第16章分式全章导学案

§16.1.1从分数到分式自主合作学习

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【学习过程】

一、独立看书1～4页

二、独立完成下列预习作业： 1、单项式和多项式统称 .

2、

表示 ÷ 的商，)()2(n m b a +÷+可以表示为 . 3、长方形的面积为102

cm ，长为7cm ，宽应为 cm ；长方形的面积为S ，长为a ，宽应为 .

4、把体积为203

cm 的水倒入底面积为332

cm 的圆柱形容器中，水面高度为 cm ；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为 . 5、一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有，那么式子B

叫做分式.

◆◆分式和整式统称有理式◆◆

三、合作交流，解决问题：

分式的分母表示除数，由于除数不能为0，故分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式

才有意义. 1、当x 时，分式

x 32

有意义； 2、当x 时，分式1-x x

有意义；

3、当b 时，分式b

351

-有意义；

?1. 分式的概念； ?2. 掌握分式有意义的条件；

?3. 分式的值为0，±1的条件.

学习目标

4、当x 、y 满足时，分式y

x y

x -+有意义；四、课堂测控： 1、下列各式

x 1，3x ，a π，5

342+b ，352-a ，2

2y x x -，11x +，n m n m -+，1

5x+y ，22a b a b --，121222+-++x x x x ，)

(3b a c -，2

3x -，0中，是分式的有；是整式的有；是有理式的有． 2、下列分式，当x 取何值时有意义．

⑴a

； ⑵2323x x +- ⑶2132x x ++ ⑷11-+x x

⑸y x -1 ⑹122-x ⑺2

2+x x

⑻13-x

3、下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（）

A ．121x +

B ．21x x +

C ．2

x x

+ D ．2221x x +

4、当x 时，分式221

x x x -+-的值为零

5、当x 时，分式

435x x +-的值为1；当x 时，分式43

x x +-的值为-1. §16.1.2分式的基本性质--约分自主合作学习

【学习过程】

一、独立看书4～7页

二、独立完成下列预习作业：

1、分式的分子与分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值 .

即

C B C A B A ??=

或 C

B C

A B A ÷÷=（C ≠0） 2、填空：⑴222-=-x x x x ；y x x

xy x +=+2

633 ⑵

b a ab b a 2=+ ；b

a a

b a 22

2=- （b ≠0） 3、利用分式的基本性质：将分式x

x x

22-的分子和分母的公因式x 约去，使分式

x x 22-变为21

-x ，这样的分式变形叫做分式的；经过约分后的分式

-x ，其分子与分母没有，像这样的分式叫做 . 三、合作交流，解决问题：将下列分式化为最简分式：

⑴c ab bc a 2321525- ⑵9

22++-x x x ⑶y x y xy x 33612622-+-

?1. 理解并掌握分式的基本性质；

?2.灵活运用分式基本性质将分式化为最简分式.

学习目标（）（）（）（）

四、课堂测控：

1．分数的基本性质为：．

用字母表示为：． 2．把下列分数化为最简分数：（1）

＝；（2）12545＝；（3）2613＝．

分式的基本性质为：．

3、填空：①3222=+x

x x ②)(38633

23----=a b b a ③)()

22-----=+-y

x y x y x ④)0()(1≠+----=++n cn an c a b 4、分式434y x a

+，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab

ab b +-中是最简分式的有（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

5、约分：

⑴ac bc 2 ⑵2)(xy y y x + ⑶2

2)(y x xy

x ++

⑷2

(y x y x -- ★ ⑸22699x x x ++-； ★ ⑹2232m m m m -+-．

§16.1.2分式的基本性质--通分自主合作学习

【学习过程】

一、独立看书7～8页

二、独立完成下列预习作业：

1、利用分式的基本性质：将分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，使几个分式化为分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的 .

2、根据你的预习和理解找出： ①

x 1与y 3的最简公分母是； ②a x

与ab y 的最简公分母是； ③

ab b a +与2

b a -最简公分母是；④231yz x 与22xy 的最简公分母是 . ★★如何确定最简公分母？一般是取各分母的所有因式的最高次幂的积三、合作交流，解决问题： 1、通分：⑴b a 223与c

ab b a 2

- ⑵26x ab ，29y

a bc

2、通分：⑴

52-x x 与53+x x ； ★⑵2121a a a -++，26

a -． ?1. 理解并掌握分式的基本性质及最简公分母的含义； ? 2.灵活运用分式基本性质将分式变形。

学习目标解： =b

a 223

=-c

ab b

a 2

四、课堂测控： 1、分式

23ab

c 和28bc a -的最简公分母是 . 分式11-y 和11

+y 的最简公分母是 .

