组合的综合应用
组合的综合应用
探究点1 有限制条件的组合问题
课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选．
(2)至多有两名女生当选．
(3)既要有队长，又要有女生当选．
【解】 (1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．或采用排除法有C513－C511＝825种．
(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种．
(3)分两种情况：
第一类：女队长当选，有C412种；
第二类：女队长不当选，
有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44种．
故共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790种．
[变问法]在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？
解：分两类情况：
第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C511＝462种选法．第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：C411＋C411＝660种选法．
所以至多1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122 种．
有限制条件的组合问题分类
有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：
一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；
二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
1.若从1，2，3，…，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )
A．60种B．63种
C ．65种
D ．66种
解析：选A.若四个数之和为奇数，则有1个奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数．若是1个奇数3个偶数，则有C 15C 3
4＝20种，若是3个奇数1个偶数，则有C 35C 1
4＝40种，共有20＋40＝60种不同的取法．
2．(2018·江苏盐城大丰新中学高二下学期期中)现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有________种不同的选派方案．(用数字作答) 解析：根据题意，分两种情况讨论：
①甲、乙两位同学只有一人入选，只需从剩余的6人中再选出3人，有C 1
2×C 3
6＝40(种)选派方案；
②甲、乙两位同学都没有入选，只需从剩余的6人中选出4人，有C 4
6＝15(种)选派方案．则共有40＋15＝55种选派方案． 答案：55
探究点2 组合中的分组、分配问题
按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？ (1)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (2)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
(3)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．
【解】 (1)3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取2本的方法有C 2
6种，甲不论用哪种方法，取得2本书后，乙再从余下的4本书中任取2本有C 2
4种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本书中取两本书，有C 2
2种方法，所以一共有C 26C 24C 2
2＝90(种)方法．
(2)先在6本书中任取1本，作为一堆，有C 1
6种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有C 2
5种取法，最后余下3本书作为一堆，有C 3
3种取法，共有方法C 16C 25C 3
3＝60(种)． (3)分成三堆共有C 16C 25C 3
3种，但每一种分组方法又有A 3
3种不同的分配方案，故一人得1本，一人得2本，一人得3本的分法有C 16C 25C 33A 3
3＝360(种)．
在本例条件下，若甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两个人每个人得1本，有多少种分法？
解：先分成三堆，为部分均匀分组问题，共有C 46C 12C 1
1A 22种，然后分给三个人共有C 46C 12C 1
1A 22
·A 33＝90(种)．
分组、分配问题的求解策略
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种． ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n 组均匀，最后必须除以n ！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题．
分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．
(1)有多少种放法？
(2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？
(4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
解：(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44
＝256种放法．
(2)这是全排列问题，共有A 4
4＝24种放法．
(3)法一：先将4个小球分为三组，有C 24C 12C 1
1
A 22种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒
子，有A 34
种投放方法，故共有C 24C 12C 1
1A 22
·A 3
4＝144种放法．
法二：先取4个球中的两个“捆”在一起，有C 2
4种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A 3
4种投放方法，所以共有C 24A 3
4＝144种放法．
(4)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有C 34C 1
3＝12种放法． 探究点3 与几何图形有关的组合问题
如图，在以AB 为直径的半圆周上，有异于A ，B 的六个点C 1，
C 2，…，C 6，线段AB 上有异于A ，B 的四个点
D 1，D 2，D 3，D 4.
(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C 1点的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括A ，B )中的4个为顶点，可作出多少个四边形？ 【解】 (1)法一：可作出三角形C 3
6＋C 1
6·C 2
4＋C 2
6·C 1
4＝116(个)． 法二：可作三角形C 3
10－C 3
4＝116(个)，
其中以C 1为顶点的三角形有C 2
5＋C 1
5·C 1
4＋C 2
4＝36(个)． (2)可作出四边形C 4
6＋C 3
6·C 1
6＋C 2
6·C 2
6＝360(个)．
解答几何图形类组合问题的策略
(1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强．(2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可．
(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数
(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？
(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多
少种不同的取法？
解：(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个
点，从中取出3点必与点A共面共有3C35种取法；含顶点A的三条棱上各有
三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数
原理，与顶点A共面的三点的取法有3C35＋3＝33种．
(2)(间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有C410种，除去4点共面的取法种数可以得到结果．从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面．有4C46＝60种，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法为：C410－(60＋6＋3)＝141种．
探究点4 排列、组合的综合应用
从1到9的九个数字中取3个偶数、4个奇数，问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？
【解】 (1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有C34种取法；第二步，在5个奇数中取4个，可有C45种取法；第三步，3个偶数、4个奇数进行排列，可有A77种排法．所以符合题意的七位数有C34·C45·A77＝100 800(个)．
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34·C45·A55·A33＝14 400(个)．
解答排列、组合综合问题的思路及注意点
(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．
(2)解排列、组合综合问题时要注意以下两点：
①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．
将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰有1个盒子放有2个连号小球的所有不同放法有________种．(用数字作答)
解析：先把4个小球分为(2，1，1)一组，其中2个连号小球的种类有(1，2)，(2，3)，(3，4)为一组，分组后分配到三个不同的盒子里，共有C13A33＝18种．
答案：18
1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有( )
A．26种B．84种
C．35种D．21种
解析：选C.从7名队员中选出3人有C37＝7×6×5
3×2×1
＝35种选法．
2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )
A．9 B．14
C．12 D．15
解析：选A.法一(直接法)分两类：
第1类，张、王两同学都不参加，有C44＝1种选法；
第2类，张、王两同学中只有1人参加，有C12C34＝8种选法．
故共有1＋8＝9种选法．
法二(间接法)：共有C46－C24＝9种不同选法．
3．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
解析：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C48－C46＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A24＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．
答案：660
4．现有10名学生，其中男生6名．
(1)从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？
(2)从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？
(3)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？
解：(1)法一(直接法)：必须有女生可分两类：第一类只有一名女生，共有C16C14＝24种；第二类有2名女生，共有C24＝6种，根据分类加法计数原理，必须有女生的不同选法有C16C14＋C24＝30种．
法二(间接法)：C210－C26＝45－15＝30(种)．
(2)C26C24＝90(种)．
(3)C28＝28(种)．
知识结构深化拓展
1.相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行
放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了
若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一
种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方
法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元
素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象
(n≥m)，有C m－1n－1种方法．可描述为n－1个空中插
入m－1块板．
2．解决先选后排问题时，应遵循三大原则
(1)先特殊后一般；
(2)先组合后排列；
(3)先分类后分步.
