曾量子力学题库(网用)(1)分析
一、简述题：
1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问
题上的差别
2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位）
3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应
4. （1）试简述Bohr 的量子理论
5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件
6. （1）试述de Broglie 物质波假设
7. （2）写出态的叠加原理
8. （2）在给定的状态中测量某一力学量可得一测值概率分布。问在此状态中能否测得其它力学量的
概率分布？试举例说明。
9. （2）在给定状态下测量某一力学量，能测量到什么程度？ 10.（2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件
11.（2）假设一体系的基态波函数在全空间上都大于零，试解释是否存在某一激发态，该激发态在全
空间范围内也都大于零。
12.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在
),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。
13.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 14.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 15.（2）设ikr
e r
1=
ψ，试写成其几率密度和几率流密度 16.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 17.（3）简述和解释隧道效应
18.（3）一维无限深势阱体系??
?><∞
≤≤=a x x a x x V or 000
)(??
?><∞
≤≤=a
x x a x x V or 000
)(处于状
态 )(21)(ikx ikx e e a x --=
ψ，其中a
k π
2=，请问该状态是否是定态？为什么？ 19.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。
20.（3）某一维体系，粒子的势能为2
2
2x μγ，其中μ为粒子质量，说明该体系是什么体系，并写出体系能量的可能取值。
21.（3）说明共振能级与束缚态能级的区别，并用不确定度关系解释为何一维有限深方势阱中束缚态
能级低于相应的共振能级。
22.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 23.（4）简述力学量算符的性质 24.（4）试述力学量完全集的概念
25.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？
26.（4）若算符A
?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。
27.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。
28.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x
L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 29.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式
30.（4）简述幺正变换的性质
31.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 32.（4）粒子处在222
1
)(x x V μω=
的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。
33.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。
34.（4）如果B A
?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ a)
3
?2
1A b) )????(21A B B A - b) )????(21A B i B A - 35.（5）试述守恒量完全集的概念
36.（5）全同粒子有何特点？对波函数有什么要求？ 37.（5）试述守恒量的概念及其性质
38.（5）自由粒子的动量和能量是否为守恒量？为什么？
39.（5）电子在均匀电场),0,0(ε=E ρ中运动，哈密顿量为z e m
p H
ε-=2??2。试判断z y x p p p ?,?,?各量中哪些是守恒量，并给出理由。
40.（6）中心力场中粒子处于定态，试讨论轨道角动量是否有确定值 41.（6）写出中心力场中的粒子的所有守恒量
42.（6）试给出氢原子的能级简并度并与一般中心力场中运动粒子的能级简并度进行比较
43.（6）二维、三维各向同性谐振子及一维谐振子的能级结构有何异同，并给出二维、三维各向同性
谐振子能级简并度。 44.（6） 氢原子体系处于状态 ),()(2
3),()(21),,(1,22,31,11,3?θ?θ?θψ-+=
Y r R Y r R r ，给出2L 和z L 可能取值及取值几率，并说明该状态是否是定态？为什么？
45.（6）氢原子的基态波函数具有什么特点？
46.（6）分别处于2s 、4p 、5f 状态的氢原子的径向波函数各有几个节点（不包括0=r 及无穷远处的零
点）。
47.（6）已知中心力场中运动的粒子哈密顿表示为)(2?)(2?2
2
222r V r L r r r r H
++????-=μμη，试列举出几种该量子体系力学量完全集的选取方案。
48.（7）什么是正常Zeeman 效应？写成与其相应的哈密顿量，并指出系统的守恒量有哪些。 49.（8）试给出电子具有自旋的实验依据
50.（8）写出z σ表象中x σ、y σ和z σ的本征值与本征态矢
51.（8）已知磁场n
B ?0B =，其中单位矢量k i n 6.08.0?+=，σ为泡利算符，求： (1) 泡利算符σ在n
?方向的投影矩阵； (2) 此投影矩阵的本征值和本征态；
(3) 在此磁场中运动的电子因自旋引起的附加能量本征值。
52.（8）试述旋量波函数的概念及物理意义
53.（8）能否选择一个表象，该表象下自旋算符的三个分量z y x S S S ,,的表示矩阵都是实矩阵。 54.（8）以α和β分别表示自旋向上和自旋向下的归一化波函数，写出两电子体系的自旋单态和自旋三重态波函数（只写自旋部分波函数）。
55.（8）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道
耦合项），试给出|α>和|β>态的守恒量完全集
56.（10）若在0?H 表象中，H H H '+=???0，0
?H 与H '?的矩阵分别为 ???
