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量子力学 第四版 卷一(曾谨言 著) 答案----第4章-2

量子力学 第四版 卷一(曾谨言 著) 答案----第4章-2
4.29——6.1
ˆ 的本征态下, L x = L y = 0 。(提示:利用 L y L z − Lz L y = iL x ,求平均。) 4.29 证明在 L z
证:设 ψ 是 L z 的本征态,本征值为 m ,即 L z ψ
= m ψ

[L
y
, L z = L y L z − L z L y = iL x , 1 Ψ Ly Lz Ψ i 1 = m Ψ Ly Ψ i
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ,相应的几率为 C1 ; 2 4 0
)
1 L x 取 − 的振幅为 1 − 2
总几率为 C1
2
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ,相应的几率为 C1 。 2 4 0
)
2) L x 在 l = 2 的空间, L2 , L z 对角化表象中的矩阵 利用
1 − 2 1 6a , d = − 2a , e = a ,本征矢为 6 ,在 C 2Y20 态下,测得 L x = − 2 的 4 − 2 1
将它们代入(3)就得到前一法(考虑 l x , l y 对称)得到相同的结果。
l x2 =
1 [(l + m)(l − m + 1) 2 + (l − m)(l + m + 1) 2 ] 4 1 = [l (l + 1) − m 2 ] 2 2
ˆ lˆ , lˆ lˆ 没有贡献,(3)(4)应有相同的结果。第二种方法运用角动量一般理论,这 又从(4)式看出,由于 l + + − −
2
将上式在 lm 态下求平均,因 Lz 作用于 lm 或 lm 后均变成本征值 m ,使得后两项对平均值的贡献互相抵 消,因此 又

曾谨言量子力学练习题答案

曾谨言量子力学练习题答案

曾谨言量子力学练习题答案量子力学是物理学中描述微观粒子行为的一门基础理论,它在20世纪初由普朗克、爱因斯坦、波尔、薛定谔、海森堡等科学家共同发展起来。

曾谨言教授的量子力学练习题是帮助学生深入理解量子力学概念和计算方法的重要工具。

以下是一些练习题及其答案的示例:练习题1:波函数的归一化某粒子的波函数为 \( \psi(x) = A \sin(kx) \),其中 \( A \) 和\( k \) 是常数。

求波函数的归一化常数 \( A \)。

答案:波函数的归一化条件为 \( \int |\psi(x)|^2 dx = 1 \)。

将\( \psi(x) \) 代入归一化条件中,得到:\[ \int |A \sin(kx)|^2 dx = 1 \]\[ A^2 \int \sin^2(kx) dx = 1 \]利用三角恒等式 \( \sin^2(kx) = \frac{1 - \cos(2kx)}{2} \),积分变为:\[ A^2 \int \frac{1 - \cos(2kx)}{2} dx = 1 \]\[ A^2 \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2kx)}{4k} \right] = 1 \]由于波函数在 \( x = 0 \) 到 \( x = \frac{\pi}{k} \) 之间归一化,所以:\[ A^2 \left[ \frac{\pi}{2k} - 0 \right] = 1 \]\[ A = \sqrt{\frac{2k}{\pi}} \]练习题2:薛定谔方程的解考虑一个一维无限深势阱,其势能 \( V(x) = 0 \) 当 \( 0 < x < a \),\( V(x) = \infty \) 其他情况下。

求粒子的能级。

答案:在无限深势阱中,薛定谔方程为:\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]设 \( \psi(x) = \sin(kx) \),其中 \( k = \frac{n\pi}{a} \),\( n \) 为正整数。

【试题】量子力学期末考试题库含答案22套

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【关键字】试题量子力学自测题(1)一、简答与证明:(共25分)1、什么是德布罗意波?并写出德布罗意波的表达式。

(4分)2、什么样的状态是定态,其性质是什么?(6分)3、全同费米子的波函数有什么特点?并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。

(4分)4、证明是厄密算符(5分)5、简述测不准关系的主要内容,并写出坐标和动量之间的测不准关系。

(6分)2、(15分)已知厄密算符,满足,且,求1、在A表象中算符、的矩阵表示;2、在B表象中算符的本征值和本征函数;3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。

三、(15分)设氢原子在时处于状态,求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值;2、时体系的波函数,并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。

四、(15分)考虑一个三维状态空间的问题,在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里,,是一个常数,,用微扰公式求能量至二级修正值,并与精确解相比较。

五、(10分)令,,分别求和作用于的本征态和的结果,并根据所得的结果说明和的重要性是什么?量子力学自测题(1)参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波;其表达式:2、定态:定态是能量取确定值的状态。

性质:定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。

3、全同费米子的波函数是反对称波函数。

两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为:。

4、=,因为是厄密算符,所以是厄密算符。

5、设和的对易关系,是一个算符或普通的数。

以、和依次表示、和在态中的平均值,令,,则有,这个关系式称为测不准关系。

坐标和动量之间的测不准关系为:2、解1、由于,所以算符的本征值是,因为在A表象中,算符的矩阵是对角矩阵,所以,在A表象中算符的矩阵是:设在A 表象中算符的矩阵是,利用得:;由于,所以,;由于是厄密算符,, 令,其中为任意实常数,得在A 表象中的矩阵表示式为: 2、类似地,可求出在B 表象中算符的矩阵表示为:在B 表象中算符的本征方程为:,即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零,即 对有:,对有:所以,在B 表象中算符的本征值是,本征函数为和 3、类似地,在A 表象中算符的本征值是,本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵,即 三、解: 已知氢原子的本征解为: ,将向氢原子的本征态展开, 1、=,不为零的展开系数只有三个,即,,,显然,题中所给的状态并未归一化,容易求出归一化常数为:,于是归一化的展开系数为: ,,(1)能量的取值几率,, 平均值为:(2)取值几率只有:,平均值 (3)的取值几率为: ,,平均值 2、时体系的波函数为:=由于、和皆为守恒量,所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变,与时的结果是一样的。