[A 基础达标]
1．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A．60种B．70种
C．75种D．150种
解析：选C.根据题意，知从6名男医生中选2名、从5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有C26C15＝75(种)．
2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )
A．14种B．24种
C．28种D．48种
解析：选A.法一：分两类完成：
第1类，选派1名女生、3名男生，有C12·C34种选派方案；
第2类，选派2名女生、2名男生，有C22·C24种选派方案．
故共有C12·C34＋C22·C24＝14种不同的选派方案．
法二：6人中选派4人的组合数为C46，其中都选男生的组合数为C44，所以至少有1名女生的选派方案有C46－C44＝14种．
3．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种B．18种
C．36种D．54种
解析：选B.先将1，2捆绑后放入信封中，有C13种放法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C24×C22(种)放法，所以共有C13×C24×C22＝18(种)放法．
4．平面内有4个红点，6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任意三点不共线，过这十个点中的任意两点所确定的直线中，至少过一个红点的直线的条数是( ) A．30 B．29
C．28 D．27
解析：选B.过一个红点有C14C16－1＝23(条)直线；过两个红点有C24＝6(条)直线，所以共有23＋6＝29条直线，故选B.
5．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有( )
A．A26×A45种B．A25×54种
C．C26×A45种D．C26×54种
解析：选D.因为有且只有两个年级选择甲博物馆，所以参观甲博物馆的年级有C26种情况，其余年级均有5种选择，所以共有54种情况，根据分步乘法计数原理可得共有C26×54种情况．故选D.
6．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．
解析：男生和女生共7人，从7人中选出4人，有C47种选法．若选出的4人都是男生，有C44种选法，故选出的4人中既有男生又有女生，共有C47－C44＝34种不同的选法．
答案：34
7．从0，1，2，3，4，5这6个数中每次取3个不同的数，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有________个．
解析：先选取3个不同的数，有C36种选法；然后把其中最大的数放在百位上，另2个不同的数放在十位和个位上，有A22种放法，故共有C36A22＝40个三位数．
答案：40
8．艺术节期间，秘书处派甲、乙、丙、丁四名工作人员分别到A、B、C三个不同的演出场馆工作，每个演出场馆至少派一人．若要求甲、乙两人不能到同一演出场馆工作，则不同的分派方案有________种．
解析：(间接法)四个人分别到三个不同的演出场馆工作，每个演出场馆至少派一人的方法种数为C24A33＝36，甲、乙两人在同一演出场馆工作的方法数为A33＝6，故不同的分派方案有36－6＝30(种)．
答案：30
9．某志愿者小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人去参加志愿活动，下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生；
(2)两队长当选．
解：(1)一名女生，四名男生，故共有C15·C48＝350(种)．
(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165(种)．
10．有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，有多少种不同的选法？
解：设集合A＝{只会划左舷的3人}，B＝{只会划右舷的4人}，C＝{既会划左舷又会划右舷的5人}．先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人．
第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在集合B，C中选3人，有C39种选法，同理可得②③④的选法种数．故共C33C39＋C23C15C38＋C13C25C37＋C03C35C36＝2 174种不同的选法．
[B 能力提升]
11．
如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为( )
A．208 B．204
C．200 D．196
解析：选C.任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C34；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C33；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C33，所以可以构成三角形的组数为：C312－3C34－8C33＝200，故选C.
12．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．
解析：定向分配问题，先分组后分配．将8张奖券分四组，再分配给4个人．分四组有两种方法：一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4个人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4个人有C23A24种分法．所以不同的获奖情况有A44＋C23A24＝24＋36＝60种．
答案：60
13．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解：法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：
(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位，有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C14C12C13·22个．
(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C24·22·A33个．
(3)0和1都不取，有不同的三位数C34·23·A33个．
综上所述，共有不同的三位数：
C14C12C13·22＋C24·22·A33＋C34·23·A33＝432个．
法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C35·23·A33个，其中0在百位的有C24·22·A22个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C35·23·A33－C24·22·A22＝432个．
14．(选做题)已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680种．
(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法A14·(C16·C33)A44＝576种．
两个计数原理与排列、组合(强化练)
一、选择题
1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7种B．12种
C．64种D．81种
解析：选B.要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法．故共有4×3＝12种不同的配法．
2．从n个人中选出两人，分别从事两项不同的工作，若选派方案的种数为72，则n的值为( )
A．6 B．9
C．12 D．15
解析：选B.因为A2n＝72，所以n＝9.
3．将4名大学生分配到A，B，C三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A学校，则不同的分配方案共有( )
A．36种B．30种
C．24种D．20种
解析：选C.根据题意，首先分配甲，有2种方法，再分配其余的三人：分两种情况，①其中有一个人与甲在同一个学校，有A33＝6种情况，
②没有人与甲在同一个学校，则有C23·A22＝6种情况；
则若甲要求不到A学校，则不同的分配方案有2×(6＋6)＝24种，故选C.