???
?
??='??
?????
?
?=--25015100002.01.0101.01.0?,10000010000010000010?64
1
30H H ， 是否可以将H
'?看作微扰，从而利用微扰理论求解H ?的本征值与本征态？为什么? 57.（11）利用Einstein 自发辐射理论说明自发辐射存在的必然性。 58.（11）是否能用可见光产生 1阿秒(18
10
-s) 的激光短脉冲，利用能量—时间测不准关系说明原因。
59.（11）试给出跃迁的Fermi 黄金规则（golden rule ）公式，并说明式中各个因子的含义。 60.（12）在质心坐标系中，设入射粒子的散射振幅为)(θf ，写出靶粒子的散射振幅，并分别写出全
同玻色子碰撞和无极化全同费米子碰撞的微分散射截面表达式。
二、判断正误题（请说明理由）
1. （2）由波函数可以确定微观粒子的轨道
2. （2）波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的
3. （2）平面波表示具有确定能量的自由粒子，故可用来描述真实粒子
4. （2）因为波包随着时间的推移要在空间扩散，故真实粒子不能用波包描述
5. （2）正是由于微观粒子的波粒二象性才导致了测不准关系
6. （2）测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准
7. （2）设一体系的哈密顿H
?与时间t 无关，则体系一定处于定态 8. （2）不同定态的线性叠加还是定态
9. （3）对阶梯型方位势，定态波函数连续，则其导数必然连续
10.（3）H
?显含时间t ，则体系不可能处于定态，H ?不显含时间t ，则体系一定处于定态 11.（3）一维束缚态能级必定数非简并的
12.（3）一维粒子处于势阱中，则至少有一条束缚态
13.（3）粒子在一维无限深势阱中运动，其动量一定是守恒量 14.（3）量子力学中，静止的波是不存在的 15.（3）δ势阱不存在束缚态
16.（4）自由粒子的能量本征态可取为kx sin ，它也是x
i p
x ??
-=η?的本征态 17.（4）若两个算符有共同本征态，则它们彼此对易
18.（4）在量子力学中，一切可观测量都是厄米算符
19.（4）如果B A
?,?是厄米算符，其积B A ??不一定是厄米算符 20.（4）能量的本征态的叠加态仍然是能量的本征态
21.（4）若B A
?,?对易，则B A ?,?在任意态中可同时确定 22.（4）若B A
?,?不对易，则B A ?,?在任何情况下不可同时确定 23.（4）
x p ?和x
L ?不可同时确定 24.（4）若B A
?,?对易，则A
?的本征函数必是B ?的本征函数 25.（4）对应一个本征值有几个本征函数就是几重简并
26.（4）若两个算符不对易，则它们不可能同时有确定值 27.（4）测不准关系只适用于不对易的物理量
28.（4）根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，只能求其平均值 29.（4）力学量的平均值一定是实数
30.（5）体系具有空间反演不变性，则能量本征态一定具有确定的宇称 31.（5）在非定态下力学量的平均值随时间变化 32.（5）体系能级简并必然是某种对称性造成的
33.（5）量子体系的守恒量无论在什么态下，平均值和几率分布都不随时间改变 34.（5）全同粒子系统的波函数必然是反对称的
35.（5）全同粒子体系波函数的对称性将随时间发生改变
36.（5）描述全体粒子体系的波函数，对内部粒子的随意交换有确定的对称性
37.（6）粒子在中心力场中运动，若角动量z L ?是守恒量，那么x
L ?就不是守恒量 38.（6）在中心力场)(r V 中运动的粒子，轨道角动量各分量都守恒 39.（6）中心力场中粒子的能量一定是简并的
40.（6）中心力场中粒子能级的简并度至少为Λ,2,1,0,12=+l l 41.（8）电子的自旋沿任何方向的投影只能取2/η
42.（8）两电子的自旋反平行态为三重态
三、证明题：
1. （2）试由Schr?dinger 方程出发，证明0?=??+ρ??j t ，其中??
?
??-ψ?ψ-=ψψ=ρ.).(2),(?)