曾量子力学练习题答案

曾量子力学练习题答案

曾量子力学练习题答案曾量子力学练习题答案量子力学作为现代物理学的重要分支,涉及到微观世界中微粒的行为和性质。

它的理论体系由一系列基本原理和数学工具构成,为解释和预测微观粒子的行为提供了有效的方法。

在学习量子力学的过程中,练习题是巩固和应用知识的重要方式。

下面我将为大家提供一些曾量子力学练习题的答案,希望对大家的学习有所帮助。

1. 问题:一个自旋为1/2的粒子处于自旋上态,经过一个自旋测量仪器后,测量结果为自旋向上。

求此时粒子的自旋态。

答案:根据量子力学的原理,自旋态可以用Dirac符号表示,自旋向上的态记作|↑⟩,自旋向下的态记作|↓⟩。

在这个问题中,自旋测量结果为自旋向上,即测量结果为|↑⟩。

因此,此时粒子的自旋态为|↑⟩。

2. 问题:一个电子处于自由状态,其波函数为Ψ(x) = Ae^(-α|x|),其中A和α为常数。

求该电子的概率密度分布。

答案:概率密度分布可以通过波函数的模的平方来计算。

在这个问题中,波函数的模的平方为|Ψ(x)|^2 = |Ae^(-α|x|)|^2 = A^2e^(-2α|x|)。

因此,该电子的概率密度分布为A^2e^(-2α|x|)。

3. 问题:一个处于束缚态的粒子,其波函数为Ψ(x) = Csin(kx),其中C和k为常数。

求该粒子的能量。

答案:根据量子力学的原理,能量可以通过波函数的哈密顿量来计算。

在这个问题中,波函数的哈密顿量为HΨ(x) = EΨ(x),其中E为能量。

将波函数代入哈密顿量的表达式中,得到-HCsin(kx) = ECsin(kx)。

两边同时除以sin(kx),得到-HC = EC。

因此,该粒子的能量为E = -H/C。

4. 问题:一个自由粒子的波函数为Ψ(x) = Ae^(i kx) + Be^(-ikx),其中A和B为常数。

求该粒子的动量。

答案:根据量子力学的原理,动量可以通过波函数的波矢来计算。

在这个问题中,波函数的波矢为k。

根据动量的定义,动量p = hk,其中h为普朗克常数。

曾量子力学练习题答案

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曾量子力学练习题答案【篇一:量子力学曾谨言第八章第九章习题详解】表象中,求??x的本征态 [1]在?(解)设泡利算符?,?x,的共同本征函数组是: x1?sz? 和x2?122?sz? (1)?x的本征函数,但它们构成一个完整或者简单地记作?和?,因为这两个波函数并不是??x的本征函数可表系,所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示(叠加原理),?示:??c1??c2?(2)?x的本征值?,则??x的本征方程式是: c1,c2待定常数,又设? ?x???? (3)?将(2)代入(3):?x?c1??c2?????c1??c2?? (4)??z表象基矢的运算法则是: ?x对?根据本章问题6(p.264),? ?x??? ?x??????x的本征矢(2)是归一花的,将(5)代入(4)此外又假设?: c1??c1???c1???c2?比较?,?的系数(这二者线性不相关),再加的归一化条件,有: ?c1??c2????????????(6a)?????????????(6b)?c2??c1?c2?c2?1????????????(6c)2?12前二式得??1,即??1,或???1当时??1,代入(6a)得c1?c2,再代入(6c),得:c1?12ei? c2?12ei?? 是任意的相位因子。

当时???1,代入(6a)得c1??c2代入(6c),得:c1?12ei?c2??12ei??x的本征函数:最后得?x1?ei?2ei?2(???)对应本征值1x2?(???)对应本征值-1?x??2共同表象中,采用sz作自变量时,既是坐标表以上是利用寻常的波函数表示法,但在?象,同时又是角动量表象。

可用矩阵表示算符和本征矢。

?c1??1??0??? ???? ???? ?c?(7)01?2??????x的矩阵已证明是 ??01??x?? ??10???x的矩阵式本征方程式是:因此???c1??01??c1?(8) ???????cc?01??2??2??x本征矢的矩阵形式是:其余步骤与坐标表象的方法相同,?ei??1?ei??1?x1??1? x2???1?2??2?????[2]在?z表象中,求??n的本征态,n(sin?cos?,sin?sin?,cos?)是(?,?)方向的单位矢。

曾量子力学题库(网用)(1)讲解

曾量子力学题库(网用)(1)讲解

曾量⼦⼒学题库(⽹⽤)(1)讲解⼀、简述题:1. (1)试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释⿊体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别2. (1)试给出原⼦的特征长度的数量级(以m 为单位)及可见光的波长范围(以?为单位)3. (1)试⽤Einstein 光量⼦假说解释光电效应4. (1)试简述Bohr 的量⼦理论5. (1)简述波尔-索末菲的量⼦化条件6. (1)试述de Broglie 物质波假设7. (2)写出态的叠加原理8. (2)在给定的状态中测量某⼀⼒学量可得⼀测值概率分布。

问在此状态中能否测得其它⼒学量的概率分布?试举例说明。

9. (2)在给定状态下测量某⼀⼒学量,能测量到什么程度? 10.(2)按照波函数的统计解释,试给出波函数应满⾜的条件11.(2)假设⼀体系的基态波函数在全空间上都⼤于零,试解释是否存在某⼀激发态,该激发态在全空间范围内也都⼤于零。

12.(2)已知粒⼦波函数在球坐标中为),,(?θψr ,写出粒⼦在球壳),(dr r r +中被测到的⼏率以及在),(?θ⽅向的⽴体⾓元?θθΩd d d sin =中找到粒⼦的⼏率。

13.(2)什么是定态?它有哪些特征? 14.(2))()(x x δψ=是否定态?为什么? 15.(2)设ikre r1=ψ,试写成其⼏率密度和⼏率流密度 16.(2)试解释为何微观粒⼦的状态可以⽤归⼀化的波函数完全描述。