4．有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有( )
A．72种B．54种
C．48种D．8种
解析：选C.用分步乘法计数原理：第一步：先排每对师徒有A22·A22·A22，
第二步：将每对师徒当作一个整体进行排列有A33种，由分步乘法计数原理共有A33·(A22)3＝48种．
5．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是( )
A．36 B．42
C．48 D．54
解析：选C.若从0，2，4中取一个数字是“0”，则“0”不放百位，有C12种放法，再从1，3，5中取两个数字放在其他两位，有A23种放法，共组成C12·A23＝12个三位数；若从0，2，4中取的一个数字不是“0”，则有C12种取法，再从1，3，5中取两个数字有C23种取法，共组成C12C23·A33＝36个三位数．所以所有不同的三位数有12＋36＝48(个)．
6．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为( )
A．80 B．120
C．140 D．50
解析：选A.首先选2个人放到甲组，共有C25＝10种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个小组，每组至少一人，共有C23A22＝6种结果，所以根据分步乘法计数原理知有10×6＝60种结果；当甲组中有三个人时，有C35A22＝20种结果．所以共有60＋20＝80种结果．故选A. 7．安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为( )
A．72种B．96种
C．120种D．156种
解析：选B.甲、乙、丙三位教师安排星期一至星期六的任意三天，其余三天丁值日，故有A36＝120种，其中丁没有连续的安排，安排甲、乙、丙三位教师后形成了4个间隔，任选3个安排丁，故有A33C34＝24种，故丁至少要有两天连续安排120－24＝96种，故选B.
8．某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有( )
A．27种B．30种
C．33种D．36种
解析：选B.因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案，①2，2，1方案：甲，丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有：C23×A33＝18种；②3，1，1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列，共有C12×A33＝12种；所以不同的选派方案共有18＋12＝30种．故选B.
9．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有( )
A．324个B．216个
C ．180个
D ．384个
解析：选A.个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有C 2
3·A 3
3·C 1
4＋A 3
3·C 1
3＝90(个)；个位、十位和百位上的数字为1个偶数、2个奇数的有C 2
3·A 3
3·C 1
4＋C 1
3·C 2
3·A 3
3·C 1
3＝234(个)．根据分类加法计数原理得到共有90＋234＝324(个)．故选A.
10．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一条信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息条数为( ) A ．10 B ．11 C ．12
D ．15
解析：选B.由题意可分为3类．
第一类，任两个对应位置上的数字都不相同，有C 04种方法． 第二类，有1个对应位置上的数字相同，有C 1
4种方法． 第三类，有2个对应位置上的数字相同，有C 24种方法． 故共有C 0
4＋C 1
4＋C 2
4＝11(条)，故选B. 二、填空题
11．若A 7
n －A 5n
A 5n ＝89，则n ＝________．
解析：A 7
n －A 5
n A 5n ＝（n －5）（n －6）A 5
n －A 5
n
A 5
n ＝(n －5)(n －6)－1＝89， 即n 2
－11n －60＝0，
解得n ＝15或n ＝－4(舍去)． 答案：15
12．有5名男生和2名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，则不同的选法共有________种．
解析：由题意知，从7人中选出5人担任5个学科科代表，共有A 5
7＝2 520(种)不同的选法． 答案：2 520
13．(2018·江西临川一中高二下学期月考)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色的方法有________种．
解析：若1，3不同色，则1，2，3，4必不同色，有3A 4
4＝72(种) 涂色方法；若1，3同色，有C 1
4×A 3
3＝24(种)涂色方法．根据分类加法计数原理可知，共有72＋24＝96(种)涂色方法． 答案：96
14．从－7，－5，－2，－1，1，2，5，7中任取3个不同的数作为椭圆ax 2
＋by 2
－c ＝0的系数，则能确定的椭圆的个数为________．
解析：椭圆方程化为标准形式为x 2c a ＋y 2
c b
＝1.
由c a ＞0，c b
＞0，得a ，b ，c 同号．
当a ，b ，c 同为正数时，取三个不同的数有A 3
4种取法，可得A 3
4＝24个椭圆．
当a ，b ，c 同为负数时，取三个不同的数有A 3
4种取法，可得A 3
4＝24个椭圆，但此时每个椭圆均与a ，b ，c 同为正数时重复，如a ＝－7，b ＝－5，c ＝－2与a ＝7，b ＝5，c ＝2对应的椭圆重复．所以能确定的椭圆有24个． 答案：24 三、解答题
15．现有10件产品，其中有2件次品，任意取出3件检查． (1)若正品A 被取到，则有多少种不同的取法？ (2)恰有一件是次品的取法有多少种？ (3)至少有一件是次品的取法有多少种？ 解：(1)C 2
9＝9×82
＝36(种)．
(2)从2件次品中任取1件，有C 1
2种取法，从8件正品中任取2件，有C 2
8种取法，由分步乘法计数原理得，不同的取法共有C 12×C 2
8＝2×8×72
＝56种．
(3)法一：含1件次品的取法有C 12C 2
8种，含2件次品的取法有C 2
2×C 1
8种，由分类加法计数原理得，不同的取法共有C 1
2×C 2
8＋C 2
2×C 18＝56＋8＝64种．
法二：从10件产品中任取3件，取法有C 3
10种，不含次品的取法有C 3
8种，所以至少有1件次品的取法有C 3
10－C 3
8＝64种．
16．7名班委中有A ，B ，C 三人，有7种不同的职务．现对7名班委进行职务具体分工． (1)若正、副班长两职只能从A ，B ，C 三人中选两人担任，则有多少种分工方案？ (2)若正、副班长两职至少要选A ，B ，C 三人中的一人担任，则有多少种分工方案？ 解：(1)先安排正、副班长有A 2
3种方法，再安排其余职务有A 5
5种方法．由分步乘法计数原理知共有A 23A 5
5＝720种方法．
(2)7人的任意分工方案有A 7
7种，A ，B ，C 三人中无一人任正、副班长的分工方案有A 2
4·A 5
5种，
因此A ，B ，C 三人中至少有一人任正、副班长的方案有A 77－A 24·A 5
5＝3 600(种)． 17．5男5女共10个同学排成一行． (1)女生都排在一起，有几种排法？ (2)女生与男生相间，有几种排法？ (3)任何两个男生都不相邻，有几种排法？ (4)5名男生不排在一起，有几种排法？
