蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第9章 不确定性和个体行为)

蒋殿春《高级微观经济学》 第9章 不确定性和个体行为

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1．以x 代表收入（财富）水平，拥有下列效用函数的个体对待风险的态度是怎样的？

ln u x = 2u ax bx =-(),0a b >

2u x = 12u x =

1006u x =+ 1x u e -=-

解：个体为风险厌恶（爱好）的充分必要条件是其期望效用函数为凹（凸）函数。由此

可以判断他们对待风险的态度分别为厌恶、厌恶、爱好、厌恶、中立和厌恶。

2．在9.1节中我们证明，如果()u x 是一个期望效用函数，那么其仿射变换

()()v x Au x B =+也是期望效用函数。证明：对任何彩票[];,L p x y =，以函数()u x 和()v x 计

算得到的风险升水相等。

证明：根据定义，按效用函数()u ?计算的风险升水r 满足等式：

()()()()1u r pu x p u y ωωω-=++-+

根据()()v x Au x B =+，所以有：

()()()()1v r pv x p v y ωωω-=++-+

而这意味着r 同时是以效用函数()v ?计算的风险升水。

因此，对任何彩票[];,L p x y =，以函数()u x 和()v x 计算得到的风险升水相等。

3．有三个人的效用函数分别是

1u c =（c 为正的常数）

；122u x =和23u x = 有三种可选的彩票：

[]10.5;480,480L =，[]20.5;850,200L =，[]30.5;1000,0L =

如果要三个人分别在上述彩票中挑一种，他们的选择分别是什么？

解：根据个体为风险厌恶（爱好）的充分必要条件是其期望效用函数为凹（凸）函数，可以判断出他们分别是风险中立、厌恶、偏好的。所以个体1选择2L ，个体2选择1L ，个体3选择3L 。

4．考虑对大街上随地吐痰者进行罚款的制度。记吐痰后被逮获的概率为P ，逮获后罚款金额为T ，则一个人在街上吐痰后的“期望被罚金额”是PT 。假设每个人都是风险厌恶的。保持期望被罚金额PT 不变，有两种惩罚方案：（a ）P 较大T 较小；（b ）P 较小而T 较大。哪一种惩罚方案更为有效？

解：记C PT =为常数，在罚款制度下，路人吐痰的期望效用是：

()()()()()()()11U E u Pu W T P u W Pu W C P P u W ==-+-=-+-

于是，

()()()U C

u W C P Xu W C P u W P P

?'=-+--? 将等式右端第一项按泰勒公式展式展开，有：

()()()

?C u W C P u W u W

P

'-=-

其中?W

是位于W C P -和W 之间的某一实数，所以?W C P W -<，代入前式，得： ()()

?0U C u W C P u W

P P

???''=-->??? 因此，在固定C PT =的前提下，提高P 会提高个体的期望效用，这意味着较小概率P 和

较高罚金T 的组合效果更好。

5．证明：如果个体的期望效用函数形如

()2u x Ax Bx =- ,0A B >

则A-P 绝对风险厌恶系数()A x 在区间)0,2A B ??上是财富x 的单增函数。 证明：因为绝对风险厌恶系数()()()22u x B

A x u x A Bx

''=-

='- 所以在区间)0,2A B ??上单调递增。

6．证明：

（1）A-P 绝对风险厌恶系数()A x c =的充要条件是期望效用函数

()cx u x Ae -=- 0A >；

（2）A-P 相对风险厌恶系数()1R x c =≠的充要条件是

()1c u x Ax B -=+ 0A >；

（3）A-P 相对风险厌恶系数()1R x =的充要条件是

()ln u x A x B =+ 0A >

证明：（1）假设()()()

u x A x c u x ''=-

='，等价于()ln u x c ''=-????，即： ()()()ln cx d cx u x cx d u x e u x Ae -+-''=-+?=?=

其中，d A e c =-。 （2）假设()()

()

xu x R x c u x ''=-

='，等价于： ()[]()()ln ln ln ln c c u x c x u x x d u x ax --'''''=-?=+?=????

在1c ≠的情况下，上式等价于()1c u x Ax B -=+。

（3）根据（2）中的计算，()1R x c ==，那么()()ln u x a x u x A x B '=?=+。

7．将A-P 绝对风险厌恶系数的倒数定义为个体的风险容忍系数（risk tolerance ）：

()()()()

1

u x RT x A x u x '=

=-'' 假设个体具有线性风险容忍系数：()RT x x αβ=+，证明 （1）0x u a be αβ-=?=-；

（2）()10,11u a bx γαβγ-=≠?=+- 1γβ=； （3）0,1ln u a b x αβ==?=+； （4）()2

0,1u a b x αβα>=-?=-- 其中a 和b 是任意常数，0b >。

证明：风险容忍系可以数改写为：

()()()()()11

ln u x RT x A x u x u x '=

=-=-

''''????

（1）0β=，()RT x α=，上式等价于()ln 1u x α''=-????，于是：

()()+ln x a c x

u x c u x e α

-''=-

+?=

从而得到x u a be α-=-。

（2）0α=，()RT x x β=，且1β≠，1γβ= 那么()ln 1u x x x βγ''=-=-????

()()ln ln ln u x x b u x bx γγ-''=+?=

从而得到)11u a bx γγ-=+-。

（3）由0,1αβ==，()RT x x =，于是有：

()()u x xu x '''-=，即()0xu x ''=????

从而得到()u x b x '=，所以ln u a b x =+。 （4）0,1αβ>=-，()RT x x α=-，于是：

()()ln 1u x x α''=--????