17.(3)简述和解释隧道效应18.(3)⼀维⽆限深势阱体系??><∞≤≤=a x x a x x V or 000)(??><∞≤≤=ax x a x x V or 000)(处于状态 )(21)(ikx ikxe e ax --=ψ,其中a k π2=,请问该状态是否是定态?为什么? 19.(3)说明⼀维⽅势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。

20.(3)某⼀维体系,粒⼦的势能为222x µγ,其中µ为粒⼦质量,说明该体系是什么体系,并写出体系能量的可能取值。

量子力学试题及答案

量子力学试题及答案

量子力学试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是量子力学的基本假设?A. 薛定谔方程描述了微观粒子的运动B. 波粒二象性存在C. 粒子的能量只能取离散值D. 电子具有自旋答案:A2. 量子力学中,波函数ψ的物理意义是什么?A. 粒子的位置分布概率幅B. 粒子的动量C. 粒子的自旋D. 粒子的能量答案:A3. 下列哪个是测量厄米算符A的本征值所对应的本征态?A. |A⟩= A|ψ⟩B. A|ψ⟩= λ|ψ⟩C. A|ψ⟩= |ψ⟩D. A|ψ⟩ = 0答案:B4. 对于厄米算符A和B,若它们对易(即[A, B] = 0),则可以同时拥有共同的一组本征态。

A. 正确B. 错误答案:A5. 量子力学中,双缝干涉实验的实验结果说明了下列哪个基本原理?A. 波粒二象性B. 运动不确定性原理C. 量子纠缠D. 全同粒子统计答案:A二、填空题1. 薛定谔方程的一般形式为___________。

答案:iℏ∂ψ/∂t = Hψ2. 微观粒子的自旋可取的两个可能取值是_________。

答案:±1/23. 薛定谔方程描述的是粒子的_________。

答案:波函数4. 在量子力学中,观测算符A的平均值表示为_________。

答案:⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩5. 测量量子系统时,波函数会坍缩到观测算符A的_________上。

答案:本征态三、简答题1. 请简要解释波粒二象性的概念及其在量子力学中的意义。

答:波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。

在量子力学中,波函数描述了粒子的波动性质,可以通过波函数的模的平方得到粒子在不同位置出现的概率分布。

波粒二象性的意义在于解释了微观世界中一些奇特的现象,例如双缝干涉实验和量子隧穿现象。

2. 请简要说明量子力学中的不确定性原理。

答:量子力学中的不确定性原理由海森堡提出,它表明在同时测量一粒子的位置和动量时,粒子的位置和动量不能同时具有确定的值,其精度存在一定的限制。

量子力学考试题讲解及答案

量子力学考试题讲解及答案

量子力学考试题讲解及答案一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 量子力学中,粒子的波动性由哪个物理量描述?A. 动量B. 位置C. 能量D. 波函数答案:D2. 海森堡不确定性原理表明,哪两个物理量的乘积不能同时精确确定?A. 位置和动量B. 能量和时间C. 电荷和质量D. 速度和加速度答案:A3. 薛定谔方程是描述量子系统时间演化的基本方程,它属于以下哪种类型的方程?A. 线性微分方程B. 非线性微分方程C. 代数方程D. 积分方程答案:A4. 在量子力学中,哪个原理表明一个量子系统的状态可以表示为不同状态的叠加?A. 叠加原理B. 波粒二象性原理C. 不确定性原理D. 泡利不相容原理答案:A5. 量子力学中的“隧道效应”是指什么现象?A. 粒子通过势垒的概率不为零B. 粒子在势垒中的速度增加C. 粒子在势垒中的动能减少D. 粒子在势垒中的势能增加答案:A二、填空题(每题2分,共10分)1. 量子力学中的波函数必须满足______条件,即波函数的平方模表示粒子在空间某点的概率密度。

答案:归一化2. 根据泡利不相容原理,一个原子中的两个电子不能具有相同的一组量子数,这四个量子数分别是主量子数n、角量子数l、磁量子数m和______。

答案:自旋量子数3. 在量子力学中,粒子的动量和位置不能同时被精确测量,这是由______不确定性原理所描述的。

答案:海森堡4. 量子力学中的波函数ψ(r,t)描述了粒子在空间位置r和时间t的概率分布,其中ψ*(r,t)ψ(r,t)表示粒子在位置r的概率密度,这里的ψ*(r,t)表示波函数的______。

答案:复共轭5. 量子力学中的粒子波动性可以通过德布罗意波长λ来描述,其公式为λ=h/p,其中h是普朗克常数,p是粒子的______。

答案:动量三、简答题(每题10分,共20分)1. 简述量子力学中的波粒二象性。

答案:量子力学中的波粒二象性指的是微观粒子既表现出波动性也表现出粒子性。

量子力学试题及答案

量子力学试题及答案

量子力学试题及答案一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 量子力学中的波函数描述了粒子的哪种属性?A. 位置B. 动量C. 能量D. 概率密度答案:D2. 哪个原理表明一个粒子的波函数可以展开成一组完备的本征函数?A. 泡利不相容原理B. 薛定谔方程C. 玻恩规则D. 量子态叠加原理答案:D3. 量子力学中,哪个算符代表粒子的位置?A. 动量算符B. 能量算符C. 位置算符D. 角动量算符答案:C4. 量子力学中,哪个原理描述了测量过程对系统状态的影响?A. 海森堡不确定性原理B. 量子纠缠C. 量子退相干D. 量子测量原理答案:D5. 哪个方程是量子力学中描述粒子时间演化的基本方程?A. 薛定谔方程B. 狄拉克方程C. 克莱因-戈登方程D. 麦克斯韦方程答案:A二、填空题(每题2分,共10分)1. 量子力学中,粒子的状态由______描述,而粒子的物理量由______表示。

