高思数学_3年级下第四讲和差倍问题中的隐藏条件
高斯小学奥数含答案三年级(下)第01讲和差倍中的隐藏条件
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例题 2
小高家有两根绳子，长的那根有 结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的
163 米，短的只有 97 米．他把两根绳子剪去同样多的长度， 7 倍还多 6 米．那么两根绳子都剪去了几米？
分析 : 两条绳子同时剪短，那它们的长度和就不是不变量了．这一次，不变量又会是谁呢？
练习 2
两只老鼠“叽叽”和“喳喳”在吃面条， “叽叽”吃的面条比较长，有 40 厘米；“喳喳”吃的 比较短，只有 25 厘米．它们吃面条的速度相同， 过了一段时间后， 长面条的长度是短面条的 2 倍．那 么此时短面条还剩多少厘米？
9
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例题 3
阿呆和阿瓜一共有 130 元钱．每包瓜子 5 元钱，阿呆买了两包瓜子两人分着吃，吃完后阿瓜
把自己的钱两人平分，这时阿呆的钱是阿瓜的
5 倍．那么后来阿呆有多少钱？
---------------------------------------------------------------------------前面 2 道例题都是通过寻找不变量来进行解决的，不变量主要有两种情形：
不变”，在寻找不变量时，有两句小口诀可以记下：
给来给去和不变，同增同减差不变
．
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9
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和差倍1
一、 和倍与和差1、 和倍问题就是条件中给出了和的关系和倍数关系，求具体每个数量大小的问题．2、 和倍问题解决方法：（1） 根据题目意思，想好最基本的“1”份取多少．一般选取较少的数量画成一段，再按照题目条件中所给的数量关系画出其他量的长度．（比如：甲是乙的3倍，就应该把乙取为“1”份）（2） 画线段图，找“总量”与“1”段之间的关系，设法求出“1”段代表的数量．严格按照题目的意思来画图，多思考如何把题目的条件在图中表现出来．（3） 当一个量不是另一个量的整数倍，而是“几倍多几”或“几倍少几”时，可以把多的去掉，或者把少的补上，把问题变成整数倍来解决．3、 和差问题：（1）较小的数=（和—差）÷2；（2）较大的数=（和+差）÷2．本讲我们将学习一类新的应用题——和差倍问题．所谓“和差倍问题”，就是指题目条件中给出的是数量之间的和、差或者倍数的大小，通过和、差、倍其中的几个条件来求出具体每个数量的大小．一、 和倍问题1、纺织厂有职工480人，其中女职工人数是男职工人数的3倍．请问：男、女职工各几人？第1讲（上） 和倍与和差知识点课堂例题知识精讲2、刘备、张飞和关羽一共有60匹马，刘备的马是张飞的2倍，关羽的马是张飞的3倍，那么张飞有多少匹马？二、几倍多几、几倍少几3、交通协管员一个月一共开出78张罚单．这些罚单有两种：一种是违章停车，一种则是闯红灯．违章停车的罚单比较多，比闯红灯罚单数量的4倍还多3张．违章停车的罚单共有多少张？4、诸葛亮有鸡毛扇和鹅毛扇共34把，鸡毛扇比鹅毛扇的3倍少6把，那么有多少把鹅毛扇？5、果园里梨树和苹果树共有67棵，梨树比苹果树的2倍少2棵，苹果树有多少颗？三、和差问题6、小高和墨莫一共有40元，其中小高比墨莫少14元，那么墨莫有多少元？7、果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，桃树和梨树各有____________棵．8、阿呆和阿瓜共有56根玉米．如果阿呆给阿瓜5根，则阿呆比阿瓜少2根．请问：原来阿呆和阿瓜各有多少根？9、登月行动地面控制室的成员由两组专家组成，两组共有专家125名．原来第一组人太多，所以从第一组调了20人到第二组，即使这样第一组仍比第二组多5名．原来第一组有多少名专家？1、某小学有学生共1500名，其中男生人数是女生的2倍．请问：男、女生各有多少人？2、卡莉娅和小山羊一共有92颗糖，卡莉娅的糖果数量比小山羊的3倍多4颗．请问：卡利娅有多少颗糖？随堂练习3、文具店里有圆珠笔和钢笔共76支，圆珠笔比钢笔的3倍少4支，圆珠笔有____________支．4、小高爸爸的年龄比妈妈的年龄大3岁，爸爸妈妈的年龄共63岁，那么小高妈妈的年龄是__________岁．5、王东和王西共有52个包子．如果王东给王西5个，则王东还比王西多2个．请问原来王东有多少个包子？1、包子铺里有肉包子和菜包子共90个，其中肉包子数量是菜包子的2倍，肉包子有__________个．2、某市去年一年365天内不下雨的天数比下雨的天数的3倍多5天，那么去年一年中该市有_______天下雨．课后作业3、公园里有松树和柏树共98棵，其中松树比柏树的3倍少2棵，柏树有__________棵．4、一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？5、体育室里篮球和足球共46个，并且篮球比足球多6个，那么足球有__________个．6、小高、墨莫和卡莉娅共有30块糖，小高的糖是卡莉娅的2倍，墨莫的糖也是卡莉娅的2倍，请问卡莉娅有__________块糖．二、 多个对象和差倍1.有些问题往往不只有两个量，可能涉及到三个或者更多的量.在解决多个量之间的和差倍问题时，解答此类问题的最基本方法是线段图法．以最小的量作为“1”段来画线段图，与两个对象的和差倍类似，设法求出“1”段所代表的数量．2.“几倍多几”或者“几倍少几”时，可以把多的去掉，少的补上，把问题变成整倍数来解决．之前所学的都是两个量之间的和差倍问题，但有些问题往往不只有两个量，可能涉及到三个或者更多的量．在解决多个量之间的和差倍问题时，不要忘记解答此类问题的基本方法——线段图法．四、 基础例题1、孙悟空、猪八戒、沙僧三人去天上比赛摘蟠桃，孙悟空摘的蟠桃数量是沙僧的2倍，猪八戒摘的是沙僧的3倍，他们一共摘了300个蟠桃．请问：他们三人各摘了多少个蟠桃？第1讲（下） 多个对象和差倍知识点课堂例题知识精讲2、孙悟空、猪八戒、沙僧三人在地面上比赛抓妖怪，猪八戒抓的妖怪是沙僧的3倍，孙悟空抓的妖怪是猪八戒的2倍，他们一共抓了300个妖怪．请问：他们三人分别抓了多少个妖怪？五、几倍多几3、孙悟空、猪八戒、沙僧三人去海里比赛抓捕鱼，沙僧捕的数量比猪八戒的2倍多3条，猪八戒捕的是孙悟空的2倍，且三人一共捕了59条．请问：猪八戒捕了多少条鱼？4、孙悟空、猪八戒、沙僧决定休息一会吃些包子，猪八戒吃的包子是孙悟空的2倍，孙悟空吃的包子比沙僧的2倍多6个，他们一共吃了102个包子．请问：猪八戒吃了多少个包子？5、三国时期，魏国的大军人数比吴国的2倍多10万，吴国的大军人数比蜀国的多3万，三国共有179万大军，请问：魏、吴、蜀三国军队分别有多少万人?6、曹操、刘备、孙权都喜欢养马，曹操的马比刘备的3倍多1匹，孙权的马比曹操的2倍多1匹，他们三人共有184匹马．请问：孙权有多少匹马？六、几倍少几7、孙悟空、猪八戒、沙僧三人决定进行最后一场“吹气球比赛”决胜负，1分钟内吹破气球个数最多的人获胜．最后他们共吹破了110个气球，其中孙悟空吹破的气球比沙僧的3倍多4个，猪八戒吹破的气球比孙悟空的2倍少2个．请问：最后获胜者吹破了多少个气球？8、高思农场里一共养了635只鸡、鸭、鹅，鸡比鸭的2倍少4只，鸭比鹅的2倍多3只．请问：农场里鸡、鸭、鹅分别有多少只？9、阿呆的糖是墨莫的3倍，墨莫的糖比小高的2倍少2块，三人一共55块糖．那么他们分别有几块糖？1、小高、墨莫和萱萱比赛跳绳．小高跳的个数是墨莫的4倍，萱萱跳的个数是墨莫的2倍，三人一共跳了280个．请问：墨莫跳了多少个？2、三个火枪手共有子弹180发，其中小火枪手的子弹数目是中火枪手的2倍，中火枪手的子弹数目是大火枪手的3倍．请问：小火枪手比大火枪手多多少发子弹？3、小高、墨莫、卡莉娅一起去郊外钓鱼，已知小高钓的鱼比墨莫的3倍多1条，墨莫钓的鱼是卡莉娅的3倍，一共钓了92条鱼．请问：小高钓了多少条鱼？4、米老鼠、唐老鸭和小白兔三人比赛包饺子，10分钟内他们一共包了34个饺子．米老鼠包的饺子个数是唐老鸭的2倍，唐老鸭比小白兔包的饺子多6个．请问：他们分别包了多少个饺子？随堂练习1、赤壁之战时，魏国军队的人数是蜀国军队的4倍，吴国军队的人数是蜀国军队的2倍，三个国家的军队一共有140万人．求魏国军队有_______万人．2、卡莉娅、萱萱和墨莫的身高之和是406厘米，卡莉娅比墨莫矮5厘米，而萱萱比墨莫高6厘米，那么萱萱身高_______厘米．3、小高、墨莫和卡莉娅帮老师搬书，一共搬了352本，小高搬的书比墨莫的2倍多2本，而墨莫搬的书是卡莉娅的2倍，那么卡莉娅搬了________本书．4、绿蝶数量是黄蝶的5倍，红蝶数量是黄蝶的2倍，绿蝶比红蝶多36只，那么绿蝶有________只．5、路边种着柳树、杨树和槐树，三种树一共有98棵．已知柳树比杨树的2倍多7棵，杨树比槐树的2倍多7棵，那么杨树有________棵．课后作业。
三年级奥数差倍问题