解：(1)将5名女生看作一人，就是6个元素的全排列，有A 6
6种排法．又5名女生内部有A 5
5种排法，所以共有排法A 6
6·A 5
5＝86 400种．
(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，所以女生与男生相间共有排法2A 5
5·A 5
5＝28 800种．
(3)女生先排，女生之间及首尾共有6个空隙．任取其中5个安插男生即可，因而任何男生都不相邻的排法共有A 5
5·A 5
6＝86 400种．
(4)直接分类较复杂，可用间接法．即从10个人的排列总数中，减去5名男生排在一起的排法数，得5名男生不排在一起的排法数为A 10
10－A 55A 6
6＝3 542 400种．
18．把4个男同志和4个女同志平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况． (1)有几种不同的分配方法？
(2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志，有几种不同的分配方法？ (3)男同志与女同志分别分组，有几种不同的分配方法？
解：(1)男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成，先安排2人上第一个车，共有C 2
8种，再上第二个车共有C 2
6种，再上第三个车共有C 2
4种，最后上第四个车共有C 2
2种，按分步乘法计数原理有C 2
8·C 2
6·C 2
4·C 2
2＝2 520种．
(2)要求男女各1人，因此先把男同志安排上车，共有A 4
4种不同方法，同理，女同志也有A 4
4种方法，由分步乘法计数原理，车上男女各1人的不同分配方法为A 4
4·A 4
4＝576种． (3)男女分别分组，4个男的平均分成两组共有C 2
42＝3种，4个女的平均分成两组也有C 2
4
2＝3
种不同分法，这样分组方法就有3×3＝9种，对于其中每一种分法上4辆车，又有A 4
4种上法，因而不同分配方法为9·A 4
4＝216种．
排列组合综合应用
1.一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求推出一个节目单： （1）前4个节目中要有舞蹈； （2）3个舞蹈节目要排在一起； （3）3个舞蹈节目彼此隔开； （4）现要加进2个相声节目，且相声前面要是舞蹈，后面是唱歌； 2.一次活动奖品是最新的书： （1）6本不同的书分给5个人； （2）5本不同的书分给6个人，每人至多1本； （3）5本相同的书分给6个人，每人至多1本； 3.从0,1,2,3,4,5,6这7个数字组成的无重复数字的自然数，求： （1）六位偶数；（1）不重复六位偶数 （2）三个偶数互不相邻的6位数； （3）恰有两个偶数相邻； （4）有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数； （5）有多少个数字1,2,3必须由大到小顺序排列的六位数； （6）能被3整除的数； （7）比455555大的6六位数； 4.有6名男医生，4名女医生 （1）选3名男医生，2名女医生，去五个不同的地方出诊； （2）10人分成两组，每组都要有女医生； （3）10人分成两组，每组都要有女医生，两组分到两个不同的地方，且每组选出正副组长两人； （4）10人分成四组，去4个地方出诊，其中两个地方需要3人，两个地方需要2人； 5.有4名男生，5名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数： （1）选其中5人排成一列；（2）全体排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3）全体排成一排，女生必须站在一起；（4）全体排成一排，男生互不相邻； （5）全体排成一排，甲乙两人中间恰好有3人；（6）全体排成一排，且甲乙丙三人顺序不变；（7）排成前后两排，前排3人，后排4人；（8）排成前后两排，甲不能在前，乙不能在后；（9）排成前后两排，前排4人，后排5人，甲乙不能相邻，且不能站在前排中间； （10）全体排成一圈
排列与组合的综合应用.
高三数学(理一轮复习—— 10.3排列与组合的综合应用 教学目标:1. 进一步加深对排列、组合意义理解的基础上,掌握有关排列、组合综合题的基本解 法,提高分析问题和解决问题的能力,学会分类讨论的思想. 2. 使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用方法。 教学重点:排列组合综合题的解法。教学过程: 一.主要知识: 解排列组合问题,首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成,对于元素之间的关系, 还要考虑“是有序”的还是“无序的” ,也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法: 1.特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。 2.科学分类法:对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行 3.分配、分组(堆问题的解法: 4. 插空法 :解决一些不相邻问题时, 可以先排一些元素然后插入其余元素, 使问题得以解决。 5.捆绑法:相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个” 6.排除法:从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法 . 7.剪截法(隔板法 :n 个相同小球放入m(m≤ n 个盒子里 , 要求每个盒子里至少有一个小球
的放法等价于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1个结点剪成 m 段 (插入 m -1块隔板 , 有 11 --m n C 种方法 . 8. 错位法:编号为 1至 n 的 n 个小球放入编号为 1到 n的 n 个盒子里 , 每个盒子放一个小球 . 要求小球与盒子的编号都不同 , 这种排列称为错位排列 . 特别当 n=2,3,4,5时的错位数各为 1,2,9,44.2个、 3个、 4个元素的错位排列容易计算。关于 5个元素的错位排 列的计算,可以用剔除法转化为 2个、 3个、 4个元素的错位排列的问题: ① 5个元素的全排列为:5 5120A =; ②剔除恰好有 5对球盒同号 1种、恰好有 3对球盒同号 (2个错位的 351C ?种、恰好有 2对球盒同号 (3个错位的 252C ?种、恰好有 1对球盒同号 (4个错位的 1 59C ?种。 ∴ 120-1-351C ?-252C ?-1 59C ?=44. 用此法可以逐步计算:6个、 7个、 8个、……元素的错位排列问题。 二.典例分析 【题型一】“分配” 、“分组”问题 例 1.将 6本不同的书按下列分法,各有多少种不同的分法? ⑴分给学生甲 3 本,学生乙 2本,学生丙 1本;
组合数学在计算机中的应用
目录 摘要 (1) 1.组合数学概述 (1) 2.组合数学在生活中的应用 (1) 3.组合数学与计算机软件 (1) 3.1 信息时代的组合数学 (2) 3.2 组合数学在计算机软件的应用 (2) 3.3组合数学与计算机软件的关系 (2) 3.4组合数学在国外软件业的发展状况 (2) 4 Ramsey 数在计算机科学中的应用 (3) 4.1Ramsey 定理和Ramsey 数 (3) 4.2信息检索 (3) 参考文献 (5)
