人教版九年级数学二次函数专题卷(有答案)

人教版九年级数学二次函数专题卷（有答案）

一、单选题（共12题；共24分）

1.抛物线的顶点坐标是（）

A. B. C. D.

2.二次函数y=－x2+2x+4的最大值为（）

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

3.抛物线的顶点坐标是（）

A. （1，2）

B. （－1，2）

C. （1，－2）

D. （－1，－2）

4.已知抛物线y=x2+x-1经过点P(m，5)，则代数式m2+m+2006的值为（）

A. 2012

B. 2013

C. 2014

D. 2015

5.对于抛物线y=2（x-5）2+3，下列说法正确的是（）

A. 开口向下，顶点坐标（5,3）

B. 开口向上，顶点坐标（5,3）

C. 开口向下，顶点坐标（-5,3）

D. 开口向上，顶点坐标（-5,3）

6.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y与x的函数关系是（）

A. y=x2+a

B. y=a(x-1)2

C. y=a(1-x)2

D. y=a(1+x)2

7.在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2（x﹣1）2不动，而把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）

A. y=2（x﹣1）2﹣2

B. y=2（x+1）2﹣2

C. y=2（x+1）2+2

D. y=2（x﹣3）2+2

8.在下列函数关系式中，y是x的二次函数的是（）

A. =6

B. xy=﹣6

C. x2+y=6

D. y=﹣6x

9.若抛物线y=x2-2mx+m2+m+1的顶点在第二象限，则常数m的取值范围是（）

A. m<-1或m>2

B. -1

C. -1

D. m>1

10.二次函数，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（）．

A. B. C. D.

11.如图所示，二次函数的图象经过点和，下列结论中：

①；②；

③④；⑤；其中正确的结论有（）个

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

12.抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（）

A. （3，﹣4）

B. （3，4）

C. （﹣3，﹣4）

D. （﹣3，4）

二、填空题（共6题；共12分）

13.若函数y=（a+1）为二次函数，则a=________ ．

14.二次函数y=﹣3x2﹣6x+5的图像的顶点坐标是________．

15.对于二次函数y=ax2（a≠0），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为________．

16.如图，已知抛物线y=mx2﹣6mx+5m与x轴交于A、B两点，以AB为直径的⊙P经过该抛物线的顶点C，直线l∥ x轴，交该抛物线于M、N两点，交⊙ P与E、F两点，若EF=2 ，则MN的长是________．

17.的最小值为________。

18.如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：

① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，

你认为其中正确信息的个数有________个.

三、计算题（共2题；共17分）

19.如图,直线AB交x轴于点B,交y轴于点A（0,4）,直线DM⊥x轴正半轴于点M,交线段AB于点C,DM=6,连接DA,∠DAC=90°,AD:AB=1:2．

（1）求点D的坐标；

（2）求经过O、D、B三点的抛物线的函数关系式．

20.分别写出下列二次函数的对称轴和顶点坐标．

（1）；

（2）．

四、综合题（共5题；共67分）

21.如图是一种窗框的设计示意图，矩形ABCD被分成上下两部分，上部的矩形CDFE由两个正方形组成，制作窗框的材料总长为6m.

（1）若AB为1m，直接写出此时窗户的透光面积________m2；

（2）设AB=x，求窗户透光面积S关于x的函数表达式，并求出S的最大值．

22.如图1（注：与图2完全相同），二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；

（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．

23.（2016?黔东南州）凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．

（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？

（2）求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？

24.二次函数y=ax2+bx+4的图像与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）

（1）求此二次函数的表达式

（2）如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标

（3）如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，点P为抛物线上一动点，若∠PMA=45°，求点P 的坐标．

25.如图，直线y=﹣x﹣4与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，其中A，B两点的横坐标分别为﹣1和﹣4，且抛物线过原点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点P是线段AB上不与A，B重合的动点，过点P作PE∥OA，与抛物线第三象限的部分交于一点E，过点E作EG⊥x轴于点G，交AB于点F，若S△BGF=3S△EFP，求的值．

答案

一、单选题

1. B

2. B

3. A

4. A

5. B

6. D

7.D

8. C

9. C 10. D 11. A 12. A

二、填空题

13.3

14. （﹣1，8）

15.0

16.

17.

18.4

三、计算题

19.（1）如图,过点D作DE⊥OA于E,

在△AED与△BAO中

∵∠EDA+∠EAD=∠EAD+∠BAO=90°,

∴∠EDA=∠BAO,

∵∠AED=∠AOB=90°,

∴△ADE∽△BAO,

∴

∵点A（0,4）,DM=6,

∴AO=4,AE=EO-AO=DM-AO=2,

∴ED=,

∴点D的坐标为D(2,6).

（2）∵AE=2,ED=2,△ADE∽△BAO,

∴BO=AO=4

∴点B的坐标为B(0,4)

设：过O、D、B三点的抛物线的函数关系式为：

将A(0,0),B(0,4),D（2,6）代入函数关系式,解得：

∴过O、D、B三点的抛物线的函数关系式为：.

20.（1）∵，

∴二次函数的对称轴为，顶点坐标为

（2）∵，

∴二次函数的对称轴为，顶点坐标为

四、综合题

21. （1）

（2）解：∵AB=x，

∴AD=

∴S=x（）=

∵S=

所以当x= 时，S的最大值=

22. （1）解：∵二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），∴，

解得：，

∴y= x2﹣x﹣4

（2）解：过点D作DM⊥y轴于点M，

∵y= x2﹣x﹣4= （x﹣1）2﹣，

∴点D（1，﹣）、点C（0，﹣4），

则S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC

= ×（1+3）× ﹣×（﹣4）×1﹣×3×4

=4；

（3）解：四边形APEQ为菱形，E点坐标为（﹣，﹣）．理由如下如图2，E点关于PQ与A点对称，过点Q作，QF⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ

∴AP=AQ=QE=EP，

∴四边形AQEP为菱形，

∵FQ∥OC，

∴= = ，

∴= =

∴AF= t，FQ= t?