答案:波函数;算符2. 根据量子力学,粒子的位置和动量不能同时被精确测量,这被称为______。

答案:海森堡不确定性原理3. 在量子力学中,粒子的波函数在空间中的变化遵循______方程。

答案:薛定谔4. 量子力学中的______原理指出,一个量子系统在任何时刻的状态都可以表示为该系统可能状态的线性组合。

答案:态叠加5. 量子力学中,粒子的波函数必须满足______条件,以保证物理量的概率解释是合理的。

答案:归一化三、计算题(每题10分,共20分)1. 假设一个粒子处于一维无限深势阱中,势阱宽度为L。

求该粒子在基态时的能量和波函数。

答案:粒子在基态时的能量E1 = (π^2ħ^2) / (2mL^2),波函数ψ1(x) = sqrt(2/L) * sin(πx/L),其中x的范围是0 ≤ x ≤ L。

2. 考虑一个粒子在一维谐振子势能中运动,其势能表达式为V(x) = (1/2)kx^2。

求该粒子的能级和相应的波函数。

答案:粒子的能级En = (n + 1/2)ħω,其中n = 0, 1, 2, ...,波函数ψn(x) = (1/sqrt(2^n n!)) * (mω/πħ)^(1/4) * e^(-mωx^2/(2ħ)) * Hn(x),其中Hn(x)是厄米多项式。

曾量子力学练习题答案

曾量子力学练习题答案

曾量子力学练习题答案量子力学是描述微观世界中物质和辐射相互作用的理论体系,涉及到微观粒子的波粒二象性、不确定性原理以及波函数等概念。

在学习量子力学的过程中,解题是检验理解和掌握程度的重要方式之一。

本文将针对曾量子力学练习题进行详细解答,帮助读者更好地理解和应用量子力学知识。

题目一:电子束通过双缝干涉装置的出射屏上,出现了周期位移相等的等倾干涉条纹,问入射电子束的波长是多少?解答一:双缝干涉实验可以用来研究波动性的粒子。

根据双缝干涉的干涉条件,等倾干涉条纹间距d满足d = λD/d,其中λ是电子束的波长,D是缝到屏的距离,d是双缝间距。

在本题中,由于等倾干涉条纹的周期位移相等,即相邻两个条纹之间的距离相等,可以推断出缝到屏的距离D是一个常量,即D = const。

因此,等倾干涉条纹间距d与电子束的波长λ成正比。

解答二:设入射电子束的波长为λ,缝到屏的距离为D,双缝间距为d,等倾干涉条纹的间距为x。

根据题意,可以列出干涉条件:x = λD/d由于等倾干涉条纹的周期位移相等,即相邻两个条纹之间的距离相等,可得:x = λD/d = λD/(2d) = λD/2d = c onst因此,入射电子束的波长λ是一个常量,与等倾干涉条纹间距d成反比。

综上所述,入射电子束的波长与等倾干涉条纹间距成正比,具体数值需要根据实际情况进行计算。

题目二:一束入射的电子波函数Ψ(x) = Aexp(ikx)通过势障U(x) =U_0exp(-x^2/a^2),计算穿过势障的概率。

解答三:根据量子力学的定态薛定谔方程,电子穿过势障的概率可以通过计算透射系数T来得到。

设入射电子的波函数为Ψ_1(x),经过势障后的波函数为Ψ_2(x)。

根据定态薛定谔方程:-((hbar^2)/(2m))*∂^2Ψ_1(x)/∂x^2 + U(x)Ψ_1(x) = EΨ_1(x)其中hbar是约化普朗克常量,m是电子的质量,U(x)是势障的势能。

量子力学曾谨言练习题答案

量子力学曾谨言练习题答案

量子力学曾谨言练习题答案量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学分支,它与经典力学有着根本的不同。

曾谨言教授的《量子力学》教材是许多学生和学者学习量子力学的重要参考书籍。

以下是一些量子力学练习题的答案,供参考:1. 波函数的归一化条件:波函数的归一化条件是为了保证概率的守恒。

一个归一化的波函数满足以下条件:\[ \int |\psi(x)|^2 dx = 1 \]这意味着粒子在空间中任意位置出现的概率之和等于1。

2. 薛定谔方程:薛定谔方程是量子力学中描述粒子波函数随时间演化的基本方程。

对于一个非相对论性的单粒子系统,薛定谔方程可以写为:\[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi + V\psi \]其中,\( \hbar \) 是约化普朗克常数,\( m \) 是粒子质量,\( V \) 是势能,\( \nabla^2 \) 是拉普拉斯算子。

3. 不确定性原理:海森堡不确定性原理表明,粒子的位置和动量不能同时被精确测量。

其数学表达式为:\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]这里,\( \Delta x \) 和 \( \Delta p \) 分别是位置和动量的不确定性。

4. 氢原子的能级:氢原子的能级是量子化的,并且可以用以下公式表示:\[ E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2} \]其中,\( n \) 是主量子数,\( E_n \) 是对应于 \( n \) 能级的能级能量。

5. 泡利不相容原理:泡利不相容原理指出,一个原子中的两个电子不能具有完全相同的四个量子数。

这意味着在同一个原子中,没有两个电子可以同时具有相同的主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数。

6. 量子隧道效应:量子隧道效应是指粒子在经典力学中不可能穿越的势垒下,由于量子效应,粒子有一定的概率穿越势垒。

量子力学试题及答案

量子力学试题及答案

量子力学试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 在量子力学中,一个粒子的状态用波函数表示。

波函数的物理意义是:A. 粒子的位置概率分布B. 粒子的运动速度C. 粒子的自旋状态D. 粒子的能量2. 量子力学的基本假设之一是:A. 粒子的能量是离散的B. 粒子在空间中的轨道是连续的C. 粒子的位置可以同时确定D. 粒子的自旋是固定的3. 哪个原理用于解释原子光谱的发射和吸收现象?A. 波粒二象性原理B. 测不准原理C. 泡利不相容原理D. 量子力学随机性原理4. 薛定谔方程描述了:A. 粒子的位置和动量之间的关系B. 粒子在空间中的运动轨迹C. 粒子的能量和自旋状态D. 粒子波函数随时间的演化5. 量子力学波函数的归一化条件是:A. Ψ(x, t)在全空间上的模长平方的积分等于1B. Ψ(x, t)在全空间上的模长平方的积分等于0C. Ψ(x, t)在无限远处趋于零D. Ψ(x, t)的真实部分等于虚部的共轭6. 两个可观测量的对易关系表示为:[A, B] = AB - BA = 0其中[A, B]表示两个算符的对易子。