组合数学在计算机中的应用 摘要：介绍了组合数学的概念、起源与研究的主要内容,分析了组合数学的特点以及其在生活中的应用,阐述了组合数学与计算机软件的联系,并着重通过两个例子说明了Ramsey 数在计算机科学的信息检索中的重要应用。 关键词：组合数学;组合算法;Ramsey 数;信息检索; 1：组合数学概述 组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。 2：组合数学在生活中的应用 在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。 当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的事，你往往需要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一个很难的组合数学问题，即使用计算机也是不容易解决的。航空调度和航班的设定也是组合数学的问题。怎样确定各个航班以满足不同旅客转机的需要，同时也使得每个机场的航班起落分布合理。此外，在一些航班有延误等特殊情况下，怎样作最合理的调整，这些都是组合数学的问题。 组合数学在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。 总之，组合数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关系中找出最优的方案。所以组合数学完全可以看成是一门量化的关系学，一门量化了的运筹学，一门量化了的管理学。 3：组合数学与计算机软件 随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们的工作，生活，学习，社会活动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。
排列数、组合数公式及二项式定理的应用
排列数、组合数及二项式定理整理 慈济中学全椒 刘 1、排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n Λ=！！ )(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)． 2、排列恒等式 (1) 1(1)m m n n A n m A -=-+;(2) 1m m n n n A A n m -= -;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5) 1 1m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+-L . 3、组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤). 4、组合数的两个性质 (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1 +. 5、排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?！ . 6、二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L 【注】： 1．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 2．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
排列组合综合应用
第九讲 排列组合综合应用 【内容概述】 乘法原理是指做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m 1种不同的方法， 做第二步有m 2种不同的方法…做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×……×m n 种不同方法（即每一步都不能单独完成这件事情，需要所有步骤合在一 起才能完成这件事情） 加法原理是指做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中，有m 1种不同的 方法，在第二类办法中，有m 2种不同的方法……在第n 类办法中，有m n 种不同的方法。 那么完成这件事共有N=m 1+m 2+m n 种不同方法。（即每一类办法都能独立完成，每一类与 另一类不重复，所有这些类型合起来构成这个事情） 【典型题解】 例1 某人到食堂去买饭，食堂里有4种荤菜，3种素菜，2种汤，他要各买一样，共有多少种不同的买法？ 【答案解析】根据题目条件可知，买饭可以分3个步骤。直接利用乘法原理计算。 不同的买法的种数：24234=??（种） 练习一“IMO ”是国际数学奥林匹克的缩写，把这三个字母用三种不同的颜色来写，现有五种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？ 【答案解析】根据题目条件可知，写完IMO 可以分三个步骤，第一步写“I ”有5种写法，第二步写“M ”有4种写法，第三步写“O ”有3种写法。直接利用乘法原理计算。 不同的写法的种数60345=??（种） 例2 一个篮球队，五名队员A 、B 、C 、D 、E ，由于某种原因，C 不能做中锋，而其余 四人可以分配到五个位置的任何一个上，问：共有多少种不同的站位方法？ 【答案解析】把球场的上的五个位置分别称为1、2、3、4、5号位；令1号位为中锋，由于C 不能做中锋，那么还有4种不同的选择方法，2号位还有剩下的4个人可供选择，3号位还有剩下的3个人可供选择，4号位还有剩下的2个人可供选择，5号位只剩个人可供选择，根据乘法原理，它们的积就是全部的选择方法． 不同的站位方法：9612344=????（种） 练习二 广州电话号码有8个数码，其中第一个数字不为0，而且数字不重复，这样的电话号码共有多少个？ 【答案解析】首先考虑第1个位置，有9种选择。其它位置根据乘法原理，依次有9、8、7、6、5、4、3种选择。 电话号码个数：163296034567899=???????（个）
高考一轮复习教案十二(3)排列与组合的综合应用(教师)文科用
模块：十二、排列组合、二项式定理、概率统计 课题：3、排列与组合的综合应用 教学目标：进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想． 掌握解决排列、组合问题的一些常用方法． 重难点：掌握解决排列、组合问题的一些常用方法． 一、知识要点 常用解题方法： 1、特殊优先法 2、分类讨论法 3、分组（堆）问题 4、插空法 5、捆绑法 6、排除法 7、隔板法 8、错位法 9、容斥法 二、例题精讲 例1、将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？ （1）分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本； （2）分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本； （3）分给甲、乙、丙3人，每人2本； （4）分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本； （5）分成3堆，每堆2 本 （6）分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本； （7）分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本。 答案：（1）60；（2）360；（3）90；（4）60；（5）15；（6）90；（7）15． 例2、求不同的排法种数： （1）6男2女排成一排，2女相邻； （2）6男2女排成一排，2女不能相邻； （3）4男4女排成一排，同性者相邻； （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻． 答案：（1）10080；（2）30240；（3）1152；（4）1152.