煮酒论英雄(差倍问题)知识图谱煮酒论英雄知识精讲一．差倍问题1．概念：已知几个数的差以及他们之间的倍数关系，求出这几个数的问题叫差倍问题． 2．基本关系式：()1÷-=差倍数较小数，⨯=较小数倍数较大数，+=较小数差较大数．3．解题方法（1）画线段图，找“差量”与“1”段之间的关系，设法求出“1”段代表的数量． （2）“几倍多几”或“几倍少几”时，先把多的去掉，少的补上，把问题变成整倍数再解决． 4．有暗差的差倍问题，做题一般步骤：（1）先从倍数关系入手，分析出是现在的倍数关系还是原来的倍数关系，即现倍或原倍． （2）接下来去寻找题目中的现差或原差，若已知现倍则找现差，若已知原倍则找原差． （3）然后将现差或原差通过画线段图的方式画出来． （4）画出差倍的线段图，标清差以及倍数关系．（5）看题目最后的问题是求现在还是原来，学会还原思想．三点剖析本讲主要培养学生的实践应用能力，其次学生的运算能力与观察推理能力．本讲内容是在和差的基础上，学习差倍问题．从生活实际出发，让学生了解差倍问题的类型，以及差倍问题的解决方法．后续课程还会进一步讲解有隐藏条件的和差倍问题．课堂引入例题1、 一天，曹操派人请刘备到小亭青梅煮酒．曹操大谈当世英雄，问刘备当世英雄是谁．曹操说：“当今天下英雄，只有你和我两个．”刘备一听，吃了一惊，手中筷子不知不觉掉在地下．正巧雷声大作，刘备灵机一动，从容地低下身拾起筷子，说是因为害怕打雷，才掉了筷子．刘备经过这样的掩饰，使曹操认为自己是个胸无大志，胆小如鼠的庸人，曹操从此再也不疑刘备了．唐小果在读完这段《煮酒论英雄》之后，细数了一下．你知道曹操和刘备各数了多少个英雄吗？例题2、 唐小果比唐小虎多30元，且唐小果是唐小虎的2倍，那么唐小虎有________元．差倍问题例题1、 根据下面题意完成线段图并计算．（1）柯小南到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多10个，柯小南买苹果和梨各几个？ （2）计算鹅和鸭各有多少只？例题2、 （1）艾小莎比唐小果多30元，且艾小莎是唐小果的2倍，那么唐小果有多少钱？ （2）某校三年级男生人数是女生人数的4倍，且男生比女生多60人，那么女生有多少人？ （3）一个除法算式，若被除数比除数大2016，商是15，余数是0，则被除数是多少？刘备比曹操多论了8个英雄，是曹操的5倍．（1）苹果梨 （2） 鹅鸭18认真观察线段图哦~这题是不是也可以画线段图呢？例题3、（1）动物园里有很多猴子和猩猩．已知猴子的数量比猩猩的3倍多5只，并且猴子比猩猩多25只，那么动物园里有多少只猩猩？（2）艾小莎和唐小果在操场上跑步，一段时间过后，唐小果跑的距离比艾小莎跑的3倍还多80米．如果艾小莎比唐小果少跑了500米，那么艾小莎和唐小果一共跑了多少米？“几倍多几”的问题与之前的和倍问题一样，先去掉多几，按整数倍计算．例题4、（1）爷爷的年龄比爸爸的2倍少10岁，爷爷比爸爸大了28岁，那么爸爸多少岁了？（2）唐小虎写了一个减法算式，这个减法算式的差是9，且被减数比减数的2倍少4．请写出这个减法算式．那“几倍少几”是不是也跟之前一样呢？随练1、林木和林森参加高思杯的在线寻龙游戏，林木的在线时间比林森的少45分钟，并且林森的在线时间是林木的6倍，那么林木和林森的在线时间共有多少分钟？随练2、两个数的和是830，其中较大的数除以较小的数，得商22余2，则这两个数中较大的一个是多少？随练3、实验小学共有学生956人，男生比女生2倍少4人．问：实验小学男生女生各多少人？有暗差的差倍问题例题1、（1）甲桶油比乙桶油多2千克，从甲桶取出36千克油加入乙桶，这时乙桶油的重量是甲桶油的3倍．原来甲桶油重________千克．（2）艾小莎和唐小果的金币一样多，唐小果送给了艾小莎9个金币后，结果艾小莎的金币是唐小果的4倍，那么原来艾小莎有________个金币．（3）高斯先生给大家布置了若干道数学题作为寒假作业，寒假快结束的时候，唐小果已经做完48道，唐小虎则做完40道．如果唐小虎未做的题数是唐小果的3倍，那么高斯先生一共布置了________道题．一定要仔细读题哦~找找真正的差是多少？例题2、（1）甲、乙两盒糖的个数一样多，现在甲盒中拿走5颗糖，乙盒中拿走17颗糖，此时甲盒中的糖是乙盒中的3倍．那么原来甲盒里有多少颗糖？（2）唐小虎和柯小南两人都有一些糖果，如果唐小虎给柯小南10个，那么他们的糖果就一样多了．如果唐小虎和柯小南都吃掉8个糖果，那么唐小果剩下的糖果数是柯小南剩下糖果数的2倍，那么他们原来一共有多少个糖果？刚刚还是一个变化，现在两个都发生变化，我得仔细点了．例题3、有甲、乙两堆卡片，如果从甲堆拿出16张放到乙堆，则两堆卡片的张数相等；如果从乙堆卡片中拿出11张放入甲堆中，则甲堆的张数是乙堆的3倍多10．求甲、乙两堆卡片各有多少张？这题目里有差吗？我怎么只看到两个人给来给去呀……姐姐，你给我讲一下吧？例题4、（1）艾小莎和柯小南看相同一本小说．艾小莎打算第一天看50页，接着每天看15页；柯小南则打算每天看22页．最后两人正好在同一天看完．这本小说一共多少页？（2）唐妈妈给姐弟俩各买了同样数量的巧克力．小虎每天吃6块巧克力，小果每天吃4块巧克力，当小虎吃完他的巧克力时，小果的巧克力还能再吃一星期．那么妈妈给姐弟俩各买了多少块巧克力？这个有点复杂，但是我们还是要找差是多少．例题5、李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆．如果从甲堆中拿出15个放到乙堆中，则两堆零件的个数相等；如果从乙堆中拿出15个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的3倍．甲堆原来有零件多少个？李师傅这一天共生产零件多少个？同学们，注意分析条件．随练1、唐小虎和唐小果两人开始有一样多的饼干．唐小虎比较贪吃，过了几天，唐小虎已经吃了39块饼干，而唐小果只吃了17块．此时唐小果剩下的饼干数量是唐小虎的3倍，那么唐小果原来有________块饼干．随练2、甲、乙两村养的羊只数一样多，现在从甲村跑了16只羊到乙村，结果乙村羊的只数比甲村的4倍还多2只．那么原来甲村有________只羊．随练3、鼠妈妈带着鼠宝宝去挖土豆，结果鼠妈妈比鼠宝宝多挖了21个土豆，且鼠妈妈挖的土豆比鼠宝宝的4倍少3个，那么鼠宝宝挖了________个土豆．易错纠改例题1、 红、蓝两个盒子中各有一些球，红盒中的球比蓝盒多6个．如果向红盒中放入28个球，并从蓝盒中取出6个球，此时红盒中的球是蓝盒的3倍．则后来红盒里有多少个球？聪明的你知道他们错哪了吗？那你知道正确答案是什么呢？拓展1、 小明把买玩具的钱交给售货员后，售货员告诉他还差45元钱，因为他把商品单价上个位上的0丢了，这种玩具单价是______元． A.450 B.405 C.5 D.502、 雁雁的金币是旦旦的4倍，雁雁给旦旦30个金币后，两人的金币一样多，那么现在旦旦有__________个金币．3、 学校合唱团成员中，女生人数是男生的3倍，而且女生比男生多80人．合唱团里男生和女生各有多少人？4、 狼村里有一些狼和羊，狼的只数比羊的3倍多2只，且狼比羊多12只．那么狼村里有羊__________只．5、 甲桶油比乙桶油多2千克，从甲桶取出36千克油加入乙桶，这时乙桶油的重量是甲桶油的3倍．原来甲桶油重千克．6、 红、蓝两个盒子中各有一些球，红盒中的球比蓝盒多7个．如果向红盒中放入28个球，并从蓝盒中取出5个球，此时红盒中的球是蓝盒的3倍．则后来红盒里有__________个球．7、 大胖和尚和小瘦和尚原来的馒头数量一样多，小瘦和尚怕大胖和尚不够吃，于是给大胖和尚10个馒头，结果大胖和尚的馒头比小瘦和尚的4倍少1个．两个和尚原来各有多少个馒头？8、 有两个炮兵营参加军事演习，他们各准备了若干枚炮弹．开始一营比二营多准备了5枚炮弹．后来因为演习需要，一营给了二营20枚炮弹，这时二营炮弹数量就比一营的3倍还多3枚．一营开始时准备了几枚炮弹？9、 分析并口述题目的做题思路及方法．唐小虎和唐小果原来的苹果一样多，现在唐小虎给唐小果12个苹果，结果唐小果的苹果比唐小虎的3倍少2个．两人原来各有多少个苹果？我知道，这是差倍问题，直接列式是．这个是较小数——蓝盒中的球数，我们要算的是红盒中的球数．那红盒里有个，对吧？哎呀，你们都错了~。
高思数学_3年级下第四讲和差倍问题中的隐藏条件
下册第 4 讲
4? ? 和差倍问题中的隐藏条件
16
? ? 和差倍问题中的隐藏条件
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之前我们已经学习了基础的和差倍问题，而很多时候，无法一眼看出问题中的数量 关系，这时候就需要把“隐藏”的和差倍关系找出来，其中寻找不变量就是一个重要的 手段．比如故事中的两根蜡烛，它们之间有什么样的数量关系？有没有哪个数量关系在 燃烧过程中不变？
例题 3
用杯子往一个空瓶里倒水．如果倒进
6 杯水，连瓶共重
680 克；如果倒进 9 杯水，连瓶共重 920 克．求空瓶的重量．
分析 9 杯水比 6 杯水重多少克 ？ 你能由 杯水，如果从中倒出 5 杯水，剩下的水和瓶子共重 果倒出 3 杯水，那么剩下的水和瓶子共重 880 克．请问： 空瓶重多少克？
2 倍？
2. 有两支粗细、材料都相同的蜡烛，长的能烧
100 分钟，短的能烧 70 分钟．同时点
燃这两支蜡烛，过多少时间后，长蜡烛长度是短蜡烛的
3 倍？
3. 在饭盒里装鸡蛋，如果放入 3 个鸡蛋，那么连盒共重 250 克；如果放入 7 个鸡蛋， 则连盒共重 470 克．请问： 一个鸡蛋有多重？（假设每个鸡蛋重量相同）
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? ? 和差倍问题中的隐藏条件
课本
线段图是解决和差倍问题的基本方法．虽然熟练的同学很多时候不用线段图一样可
以解决问题，但绝对不能忽略用图形表示数量关系这一“数形结合”的方法．
请牢记： 画线段图本身也是一种重要的数学能力
， 其重要性甚至高于求解和差倍问
题本身 ．
例题 5
拍卖行卖出了两件艺术品，第一件的拍卖价格比第二件的
520 克；如
例题 4
有两根粗细不同但长度相同的蜡烛，把它们同时点燃．
(四)和倍、差倍、和差问题
和倍、差倍、和差问题一、和倍问题1、概念和倍问题——已知两个数的和以及他们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题。
2、数量关系两数和÷两数的倍数和=一倍数的量（小数）两数和÷（倍数+1）=大数一倍数的量×倍数=几倍数二、差倍问题1、概念差倍问题——已知两个数的差以及两数之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题2、数量关系差÷（倍数－1）=1份数（小的数）小数×倍数=大数三、和差问题1、概念和差问题——已知一大一小两个数的和与两个数的差，求两个数各是多少的问题。