,(),(),(*
*c c m i t r j t r t r t r η 2. （3）一维粒子波函)(x ψ数满足定态Schr?dinger 方程，若)(1x ψ、)(2x ψ都是方程的解，则有
无关）（与常数x =ψψ-ψψ''1221
3. （3）设)(x ψ是定态薛定谔方程对应于能量E 的非简并解，则此解可取为实解
4. （3）设)(1x ψ和)(2x ψ是定态薛定谔方程对应于能量E 的简并解，试证明二者的线性组合也是该
定态方程对应于能量E 的解。
5. （3）对于δ势垒，)()(x x V γδ=，试证δ势中)('x ψ的跃变条件
6. （3）设)(x ψ是定态薛定谔方程)()()(22
22x E x x V dx d m ψψ=??
?
???+-η的一个解，对应的能量为E ，试证明)(*x ψ也是方程的一个解，对应的能量也为E
7. （3）一维谐振子势场2/22x m ω中的粒子处于任意的非定态。试证明该粒子的位置概率分布经历
一个周期ωπ/2后复原。
8. （3）对于阶梯形方势场 ??
?><=a
x V a x V x V 2
1,
)( ，若)(12V V -有限，则定态波函数)(x ψ及其
导数)(x ψ'必定连续。
9. （3）证明一维规则势场中运动的粒子，其束缚态能级必定是非简并的 10.（4）证明定理：体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数 11.（4）证明定理：厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交 12.（4）证明：在定态中几率流密度矢量与时间无关
13.（4）令2
22
2?x
p x
??-=η，试证2
?x p 为厄密算符 14.（4）试证m p T
2/??2=为厄密算符 15.（4）设)(?t U 是一个幺正算符且对t 可导，证明U dt
U d i t H ??)(?η=?
是厄米算符。 16.（4）已知A
?和B ?是厄米算符，证明(A ?+B ?)和A ?2也是厄米算符 17.（4）试证明：任何一个力学量算符在它以自己的本征矢为基矢的表象中的表示为对角矩阵
18.（4）试证明x 表象中p
?算符的矩阵元是)"'('
)("'x x x i p x x -??
-=δη 19.（4）试证明p 表象中x 算符的矩阵元是)"'('
)("'p p p i x p p -??
=δη
20.（4）若厄米算符B A ?,?具有共同本征函数，即α
αα
αψ=ψψ=ψn n n n n n B B A A ?,?，而且构成体系状态的完备函数组，试证明0]?,?[=B A
21.（4）若Λ,2,1);(=n x n ?构成完备基组，证明：∑'=
'-n
n n x x x x )()()(*
??
δ
22.（4）证明两个线性算符之和仍为线性算符
23.（4）设算符B A F
???=，1????=-A B B A ，若?为F ?的本征函数，相应的本征值为ε，求证?φA ?≡和?ψA
?≡也是F ?的本征函数，并求出相应的本征值。 24.（4）试证明z y x xyz ++=
)(ψ是角动量平方算符2?l 属于本征值22η的本征函数。
25.（4）试证明表象变换并不改变算符的本征值
26.（4）证明对易关系 x
i x p
x ?ψ
?-=ψη)](,?[ 27.（4）证明在z l ?的本征态下0==y x l l
28.（4）设粒子处于()?θ,lm Y 状态下，证明()()
()[]
222
2
12
1
ηm l l L L y
x -+=
?=? 29.（4）证明谐振子的零点能ωη210=E 是测不准关系2
ΔΔη≥p x 的直接结果。
30.（4） 一维体系的哈密顿算符具有分立谱，证明该体系的动量在能量本征态中的平均值等于零
31.（4）如果厄米算符A 对任何矢量|u>，有 为厄米正定算符 32.（5）设全同二粒子的哈密顿量为)2,1(?H ，波函数为)2,1(ψ，试证明交换算符12 ?P 是个守恒量 33.（5）证明在定态下，任意不显含时间t 力学量A 取值几率分布不随时间改变。 34.（5）设力学量A 是守恒量，证明在任意态下A 的取值概率分布不随时间改变。 35.（5）证明：量子体系的守恒量，无论在什么态下，平均值不随时间改变。 36.（5）试证在一维势场)(x V 中运动的粒子所受势壁的作用力在束缚定态中的平均值为0（提示：利 用对易关系x p i x H ?],?[μ η -=） 37.（5）设系统的哈密顿量为H ?，厄米算符A ?与H ?对易。试证明0=?dt A d ，其中A ?是A 的均方根偏差，即2/12)(>><-= 38.（5）如果0]?,?[]?,?[==H B H A ，但0]?,?[≠B A ，试证明H ?的本征值必有简并。 39.（5）粒子在对数函数型势场中运动，)/ln()(0r r C r V =，其中常数0,00>>r C 。试利用Virial 定理证明：各束缚态的动能平均值相等。 40.（5）试根据力学量平均值表达式? ψψ=dx t x F t x F ),(?),(* 证明力学量平均值随时间的变化为]?,?[1?H F i t F dt F d η +??=，其中H ?为体系的哈密顿 41.（4、5） 证明：宇称算符的本征函数非奇即偶 42.（5）设粒子处在对称的双方势阱中??? ??<<<>∞=a x V b x a b x x V ||||0||,)(0 （1）在∞→0V 情况下求粒子能级，并证明能级是双重简并； （2）证明0V 取有限值情况下，简并将消失。 43.（5、6）证明在氢原子的任何定态),,(?θψr nlm 中，动能的平均值等于该定态能量的负值，即 n nlm E p -=>μ<2/?2 44.（6）已知中心力场中运动的粒子哈密顿表示为)(2?)(2?2 2222r V r L r r r r H ++????-=μμη，证明中心力场中运动的粒子角动量守恒 45.（8）证明Pauli 算符各个分量的反对易关系 46.（8）若电子处于z S ?的本征态。试证在此态中，y S ?取值2/η或2/η-的概率各为2/1。 47. （8）设有两个电子，自旋态分别为? ???? ? ?? =???? ??=-2/2/2sin 2cos ,01??θθξχi i e e 。证明两个电子处于自旋单态（S=0）和三重态（S=1）的几率分别为)2 cos 1(21),2cos 1(2122θ ωθω+=-=b a 48.（10）在一定边界条件下利用定态薛定谔方程求解体系能量本征值与变分原理等价。 49.（12）已知在分波法中∑∞=+=0 )(cos sin e )12(1)(l l l i P l k f l θδθδ ∑ ∞ =+= 0)(sin e 124l l l i Y l k l θδπδ， 据此证明光学定理。 四、计算题： 1.（2）设一维自由粒子的初态为x ik e x 0)0,(=ψ，求),(t x ψ。 2.