2、化简：._______4

2=++-a a a 3、分式a

x y 434+，1142--x x ，y x y xy x ++-22，2

222b ab ab

a -+中已为最简分式的有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个

4、化简分式

b ab b

+的结果为（） A 、b a +1 B 、b a 11+ C 、2

a + D 、

b ab +1 5、若分式的分子、分母中的x 与y 同时扩大2倍，则分式的值（）

A 、扩大2倍

B 、缩小2倍

C 、不变

D 、是原来的2倍

6、不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（） A 、10 B 、9 C 、45 D 、90

7、不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为整数，正确的是（）

A 、3252322-+++x x x x

B 、3252322-++-x x x x

C 、3252322+--+x x x x

D 、3

252

322+---x x x x

8、通分： ⑴bd c 2与243b

⑵2)(2y x xy +与2

2y x x -

y x y x 9

13110151+- )0,0(≠≠+y x y

x xy

253232-+-+-x x x x

⑶bc a y ab x 229,6 ⑷1

,1212

2-++-a a a a

§16.2.1分式的乘除自主合作学习【学习过程】

一、独立看书10～14页

二、独立完成下列预习作业： 1、观察下列算式：

⑴

2910452515321553==??=? ⑵ 25

756155231525321553=

=??=?=÷ 请写出分数的乘除法法则：

乘法法则： ; 除法法则： . 2、分式的乘除法法则：（类似于分数乘除法法则）

乘法法则： ;

除法法则： .

3、分式乘方：n n n

b a b a =??

?? 即分式乘方，是把分子、分母分别 .

三、合作交流，解决问题：

1、计算：

⑴ 3234x y

y x ?； ⑵ cd b a c

ab 4522223-÷

?1. 熟练掌握分式的乘除法法则；

?2. 进行分式的除法运算，尤其是分子分母为多项式的运算，正确体

会具体的运算和一般步骤.

学习目标即：bd ac d b c a d c b a =??=? 即： bc

ad c b d a c d b a d c b a =??=?=÷

2、计算：

⑴ 411244222--?+-+-a a a a a a ； ⑵ m

m m 71

4912

2-÷-. 3、计算：3

592533522+?

-÷-x x

x x x .

4、计算：⑴ 2232???? ??-c b a ⑵ 2

3222???

???÷???

? ??-a c d a cd b a

四、课堂测控： 1、计算：

⑴q mnp

q p pq n m 3545322

222÷?； ⑵228241681622+-?+-÷++-a a a a a a a .

2、计算：

⑴23x x +-·22

694x x x -+-； ⑵2

3a a -+÷22469

a a a -++．

3、计算：

⑴32432???

?-z y x ； ⑵3

2342

23362??

??-?÷????

??-b c b a d c ab .

§16.2.2分式的加减自主合作学习

【学习过程】

一、独立看书15～18页

二、独立完成下列预习作业： 1、填空：

①

15与35的相同，称为分数，15+3

5＝，法则是； ②12与23的不同，称为分数，12+2

3＝，?运算方法为； 2、b a 与c a 的相同，称为分式；m a

与n

b 的不同，称为分

式.

3、分式的加减法法则同分数的加减法法则类似

①同分母分式相加减，分母，把分子 ;

②异分母分式相加减，先，变为同分母的分式，再 .

4．

22m m +-，5

m +的最简公分母是 . 5、在括号内填入适当的代数式：

三、合作交流，解决问题： 1、计算：⑴

x x y ++y y x + ⑵32b a -32a a ⑶32ab +214a

?1. 会进行分式的加减运算 ?2. 异分母的分式加减运算

?3. 引导学生总结运算方法和技巧，提高运算能力.

学习目标即用式子表示为：c

b a

c b c a ±=± 即用式子表示为：b

d bc ad bd bc bd ad d c b a ±=

±=± ⑴22

2()2xy ax y = （⑵322()()x xy x x y x y -=--

2、计算：⑴

222235y x x y x y x ---+ ⑵2

1a -+21(1)

a - ⑶q p q p 321321-++ ⑷2129m -+23m -+2

m +

3、计算：4

122

b b a b a b a ÷--?

??? ??

四、课堂测控： 1、计算：⑴x x x 11-+ ⑵1

3121+-

+++b a

b a b a

2、计算：⑴2

231

21cd

d c + ⑵2)2(223n m n m n m ---- ⑶b a b

a a +--12

2 ⑷222x x x +--21

44x x x --+

3、计算：⑴x y y x x y y x 22

222÷-????