2、数量关系（1）（和＋差）÷2=大数和－大数=小数（2）（和－差）÷2=小数和－小数=大数（3）船速＋水速=顺水速度（4）船速－水速=逆水速度（5）（顺水速度＋逆水速度）÷2=船速（6）（顺水速度－逆水速度）÷2=水速习题：1.小宁有圆珠笔芯30支，小青有圆珠笔芯15支。
问小青把多少支给小宁后，小宁的圆珠笔芯支数是小青的8倍？2.红红有邮票80张，佳佳有邮票60张，要使红红的邮票张数是佳佳的4倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票？3.果园里有苹果树、梨树、桃树共840棵，梨树棵数是桃树棵数的2倍，苹果树棵数是桃树的3倍。
问，三种果树各有多少棵？4.甲数是乙数的4倍，甲乙两数的和是385。
求甲乙两数？5.数学老师将参加数学竞赛的学生分成红、蓝两个小组，结果发现红组学生的人数恰好是蓝组的3倍。
小明发现蓝组学生人数比红组学生人数的2倍少50人。
那么红组和蓝组学生各多少人？6.图书馆新购进一批图书，共三种，其中文艺书25本，百科全书9本，故事书的本数比文艺书的2倍还多10本。
问这批书共有多少本？7.甲、乙、丙三个仓库两两相距5千米，一共存放有120吨煤。
甲仓库的煤比乙仓库的多11吨，乙仓库的煤比丙仓库的2倍少28吨。
每吨煤每千米的运费是20元。
最少要花多少元，能使得甲乙丙三个仓库的煤一样多？8.甲乙丙合伙做水果生意，某天他们一共赚了42个森林币。
3年级数学寒假班预习课03 隐藏条件的和差倍 练习
主讲：五豆
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【练习1】有甲、乙两个仓库，原来甲仓库存有 ������������吨货物，乙
仓库存有������������吨货物。请问：从甲仓库调运多少吨货物到乙仓库，
才能使得乙仓库的库存量变为甲仓库的������倍？
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【练习2】有两支粗细、材料都相同的蜡烛，长的能烧������������������分
个鸡蛋有多重？（假设每个鸡蛋重量相同）
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【练习 4】甲送给乙和丙两人一样多的饼干。乙比较贪吃，过
了几天，乙已经吃了������������块饼干，而丙只吃了������������块。此时丙剩下
的饼干数量是乙的������倍，请问：丙原来有多少饼干？
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【练习5】一次考试，甲的得分比乙的������倍少������������分，而乙的得
钟，短的能烧 ������������ 分钟。同时点燃这两支蜡烛，过多少时间
后，长蜡烛长度是短蜡烛的������倍？
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【练习3】在饭盒里装鸡蛋，如果放入������个鸡蛋，那么连盒共
重������������������克；如果放入������个鸡蛋，则连盒共重������������������克。请问：一
分比甲的������倍少������������������分，那么乙考了多少分？
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高斯小学奥数含答案三年级(下)第01讲和差倍中的隐藏条件
a¥◎终于 来电了 i<?0 Q埋在K 蛾烛的 K 區止対是短轴处的 2倍，停电停了多久 呢？5會过了一段时间,哎.又 停电T一天、小農止 停电了・同学你卿〕 知世眄?也需烛磋点40分的.窥邮烛 能点40分钟一*N之前我们已经学习了基础的和差倍问题， 而很多时候，无法一眼看出问题中的数量关系， 这时候就小高和墨莫玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的一枚棋子.一开始小高有18枚棋子，墨莫则有22枚.玩了若干局之后，小高反而比墨莫多了10枚棋子.请问：此时小高有多少枚棋子?分析：在游戏过程中，两人的棋子数始终在变化.那有没有什么量是不变的?有大小两个水瓶，分别装有690毫升和210毫升水.现在从大瓶中倒了一些水到小瓶后（水没有溢出），大瓶里的水量变成了小瓶的2倍•请问：从大瓶中倒了多少毫升水到小瓶？小故事阿呆和阿瓜去包子铺买包子，一共买了250个包子，阿呆看阿瓜不够吃，分了10个包子给阿瓜，阿瓜不好意思，把自己的一半拿出来给了阿呆，阿呆不高兴了，把自己的包子分成10份，挑了其中的8份给阿瓜，阿瓜执拗不过阿呆，最后给了阿呆一个包子，这么折腾下来，现在两人一共有多少个包子？从上面的故事你能得到什么样的结论？总结：_________________________________________________________________________________________ .小高家有两根绳子，长的那根有163米，短的只有97米•他把两根绳子剪去同样多的长度, 结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的7倍还多6米•那么两根绳子都剪去了几米？分析：两条绳子同时剪短，那它们的长度和就不是不变量了•这一次，不变量又会是谁呢？练习2两只老鼠“叽叽”和“喳喳”在吃面条，“叽叽”吃的面条比较长，有40厘米；“喳喳”吃的比较短，只有25厘米•它们吃面条的速度相同，过了一段时间后，长面条的长度是短面条的2倍•那么此时短面条还剩多少厘米？前面2道例题都是通过寻找不变量来进行解决的，不变量主要有两种情形：“和不变”与“差不变”，在寻找不变量时，有两句小口诀可以记下：给来给去和不变，同增同减差不变小山羊把10捆草分给大山羊，不变量：____________ •两根木头，每次锯掉的部分一样长，不变量：_____________ •小糊涂和大糊涂去炒股，最后都赚了250元，不变量： _________儿子和爸爸比年龄，无论过了几年，不变量：_____________ •当然，并不是所有的题目都能有不变的“和”或“差”，这时分析倍数所对应的和或差就非常重要,我们常用的方法是画出线段图.☆阿瓜 阿呆练习画图把自己的钱两人平分，这时阿呆的钱是阿瓜的5倍•那么后来阿呆有多少钱?阿呆糖多，多22块分析：寻找题目中的倍数关系，这时的倍数关系所对应的和或差，你知道哪个?的钱是阿瓜的4倍•那么后来阿呆有多少钱?后 F 面，我们来看看如何找出隐藏的“差”条件后 i 2 :阿呆和阿瓜一共有130元钱•每包瓜子 5元钱，阿呆买了两包瓜子两人分着吃，吃完后阿瓜练2:阿呆比阿瓜多10个，阿呆又买了 4块，阿瓜吃了 2块，谁的糖多？多多少块?阿呆和阿瓜一起一共有 100元钱•阿呆花了 10元买零食，阿瓜花了 40元买玩具，这时阿呆画图举例例子：阿呆比阿瓜多 18块糖，阿瓜给阿呆 2块后，谁的糖多？多多少块?练1：阿呆和阿瓜一样多， 阿呆又买了 4块，阿瓜买了 29块，谁的糖多？多多少块? 18 2■V22例题32块后阿呆和阿瓜一样多，之前谁的糖多？多多少块？8块后阿瓜比阿呆多 27块，之前谁的糖多？多多少块?有两根蜡烛，粗蜡烛比细蜡烛长 15厘米.把它们同时点燃.1小时后细蜡烛缩短了 20厘米,而粗蜡烛只缩短了 15厘米•此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的3倍•请问：粗蜡烛还剩多长？分析：寻找3倍关系下粗蜡烛和细蜡烛的长度差?芝练习4莉娅和萱萱都在织围巾，现在两人已经织好的围巾长度相同，但萱萱织得比较快.在接下来的两个月里，萱萱可以织 120厘米，而卡莉娅只能织 45厘米，因此两个月后，萱萱围巾的长度将 会是卡莉娅的2倍•那么现在卡莉娅的围巾有多长?蓝盒中放入19个球，那么蓝盒中的球就是红盒的 3倍.求最后红盒和蓝盒中各有多少个球?分析：寻找3倍关系下蓝盒和红盒的球数差？试着画出线段图表示一下.例题5红、蓝两个盒子中各有一些球，红盒中的球比蓝盒多5个.如果从红盒中取出 12个球，然后向阿瓜给阿呆 阿瓜给阿呆☆例题6爱迪生与电灯爱迪生是美国人他也常常鼓励作业12么墨莫后来有多少分?♦板，他被管理员打伤右耳，从此成了半个聋子 老师说他是低能儿，只好回家靠妈妈的教导及自修努力学习1847年.他从小很喜欢问大人"为什么分析：开始时甲堆和乙堆中的卡片差几张？分析清楚倍数关系下甲乙两堆差多少张?爱迪生13岁在火车上边卖报边做实验，一次意外实验的时候磷倒了出来，烧坏了车箱地 别人.他到80岁还在研究他完全不懂的植物了 40000美元，辞掉工作专心研究23岁到纽约闯天下，发明了一部电报机出），大瓶里的水量和小瓶一样多•则从大瓶中倒了多少毫升水到小瓶?小高的积分比墨莫多 30分.老师给他们每人发了 100分后，小高的积分比墨莫的 2倍少90分.那 时，他看见鹅在孵蛋，就把鹅赶走，自己蹲在那里，想帮母鹅孵蛋.爱迪生进小学读了 3个月 爱迪生在1879年10月31日发明电灯•他每天工作超过 18小时以上，不停的努力，不断有大小两个水瓶，分别装有430毫升和250毫升水.现在从大瓶中倒了一些水到小瓶后 （水没有溢发明有用的东西.他一生中发明 1093件专利.有人认为他是天才，他认为天才是百分之一的 有甲、乙两堆卡片，如果从甲堆中拿出16张放到乙堆中，则两堆卡片的张数相等；如果从乙堆卡片中拿出11张放入甲堆中，则甲堆的张数是乙堆的3倍多10.求甲、乙两堆卡片各有多少张?灵感加上百分之九十九的努力，他有很大的勇气和坚强的毅力承受失败的打击让大人无法回答.5岁课堂内外3. 有两支粗细、材料都相同的蜡烛，长的能烧100分钟，短的能烧70分钟.同时点燃这两支蜡烛（过多少分钟后，长蜡烛长度是短蜡烛的3倍?4. 小山羊和卡莉娅两人开始有一样多的饼干.