（3）质量为m 的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为()()0;0,;0,x a V x x x a ∈??=?∞<>?? （1）求解能量本征值n E 和归一化的本征函数()n x ψ； （2）若已知0t =时，该粒子状态为( ))12,0()()x x x ψψψ= +，求t 时刻该粒子的波函数； （3）求t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少？ （4）求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。 3. （3）粒子在一维δ势阱中运动),0() ()(>-=a x a x V δ求粒子的束缚定态能级与相应的归一化 波函数。 4. （3）设有质量为m 的粒子（能量0>E ）从左入射，碰到δ势垒)0() ()(>=γγδ常数x x V ， 试推导出δ势中'ψ的跃变条件。 5. （3）质量为m 的粒子，在位势 )0()()(<' +=ααδV x x V 中运动，其中 00{ 00 >><='V x x V V a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数； b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 6. （3）一个质量为m 的粒子在一维势场 ?? ?<≥∞=a x x a x x V ||) (||, )(γδ，求波函数满足的方程及连续性 条件，并给出奇宇称能量本征波函数及相应的本征能量。 7. （3）质量为m 的粒子在一维势场 ?? ?>∞ <=a x a x x V ||||0)( 中运动。求 ①粒子的定态能量n E 与归一化的波函数)(x n ψ； ②粒子在态)(x n ψ上的位置平均值x 。 8. （3）如图所示，一电量为q -质量为m 的带电粒子处在电量为Q +固定点电荷的强电场中，并被约束在一直线AB 上运动，Q +到AB 的距离为a ，由于Q +产生的电场很强，q -只能在平衡位置O 附近振动，即a 远大于粒子的运动范围，设平衡位置O 为能量参考点，试求体系可能的低能态能级。 9.（3）一电量为q -质量为m 的带电粒子处在强度为E 的均匀强电场 中，并被约束在一半径为R 的圆弧上运动，电场方向如图所示，由于电场很强，q -只能在平衡位置O 附近振动，即R 远大于粒子的运动范围，设平衡位置O 为能量参考点，试求体系可能的低能态能级。 10. (3) 一维谐振子处于基态2 221 0)(x e x α π αψ-= ，求谐振子的 θ O a B A -q +Q + 量子力学选择题 (1)原子半径的数量级是： A．10－10cm; B.10-8m C. 10-10m D.10-13m (2)若氢原子被激发到主量子数为n的能级,当产生能级跃迁时可能发生的所有谱线总条数应为： A．n-1 B .n(n-1)/2 C .n(n+1)/2 D .n (3)氢原子光谱赖曼系和巴耳末系的系线限波长分别为： A.R/4 和R/9 B.R 和R/4 C.4/R 和9/R D.1/R 和4/R (4)氢原子赖曼系的线系限波数为R,则氢原子的电离电势为： A．3Rhc/4 B. Rhc C.3Rhc/4e D. Rhc/e (5)氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是： A．13.6V和10.2V; B –13.6V和-10.2V; C.13.6V和3.4V; D. –13.6V和-3.4V (6)根据玻尔理论,若将氢原子激发到n=5的状态,则： A.可能出现10条谱线，分别属四个线系 B.可能出现9条谱线，分别属3个线系 C.可能出现11条谱线，分别属5个线系 D.可能出现1条谱线，属赖曼系 (7)欲使处于激发态的氢原子发出Hα线，则至少需提供多少能量（eV）? A.13.6 B.12.09 C.10.2 D.3.4 (8)氢原子被激发后其电子处在第四轨道上运动,按照玻尔理论在观测时间内最多能看到几条线？ A.1 B.6 C.4 D.3 (9)氢原子光谱由莱曼、巴耳末、帕邢、布喇开系…组成.为获得红外波段原子发射光谱,则轰击基态氢原子的最小动能为: A .0.66 eV B.12.09eV C.10.2eV D.12.75eV (10)用能量为12.75eV的电子去激发基态氢原子时,受激氢原子向低能级跃迁时最多可能出现几条光谱线（不考虑自旋）； A.3 B.10 C.1 D.4 (11)按照玻尔理论基态氢原子中电子绕核运动的线速度约为光速的： A.1/10倍 B.1/100倍 C .1/137倍 D.1/237倍 (12)已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子的结构的 量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ； 曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ 1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即： 量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋η/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0 （a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧ K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。 （b ）∧ F ψ＝λψ，ψ∧ F ＝λψ K ＝ψ∧ K ψ＝i ψ∧F ∧ G -∧ G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧ G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2-∧ K >≥0，即2F +2 G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S ＝2ηω［1001-］+2ην［0110］＝2η［ων ν ω -］ ∧ H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2η λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2η22νω+，E 2＝2η 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+222ων）＝ω+ων22 E 1≈-2η［ω+ων22］，E 2 ＝2η ［ω+ων22］ （b ）∧ H ＝ω∧z S +ν∧ x S ＝∧H 0+∧H ’，∧ H 0＝ω∧ z S ，∧ H ’＝ν∧ x S ∧ H 0本征值为ωη21± ，取E 1（0）＝-ωη21，E 2（0） ＝ωη21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为 第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。 