? ?? ⑵??? ??+---??? ??+?+11111212

x x x x x x

§16.2.3整数指数幂自主合作学习

【学习过程】

一、独立看书18～22页

二、独立完成下列预习作业： 1、回顾正整数幂的运算性质：

⑴同底数幂相乘：=?n

m a a . ⑵幂的乘方：()

a .

⑶同底数幂相除：=÷n

m a a . ⑷积的乘方：()=n

ab .

⑸=??

? ??n

b a . ⑹ 当a 时，10

=a . 2、根据你的预习和理解填空：

3、一般地，当n 是正整数时，

4、归纳：1题中的各性质，对于m,n 可以是任意整数，均成立. 三、合作交流，解决问题：

1、计算：⑴()

21b a - ⑵()

2222---?b a b a

2、计算：⑴()

132y x y x -- ⑵()()3

22b a c ab ---÷

?1. 掌握整数指数幂的运算性质，尤其是负整数指数幂的概念；

?2. 认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则的扩展过程. ?3.

学习目标 )(5353---==÷a a a a =?==÷--)(33535

3a a a a a a a

)(1--a )0(1

≠=-a a

n n 即n

-（a ≠0）是n a

的倒数

四、课堂测控： 1、填空：

⑴____30

=；____3

=-. ⑵()____30

=-；()

___32

=--.

⑶____310=??? ??；____312

=??

? ??-.⑷____0=b ；____2=-b （b ≠0）.

2、纳米是非常小的长度单位，1纳米＝9

10-米，把1纳米的物体放到乒乓球上，如同将乒乓球放到地球上，1立方毫米的空间可以放个1立方纳米的物体，（物体间的间隙忽略不计）. 3、用科学计数法表示下列各数：

①0.000000001＝；②0.0012＝； ③0.000000345＝；④-0.0003＝； ⑤0.0000000108＝；⑥5640000000＝； 4、计算：

⑴2

23--?ab b a ⑵()3

13--ab ⑶()

332

32n m n m --?

5、计算： ⑴(

)()3

102.3102???- ⑵()()3

42610102--÷?

§16.3-1分式方程自主合作学习

【学习过程】

一、独立看书26～28页

二、独立完成下列预习作业：

1、问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

分析：设江水的流速为v 千米/时，则轮船顺流航行速度为千米/时，逆流航行速度为千米/时；顺流航行100千米所用时间为小时，逆流航行600千米所用时间为小时.

根据两次航行所用时间相等可得到方程：

方程①的分母含有未知数v ，像这样分母中含有未知数的方程叫做 . 我们以前学习的方程都是整式方程，分母中不含未知数. ★★2、解分式方程的基本思路是： . 其具体做法是： . 三、合作交流，解决问题： 1、试解分式方程：

⑴

v v -=+206020100 ⑵25

512

-=-x x 解：方程两边同乘)20)(20(v v -+得：解：方程两边同乘得：

去括号得：移项并合并得：

解得：

经检验：5=v 是原方程的解. 经检验：5=x 不是原方程的解，即

?1.理解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程.

?2. 了解分式方程产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法.

学习目标 v

v -=+2060

20100 ① )20(60)20(100v v +=-

原方程无解

分式方程为什么必须检验？如何检验？

. 2、小试牛刀（解分式方程） ⑴

x x 332=- ⑵1

112

-=-x x

四、课堂测控：

1、下列哪些是分式方程？

⑴1=+y x ； ⑵3252z y x -=

+； ⑶2

-x ； ⑷053=+-x y ； ⑸11=+x x ； ⑹5

23x x +=-π. 2、解下列分式方程： ⑴3221+=x x ⑵1

122

-=-x x ⑶13321++=+x x x x ⑷01

522=--+x

x x x ⑸)2)(1(311+-=--x x x x ⑹221

2=-+-x

x x

§16.3-2分式方程自主合作学习

【学习过程】

一、独立看书29～31页

二、独立完成下列预习作业：

问题：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？

分析：甲队1个月完成总工程的

31，若设乙队单独施工1个月能完成总工程的x

1. 则甲队半个月完成总工程的；乙队半个月完成总工程的；两

队半个月完成总工程的；解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的

，则有方程：方程两边同乘得：

解得：x ＝

经检验：x ＝符合题设条件.

∴ 队施工速度快.