小山羊比较贪吃，过了几天，小山羊已经吃了39块饼干，而卡莉娅只吃了17块.此时卡莉娅剩下的饼干数量是小山羊的3倍，那么卡莉娅原来有多少块饼干？5. 红、蓝两个盒子中各有一些球，红盒中的球比蓝盒多7个.如果向红盒中放入28个球，并从蓝盒中取出5个球，此时红盒中的球是蓝盒的3倍.则后来红盒里有多少个球？详解：后来两人一共 40枚棋子•小高(40 10) 2 25枚，墨莫15枚. 2.例题2 答案：87米.简答：开始两根绳子相差 163 97 66米，减去同样长的两段后，还是相差 66米•后来短绳子长度为(66 6)7 110 米•剪去了 97 10 87 米.3. 例题3 答案：100元.简答：买完瓜子后，一共 120元•后来阿瓜有120 5 1 20元•阿呆有20 5 100元.4. 例题4答案：30厘米.简答：点燃后，粗蜡烛比细蜡烛长15 15 20 20厘米•后来细蜡烛有20 3 110厘米•粗蜡烛有10 3 30厘米.5. 例题5答案：13个，39个.简答：后来红盒比蓝盒少 12 19 5 26个，这时红盒有26 3 1 13个.蓝盒有13 3 39个.6. 例题6答案：65张，33张.简答：“如果从甲堆中拿岀 16张放到乙堆中，则两堆卡片的张数相等”说明甲比乙多 32张•“从乙堆卡片中 拿出11张放入甲堆中"，这时甲比乙多32 11 2 54张，这时乙有54 10 3 1 22张，甲有22 54 76张•开始甲有 76 11 65张，乙有22 11 33张.7. 练习1答案：90毫升.简答：后来两瓶水一共 690 210 900毫升•小瓶有900 2 1 300毫升，大瓶倒了 300 210 90毫升给小瓶.8. 练习2答案：15厘米.简答：减去同样长的两段后，还是相差15厘米•后来短面条长度为15 2 1 15厘米.9. 练习3 答案：40元.第一讲 和差倍中的隐藏条件1. 例题1答案：25枚.简答：买完东西后，一共50元•后来阿瓜有50 4 1 10元•阿呆有10 4 40元.10. 练习4答案：75厘米.简答：两个月后，萱萱比卡莉娅长120 45 75厘米.这时卡莉娅有75 2 1 75厘米.12. 作业2答案：120分.简答：发完后小高还是比墨莫多30分•墨莫后来有30 90 2 1 120分.13. 作业3答案：55分钟.简答：能烧的时间差为30分钟，所以过70 100 70 3 1 55分钟.14. 作业4答案：50块.简答：小山羊剩下的饼干有39 17 3 1 11块，原来有50块.15. 作业5答案：60个.简答：后来红盒比蓝盒多7 28 5 40个.则后来蓝盒有40 3 1 20个，红盒有60 个.。
3年级高斯课本
目录第一讲差倍问题第二讲和差倍中隐藏的条件第三讲蜗牛爬行第四讲日期问题第五讲还原问题第六讲最不利原则第一讲差倍问题小热身画出线段图并求出(1)小高和墨莫一共挖了60个土豆，且小高是墨莫挖的3倍，那么墨莫挖了多少个土豆?(2)小高和墨莫跳绳，一共跳了40个，且小高比墨莫多跳10个，那么墨莫跳了多少个?知识精讲我们已经学过和倍与和差问题，解决此类问题最常用的方法是画线段图。
画图时一般选取较少的数量画成一段，再根据倍数关系画出其他量的长度，然后求出一段所代表的量。
这一讲中，我们主要学习差倍问题，也就是条件中给出了数量间的倍数及差的问题。
例题1：学校合唱团成员中，女生人数是男生人数的3倍，而且女生比男生多80人，合唱团里男生和女生各有多少人?练习1：阿呆和阿瓜两人买了一些西瓜，阿呆买的瓜的重量是阿瓜的2倍，而且阿呆比阿瓜多买了9斤，他们两人一共买了多少斤西瓜?在和倍问题中，当一个量是另一个量的“几倍多几”或者“几倍少几”时，可以先把“多”的去掉，把“少”的补上，把问题变成整倍数来解决。
那么在差倍问题中，这种方法还适用吗？例题2：羊村里住了一些羊和狼，羊的数量比狼的5倍多2只，且羊比狼多42只。
请问：羊村里羊和狼分别有多少只?练习2：狼村里住了一些狼和羊，狼比羊多23只，且狼的数量比羊的3倍多1只。
请问：狼村有多少只狼?例题3：米老鼠和唐老鸭一起去挖土豆，唐老鸭挖的土豆数量比米老鼠的3倍少4个，且唐老鸭挖的土豆数量比米老鼠多20个。
请问:唐老鸭挖了多少个土豆?练习3：阿呆的高思积分比阿瓜的多150分，且阿呆的高思积分比阿瓜的4倍少30分，阿呆和阿瓜分别有多少个高思积分?有暗差的差倍问题，做题一般步骤:(1)先从倍数关系入手，分析出是现在的倍数关系还是原来的倍数关系，即现倍或原倍。
(2)接下来去寻找题目中的现差或原差，若已知现倍则找现差，若已知原倍则找原差。
(3)然后将现差或原差通过画线段图的方法画出来，曾在移多补少与等量代换中学习过。
年级高斯课本
目录第一讲差倍问题第二讲和差倍中隐藏的条件第三讲蜗牛爬行第四讲日期问题第五讲还原问题第六讲最不利原则第一讲差倍问题小热身画出线段图并求出(1)小高和墨莫一共挖了60个土豆，且小高是墨莫挖的3倍，那么墨莫挖了多少个土豆?(2)小高和墨莫跳绳，一共跳了40个，且小高比墨莫多跳10个，那么墨莫跳了多少个?知识精讲我们已经学过和倍与和差问题，解决此类问题最常用的方法是画线段图。
画图时一般选取较少的数量画成一段，再根据倍数关系画出其他量的长度，然后求出一段所代表的量。
这一讲中，我们主要学习差倍问题，也就是条件中给出了数量间的倍数及差的问题。
例题1：学校合唱团成员中，女生人数是男生人数的3倍，而且女生比男生多80人，合唱团里男生和女生各有多少人?练习1：阿呆和阿瓜两人买了一些西瓜，阿呆买的瓜的重量是阿瓜的2倍，而且阿呆比阿瓜多买了9斤，他们两人一共买了多少斤西瓜?在和倍问题中，当一个量是另一个量的“几倍多几”或者“几倍少几”时，可以先把“多”的去掉，把“少”的补上，把问题变成整倍数来解决。
那么在差倍问题中，这种方法还适用吗例题2：羊村里住了一些羊和狼，羊的数量比狼的5倍多2只，且羊比狼多42只。
请问：羊村里羊和狼分别有多少只?练习2：狼村里住了一些狼和羊，狼比羊多23只，且狼的数量比羊的3倍多1只。
请问：狼村有多少只狼?例题3：米老鼠和唐老鸭一起去挖土豆，唐老鸭挖的土豆数量比米老鼠的3倍少4个，且唐老鸭挖的土豆数量比米老鼠多20个。
请问:唐老鸭挖了多少个土豆?练习3：阿呆的高思积分比阿瓜的多150分，且阿呆的高思积分比阿瓜的4倍少30分，阿呆和阿瓜分别有多少个高思积分?有暗差的差倍问题，做题一般步骤:(1)先从倍数关系入手，分析出是现在的倍数关系还是原来的倍数关系，即现倍或原倍。
(2)接下来去寻找题目中的现差或原差，若已知现倍则找现差，若已知原倍则找原差。
(3)然后将现差或原差通过画线段图的方法画出来，曾在移多补少与等量代换中学习过。
高斯小学奥数含答案三年级(上)第04讲寻找隐藏周期
第四讲 寻找隐藏周期O两国处战违背了丄人的 旨窟，+4113人.入阳将 |消尖I—天.奉勒 斯件出了颅再， 怛是没有人相信 奉勒斯的话.战 争细埃进行咅希咯仆一位著 i名的觀学寂事胡炳， 他的馭乡竹两牛临国 .Jt 地药同(Medta) 和吕她亚国(Lydia) -严久了战争.~战丰持综了「 五年仍未定出 胜负.當年的I 爭战计两国百， 妳流离失听， 無声戳道，边 疆t 伤亡无4BL 横尸速野.«r□----------------- 1 其实泰勒斯就是从之前的日食记录中找到了日食发生的周期，根据周期做出了预言•周期现象无处不在，日常生活里有很多这样的例子，例如分针每60分钟就绕钟面一圈回到原来的位置，星期日再过七天还是星期日，地铁不断在线路上来回运行……所以学好周期问题对于我们平时生活会很有帮助，本讲就先解决几个简单的周期问题.在解决周期问题时，关键在于找到周期的长度•只要能找到周期的长度，再用总数除以周期长度，得到的商就是完整的周期的个数，余数就是除去完整周期的部分后剩下的个数.例题1如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈.现在，一只红跳蚤从标有数“1”的圆圈按顺时针方向跳了100步，落在一个圆圈里.一只黑跳蚤也从标有数“ T的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了200步，落在另一个圆圈里.那么这两个圆圈里的数乘积是多少？分析：跳几步一个周期？两只电子跳蚤分别落在了哪个圆圈中？练习1钟表上现在时针正对着数字2,那么121小时后时针正对着数字几?有些问题，只给出了变化的规律，并没有给出明确的周期•这就需要我们按照规律, 把隐藏的周期找出来，再利用周期进行计算.例题2伸出左手，然后从大拇指起如图那样开始数数.请问：当数到200的时候，二o分析：开始数1的时候指着的是大拇指，下一次指到大拇指的时候是数几呢？几个数一个循环？练习2如图，在A , B 两地之间有11个站，一辆车不停的往返于两地之间•从 A 出发，每天走到 下一站，到达B 地后的第二天又回到11号站，第1天的时候它在A 站，那么第100天时 它在哪个站？例题3100位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同 学报1，然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以 7,再报出乘积的个位来.请问：最后一名同学报的是几？分析：试着把每位同学报的数都写出来，找找看有没有周期？练习3同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学第四讲寻找隐藏周期1.例题1 答案：12详解：不论顺时针还是逆时针都是7步一个周期.100 7 14L L 2，相当于顺时针跳 2步,落在3号圈中；200 7 28L L 4，相当于逆时针跳4步，落在4号圈中，乘积为12.正好数到哪根手指?BA2. 例题2答案：食指详解：第1次数大拇指是1,下次是9,也就是8个数一周期，200 8 25，正好数到食指.3.例题3详解：报数依次为1，7，9，3，1，7……，4个数一周期.100 4 25，最后一名报3. 