∴Q（3﹣t，﹣t），

∵EQ=AP=t，

∴E（3﹣t﹣t，﹣t），

∵E在二次函数y= x2﹣x﹣4上，

∴﹣t= （3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4，

∴t= ，或t=0（与A重合，舍去），

∴E（﹣，﹣）

23. （1）解：设一次购买x只，

则20﹣0.1（x﹣10）=16，

解得：x=50．

答：一次至少买50只，才能以最低价购买

（2）解：当10＜x≤50时，

y=[20﹣0.1（x﹣10）﹣12]x=﹣0.1x2+9x，

当x＞50时，y=（16﹣12）x=4x；

综上所述：y=

（3）解：y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1（x﹣45）2+202.5，

①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．

②当45＜x≤50时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．

且当x=46时，y1=202.4，

当x=50时，y2=200．

y1＞y2．

即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象．

当x=45时，最低售价为20﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此时利润最大

24.（1）解：当x=0时，y=4，

∴C（0，4）．

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入得：﹣4a=4，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4

（2）解：x=﹣= ．

∴CD= ，EF= ．

设点N的坐标为（，a）则ND=4﹣a，NE=a．

当△CDN∽△FEN时，，即，解得a= ，

∴点N的坐标为（，）．

当△CDN∽△NEF时，，即= ，解得：a=2．

∴点N的坐标为（，2）．

综上所述，点N的坐标为（，）或（，2）

（3）解：如图所示：过点A作AD∥y轴，过点M作DM∥x轴，交点为D，过点A作AE⊥AM，取AE=AM，作EF⊥x轴，垂足为F，连结EM交抛物线与点P．

∵AM=AE，∠MAE=90°，

∴∠AMP=45°．

将x=1代入抛物线的解析式得：y=6，

∴点M的坐标为（1，6）．

∴MD=2，AD=6．

∵∠DAM+∠MAF=90°，∠MAF+∠FAE=90°，

∴∠DAM=∠FAE．

在△ADM和△AFE中，，

∴△ADM≌△AFE．

∴EF=DM=2，AF=AD=6．

∴E（5，﹣2）．

设EM的解析式为y=kx+b．

将点M和点E的坐标代入得：，解得k=﹣2，b=8，

∴直线EM的解析式为y=﹣2x+8．

将y=﹣2x+8与y=﹣x2+3x+4联立，解得：x=1或x=4．

将x=4代入y=﹣2x+8得：y=0．

∴点P的坐标为（4，0）

25. （1）解：∵A，B两点在直线y=﹣x﹣4上，且横坐标分别为﹣1、﹣4，

∴A（﹣1，﹣3），B（﹣4，0），

∵抛物线过原点，

∴c=0，

把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，

∴抛物线解析式为y=x2+4x

（2）解：∵△ABC为等腰三角形，

∴有AB=AC、AB=BC和CA=CB三种情况，

①当AB=AC时，当点C在y轴上，设C（0，y），

则AB= =3 ，AC= ，

∴3 = ，解得y=﹣3﹣或y=﹣3+ ，

∴C（0，﹣3﹣）或（0，﹣3﹣）；

当点C在x轴上时，设C（x，0），则AC= ，

∴=3 ，解得x=﹣4或x=2，当x=﹣4时，B、C重合，舍去，∴C（2，0）；

②当AB=BC时，当点C在x轴上，设C（x，0），

则有AB=3 ，BC=|x+4|，

∴|x+4|=3 ，解得x=﹣4+3 或x=﹣4﹣3 ，

∴C（﹣4+3 ，0）或（﹣4﹣3 ，0）；

当点C在y轴上，设C（0，y），则BC= ，

∴=3 ，解得y= 或y=﹣，

∴C（0，）或（0，﹣）；

③当CB=CA时，则点C在线段AB的垂直平分线与y轴的交点处，

∵A（﹣1，﹣3），B（﹣4，0），

∴线段AB的中点坐标为（﹣，﹣），

设线段AB的垂直平分线的解析式为y=x+d，

∴﹣=﹣+d，解得d=1，

∴线段AB的垂直平分线的解析式为y=x+1，

令x=0可得y=1，令y=0可求得x=﹣1，

∴C（﹣1，0）或（0，1）；

综上可知存在满足条件的点C，其坐标为（0，﹣3﹣）或（0，﹣3﹣）或（﹣4+3 ，0）或（﹣4﹣3 ，0）或（﹣1，0）或（0，1）或（2，0）或（0，）或（0，﹣）

（3）解：过点P作PQ⊥EF，交EF于点Q，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵PE∥OA，GE∥AD，

∴∠OAD=∠PEG，∠PQE=∠ODA=90°，

∴△PQE∽△ODA，

∴=3，即EQ=3PQ，

∵直线AB的解析式为y=﹣x﹣4，

∴∠ABO=45°=∠PFQ，

∴PQ=FQ，BG=GF，

∴EF=4PQ，

∴GE=GF+4PQ，

∵S△BGF=3S△EFP，

∴GF2=3× 4PQ2，

∴GF=2 PQ，

∴= =