这意味着:A. A和B的本征态可以同时存在B. A和B的本征值可以同时测量得到C. A和B的测量结果彼此独立D. A和B的测量结果存在不确定性7. 量子力学中的不确定性原理指出,以下哪一对物理量不能同时精确确定:A. 位置和动量B. 能量和时间C. 自旋在X方向和自旋在Y方向D. 角动量在X方向和角动量在Y方向8. 箱中有一自由粒子,其波函数为:Ψ(x) = A sin(kx)其中A和k为常数,该波函数代表:A. 粒子在箱中处于能量本征态B. 粒子在箱中处于动量本征态C. 粒子在箱中处于位置本征态D. 粒子在箱中处于叠加态9. 双缝干涉实验中,当缝宽减小时,干涉图案的特征是:A. 条纹的间距增大B. 条纹的间距减小C. 条纹的亮度增强D. 条纹的亮度减弱10. 量子隧穿现象解释了:A. 电子在金属中的传导现象B. 光子在光学纤维中的传播现象C. 电子在势垒中的穿透现象D. 光子在介质中的反射现象二、填空题(每题6分,共30分)1. 德布罗意波假设将粒子的运动与________联系起来。

曾量子力学练习题答案

曾量子力学练习题答案

曾量子力学练习题答案【篇一:量子力学曾谨言第八章第九章习题详解】表象中,求??x的本征态 [1]在?(解)设泡利算符?,?x,的共同本征函数组是: x1?sz? 和x2?122?sz? (1)?x的本征函数,但它们构成一个完整或者简单地记作?和?,因为这两个波函数并不是??x的本征函数可表系,所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示(叠加原理),?示:??c1??c2?(2)?x的本征值?,则??x的本征方程式是: c1,c2待定常数,又设? ?x???? (3)?将(2)代入(3):?x?c1??c2?????c1??c2?? (4)??z表象基矢的运算法则是: ?x对?根据本章问题6(p.264),? ?x??? ?x??????x的本征矢(2)是归一花的,将(5)代入(4)此外又假设?: c1??c1???c1???c2?比较?,?的系数(这二者线性不相关),再加的归一化条件,有: ?c1??c2????????????(6a)?????????????(6b)?c2??c1?c2?c2?1????????????(6c)2?12前二式得??1,即??1,或???1当时??1,代入(6a)得c1?c2,再代入(6c),得:c1?12ei? c2?12ei?? 是任意的相位因子。

当时???1,代入(6a)得c1??c2代入(6c),得:c1?12ei?c2??12ei??x的本征函数:最后得?x1?ei?2ei?2(???)对应本征值1x2?(???)对应本征值-1?x??2共同表象中,采用sz作自变量时,既是坐标表以上是利用寻常的波函数表示法,但在?象,同时又是角动量表象。

可用矩阵表示算符和本征矢。

?c1??1??0??? ???? ???? ?c?(7)01?2??????x的矩阵已证明是 ??01??x?? ??10???x的矩阵式本征方程式是:因此???c1??01??c1?(8) ???????cc?01??2??2??x本征矢的矩阵形式是:其余步骤与坐标表象的方法相同,?ei??1?ei??1?x1??1? x2???1?2??2?????[2]在?z表象中,求??n的本征态,n(sin?cos?,sin?sin?,cos?)是(?,?)方向的单位矢。

量子力学考试题库及答案

量子力学考试题库及答案

量子力学考试题库及答案一、选择题1. 量子力学中,波函数的平方代表粒子在空间某点出现的概率密度。

下列关于波函数的描述中,哪一项是正确的?A. 波函数的绝对值平方代表粒子在空间某点出现的概率密度B. 波函数的绝对值代表粒子在空间某点出现的概率密度C. 波函数的平方代表粒子在空间某点出现的概率D. 波函数的绝对值平方代表粒子在空间某点出现的概率答案:A2. 海森堡不确定性原理表明,粒子的位置和动量不能同时被精确测量。

以下哪项是海森堡不确定性原理的数学表达式?A. ΔxΔp ≥ ħ/2B. ΔxΔp ≤ ħ/2C. ΔxΔp = ħ/2D. ΔxΔp = ħ答案:A二、填空题3. 在量子力学中,粒子的波函数ψ(x,t)满足________方程,该方程由薛定谔提出,是量子力学的基本方程之一。

答案:薛定谔方程4. 根据泡利不相容原理,一个原子中的两个电子不能具有相同的一组量子数,即不能同时具有相同的________、________、________和________。

答案:主量子数、角量子数、磁量子数、自旋量子数三、简答题5. 简述量子力学中的隧道效应,并给出一个实际应用的例子。

答案:量子隧道效应是指粒子通过一个势垒的概率不为零,即使其能量低于势垒的高度。

这一现象在经典物理学中是不可能发生的。

一个实际应用的例子是扫描隧道显微镜(STM),它利用量子隧道效应来探测物质表面的原子结构。

6. 描述量子力学中的波粒二象性,并解释为什么这一概念是重要的。

答案:波粒二象性是指微观粒子如电子和光子等,既表现出波动性也表现出粒子性。

这一概念重要,因为它揭示了物质在微观尺度上的基本行为,是量子力学的核心概念之一,对理解原子和分子结构、化学反应以及材料的电子性质等方面都有深远的影响。

四、计算题7. 假设一个粒子被限制在一个宽度为L的一维无限深势阱中,求该粒子的基态能量。

答案:基态能量E1 = (π²ħ²)/(2mL²),其中ħ是约化普朗克常数,m是粒子的质量,L是势阱的宽度。

量子力学试题

量子力学试题

量子力学试题(一)及答案 一. (20分)质量为m 的粒子,在一维无限深势阱中 中运动,若0=t 时,粒子处于状态上,其中,()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。