例题4答案：3; 42详解：报数依次为1，3，3，9，7，3，1，3，3……，6个数一周期.84 6 14，最后一名报3 •每个周期有3个人报3，14个周期共14 3 42个.5. 例题5答案：各有5、6、8、7颗详解：第2天早上分配完之后是（7、8、6、5），第3天（8、5、7、6），第4天（5、6、8、7），第5天（6、7、5、8），第6天（7、8、6、5）与第2天相同，所以4天一周期，除去第1天还有99天，99 4 24L L 3，所以应该与周期中的第3个即第4天相同，（5、6、8、7）.6. 例题6答案：C站详解：停车地点依次为B,C,D ,E,F,E,D ,C,B,A,B,C……，10次一周期.2013 10 201L L 3，这时在D站.2013 8 251L L 5，上次加油后又走了5站，上次加油在C站.7. 练习1答案：3简答：12个小时一个周期.121 12 10LL1,对着数字3.8. 练习2答案：3号站简答：下次回A站的时候是第25天，24天一个周期，100 24 4L L 4，应该在3号站.9. 练习3答案：2简答: 报数依次为6, 2, 4, 8, 6, 2…,4个数- 周期. 50 412L L 2，第50名报2.10.练习4答案: 4简答: 报数依次为4, 9, 6, 4, 4, 6, 4, 4……,3个数「周期. 50 2 316，最后名报4.11.作业1答案: 人简答: 周期是“大〕好人”,442314，是“人”字.12.作业2答案: 9简答: 每个周期12个小时，30122 6 , 3 6 9 .13.作业3答案: 3简答: 前几个报的f数为1, 3, 9, 7, 1 , 3, 9, 7••…倜期为4. 1104272，所以第110个人报3.答案：F简答：从A到G再到B是一个周期，周期为12. 150 12 12 6，所以在F房.报6,然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以2,再报出乘积的个位来.请问：第50个同学报的是几？例题484位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报1,第二位同学报3,然后从第三位同学开始，每位同学都把自己前面两位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位来.请问：最后一名同学报的是几？总共有多少人报的数是3 ？练习450位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报4,第二位同学报9,然后从第三位同学开始，每位同学都把自己前面两位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位来.请问：最后一名同学报的是几？例题5甲、乙、丙、丁四兄弟各收藏了一些宝石.每天早上他们都要聚在一起，重新分配宝石.分配的规则就是：宝石最多的人分给其他三人每人1颗.如果第1天早上分配完之后，甲、乙、丙、丁四人各有10、7、5、4颗宝石，那么第100天早上分完宝石后，四个人手中各有几颗宝石？分析：先试着算一下开始几天四人的宝石数量，可以用下面这个表格来表示，试着再往下填几行：甲乙丙丁第1天10754第2天7865第3天第4天第5天例题6一辆公共汽车在一条公路上行驶，公路上依次有6个汽车站A,B, C, D, E ,F.汽车从A出发，每到一站即停车，到达F后又沿原路返回，仍是每到一站都停车，到达A后再返回，……，如此往返行驶•如果汽车从出发后算起，每连续停车8次便需要在最后停车的那站加油，那么汽车在第2013次停车前的上一次加油是在哪站？分析：将停车的汽车站写出来看能否发现周期规律？课堂内外哈雷彗星哈雷彗星是最著名的短周期彗星，每隔75或76年就能从地球上看见，哈雷彗星是唯一能用裸眼直接从地球看见的短周期彗星，也是人一生中唯一可能以裸眼看见两次的彗星•这颗彗星的周期最早是英国人爱德蒙•哈雷测量出来的，因此这颗彗星就以他为名.1695年，已是皇家学会书记官的哈雷开始专心致志地研究彗星.他从1337年到1698年的彗星记录中挑选了24颗彗星，用一年时间计算了它们的轨道•发现1531年、1607年和1682年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，虽然经过近日点的时刻有一年之差，但可能解释为是由于木星或土星的引力摄动所造成的•一个念头在他脑海中迅速地闪过：这三颗彗星可能是同一颗彗星的三次回归•但哈雷没有立即下此结论，而是不厌其烦地向前搜索，发现1456年、1378年、1301年、1245年，一直到1066年，历史上都有大彗星的记录.在哈雷生活的那个时代，还没有人意识到彗星会定期回到太阳附近.自从哈雷产生了这个大胆的念头后，便怀着极大的兴趣，全身心地投入到对彗星的观测和研究中去了•在通过大量的观测、研究和计算后他大胆地预言，1682年出现的那颗彗星，将于1758年底或1759年初再次回归.哈雷作出这个预言时已近50岁了，而他的预言是否正确，还需等待50年的时间.他意识到自己无法亲眼看见这颗彗星的再次回归，于是，他以种幽默而又带点遗憾的口吻说：如果彗星根据我的预言确实在1758年回来了，公平的后人大概不会拒绝承认这是由一位英国人首先发现的.在哈雷去世10多年后，1758年底，这颗第一个被预报回归的彗星被一位业余天文学家观测到了，它准时地回到了太阳附近.哈雷在18世纪初的预言，经过半个多世纪的时间终于得到了证实.后人为了纪念他，把这颗彗星命名为“哈雷彗星”位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以3，再报出乘积的个位来，那么第110个同学报的是多少?个数是多少?如图，七个小矮人住在A、B、C、D、E、F、G这7座房子中，白雪公主第一天在A房子中做客,从第二天开始按照BCDEFGFEDCBABC……的顺序每天在一个小矮人的房子中做客. 请问，第150 天白雪公主在哪个房子中做客?现在时针指着钟面上的数字“ 3”，那么过30小时后，时针指着数字几?2.3. 110位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报1，然后从第二4. 数列9, 8, 6, 2从第2个数起，每个数都是它前面一个数的两倍的个位数字，请问，第995.。
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目录第一讲差倍问题第二讲和差倍中隐藏的条件第三讲蜗牛爬行第四讲日期问题画图时一般选取较少的数量画成一段，再根据倍数关系画出其他量的长度，然后求出一段所代表的量。
这一讲中，我们主要学习差倍问题，也就是条件中给出了数量间的倍数及差的问题。
例题1：学校合唱团成员中，女生人数是男生人数的3倍，而且女生比男生多80人，合唱团里男生和女生各有多少人?练习1：阿呆和阿瓜两人买了一些西瓜，阿呆买的瓜的重量是阿瓜的2倍，而且阿呆比阿瓜多买了9斤，他们两人一共买了多少斤西瓜?在和倍问题中，当一个量是另一个量的“几倍多几”或者“几倍少几”时，可以先把“多”的去掉，把“少”的补上，把问题变成整倍数来解决。
那现倍或原倍。
(2)接下来去寻找题目中的现差或原差，若已知现倍则找现差，若已知原倍则找原差。
(3)然后将现差或原差通过画线段图的方法画出来，曾在移多补少与等量代换中学习过。
(4)画出差倍的线段图，标清差以及倍数关系。
(5)审题，看题目最后的问题是现在的还是原来的，学会还原的思想。
例题4：有块数一样多的两盒糖，第一盒放入8块，第二盒拿走18块，这时第一盒的糖是第二盒的3倍，这两盒原来各有多少块糖?练习4：有两款价格一样的大小冰箱，夏季大促销，大冰箱的价格下降及小树枝为主食.在野外长颈鹿的寿命为27年左右，动物园里的能活超过29年，主要分布在非洲的埃塞俄比亚、苏丹、肯尼亚、坦桑尼亚和赞比亚等国。
第二讲和差倍中的隐藏条件小热身阿朵和阿瓜去包子铺买包子，一其买了250个包子，阿呆看阿瓜不够吃，分了10个包子给阿瓜，阿瓜不好意思，把自己的一半拿出来给了阿朵，阿朵不高兴了，把自己的包子分成10份，挑了其中的8份给阿瓜，阿瓜执拗不过阿朵，最后给了阿朵一个包子，这么折腾下来，现在两人一共有多少个包子?以上面的故事你能得到什么样的结论?倒了一些水到小瓶后(水没有溢出)，大瓶里的水量变成了小瓶的2倍。
请问:从大瓶中倒了多少毫升水到小瓶?例题3：爷爷比爸爸大20岁，当爷爷是爸爸年龄3倍时，爸爸多少岁?练习3：大冰箱比小冰箱多1000元，因为春节促销，大小冰箱的价格都下降了同样多的钱，大冰箱的价格是小冰箱的6倍时，小冰箱多少元?例题4：小高家有两根绳子，长的那根有163米，短的只有97米，他把两根绳子剪去同样多的长度，结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的7倍还多6米.请问:两根绳子各剪去了几米?练习4：两只老鼠“叽叽”和“喳喳”在吃面条，“叽叽”吃的面条比较长，“喳喳”吃的比较短，只有25厘米。
高斯小学奥数含答案三年级(下)第01讲 和差倍中的隐藏条件