三、合作交流，解决问题：

问题：一项工程要在限定期内完成，如果第一组单独做，恰好按规定日期完成；如果第二组单独做，需要超过规定日期4天才能完成；如果两组合做3天后，剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成。问规定日期是多少天？

?1. 会列分式方程解决简单的实际问题并能检验根的合理性.

?2.以工程问题为例哦，能将此类实际问题中的等量关系用分式方程表示，提高运用方程思想解决问题的能力.

学习目标列分式方程解应用题的一般步骤：

审：分析题意，找出等量关系；设：选择恰当的未知数，注意单位；

列：根据等量关系正确列出方程；解：认真仔细；验：检验方程和题意；答：完整作答.

四、课堂测控：（小试身手）

某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书.施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元.工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算：

⑴甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

⑵乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；

⑶若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成

在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？

1、分式

x -，当x 时，分式有意义；当x 时，分式的值为零． 2、．有理式①2x ，②5x y +，③12a -，④1

π-中，是分式的有（）

A ．①②

B ．③④

C ．①③

D ．①②③④ 3、．分式

x a

x +-中，当x ＝-a 时，下列结论正确的是（） A ．分式的值为零； B ．分式无意义

C ．若a ≠-13时，分式的值为零；

D ．若a ≠1

时，分式的值为零 4、当x 时，分式15x -+的值为正；当x 时，分式24

x -+的值为负．

5、若把x 克食盐溶入b 克水中，从其中取出m 克食盐溶液，其中含纯盐．

6、李丽从家到学校的路程为s ，无风时她以平均a 米/?秒的速度骑车，便能按时

到达，当风速为b 米/秒时，她若顶风按时到校，请用代数式表示她必须提前出发．

7、永信瓶盖厂加工一批瓶盖，甲组与乙组合作需要a 天完成，若甲组单独完成需要b 天，乙组单独完成需天． 8、下列各式中，可能取值为零的是（）

A ．2211m m +-

B ．211m m -+

C ．21

m m +- D ．211m m ++

9、使分式

||1

x -无意义，x 的取值是（）

A ．0

B ．1

C ．-1

D ．±1 10、（学科综合题）已知y ＝

23x x

--，x 取何值时：⑴y 的值是正数；⑵y 的值是负数；⑶y 的值是零；⑷分式无意义．

11、（探究题）若分式22

x +-1的值为⑴正数；⑵负数；⑶0时，求x 的取值范围．

12、（妙法巧解题）已知311=-y x ，求5352x xy y x xy y

+---的值．

选做题：

＊＊13、当m ＝时，分式2

(1)(3)

m m m m ---+的值为零．

§16.1.2分式的基本性质--约分同步练习

1、约分：⑴ac bc 2＝；⑵2)(xy y y x +＝；⑶2

2)(y x xy

x ++＝；

⑷=b a ab 2205 ；⑸=+--9

6922x x x __________；⑹

2232m m m m -+-＝ .

2、计算222

a ab

a b

+-＝． 3、根据分式的基本性质，分式a

a b

--可变形为（） A ．a a b -- B ．a a b + C ．-a a b - D ．a

a b

4、下列各式中，正确的是（） A ．

x y x y -+--＝x y x y -+; B ．x y x y -+-＝x y x y ---; C ．x y x y -+--＝x y x y +-; D ．x y x y -+-＝x y x y

5、若分式

x y

+-中的x 、y 的值都变为原来的3倍，则此分式的值（） A 、不变 B 、是原来的3倍 C 、是原来的

13 D 、是原来的16

6、下列判断中，正确的是（）

A 、分式的分子中一定含有字母

B 、当B=0时，分式B

A 无意义

C 、当A=0时，分式B

A 的值为0（A 、

B 为整式） D 、分数一定是分式

7、下列各式正确的是（）

A 、11++=++b a x b x a

B 、22x y x y =

C 、()0,≠=a ma na m n

D 、a

m a n m n --=

8、下列各分式中，最简分式是（）

A 、()()y x y x +-8534

B 、y x x y +-2

2 C 、222

2xy y x y x ++ D 、()2

22y x y x +-

9、下列约分正确的是（）

A 、313m m m +=+

B 、212y x y x -=-+

C 、123369+=

+a b

a b D 、()()y

x a b y b a x =-- 选做题：

10、已知056942

=+++-b b a a ，求b

a 1

1-的值．

11、（巧解题）已知0132

=++x x ，求2

x x +的值．

12、（妙法求解题）已知31

=+x

x ，求242

1x x x ++的值．

第16章 分式全章导学案

第16章分式全章导学案