(1) 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率;(2) 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解:非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 (1) 首先,将()0,x ψ归一化。

由可知,归一化常数为于是,归一化后的波函数为 能量的取值几率为能量取其它值的几率皆为零。

(2) 因为哈密顿算符不显含时间,故0>t 时的波函数为(3) 由于哈密顿量是守恒量,所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。

二. (20分)质量为m 的粒子在一维势阱中运动()00>V ,若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态,试确定此势阱的宽度a 。

解:对于02<-=V E 的情况,三个区域中的波函数分别为 其中,在a x =处,利用波函数及其一阶导数连续的条件 得到 于是有此即能量满足的超越方程。

当021V E -=时,由于故40ππ-=n a mV, ,3,2,1=n最后,得到势阱的宽度三.(20分)设厄米特算符Hˆ的本征矢为n ,{n 构成正交归一完备系,定义一个算符(1) 计算对易子()[]n m U H,ˆ,ˆ; (2) 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+;(3) 计算迹(){}n m U,ˆTr ; (4) 若算符A ˆ的矩阵元为nm mn A A ϕˆ=,证明 解:(1)对于任意一个态矢ψ,有 故(2)()()()p m U q p U n m U nq q p n m ,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ== (3)算符的迹为(4)算符 而四. (20分)自旋为21、固有磁矩为s γμ=(其中γ为实常数)的粒子,处 于均匀外磁场k 0 B B =中,设0=t 时,粒子处于2=x s 的状态,(1) 求出0>t 时的波函数;(2) 求出0>t 时x sˆ与z s ˆ的可测值及相应的取值几率。

30道量子力学知识选择题和答案

30道量子力学知识选择题和答案

30道量子力学知识选择题和答案1. 关于量子态,以下说法正确的是()A. 量子态是可连续变化的B. 量子态是离散的答案:B2. 量子叠加原理是指()A. 多个量子态可以同时存在B. 量子态只能有一个答案:A3. 量子纠缠现象说明了()A. 量子之间存在相互作用B. 量子之间存在非定域性关联答案:B4. 在量子力学中,测量会导致()A. 量子态的改变B. 量子态的保持不变答案:A5. 关于波函数,以下说法正确的是()A. 描述了量子系统的状态B. 是一个实数函数答案:A6. 海森堡不确定性原理涉及到哪两个物理量的不确定性()A. 位置和动量B. 能量和时间答案:A7. 量子力学中的算符表示()A. 物理量B. 对量子态的操作答案:B8. 泡利不相容原理适用于()A. 电子B. 所有费米子答案:B9. 以下哪种现象与量子力学有关()A. 黑体辐射B. 光电效应答案:B10. 在量子力学中,能量的量子化表现为()A. 能量只能取特定的值B. 能量可以连续变化答案:A11. 关于量子隧道效应,以下说法正确的是()A. 粒子可以穿过势垒B. 粒子不能穿过势垒答案:A12. 量子力学中的可观测量对应的是()A. 厄米算符B. 非厄米算符答案:A13. 狄拉克方程描述的是()A. 电子的运动B. 所有粒子的运动答案:B14. 关于量子力学的诠释,以下说法正确的是()A. 只有一种诠释是正确的B. 有多种诠释,且都有实验支持答案:B15. 量子力学中的全同粒子()A. 是完全相同的B. 可以区分答案:A16. 关于量子力学的基本假设,以下说法错误的是()A. 物理量都可以用实数来描述B. 量子态的演化是确定性的答案:AB17. 量子力学中的概率幅表示()A. 概率的大小B. 概率的相位答案:B18. 以下哪种实验验证了量子力学的基本原理()A. 双缝干涉实验B. 迈克尔逊-莫雷实验答案:A19. 量子力学中的守恒量对应的是()A. 不变的物理量B. 随时间变化的物理量答案:A20. 关于量子力学中的对称性,以下说法正确的是()A. 存在多种对称性B. 对称性与物理规律无关答案:A21. 量子力学中的密度算符描述的是()A. 量子系统的概率分布B. 量子系统的能量分布答案:A22. 以下哪种量子系统具有简并性()A. 氢原子B. 自由粒子答案:A23. 量子力学中的散射理论主要研究()A. 粒子的碰撞过程B. 粒子的传播过程答案:A24. 关于量子力学中的表象,以下说法正确的是()A. 有多种表象可以选择B. 表象是唯一确定的答案:A25. 量子力学中的时间演化算符描述的是()A. 量子态随时间的变化B. 物理量随时间的变化答案:A26. 以下哪种量子系统的能级是分立的()A. 谐振子B. 自由电子答案:A27. 量子力学中的角动量算符具有()A. 分立的本征值B. 连续的本征值答案:A28. 关于量子力学中的路径积分表述,以下说法正确的是()A. 是一种量子力学的表述方式B. 与薛定谔方程等价答案:AB29. 量子力学中的对称性破缺会导致()A. 新的物理现象B. 物理规律的改变答案:A30. 以下哪种量子系统的波函数可以用球谐函数来描述()A. 氢原子B. 原子核答案:A。

量子力学考试题讲解及答案

量子力学考试题讲解及答案

量子力学考试题讲解及答案一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 量子力学中,波函数的平方代表的是:A. 粒子的位置B. 粒子的动量C. 粒子出现的概率密度D. 粒子的能量答案:C2. 根据海森堡不确定性原理,下列说法正确的是:A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的能量和时间可以同时精确测量D. 粒子的能量和时间不能同时精确测量答案:B3. 薛定谔方程是用来描述:A. 经典力学系统B. 热力学系统C. 量子力学系统D. 电磁学系统答案:C4. 量子力学中的波粒二象性是指:A. 粒子有时表现为波动性,有时表现为粒子性B. 粒子总是同时具有波动性和粒子性C. 粒子只具有波动性D. 粒子只具有粒子性答案:B5. 量子力学中,哪个假设是关于测量的?A. 叠加原理B. 波函数坍缩C. 泡利不相容原理D. 量子纠缠答案:B二、填空题(每题2分,共10分)1. 量子力学中的波函数通常用希腊字母________表示。