第一讲和差倍中的隐藏条件- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 之前我们已经学习了基础的和差倍问题，而很多时候，无法一眼看出问题中的数量关系，这时候就6需要把“隐藏”了的和差倍关系找出来，其中寻找不变量就是一个重要的手段．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1小高和墨莫玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的一枚棋子．一开始小高有18枚棋子，墨莫则有22枚．玩了若干局之后，小高反而比墨莫多了10枚棋子．请问：此时小高有多少枚棋子？分析:在游戏过程中，两人的棋子数始终在变化．那有没有什么量是不变的？练习1有大小两个水瓶，分别装有690毫升和210毫升水．现在从大瓶中倒了一些水到小瓶后（水没有溢出），大瓶里的水量变成了小瓶的2倍．请问：从大瓶中倒了多少毫升水到小瓶？小故事阿呆和阿瓜去包子铺买包子，一共买了250个包子，阿呆看阿瓜不够吃，分了10个包子给阿瓜，阿瓜不好意思，把自己的一半拿出来给了阿呆，阿呆不高兴了，把自己的包子分成10份，挑了其中的8份给阿瓜，阿瓜执拗不过阿呆，最后给了阿呆一个包子，这么折腾下来，现在两人一共有多少个包子？从上面的故事你能得到什么样的结论？总结：___________________________________________________________________________．7例题2小高家有两根绳子，长的那根有163米，短的只有97米．他把两根绳子剪去同样多的长度，结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的7倍还多6米．那么两根绳子都剪去了几米？分析:两条绳子同时剪短，那它们的长度和就不是不变量了．这一次，不变量又会是谁呢？练习2两只老鼠“叽叽”和“喳喳”在吃面条，“叽叽”吃的面条比较长，有40厘米；“喳喳”吃的比较短，只有25厘米．它们吃面条的速度相同，过了一段时间后，长面条的长度是短面条的2倍．那么此时短面条还剩多少厘米？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 前面2道例题都是通过寻找不变量来进行解决的，不变量主要有两种情形：“和不变”与“差不变”，在寻找不变量时，有两句小口诀可以记下：给来给去和不变，同增同减差不变．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -小判断小山羊把10捆草分给大山羊，不变量：______．两根木头，每次锯掉的部分一样长，不变量：______．小糊涂和大糊涂去炒股，最后都赚了250元，不变量：______．儿子和爸爸比年龄，无论过了几年，不变量：______．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 当然，并不是所有的题目都能有不变的“和”或“差”，这时分析倍数所对应的和或差就非常重要，我们常用的方法是画出线段图．89- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -分析:寻找题目中的倍数关系，这时的倍数关系所对应的和或差，你知道哪个？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -下面，我们来看看如何找出隐藏的“差”条件．练1：阿呆和阿瓜一样多，阿呆又买了4块，阿瓜买了29块，谁的糖多？多多少块？ 练2：阿呆比阿瓜多10个，阿呆又买了4块，阿瓜吃了2块，谁的糖多？多多少块？练习画图画图举例例子：阿呆比阿瓜多18块糖，阿瓜给阿呆2块后，谁的糖多？多多少块？阿瓜 阿呆18 后 后 2222阿呆糖多，多22块．练习3阿呆和阿瓜一起一共有100元钱．阿呆花了10元买零食，阿瓜花了40元买玩具，这时阿呆的钱是阿瓜的4倍．那么后来阿呆有多少钱？ 阿呆和阿瓜一共有130元钱．每包瓜子5元钱，阿呆买了两包瓜子两人分着吃，吃完后阿瓜把自己的钱两人平分，这时阿呆的钱是阿瓜的5倍．那么后来阿呆有多少钱？例题3练3：阿瓜给阿呆2块后阿呆和阿瓜一样多，之前谁的糖多？多多少块？练4：阿瓜给阿呆8块后阿瓜比阿呆多27块，之前谁的糖多？多多少块？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4有两根蜡烛，粗蜡烛比细蜡烛长15厘米．把它们同时点燃．1小时后细蜡烛缩短了20厘米，而粗蜡烛只缩短了15厘米．此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的3倍．请问：粗蜡烛还剩多长？分析：寻找3倍关系下粗蜡烛和细蜡烛的长度差？练习4莉娅和萱萱都在织围巾，现在两人已经织好的围巾长度相同，但萱萱织得比较快．在接下来的两个月里，萱萱可以织120厘米，而卡莉娅只能织45厘米，因此两个月后，萱萱围巾的长度将会是卡莉娅的2倍．那么现在卡莉娅的围巾有多长？例题5红、蓝两个盒子中各有一些球，红盒中的球比蓝盒多5个．如果从红盒中取出12个球，然后向蓝盒中放入19个球，那么蓝盒中的球就是红盒的3倍．求最后红盒和蓝盒中各有多少个球？分析：寻找3倍关系下蓝盒和红盒的球数差？试着画出线段图表示一下．10例题6有甲、乙两堆卡片，如果从甲堆中拿出16张放到乙堆中，则两堆卡片的张数相等；如果从乙堆卡片中拿出11张放入甲堆中，则甲堆的张数是乙堆的3倍多10．求甲、乙两堆卡片各有多少张？分析：开始时甲堆和乙堆中的卡片差几张？分析清楚倍数关系下甲乙两堆差多少张？课堂内外爱迪生与电灯爱迪生是美国人，生于1847年．他从小很喜欢问大人“为什么”，让大人无法回答．5岁时，他看见鹅在孵蛋，就把鹅赶走，自己蹲在那里，想帮母鹅孵蛋．爱迪生进小学读了3个月，老师说他是低能儿，只好回家靠妈妈的教导及自修努力学习．爱迪生13岁在火车上边卖报边做实验，一次意外实验的时候磷倒了出来，烧坏了车箱地板，他被管理员打伤右耳，从此成了半个聋子．23岁到纽约闯天下，发明了一部电报机，赚了40000美元，辞掉工作专心研究．爱迪生在1879年10月31日发明电灯．他每天工作超过18小时以上，不停的努力，不断发明有用的东西．他一生中发明1093件专利．有人认为他是天才，他认为天才是百分之一的灵感加上百分之九十九的努力，他有很大的勇气和坚强的毅力承受失败的打击，他也常常鼓励别人．他到80岁还在研究他完全不懂的植物．作业1.有大小两个水瓶，分别装有430毫升和250毫升水．现在从大瓶中倒了一些水到小瓶后（水没有溢出），大瓶里的水量和小瓶一样多．则从大瓶中倒了多少毫升水到小瓶？2.小高的积分比墨莫多30分．老师给他们每人发了100分后，小高的积分比墨莫的2倍少90分．那么墨莫后来有多少分？113.有两支粗细、材料都相同的蜡烛，长的能烧100分钟，短的能烧70分钟．同时点燃这两支蜡烛，过多少分钟后，长蜡烛长度是短蜡烛的3倍？4.小山羊和卡莉娅两人开始有一样多的饼干．小山羊比较贪吃，过了几天，小山羊已经吃了39块饼干，而卡莉娅只吃了17块．此时卡莉娅剩下的饼干数量是小山羊的3倍，那么卡莉娅原来有多少块饼干？5.红、蓝两个盒子中各有一些球，红盒中的球比蓝盒多7个．如果向红盒中放入28个球，并从蓝盒中取出5个球，此时红盒中的球是蓝盒的3倍．则后来红盒里有多少个球？1213第一讲 和差倍中的隐藏条件1.例题1 答案：25枚．详解：后来两人一共40枚棋子．小高(4010)225+÷=枚，墨莫15枚． 2.例题2 答案：87米．简答：开始两根绳子相差1639766-=米，减去同样长的两段后，还是相差66米．后来短绳子长度为()(666)7110-÷-=米．剪去了971087-=米． 3.例题3 答案：100元．简答：买完瓜子后，一共120元．后来阿瓜有()1205120÷+=元．阿呆有205100⨯=元． 4.例题4答案：30厘米．简答：点燃后，粗蜡烛比细蜡烛长15152020-+=厘米．后来细蜡烛有()203110÷-=厘米．粗蜡烛有10330⨯=厘米． 5.例题5答案：13个，39个．简答：后来红盒比蓝盒少1219526+-=个，这时红盒有()263113÷-=个．蓝盒有13339⨯=个． 6.例题6答案：65张，33张．简答：“如果从甲堆中拿出16张放到乙堆中，则两堆卡片的张数相等”说明甲比乙多32张．“从乙堆卡片中拿出11张放入甲堆中”，这时甲比乙多3211254+⨯=张，这时乙有()()54103122-÷-=张，甲有225476+=张．开始甲有761165-=张，乙有221133+=张． 7.练习1答案：90毫升．简答：后来两瓶水一共690210900+=毫升．小瓶有()90021300÷+=毫升，大瓶倒了30021090-=毫升给小瓶． 8.练习2答案：15厘米．简答：减去同样长的两段后，还是相差15厘米．后来短面条长度为()152115÷-=厘米． 9.练习3 答案：40元．简答：买完东西后，一共50元．后来阿瓜有()504110÷+=元．阿呆有10440⨯=元． 10. 练习4答案：75厘米．简答：两个月后，萱萱比卡莉娅长1204575-=厘米．这时卡莉娅有()752175÷-=厘米．1411. 作业1答案：90毫升．简答：倒完后各有()4302502340+÷=毫升，那么倒了43034090-=毫升． 12. 作业2答案：120分．简答：发完后小高还是比墨莫多30分．墨莫后来有()()309021120+÷-=分． 13. 作业3答案：55分钟．简答：能烧的时间差为30分钟，所以过()()70100703155--÷-=分钟． 14. 作业4答案：50块．简答：小山羊剩下的饼干有()()39173111-÷-=块，原来有50块． 15. 作业5答案：60个．简答：后来红盒比蓝盒多728540++=个．则后来蓝盒有()403120÷-=个，红盒有60个．。
数学3年级下第四讲和差倍问题中的隐藏条件
下册第4讲
4和差倍问题中的隐藏条件16
和差倍问题中的隐藏条件
之前我们已经学习了基础的和差倍问题，而很多时候，无法一眼看出问题中的数量关系，这时候就需要把“隐藏”的和差倍关系找出来，其中寻找不变量就是一个重要的手段．比如故事中的两根蜡烛，它们之间有什么样的数量关系？有没有哪个数量关系在燃烧过程中不变？
叮叮和铛铛玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的一枚棋子．一开始叮叮有18枚棋子，铛铛则有22枚．玩了若干局之后，叮叮反
而比铛铛多了10枚棋子．请问：此时叮叮有多少枚棋子？
分析在游戏过程中，两人的棋子数始终在变化．那有没有什么量是不变的？
1. 有大小两个水瓶，分别装有690毫升和210毫升水．现在从大瓶中倒了一些水到小瓶后（水没有溢出），大瓶里的水量变成了小瓶的2倍．请问：从大瓶中倒了多少毫升水到小瓶？