由于0b >，可以解得()2

u a b x α=--。

8．某人期望效用函数是单增的：()0u '>g ，并有1万元的初始财富；假设他有机会参股一项净收益为i 的风险投资。如果他选择参股份额为()01αα≤≤，他的随机收益是1r α+。证明：

（1）只要[]0E r >%，这个人的参股份额总是正值：0α>； （2）如果[]0E r ≤%，他的最优参股份额为0；

（3）如果这个人一开始拥有的不是1万元确定的财富，而是另一项期望收益为1万元

的风险资产，但这项风险资产与他要参股的项目间的收益是独立的，问题（1）和（2）的结论有无变化？

证明：（1）考虑0α=处的边际期望效用：

()()()()00d 11d E u W E u r r u E r αααα

==??''=+=??????%%%% 如果[]0E r >%，那么上式大于零，所以在初始不持有任何风险证券的情形下决定参股会

提高期望效用。

（2）与（1）中相同考虑0α=处的边际期望效用，如果[]0E r ≤%，那么式子小于零，

参股只会降低期望效用，个体不会参股。

（3）若个体手中为另一种风险证券，则同时持有两种证券的期望效用形如：

(){}

1E u y r αα-+????%%

仍然考虑在0α=处的边际期望效用

()(){}()()()[]()00d 1d E u W E u y r E u y r y E u y E r E u y y ααααα==??'=-+=--??????????''=-????????

%%%%%%%%%%

如果[]0E r >%，无法保证上式结果是正值，从而无法保证个体一定会参股；如果[]0E r ≤%，

上式必然小于零，所以个体仍然不会参股新项目。

9．某风险厌恶的投资者的初始财富是0W ，有两种可供投资的资产：资产1是无风险的，

但也不产生任何利息，投资1元钱到期收回的也是1元钱；资产2的随机收益率是r %，同时政府对资产增值课税，税率为t （如果资产净收益为负值，政府对投资者进行补贴）。所以， 如果投资者对风险资产2投资x ，余下的财富0W x -投资于安全资产1，他的随机收益是

()()011W W x x t r =-++-????%

记投资者在风险资产上的最优投资额为x *，假设这是一个内点解，即00x W *<<。 （1）证明：如果税率t 上升，投资者将提高对风险资产2的投资x *，使得()1t x *-与税率上升前的水平相等；

（2）如何解释这一悖论？

证明：（1）将随机收益写为()01W W t r

=+-%，记资产2的最优投资规模为()x x t *=，它满足期望效用最大化的一阶必要条件：

()()10E u W t r '-=????%

因为1t <，该条件又可改写为：

()0E u W r '=????%

两边同时对t 求导，得：

()()()(){}

10E u W x t t x t r

'''--=????% 从而得到()()()()()110x t t x t x t t ''--=-=????

所以必然存在()()1x t t C -≡。

（2）投资收益课税的效果实际上不同程度地“抹平”了收益的尖峰：收益越高税负越

重，而且在亏损的情况下税收变为按亏损比例的补贴。所以，这种税收政策事实上降低了投资风险。税率越高，风险降低效果越显著，风险厌恶的投资者自然会提高投资规模。

10．假设“自然”有5种可能的状态，1,2,5s =K ，每种状态出现的概率相同；两种风 险资产在各种状态下的收益如下所示：

一个风险厌恶的投资者会挑选哪一种资产？

解：根据表中数据可以计算出两只证券的期望收益同时等于0.62。

通过观察可以得出，A 在各种状态下的收益在均值附近较小的范围内波动，风险较小，应更受风险厌恶者青睐。

先计算二者在几个关键收益水平的累积概率：

x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.6 0.8

(){}

A r A F x P r x =≤%

0 0 0.4 1 1 1

(){}

B r B F x P r x =≤%

0.2 0.4 0.4 0.6 0.8 1

由上表，容易验证，任取[]0,1y ∈，都有()()d 00A B y F x F x x -≤???

??。 从而可以验证A r %二阶随机优于B r %，故风险厌恶的投资者会挑选资产

A 。

11．风险资产A 和B 的随机收益分别为A r %和B r %，如果每一个具有单增效用函数的个体

都觉得资产A 比B 强——对任何单增函数()u g 都有()()A B Eu r Eu r ≥%%，我们就称资产A 一阶

随机优于B 。记这两项资产的概率分布函数是()A F x 和()B F x ，证明：资产A 一阶随机优于

B 的充要条件是：

()()A B F x F x ≤ x ?

证明：首先其必要性是明显的，下面主要证明其充分性。

假设()()A B Eu r Eu r ≥%%，即任取单增函数()u g ，有：

()()()()d d A B u x F x u x F x ∞

∞

≥-∞-∞??

利用分部积分，将上式变为： ()()()()d d A B F x u x x F x u x x ∞∞

''-≥--∞-∞?? 由于上式对任意单增函数()u g 都成立，取：

()10u x ?=??

x y

x y ≤>

其中y 为(),-∞∞内任意实数，代入上式得：

()()d 0A

B

y

F x F x x -≤?

???-∞? 由于y 是任取的，这意味着()()A B F x F x ≤x ?

由此得到，资产A 一阶随机优于B 的充要条件是：()()A B F x F x ≤x ?。

12．如果两种资产A 和B 的随机收益都只取两种可能值：A r %以概率A p 取值0α>，以

概率1A p -取值βα>；B r %以概率B p 取值α，以概率1B p -取值β。

（1）写出A 一阶随机优于B 的条件（见问题9-11中给出的定义）；

（2）写出A 二阶随机优于B 的条件。 解：根据题意可知，概率分布函数形如：

()01i i F x p ??

=???

x x x ααββ<≤≤≥

（1）根据上题中，资产A 一阶随机优于B 的充要条件是：()()A B F x F x ≤x ?，可以得到这里资产A 一阶随机优于B 的条件是：A B p p ≤。

（2）资产A 二阶随机优于B 的唯一可能是：A B p p =。

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