例3、有13名医生,其中女医生6人．现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区,若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为P ，则下列等式 （1）514 1376;C C C - （2）23324157676767C C C C C C C +++; （3）514513766C C C C --; （4）23 711C C ; 其中能成为P 的算式有_________种． 答案：（2）（3） 例4、对某种产品的6件不同正品和4件不同次品,一一进行测试,到区分出所有次品为止．若所有次品恰好在第五次测试被全部发现,则这样的测试方法有 种． 答案：576种 例5、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前有增加了2个新节目,如果将这两节目插入节目单中,那么不同的插法种数为 ． 答案：42. 例6、从10 种不同的作物中选出6 种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内,那么不同的放法共有 种． 答案：120960 例7、将3种作物种植在如图的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的 试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有________种． 答案：42 例8、四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有 种． 答案：141种 例9、从黄瓜，白菜，油菜，扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 种． 答案：18种 例10、有四个不同的小球,全部放入四个不同的盒子内,恰有两个盒子不放球的放法总数为
小学数学《排列组合的综合应用》练习题(含答案)
小学数学《排列组合的综合应用》练习题（含答案） 例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？ 分析首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理. 解：符合要求的选法可分三类： 不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有 5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有 5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的. 因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 15＋10＋ 6＝31种. 注运用两个基本原理时要注意： ①抓住两个基本原理的区别，千万不能混. 不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数. 不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数. ②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分. ③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的. 例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列. 分析要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式. 解：
2019版高考数学一轮总复习第十一章计数原理和概率题组训练88专题研究排列组合的综合应用理20180
题组训练88 专题研究 排列组合的综合应用 1．下列函数是正态密度函数的是(μ、σ(σ＞0)都是实数)( ) A ．f(x)＝ 12πσ e （x －μ） 2 2σ2 B ．f(x)＝2π2πe －x 2 2 C ．f(x)＝12 2πe －x －σ 4 D ．f(x)＝－1 2π e x 2 2 答案 B 解析 A 中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C 中的函数无对称轴，D 中的函数图像在x 轴下方，所以选B. 2．(2018·甘肃河西五市联考)设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ>2)＝p ，即P(－2<ξ<0)＝( ) A.1 2＋p B ．1－p C.1 2－p D ．1－2p 答案 C 解析 由对称性知P(ξ≤－2)＝p ，所以P(－2<ξ<0)＝1－2p 2＝1 2 －p. 3．(2017·广东佛山一模)已知随机变量X 服从正态分布N(3，1)，且P(2≤ξ≤4)＝0.682 6，则P(ξ>4)＝( ) A ．0.158 8 B ．0.158 7 C ．0.158 6 D ．0.158 5 答案 B 解析 由正态曲线性质知，其图像关于直线x ＝3对称， ∴P (ξ>4)＝1－P （2≤ξ≤4）2＝0.5－1 2 ×0.682 6＝0.158 7，故选B. 4．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2 )，P (ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.954 B ．0.977 C ．0.488 D ．0.477 答案 A 解析 P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝0.954. 5．(2017·南昌调研)某单位1 000名青年职员的体重x(单位：kg)服从正态分布N(μ，22 )，且正态分布的密度曲线如图所示，若体重在58.5～62.5 kg 属于正常，则这1 000名青年职
排列与组合的应用.
排列与组合的应用 四川成都市大弯中学 李植武 摘要 在信息学奥林匹克竞赛中，多次出现了排列与组合的竞赛题目。本文介绍了排列与组合的概念、公式，重点讲解了排列与组合的生成算法，最后通过几个竞赛题目的解决，体现了排列与组合在信息学竞赛中的应用。 关键词 排列 组合 生成 应用 说明：本文中的pascal 程序在Lazarus v0.9.22 beta 下调试完成，c 程序dev-c++ 4.9.9.2下调试完成，所有程序通过相应数据测试。 一、排列与组合 1．排列及公式 (1)线排列 一般地，从n 个不同元素中，取出m(m ≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个线排列；从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有线排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数， 用符号 m n A 表示。 )! (!A 1)-m -...(n )2)(1(m n m n n n n n A m n -= --= 规定 0！＝1。 (2)圆排列 从n 个不同元素中取出m 个元素按照某种次序（如逆时针）排成一个圆圈， 称这样的排列为圆排列，圆排列个数为)! (! m n m n m A m n -= 。 因为从n 个不同元素中取出m 个元素排成一列的个数是m n A 。不妨设一个排 列是：a 1a 2…a m 。而这个排列与排列a 2…a m a 1, a 3…a m a 1a 2,…, a m a 1a 2…a m-1，是一样 的圆排列，共有m 个，所以一个圆排列对应m 个普通排列，所以有圆排列数m A m n 。 (3)无限重排列 从n 个不同元素中取r 个元素按次序排列，每个元素可以取无限次，这样的排列称为无限重排列。显然，其排列数为n r 。 (4)有限重排列 从k 个不同元素{ a 1a 2…a k }中取n 个元素按次序排列，元素a i 可以取r i 次,r 1+r 2+...+r k =r ，这样的排列称为有限重排列。 实际上,这个问题与下面的问题等价：
(完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2 类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的 排法
第六讲排列组合的综合应用
第六讲排列组合的综合应用 排列组合是数学中风格独特的一部分内容.它具有广泛的实际应用.例如：某城市电话号码是由六位数字组成，每位可从0～9中任取一个，问该城市最多可有多少种不同的电话号码？又如从20名运动员中挑选6人组成一个代表队参加国际比赛.但运动员甲和乙两人中至少有一人必须参加代表队，问共有多少种选法？回答上述问题若不采用排列组合的方法，结论是难以想像的.（前一个问题，该城市最多可有1000000个不同电话号码.后一个问题，代表队有20196种不同选法.） 当然排列组合的综合应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握. 例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？ 分析首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理. 解：符合要求的选法可分三类： 不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有 5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有 5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的. 因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 15＋10＋ 6＝31种. 注运用两个基本原理时要注意： ①抓住两个基本原理的区别，千万不能混. 不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数. 不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.