小高家有两根绳子，长的那根有163米，短的只有97米．他把两根绳子剪去同样多的长度，结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的7倍
还多6米．那么两根绳子都剪去了几米？
分析两条绳子同时剪短，那它们的长度和就不是不变量了．这一次，不变量
又会是什么呢？
2. 两只老鼠“叽叽”和“喳喳”在吃面条，“叽叽”吃的面条比较长，有40厘米；“喳
喳”吃的比较短，只有25厘米．它们吃面条的速度相同，过了一段时间后，长面条的长度是短面条的2倍．那么此时短面条还剩多少厘米？
17。
和倍差倍问题中的隐藏条件
练习：两台电脑，第一台比第二台
的2倍少1300元，而第二台比第 一台的2倍少7300，第一台电脑 多少钱？
思考：从A到H，每个顶点只能经
过一次，一共有多少种不同的走法？
• 例2 、小高家有两根绳子，长的那 根有163米，短的97米，他把两根 绳子剪去同样的长度后，剩下的长 绳的长度是短绳的7倍还多6米，两 根绳子都剪去了多少米？
• 练习：两只小老鼠吃面条，一根比 较长40厘米，一根比较短25厘米， 他们吃面条的速度一样，过了一段 时间后长面条的长度是短面条的2 倍，这时短面条还剩多少厘米？
练习：红红和丽丽在织围巾，两人 织好的围巾长度相同，丽丽织的快， 接下来的两个月丽丽可以织120厘 米，而红红只能织45厘米，因此两 个月后，丽丽的围巾会是红红的2 倍，那现在红红的围巾有多长？
例5、
拍卖行拍出两件艺术品， 第一件的价格是第二件的3倍还多 3万元，而第二件的价格比第一件 的3倍少73万元，问两件艺术品一 共卖了多少万元？
和倍差倍问题中的隐 藏条件
人大附小 刘成云
例1、
明明和欢欢玩游戏，每玩一局， 输的就要给赢的一枚棋子，明明开始 有18枚，欢欢22枚，玩了若干局后， 明明反而比欢欢多了10枚棋子，这时 明明有多少枚棋子？
练习：有大小两个水瓶，分别装有690 毫升和210毫升的水，现在从大瓶中 倒了一些水到小瓶后（水没有溢出）， 大瓶里的水量是小瓶的两倍，请问： 从大瓶里倒了多少毫升的水？
例3 、 用杯子往一个空瓶里倒 水，如果倒进6杯水，连瓶重 680克，如果倒进9杯水，连瓶 重920克，求空瓶的重量。
练习 、 一瓶水可以装7杯水， 如果从中倒出5杯水，剩下的 水和瓶子共重520克，如果倒 出3杯水，剩下的水和瓶子共 重880克，求空瓶的重量。
第01讲和差倍中的隐藏条件(教师版)
第1讲和差倍中的隐藏条件三年级寒假知识点一、和差倍中的隐藏条件（三下）1. 寻找不变量是找“隐藏”的和差倍关系的一个重要手段．不变量主要有两种情形：“和不变”与“差不变”．给来给去和不变，同增同减差不变．2. 当题目中没有不变的“和”或“差”时，分析倍数所对应的和或差非常重要．常用的方法是画增减图．知识精讲之前我们已经学过了基础的和差倍问题，而很多时候，无法一眼看出问题中的数量关系，这时候就需要把”隐藏“的和差倍关系找出来，其中寻找不变量就是一个重要的手段．练一练1.小山羊把10捆草分给大山羊，不变量：________；2.两根木头，每次锯掉的部分一样长，不变量：________；3.小糊涂和大糊涂去炒股，最后都赚了250元，不变量：________；4.儿子和爸爸比年龄，无论过了几年，不变量：________．练习画图1.阿呆比阿瓜多10块糖，阿呆又买了4块糖，阿瓜吃了2块，谁的糖多？多多少块？2.阿瓜给阿呆2块糖后阿呆和阿瓜的糖一样多，之前谁的糖多？多多少块？课堂例题一、寻找不变量1、卡莉娅和萱萱玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的1枚棋子．一开始卡莉娅有18枚棋子，萱萱则有22枚．玩了若干局之后，卡莉娅反而比萱萱多了10枚棋子．请问：此时卡莉娅有_________枚棋子．A．20B．25C．15D．30【答案】B【解析】方法一：开始时卡莉娅和萱萱一共有182240+=枚棋子．在玩游戏的过程中，由于两人的棋子总数是不变的，因此两人的棋子之和始终是40枚．玩了若干局后，卡莉娅比萱萱多10枚棋子，即两人的棋子数之差是10枚．根据“()2大数和差”，可得卡莉娅有=+÷()+÷=枚棋子．4010225方法二：注意到卡莉娅赢的一局和输的一局是可以抵消的．卡莉娅每赢一局就多1枚棋子，同时萱萱就少1枚棋子．一开始卡莉娅比萱萱少4枚棋子，则卡莉娅赢2局后，棋子数就与萱萱一样多了．再赢5局后，卡莉娅就多5枚棋子，而萱萱少5枚棋子，此时卡莉娅比萱萱多10枚棋子．因此卡莉娅比萱萱多赢了527+=局，最后卡莉娅就有18725+=枚棋子．2、小高家有两根绳子，长的有163米，短的有97米，他把两根绳子剪去同样长的一段，结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的7倍还多6米．那么两根绳子都剪去了多少米？【答案】87米【解析】设剪后短绳所剩长度为“1”份，则长绳所剩长度为“7”份加6米．两根绳子的长度差是-=米．1639766从线段图可看出，把两根绳子剪去同样多的长度，则两根绳子都要缩短，但是它们的长度之差是不变的．由于剪短后，长绳是短绳长度的7倍还多6米，于是两绳的长度差66米比短绳的6倍还多6米，因此短绳的长度是()666610-÷=米．短绳原来的长度是97米，两绳都被剪去同样的长度，所以两绳都被剪去971087-=米3、阿呆和阿瓜一共130元钱．每包瓜子5元钱，阿呆买了两包瓜子两人分着吃，吃完后阿瓜把自己的钱两人平分，这时阿呆的钱是阿瓜的5倍．那么后来阿呆有多少元钱？【答案】100【解析】开始两人共有130元，买包子花了5210⨯=元，所以后来两人共剩下13010120-=元．而阿呆的钱是阿瓜的5倍，根据和倍问题，阿瓜有()1201520÷+=元，阿呆有205100⨯=元．4、阿呆和阿瓜一共有130元钱．每包瓜子5元钱，阿呆买了6包瓜子两人分着吃，吃完后阿瓜把自己的钱两人平分，这时阿呆的钱比阿瓜多60元．那么后来阿呆有多少钱？【答案】80 长绳6米 短绳“1”相差的长度“7” 剪去的部分97米 163米【解析】阿呆和阿瓜原来一共有130元钱，所以买完瓜子还剩13056100-⨯=元．阿瓜分完后阿呆的钱比阿瓜多60元，则根据和差问题可知，这时阿呆有()10060280+÷=元．二、 画增减图找"差倍“5、有两根蜡烛，粗蜡烛比细蜡烛长15厘米．把它们同时点燃，1小时后细蜡烛缩短了20厘米，而粗蜡烛只缩短了15厘米．此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的3倍．请问：粗蜡烛还剩多长？【答案】30【解析】开始粗蜡烛比细蜡烛长15厘米，后来细蜡烛缩短了20厘米，而粗蜡烛只缩短了15厘米，差距增大20155-=厘米，所以后来两根蜡烛相差15520+=厘米．此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的3倍，根据差倍问题，细蜡烛长()203110÷-=厘米，粗蜡烛10330⨯=厘米．6、有两根蜡烛，粗蜡烛和细蜡烛一样长．把它们同时点燃．1小时后粗蜡烛缩短了10厘米，而细蜡烛缩短了30厘米．此时粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍．请问：粗蜡烛还能燃烧多长时间？【答案】4【解析】原来粗蜡烛和细蜡烛一样长，后来粗蜡烛缩短了10厘米，而细蜡烛缩短了30厘米，则粗蜡烛比细蜡烛长301020-=厘米．而粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍，根据差倍问题，细蜡烛长()202120÷-=厘米，粗蜡烛长20240⨯=厘米，所以粗蜡烛还能燃烧401014÷÷=小时．7、红、蓝两个盒子中各有一些球，红盒中的球比蓝盒多5个．如果从红盒中取出12个球，然后向蓝盒中放入19个球，那么蓝盒中的球就是红盒的3倍．求最后红盒和蓝盒中各有多少个球？【答案】13，39【解析】原来红盒中的球比蓝盒多5个，后来从红盒中取出12个球，然后向蓝盒中放入19个球，那么红盒比蓝盒少1219526+-=个．而蓝盒中的球就是红盒的3倍，根据差倍问题，这时红盒有()263113÷-=个，蓝盒有13339⨯=个球．8、有甲、乙两堆卡片，如果从甲堆中拿出16张放到乙堆中，则两堆卡片的张数相等；如果从乙堆卡片中拿出11张放入甲堆中，则甲堆的张数比乙堆的3倍多10张．求原来甲、乙两堆卡片各有多少张？【答案】65，33【解析】从甲堆中拿出16张放到乙堆中，则两堆卡片的张数相等，说明甲堆比乙堆多16232⨯=张．如果从乙堆卡片中拿出11张放入甲堆中，则此时甲堆比乙堆多3211254+⨯=张．而甲堆的张数比乙堆的3倍多10张，根据差倍问题，乙堆现在有()()54103122-÷-=张，原来有221133+=张，甲堆原来有333265+=张．9、大胖和尚和小瘦和尚原来的馒头数量一样多，小瘦和尚怕大胖和尚不够吃，于是给大胖和尚10个馒头，结果大胖和尚的馒头比小瘦和尚的4倍少1个．两个和尚原来各有多少个馒头？【答案】17【解析】大胖和尚和小瘦和尚原来的馒头数量一样多，而小瘦和尚给了大胖和尚10个，则大胖和尚比小瘦和尚多10220⨯=个，而大胖和尚的馒头比小瘦和尚的4倍少1个，根据差倍问题，小瘦和尚现在有()()201417+÷-=个，原来两人各有71017+=个．1、有大小两个水瓶，分别装有690毫升和210毫升水．现在从大瓶中倒了一些水到小瓶后（水没有溢出），大瓶里的水量变成了小瓶的2倍．请问：从大瓶倒了多少毫升到小瓶？【答案】90【解析】给来给去差不变，开始两瓶水共690210900+=毫升，大瓶倒入小瓶后，两瓶还是一共900毫升．大瓶里的水量变成了小瓶的2倍，所以根据和倍问题，小瓶水为()90012300÷+=毫升，所以从大瓶倒了30021090-=毫升到小瓶．2、有两根长度不同的面条，长面条有50厘米，短面条有30厘米．米老鼠吃掉了同样多的长面条和短面条后，结果长面条所剩的长度是短面条的3倍，那么短面条被米老鼠吃掉了__________厘米．