量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态. 曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问 题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1= ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1 )(x x V μω= 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ 量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()???><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212 1 31210,???ψ+-= 状态上，其中，()x n ?为粒子能量的第n 个本征态。 （1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率； （2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n m a E n n π ?πsin 2,3,2,1 ,222 2 2=== （1） 首先，将()0,x ψ归一化。由 12131212222=???? ???????? ??+???? ??+???? ??c 可知，归一化常数为 13 12=c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113 31341360,???ψ++-= 能量的取值几率为 ()()()13 3 ;13 4 ;136321=== E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。 （2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为 ()()()()?? ? ??-+?? ? ??-+??? ??-= t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ???ψ （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱 ()?? ? ??>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0 .0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2 V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。 解：对于02 <- =V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()??? ??-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03 21 其中， E m V E m k 2 ;) (20=+= α 在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()() a a a a '3 '2 32ψψψψ== 得到 ()() a B ka Ak a B ka A ααα--=-=exp cos exp sin 于是有 α k ka -=tan 此即能量满足的超越方程。 当02 1 V E -=时，由于 1t a n 00 0-=-=??? ? ?? mV mV a mV 09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为 第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时， 量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+2 3 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ； 量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。 2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、 第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 第 五 篇 第 一 章 波粒二象性 玻尔理论 一、选择题 1. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U 0 (使电子从金属逸出需作功eU 0)，则此单色光的波长λ必须满足： [ A ] (A) 0eU hc ≤ λ (B) 0 eU hc ≥λ (C) hc eU 0≤λ (D) hc eU 0≥λ 解：红限频率与红限波长满足关系式hv 0= λhc =eU 0，即0 0eU hc = λ 0λλ≤才能发生光电效应，所以λ必须满足0 eU hc ≤ λ 2. 在X 射线散射实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则入射光光子能量0ε与散射光光子能量ε之比ε0 为 [ B ] (A) 0.8 (B) 1.2 (C) 1.6 (D) 2.0 解： λ εhc = ，0 0λεhc = ，02.1λλ= ，所以 2.10 0==λλεε 3. 以下一些材料的功函数(逸出功)为 铍 -----3.9 eV 钯 ---- 5.0 eV 铯 ---- 1.9 eV 钨 ---- 4.5 eV 今要制造能在可见光(频率范围为3.9×1014 Hz ~ 7.5×1014Hz)下工作的光电管，在这些材料中应选 [ C ] (A) 钨 (B) 钯 (C) 铯 (D) 铍 解：可见光的频率应大于金属材料的红限频率0νh , 才会发生光电效应。这些金属的红限频率由A h =0ν可以得到： 1419 34 )(01086.101063.610 6.15.4?=???= --钨ν(Hz) 1419 34 )(01007.121063.610 6.10.5?=???