组合的综合应用
组合的综合应用 探究点1 有限制条件的组合问题 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选． (2)至多有两名女生当选． (3)既要有队长，又要有女生当选． 【解】 (1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．或采用排除法有C513－C511＝825种． (2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种． (3)分两种情况： 第一类：女队长当选，有C412种； 第二类：女队长不当选， 有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44种． 故共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790种． [变问法]在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？ 解：分两类情况： 第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C511＝462种选法．第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：C411＋C411＝660种选法． 所以至多1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122 种． 有限制条件的组合问题分类 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类： 一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数； 二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 1.若从1，2，3，…，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( ) A．60种B．63种
排列组合的应用
排列组合应用（一）排列 解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列问题，那是否有序，抓住问题本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时要讲究一些基本策略与方法技巧。 1、特殊元素的“优先按排法”。 例1、用0、1、2、3、4这五个数字，组成没有重复的三位数，其中偶数共有多少？ （分析）由于三位数是偶数，故末尾数字必须是偶数，以“0”不能排在首位，所以“0”就是其中特殊元素，优先按排。按“0”在末尾 和不在末尾分为两类。共A2 4+A1 2 A1 3 A1 3 =30种。 2、相邻问题有“捆绑法”。对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将先相邻的元素“捆绑”起来，作为一个“大”的元素，与其他元素排列，然后再对相邻元素的内部进行排列。 例2、7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻有多少种不同的排法？ （分析）先把甲乙丙三人“捆绑“看作一个元素，与其余4个元素进 行排列再对甲、乙、丙三人进行排列。共A5 5A3 3 种。 3、不相邻问题有“插空法”。对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙间插入即可。 例3、7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人不相邻有多少种不同的排法？
（分析）先让其余4人站好，有A4 4 种排法，这时有5个“空隙”可 供甲、乙、丙选取，即A3 5种。共A4 4 A3 5 种排法。 4、间接法或淘汰法。理解题中的要求，把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减。 例4、5名男生，5名女生排成一行，其中5名男生不排在一起，有几种排法？ （分析）先计算出10人的全排列数，再减去5名男生排在一起的排 列数即可。共A10 10—A5 5 A6 6 排法。 5、合理分类与准确分步。解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情发生的连续性分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 例5、五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，共有多少种不同站法 （分析）若甲在第二位置上其余4人可自由按排，有A4 4 种； 若甲在第3、4、5位置上，则乙可站在其他3个位置上，有A1 3A1 3 A3 3 种；共A4 4+ A1 3 A1 3 A3 3 种排法。 或用间接法：①甲在第一位置，乙在第二位置有A3 3 种；②甲在第一 位置，乙不在第二位置有A1 3A3 3 种；③甲不在第一位置，乙在第二位 置有A1 3A3 3 种；即共有A3 3 + A1 3 A3 3 + A1 3 A3 3 种不符合要求，则符合要求 的有A5 5—(A3 3 + A1 3 A3 3 + A1 3 A3 3 )种。 6、顺序固定问题有“除法”。对于某几个元素顺序一定的排列问题，
7-5-1 组合的基本应用(一).教师版【小学奥数精品讲义】
1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合； 3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等． 一、组合问题知识要点 教学目标 7-5-1.组合的基本应用（一） 1
2 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的 组合数．记作m n C ． 一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =?． 因此，组合数12)112321 ?-?-??-+==?-?-????m m n n m m P n n n n m C P m m m （）（（） （）（）． 这个公式就是组合数公式． 二、组合数的重要性质
排列与组合综合用题
排列与组合的综合应用题（2） 授课教师：黄冈中学高级教师汤彩仙 一、知识概述 例1、有13名医生，其中女医生6人．现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，设不同的选派方法种数为P，则下列等式： ①②；③；④； 其中能成为P 的算式有________．（填序号） 答案：②③ 例2、袋中有3个不同的红球，4个不同的黄球，每次从中取出一球，直到把3个红球都取出为止，共有多少种不同的取法？ 解：＋＋＋＋=4110（种）． 例3、某停车场有连成一排的9个停车位，现有5辆不同型号的车需要停放，按下列要求各有多少种停法？（1）5辆车停放的位置连在一起； （2）有且仅有两车连在一起； （3）为方便车辆进出，要求任何3辆车不能在一起. 解：（1）（种）．
（2）（种）． （3）要求任何3辆车不能连在一起，可以分成①5辆车均不相邻，②有且仅有两辆车相邻，③有2组2辆车相邻，三种情况． 有． 例4、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内： （1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？ （2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ （3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？解：（1）． （2）． （3）（种）． 法二：恰有两个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为种； 恰有三个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为种； 恰有五个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为1种； 故至少有两个球的编号与盒子编号是相同的投法数为
例5、某学习小组有8名同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男女同学分别有多少人？ 解：设有男生x人，女生8－x人，（x∈N＋，且2≤x≤7）． 则有，即x（x－1）（8－x）=60． ∴x＝6或x＝5． ∴男生6人，女生2人或男生5人，女生3人． 例6、一栋7层的楼房备有电梯，现有A，B，C，D，E五人从一楼进电梯上楼，求：（1）有且仅有一人要上7楼，且A不在2楼下电梯的所有可能情况种数． （2）在（1）的条件下，一层只能下1个人，共有多少种情况？ 解：（1）分A上不上7楼两类A上7楼，有54种；A不上7楼，有4×4×53种．共有54＋4×4×53=2625种． （2）（种）． 例7、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有__________种．（以数字作答） 解：（种）．
组合(4)——组合、组合数的综合应用(2)