【答案】20【解析】同增同减差不变，开始两根面条差503020-=厘米，后来还差20厘米，而这时长面条所剩长度是短面条的3倍，所以短面条剩下()203110÷-=厘米，被米老鼠吃了301020-=厘米．3、阿呆和阿瓜共有100元．阿呆花了10元买零食，阿瓜花了40元买玩具，这时阿呆的钱随堂练习是阿瓜的4倍，那么后来阿呆有多少元钱？【答案】40【解析】开始阿呆和阿瓜共有100元，阿呆花了10元，阿瓜花了40元，所以两人共剩下100104050--=元．这时阿呆的钱是阿瓜的4倍，根据和差问题，阿瓜有()501410÷+=元，阿呆有10440⨯=元．4、卡莉娅和萱萱都在织围巾，现在两人已经织好的围巾长度相同，但萱萱织得比较快．在接下来的两个月里，萱萱可以织120厘米，而卡莉娅只能织45厘米，因此两个月后，萱萱围巾的长度将会是卡莉娅的2倍．那么现在卡莉娅的围巾有多长？【答案】75【解析】开始两人已经织好的围巾长度相同，后来萱萱可以织120厘米，而卡莉娅只能织45厘米，所以两人相差1204575-=厘米，萱萱围巾的长度将会是卡莉娅的2倍，根据差倍问题，卡莉娅围巾后来长()752175÷-=厘米．1、有大小两个水瓶，分别装有430毫升和250毫升水．现在从大瓶中倒了一些水到小瓶后（水没有溢出），大瓶里的水量和小瓶一样多．则从大瓶中倒了_________毫升水到小瓶． 课后作业【答案】90【解析】原来两瓶水差430250180-=毫升，后来大瓶里的水量和小瓶一样多，根据给1差2，大瓶中倒了180290÷=毫升水到小瓶．2、小高的积分比墨莫多30分．老师给他们每人发了100分后，小高的积分比墨莫的2倍少90分．那么墨莫后来有__________分．【答案】120【解析】原来小高的积分比墨莫多30分，后来两人得到了同样多的积分，那么两人积分还是差30分．而小高的积分比墨莫的2倍少90分，根据差倍问题，墨莫现在有()()309021120+÷-=分．3、有两根粗细、材料都相等的蜡烛，长的能烧100分钟，短的能烧70分钟．同时点燃着两根蜡烛，过__________分钟后，长蜡烛长度是短蜡烛的3倍．【答案】55【解析】两根蜡烛一直相差能烧1007030-=分钟的高度，而长蜡烛长度是短蜡烛的3倍，根据差倍问题，短蜡烛还剩()303115÷-=分钟的长度，所以点燃了701555-=分钟．4、小山羊和卡莉娅两人开始有一样多的饼干．小山羊比较贪吃，过了几天，小山羊已经吃了39块饼干，而卡莉娅只吃了17块．此时卡莉娅剩下的饼干数量是小山羊的3倍，那么卡莉娅原来有____________块饼干．【答案】50【解析】开始两人一样多，后来小山羊多吃了391722-=块，则卡莉娅剩下的饼干数量比小山羊多22块，且是小山羊的3倍．根据差倍问题，小山羊现在有()223111÷-=块，原来有113950+=块，所以卡莉娅原来有50块．5、红、蓝两个盒子中各有一些球，红盒中的球比蓝盒多7个．如果向红盒中放入28个球，并从蓝盒中取出5个球，此时红盒中的球是蓝盒的3倍．则后来红盒里有__________个球．【答案】60【解析】最后红盒比蓝盒多728540++=个，且红盒中的球是蓝盒的3倍，所以根据差倍问题可知，蓝盒有()403120÷-=个，红盒有20360⨯=个．。
高思奥数导引小学三年级含详解答案第04讲 枚举法一.
第4讲枚举法一典型问题◇兴趣篇◇◇1. 冬冬在一张纸上画了一些图形，如图所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的。
请你数一数，纸上一共有多少条线段？（最外面的大长方形是纸的边框，不算在内）2. 要沿着如图所示的道路从A点走到B点，并且每段路最多只能经过一次，一共有多少种不同的走法？3. 小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游。
要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺序？4. 小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方中选2个去旅游，小王有多少种不同的选择方式？如果小王想去其中的3个地方，又有多少种选择方式？5. 小烧饼每个5角钱，大烧饼每个2元钱。
冬冬一共有6元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有多少种不同的买法？6. 在一次知识抢答比赛中，小悦和东东两个人一共答对了10道题，并且每人都有答对的题目。
如果每道题1分，那么小悦和冬冬分别可能是多少分？请把所有的可能填写到下面的表格里？7. 两个海盗分20枚金币。
请问：（1）如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有多少种不同的分法？（2）如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有多少种不同的分法？8. 有15个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？这两堆球的个数可能相差几个？9. 张奶奶去超市买了12盒光明牛奶，发现这些牛奶需要装在2个相同的袋子里，并且每个袋子最多只能装10盒。
张奶奶一共有几种不同的装法？10. 小悦、冬冬、阿奇三个人一共有7本课外书，每个人至少有一本。
小悦、冬冬、阿奇分别有基本课外书？请写出全部可能的情况。
◇◇拓展篇◇◇1. 如图，小悦画了一个小房子，如果每画一笔都不能拐弯，那么她最少画了几笔？2. 小悦把8块绿豆糕摆成如图所示的图形，让冬冬挑两块挨在一起的绿豆糕。
请问：冬冬一共有多少种不同的挑法？3. 小悦、冬冬、阿奇三个人去看电影，他们买了三张座位相邻的票。
他们三人的座位顺序一共有多少种不同的安排方法？4. 小李摆摊卖货，小木偶每个卖1元，大木偶每个卖2元，他今天一共卖出了5个木偶。
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之前我们已经学习了基础的和差倍问题，而很多时候，无法一眼看出问题中的数量关系，这时候就需要把“隐藏”的和差倍关系找出来，其中寻找不变量就是一个重要的手段．比如故事中的两根蜡烛，它们之间有什么样的数量关系？有没有哪个数量关系在燃烧过程中不变？
分析 在游戏过程中，两人的棋子数始终在变化．那有没有什么量是不变的？
练习
1.有大小两个水瓶，分别装有690毫升和210毫升水．现在从大瓶中倒了一些水到小瓶后（水没有溢出），大瓶里的水量变成了小瓶的2倍．请问：从大瓶中倒了多少毫升水到小瓶？
分析 两条绳子同时剪短，那它们的长度和就不是不变量了．这一次，不变量又会是什么呢？
练习
2.两只老鼠“叽叽”和“喳喳”在吃面条，
“叽叽”吃的面条比较长，有40厘米；“喳喳”吃的比较短，只有25厘米．它们吃面条的速度相同，过了一段时间后，长面条的长度是短面条的2倍．那么此时短面条还剩多少厘米？子．一开始叮叮有而比铛铛多了他把两根绳子剪去同样多的长度，结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的还多例题2
前面2道例题都是通过寻找不变量来进行解决的，不变量主要有两种情形：“和不变”与“差不变”．在寻找不变量时，有两句小口诀可以记下：
给来给去和不变，同增同减差不变．
除了寻找不变量外，分析、比对前后条件之间的差异，利用较隐藏的“差”条件来挖掘数量关系，也是解决和差倍问题的重要方法．
分析 9杯水比6杯水重多少克？你能由此求出1杯水的重量吗？
练习
3.一满瓶水可以装7杯水，如果从中倒出5杯水，剩下的水和瓶子共重520克；
如果倒出3杯水，那么剩下的水和瓶子共重880克．请问：空瓶重多少克？
分析 两根蜡烛最初的长度相同，1小时后它们相差几厘米？
练习
4.卡莉娅和萱萱都在织围巾，现在两人已经织好的围巾长度相同，但萱萱织得比较快．在接下来的两个月里，萱萱可以织120厘米，而卡莉娅只能织45厘米，因此两个月后，萱萱围巾的长度将会是卡莉娅的2倍．那么现在卡莉娅的围巾有多长？680克；
小时后细蜡烛缩短了正好是细蜡烛的例题4
线段图是解决和差倍问题的基本方法．虽然熟练的同学很多时候不用线段图一样可以解决问题，但绝对不能忽略用图形表示数量关系这一“数形结合”的方法．
请牢记：画线段图本身也是一种重要的数学能力，其重要性甚至高于求解和差倍问题本身．
分析 两件艺术品哪个的价格比较低？以价格低的那个作为1份，试着画一下线段图．
练习
5.墨莫想买一台新电脑，有高端和低端两种选择，高端电脑的价格比低端的2倍少
1300元，低端电脑的价格则要比高端电脑的2倍少7300元．请问：
低端电脑的价格是多少？3倍多术品一共卖了多少万元？
本
一、寻找条件中的不变量：
给来给去和不变，同增同减差不变．
二、比较法：比较前后之间的差异，有效地利用题目中隐藏的“差”条件．
名学生参加联欢会．第一个到会的女生和所有的男生都握过手；个到会的女生除男生外，和其他男生都握过手；生握过手．那么这些学生中有多少名男生？
题
三、线段图法：
用线段图表示较复杂的数量关系，提高对线段图本身重要性的认识．
作业
1.有甲、乙两个仓库，原来甲仓库存有65吨货物，乙仓库存有25吨货物．请问：从甲仓库调运多少吨货物到乙仓库，才能使得乙仓库的库存量变为甲仓库的2倍？
2.有两支粗细、材料都相同的蜡烛，长的能烧100分钟，短的能烧70分钟．同时点燃这两支蜡烛，过多少时间后，长蜡烛长度是短蜡烛的3倍？
3.在饭盒里装鸡蛋，如果放入3个鸡蛋，那么连盒共重250克；如果放入7个鸡蛋，则连盒共重470克．请问：一个鸡蛋有多重？（假设每个鸡蛋重量相同）
4.萱萱送给小山羊和卡莉娅两人一样多的饼干．小山羊比较贪吃，过了几天，小山羊已经吃了39块饼干，而卡莉娅只吃了17块．此时卡莉娅剩下的饼干数量是小山羊的3倍，请问：卡莉娅原来有多少饼干？
5.一次考试，墨莫的得分比卡莉娅的2倍少30分，而卡莉娅的得分比墨莫的2倍少120分，那么卡莉娅考了多少分？。