5、设曲面∑的方程为2 2 2 ,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（）．（A ）0xdS ∑ =?? （B ）0zdS ∑ =?? （C ）1 2 24z dS z dS ∑ ∑=???? （D ）22x dS y dS ∑∑ =???? 三、（本题满分10分）设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????．四、（本题满分12分）求2 2 (,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2 2 14 y x +≤上的最大值和最小值. 五、（本题满分10分）计算二重积分：2 D I y x d σ= -??，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())()x x L y ye f x dx e f x dy ---+? 与路径无关,且6 (0)5 f = .求()f x ,并计算(2,3) 22(1,0) (5())()x x I y ye f x dx e f x dy --=-+? . 七、（本题满分12分）计算积分2232222 ()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy I x y z ∑ +-++=++??，其中∑是上半球面z = ，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞ =---12112)1(n n n x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞ =---11 12)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim 1n n n u →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞ +=+-+∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

合肥工业大学第一学期高等数学试卷A试题

合肥工业大学第一学期高等数学试卷A试题 This manuscript was revised on November 28, 2020

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0 lim(13) x x x →+= ． 2、设2arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2 x e -，则()________xf x dx '=?． 4、曲线x e y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ=从0=θ至2 π θ= 的一段弧长=l ____________．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，31x +与3(1)x +为（） (A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小 2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（） (A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x - 3、设()f x 在0x =处连续，且0() lim 11cos x f x x →=-，则在点0x =处（）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值 4、下列广义积分发散的是（） (A) 1+∞?111sin dx x -? (C) 221ln dx x x +∞? (D) 2 x xe dx +∞--∞? 5、曲线2 2 11x x e y e --+= -（） (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分） 1、22211 1lim ( )2n n n n n n ππ π →∞ ++++++． 2、)cos 1)(1(1 cos sin 3lim 20x e x x x x x +---→． 3、求sin (0)x y x x =>的导数()y x '． 4、已知()2 ln 1,arctan , x t y t ?=+??=??求22d d ,d d y y x x ． 5、2 arctan x dx x ?．６、设2 ln(1)0 ()101x x f x x x +≥?? =??? 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2 x e y =，切线2 e y x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V . 六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11 ln ≥+ x x . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．

合肥工业大学新编第二学期高等数学试卷A试题

合肥工业大学新编第二学期高等数学试卷A试题 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

合肥工业大学第一学期高等数学试卷A试题

合肥工业大学第一学期高等数学试卷A试题标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0 lim(13) x x x →+= ． 2、设2arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2 x e -，则()________xf x dx '=?． 4、曲线x e y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ=从0=θ至2 π θ= 的一段弧长=l ____________．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，31x +与3(1)x +为（） (A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小 2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（） (A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x - 3、设()f x 在0x =处连续，且0() lim 11cos x f x x →=-，则在点0x =处（）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值 4、下列广义积分发散的是（） (A) 1+∞?111sin dx x -? (C) 221ln dx x x +∞? (D) 2 x xe dx +∞--∞? 5、曲线2 2 11x x e y e --+= -（） (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分） 1、22211 1lim ( )2n n n n n n ππ π →∞ ++++++． 2、)cos 1)(1(1 cos sin 3lim 20x e x x x x x +---→． 3、求sin (0)x y x x =>的导数()y x '． 4、已知()2 ln 1,arctan , x t y t ?=+??=??求22d d ,d d y y x x ． 5、2 arctan x dx x ?．６、设2 ln(1)0 ()101x x f x x x +≥?? =??? 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2 x e y =，切线2 e y x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V . 六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11 ln ≥+ x x . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．