答案:Ψ2. 量子力学中的德布罗意波长公式为λ = ________。

答案:h/p3. 在量子力学中,一个粒子的总能量可以表示为E = ________ + V。

答案:K.E.4. 费米子遵循的统计规律是________统计。

答案:费米-狄拉克5. 量子力学中的测不准原理是由海森堡提出的,其数学表述为ΔxΔp ≥ ________。

答案:h/4π三、简答题(每题5分,共20分)1. 简述量子力学中的波函数坍缩概念。

答案:波函数坍缩是指在量子力学中,当一个量子系统的状态被测量时,系统的波函数会从多个可能的状态中“选择”一个确定的状态,这个过程称为波函数坍缩。

2. 解释量子力学中的叠加原理。

答案:叠加原理是指在量子力学中,一个量子系统可以同时处于多个状态的叠加,即系统的波函数可以是多个不同状态波函数的线性组合。

3. 描述量子力学中的泡利不相容原理。

答案:泡利不相容原理指出,两个相同的费米子(如电子)不能处于同一个量子态,即它们不能具有相同的一组量子数。

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一、简述题:1. (1)试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别2. (1)试给出原子的特征长度的数量级(以m 为单位)及可见光的波长范围(以Å为单位)3. (1)试用Einstein 光量子假说解释光电效应4. (1)试简述Bohr 的量子理论5. (1)简述波尔-索末菲的量子化条件6. (1)试述de Broglie 物质波假设7. (2)写出态的叠加原理8. (2)在给定的状态中测量某一力学量可得一测值概率分布。

问在此状态中能否测得其它力学量的概率分布?试举例说明。

9. (2)在给定状态下测量某一力学量,能测量到什么程度? 10.(2)按照波函数的统计解释,试给出波函数应满足的条件11.(2)假设一体系的基态波函数在全空间上都大于零,试解释是否存在某一激发态,该激发态在全空间范围内也都大于零。

12.(2)已知粒子波函数在球坐标中为),,(ϕθψr ,写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(ϕθ方向的立体角元ϕθθΩd d d sin =中找到粒子的几率。

13.(2)什么是定态?它有哪些特征? 14.(2))()(x x δψ=是否定态?为什么? 15.(2)设ikre r1=ψ,试写成其几率密度和几率流密度 16.(2)试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。

17.(3)简述和解释隧道效应18.(3)一维无限深势阱体系⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V or 000)(⎩⎨⎧><∞≤≤=ax x a x x V or 000)(处于状态 )(21)(ikx ikx e e a x --=ψ,其中ak π2=,请问该状态是否是定态?为什么? 19.(3)说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。

20.(3)某一维体系,粒子的势能为222x μγ,其中μ为粒子质量,说明该体系是什么体系,并写出体系能量的可能取值。

21.(3)说明共振能级与束缚态能级的区别,并用不确定度关系解释为何一维有限深方势阱中束缚态能级低于相应的共振能级。

22.(4)试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 23.(4)简述力学量算符的性质 24.(4)试述力学量完全集的概念25.(4)试讨论:若两个厄米算符对易,是否在所有态下它们都同时具有确定值?26.(4)若算符Aˆ、B ˆ均与算符C ˆ对易,即0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[==C B C A ,A ˆ、B ˆ、C ˆ是否可同时取得确定值?为什么?并举例说明。

27.(4)对于力学量A 与B ,写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系,并说明物理意义。

28.(4)微观粒子x 方向的动量x p ˆ和x 方向的角动量xL ˆ是否为可同时有确定值的力学量?为什么? 29.(4)试写出态和力学量的表象变换的表达式30.(4)简述幺正变换的性质31.(4)在坐标表象中,给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 32.(4)粒子处在2221)(x x V μω=的一维谐振子势场中,试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ödinger 方程。

33.(4)使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。

34.(4)如果B Aˆ,ˆ均为厄米算符,下列算符是否也为厄米算符? a)3ˆ21A b) )ˆˆˆˆ(21A B B A - b) )ˆˆˆˆ(21A B i B A - 35.(5)试述守恒量完全集的概念36.(5)全同粒子有何特点?对波函数有什么要求? 37.(5)试述守恒量的概念及其性质38.(5)自由粒子的动量和能量是否为守恒量?为什么?39.(5)电子在均匀电场),0,0(ε=E ρ中运动,哈密顿量为z e mp Hε-=2ˆˆ2。

试判断z y x p p p ˆ,ˆ,ˆ各量中哪些是守恒量,并给出理由。

40.(6)中心力场中粒子处于定态,试讨论轨道角动量是否有确定值 41.(6)写出中心力场中的粒子的所有守恒量42.(6)试给出氢原子的能级简并度并与一般中心力场中运动粒子的能级简并度进行比较43.(6)二维、三维各向同性谐振子及一维谐振子的能级结构有何异同,并给出二维、三维各向同性谐振子能级简并度。

44.(6) 氢原子体系处于状态 ),()(23),()(21),,(1,22,31,11,3ϕθϕθϕθψ-+=Y r R Y r R r ,给出2L 和z L 可能取值及取值几率,并说明该状态是否是定态?为什么?45.(6)氢原子的基态波函数具有什么特点?46.(6)分别处于2s 、4p 、5f 状态的氢原子的径向波函数各有几个节点(不包括0=r 及无穷远处的零点)。

47.(6)已知中心力场中运动的粒子哈密顿表示为)(2ˆ)(2ˆ22222r V r L r r r r H++∂∂∂∂-=μμη,试列举出几种该量子体系力学量完全集的选取方案。