= --钯ν(Hz) 1419 34 ) (01059.41063.610 6.19.1?=???= --铯ν(Hz) 1419 34 )(01041.91063.610 6.19.3?=???= --铍ν(Hz) 可见应选铯 结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案 量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2 代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱 中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是 第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性 量子力学选择题 1.能量为100ev 的自由电子的DeBroglie 波长是A A.1.2 A 0.B.1.5A 0.C.2.1A 0.D.2.5A 0 . 2.能量为0.1ev 的自由中子的DeBroglie 波长是 A.1.3 A 0 .B.0.9A 0 .C.0.5A 0 .D.1.8A 0 . 3.能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的DeBroglie 波长是 A.1.4A 0 .B.1.9?10 12 -A 0 .?1012-A 0 .D.2.0A 0 . 4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的DeBroglie 波长是 A.8 A 0.B.5.6A 0.C.10A 0.D.12.6A 0 . 5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量m 为（ ,2,1,0=n ）A A.E n n = ω. B.E n n =+()1 2 ω .C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其DeBroglie 波长是 A.5.2 A 0.B.7.1A 0.C.8.4A 0.D.9.4A 0 . 7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500 A 0 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为 A. 0.25?1018-J. B.1.25?1018-J. C.0.25?1016-J. D.1.25?1016 -J. 8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为 A. 2μc .B. 22μc .C. 22 2μc .D. 22μc . https://www.360docs.net/doc/6e14640702.html,pton 效应证实了 A.电子具有波动性. B.光具有波动性. C.光具有粒子性. D.电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A.????电子具有波动性. B.光具有波动性. C.光具有粒子性. D.电子具有粒子性. 11.粒子在一维无限深势阱 U x x a x x a (),,,=<<∞≤≥???000中运动，设粒子的状态由ψπ()sin x C x a =描写，其归一化常数C 为B A.1a . B.2a . C.12a . D.4 a . 12.设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为D A.δ()x . B.δ()x dx . C.δ 2 ()x .D.δ2()x dx . 13.设粒子的波函数为ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为C A. ψ(,,)x y z dxdydz 2 .B.ψ(,,)x y z dx 2 .C.dx dydz z y x )),,((2 ??ψ.D.dx dy dz x yz ψ(,) ???2 . 14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为D 2002级量子力学期末考试试题和答案 A 卷 一、简答与证明：（共25分） 1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4分） 2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分） 3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、证明 )??(2 2x x p x x p i -是厄密算符 （5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x p ?之间的测不准关系。（6分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在B 表象中算符A ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态 ),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021?θ?θ?θψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ，求 1、0=t 时氢原子的E 、2L ?和z L ?的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L ?和z L ?的取值几率和平均值。 四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符 由下面的矩阵给出 ?? ??? ??+????? ??-=C C C H 000000200030001? 这里，H H H '+=???)0(，C 是一个常数，1<量子力学选择题1
量子力学期末考试试卷及答案集复习过程
曾量子力学题库(网用).
量子力学期末考试题解答题
量子力学考试题
量子力学导论习题答案(曾谨言)
量子力学期末考试试卷及答案集
曾量子力学题库网用
量子力学试题
量子力学习题集及答案
最新量子力学导论习题答案(曾谨言)(1)
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学期末考试试卷及答案
量子力学练习题
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
2011量子力学期末考试题目
量子力学选择题库
量子力学期末考试试题和答案A