组合（4）——组合、组合数的综合应用（2） 一、课题：组合（4）——组合、组合数的综合应用（2） 二、教学目标：1．掌握排列组合一些常见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组 合概念解决排列组合问题．； 2．提高合理选用知识解决问题的能力。 三、教学重、难点：排列、组合综合问题。 四、教学过程： （一）复习、引入： 1．两个基本原理； 2．排列和组合的有关概念及相关性质。 （二）新课讲解： 例1 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分为三份，每份2本； （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。 解：（1）根据分步计数原理得到：902 22426=C C C 种； （2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有2 22426C C C 种方法，这个过程可以分两步完成：第 一步分为三份，每份两本，设有x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同 学有3 3A 种方法．根据分步计数原理可得： 3 3222426xC C C C =， 所以153 3 2 2 2426==A C C C x ． 因此，分为三份，每份两本一共有15种方法。 说明：本题是分组中的“均匀分组．．．． ”问题． 一般地：将mn 个元素均匀分成n 组（每组m 个元素），共有 m m m mn mn m m n n C C C A -???种 方法。 （3）这是“不均匀分组”问题，一共有603 32516=C C C 种方法． （4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有3603 3332516=A C C C 种方法． （5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有902 22426=C C C 种 方法；②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有3603 3332516=A C C C 种方法；③“1、1、4型”，有903 346=A C 种方法， 所以，一共有90+360+90＝540种方法． 例2 身高互不相同的7名运动员站成一排， （1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？ （2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？
四年级数学第六讲排列组合的综合应用_3
四年级数学第六讲：排列组合的综合应用 基础班 1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？ 2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？ 3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？ 4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？ 5.有两个小盒子，第一个盒子中有标有数字1，2，3，…，10的十张卡片，第二个盒子中有标有11，12，13，…，20的十张卡片.若从两个盒子中各拿出一张卡片相加，一共可列出多少种不同的加法式子？ 6.小文和小静两位同学帮花店扎花，要从三只篮子中各取一只花扎在一起，已知每只篮子里都有3种不同的花，问她们可以扎成多少种不同式样的花束？ 7.某学校组织学生开展登山活动.在山的北坡有两条路直通山项；在山的南坡也有两条路，一条直通山顶，另一条通向山腰小亭，从小亭有两条路通向山顶；山的西坡有两条路通向山间寺庙，由寺庙有两条路通向山顶.要登上山顶共有多少种不同的道路？ 解答 1.若投一封信看作一个步骤，则完成投信的任务可分三步，每封信4个邮筒都可投，即每个步骤都有4种方法.故由乘法原理：共有不同的投法4×4×4=64种. 2.甲（或乙）胜就写一个甲（或乙）字， 画树形图：
由图可见共有14种可能. 甲甲、甲乙甲甲、甲乙甲乙甲、甲乙甲乙乙、甲乙乙甲甲、甲乙乙甲乙、甲乙乙乙、乙甲甲甲、乙甲甲乙甲、乙甲甲乙乙、乙甲乙甲甲、乙甲乙甲乙、乙甲乙乙、乙乙. 3.现有4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，则站在两端的都是女同学.将位置从右到左编号，第1、3、5、7号位是女同学，第2、4、6号位是男同学.于是完成适合题意的 排列可分两步： 第一步：从6名女同学中任选4名排在第1、3、5、7号位.有P46种排法. 第二步：从5名男同学中任选3名排在第2、4、6号位，有P35种排法. 因此，由乘法原理排出不同队形数为 P46·P35=6×5×4×3×5×4×3=21600. 4.图示： 分两类： 第一类：十万位上是3或5之一的六位偶数有 P12·P14·P45个. 第二类：十万位上是4或6之一的六位偶数有 P12·P13·P45个. ∴P12P14P45+P12P13P45=1680.
六年级下册数学试题-奥数专练：排列组合综合应用(含答案)全国通用
板块一：排列 两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同。如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列。 排列的基本问题是计算排列的总个数。 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做P n m或A n m。 根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成： 步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法； 步骤2：从剩下的(n－1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(n－1)种方法； …… 步骤m：从剩下的[n－(m－1)]个元素中任取一个元素排在第m个位置，有n－(m－1)＝n－m＋1种方法； 由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是n·(n－1)·(n－1)……(n－m＋1)，即P n m＝n(n－1)(n－1)……(n－m＋1)，这里，m≤n，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘。 板块二：组合 一般地，从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关。如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。 从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数。 记作C n m或 m n ?? ? ?? 。 接下来研究如何求组合数。举个例子，从3个不同元素a，b，c的当中取出2个元素的组合数是多少？ 由于从3个不同元素中取出2个的排列数可以求得，我们可以考察一下组合数与排列数的关系，从3个不同元素a，b，c中取出2个元素的组合与排列的关系如下： a，b a，b；b，a b，c b，c；c，b a，c a，c；c，a 从上面可以看出，每一个组合对应着2个排列。因此，求从3个不同的元素中取出2个元素的排列数，可以分为以下两步： 第一步：考虑从3个不同元素中取出2个元素的组合，由组合数公式，有C32种取法； 排列组合综合应用
排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)
授课时间学员年级课时总数 教学目标教学重点教学难点 教学过程 尊重 ·乐学 ·博识 学员数学科目第次个性化教案 教师姓名备课时间 高二课题名称排列组合问题的解题策略 共课时教育顾问学管邱老师 1、两个计数原理的掌握与应用； 2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握； 3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题） 1、两个计数原理的掌握与应用； 2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握； 运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题） 教师活动 一、作业检查与评价（第一次课程） 二、复习导入 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真 审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用 合理恰当的方法来处理。 三、内容讲解 1.分类计数原理 ( 加法原理 ) 完成一件事，有n 类办法，在第 1 类办法中有m1种不同的方法，在第 2 类办法中有m2种不同的方法，?，在第n 类办法中有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有： N m1 m2m n 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第1步有 m1种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法，?，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有： N m1m2m n 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题( 有序 ) 还是组合 ( 无序 ) 问题 , 元素总数是多少及取出多少个元 素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 排列组合问题的解题策略