48.(7)什么是正常Zeeman 效应?写成与其相应的哈密顿量,并指出系统的守恒量有哪些。

49.(8)试给出电子具有自旋的实验依据50.(8)写出z σ表象中x σ、y σ和z σ的本征值与本征态矢51.(8)已知磁场nB ˆ0B =,其中单位矢量k i n 6.08.0ˆ+=,σ为泡利算符,求: (1) 泡利算符σ在nˆ方向的投影矩阵; (2) 此投影矩阵的本征值和本征态;(3) 在此磁场中运动的电子因自旋引起的附加能量本征值。

52.(8)试述旋量波函数的概念及物理意义53.(8)能否选择一个表象,该表象下自旋算符的三个分量z y x S S S ,,的表示矩阵都是实矩阵。

54.(8)以α和β分别表示自旋向上和自旋向下的归一化波函数,写出两电子体系的自旋单态和自旋三重态波函数(只写自旋部分波函数)。

55.(8)若|α>和|β>是氢原子的定态矢(电子和质子的相互作用为库仑作用,并计及电子的自旋—轨道耦合项),试给出|α>和|β>态的守恒量完全集56.(10)若在0ˆH 表象中,H H H '+=ˆˆˆ0,0ˆH 与H 'ˆ的矩阵分别为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--25015100002.01.0101.01.0ˆ,10000010000010000010ˆ64130H H , 是否可以将H'ˆ看作微扰,从而利用微扰理论求解H ˆ的本征值与本征态?为什么? 57.(11)利用Einstein 自发辐射理论说明自发辐射存在的必然性。

58.(11)是否能用可见光产生 1阿秒(1810-s) 的激光短脉冲,利用能量—时间测不准关系说明原因。

59.(11)试给出跃迁的Fermi 黄金规则(golden rule )公式,并说明式中各个因子的含义。

60.(12)在质心坐标系中,设入射粒子的散射振幅为)(θf ,写出靶粒子的散射振幅,并分别写出全同玻色子碰撞和无极化全同费米子碰撞的微分散射截面表达式。

二、判断正误题(请说明理由)1. (2)由波函数可以确定微观粒子的轨道2. (2)波函数本身是连续的,由它推求的体系力学量也是连续的3. (2)平面波表示具有确定能量的自由粒子,故可用来描述真实粒子4. (2)因为波包随着时间的推移要在空间扩散,故真实粒子不能用波包描述5. (2)正是由于微观粒子的波粒二象性才导致了测不准关系6. (2)测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准7. (2)设一体系的哈密顿Hˆ与时间t 无关,则体系一定处于定态 8. (2)不同定态的线性叠加还是定态9. (3)对阶梯型方位势,定态波函数连续,则其导数必然连续10.(3)Hˆ显含时间t ,则体系不可能处于定态,H ˆ不显含时间t ,则体系一定处于定态 11.(3)一维束缚态能级必定数非简并的12.(3)一维粒子处于势阱中,则至少有一条束缚态13.(3)粒子在一维无限深势阱中运动,其动量一定是守恒量 14.(3)量子力学中,静止的波是不存在的 15.(3)δ势阱不存在束缚态16.(4)自由粒子的能量本征态可取为kx sin ,它也是xi px ∂∂-=ηˆ的本征态 17.(4)若两个算符有共同本征态,则它们彼此对易18.(4)在量子力学中,一切可观测量都是厄米算符19.(4)如果B Aˆ,ˆ是厄米算符,其积B A ˆˆ不一定是厄米算符 20.(4)能量的本征态的叠加态仍然是能量的本征态21.(4)若B Aˆ,ˆ对易,则B A ˆ,ˆ在任意态中可同时确定 22.(4)若B Aˆ,ˆ不对易,则B A ˆ,ˆ在任何情况下不可同时确定 23.(4)x p ˆ和xL ˆ不可同时确定 24.(4)若B Aˆ,ˆ对易,则Aˆ的本征函数必是B ˆ的本征函数 25.(4)对应一个本征值有几个本征函数就是几重简并26.(4)若两个算符不对易,则它们不可能同时有确定值 27.(4)测不准关系只适用于不对易的物理量28.(4)根据测不准原理,任一微观粒子的动量都不能精确测定,只能求其平均值 29.(4)力学量的平均值一定是实数30.(5)体系具有空间反演不变性,则能量本征态一定具有确定的宇称 31.(5)在非定态下力学量的平均值随时间变化 32.(5)体系能级简并必然是某种对称性造成的33.(5)量子体系的守恒量无论在什么态下,平均值和几率分布都不随时间改变 34.(5)全同粒子系统的波函数必然是反对称的35.(5)全同粒子体系波函数的对称性将随时间发生改变36.(5)描述全体粒子体系的波函数,对内部粒子的随意交换有确定的对称性37.(6)粒子在中心力场中运动,若角动量z L ˆ是守恒量,那么xL ˆ就不是守恒量 38.(6)在中心力场)(r V 中运动的粒子,轨道角动量各分量都守恒 39.(6)中心力场中粒子的能量一定是简并的40.(6)中心力场中粒子能级的简并度至少为Λ,2,1,0,12=+l l 41.(8)电子的自旋沿任何方向的投影只能取2/η42.(8)两电子的自旋反平行态为三重态三、证明题:1. (2)试由Schrödinger 方程出发,证明0ˆ=⋅∇+ρ∂∂j t ,其中⎪⎩⎪⎨⎧-ψ∇ψ-=ψψ=ρ.).(2),(ˆ),(),(),(**c c m i t r j t r t r t r η 2. (3)一维粒子波函)(x ψ数满足定态Schrödinger 方程,若)(1x ψ、)(2x ψ都是方程的解,则有无关)(与常数x =ψψ-ψψ''12213. (3)设)(x ψ是定态薛定谔方程对应于能量E 的非简并解,则此解可取为实解4. (3)设)(1x ψ和)(2x ψ是定态薛定谔方程对应于能量E 的简并解,试证明二者的线性组合也是该定态方程对应于能量E 的解。

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