《解二元一次方程》拓展：别具特色的方程组新题型

别具特色的方程组新题型

新课程实施以来，试题设计大多新颖活泼，突出创新，解答此类问题的同时，同学们不仅学到了数学知识，而且锻炼了思维能力．下面就让我们一同来领略一下这一独特的风景！一．对话讨论型

例 1 三个同学对问题“若方程组111222a x b y c a x b y c +=??+=?的解是34x y =??=?，求方程组

111

222

325325a x b y c a x b y c +=??

+=?的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是．

分析：本题是通过同学们对话、讨论的形式给出题目的，如果不仔细分析、推敲的话，很难入手，若仔细对比方程组，再加上丙的提示，问题很容易得到解决．

解：由34x y =??=?是方程组111222

a x

b y

c a x b y c +=??+=?的解，得???=+=+2221114343c b a c b a

将111222

325325a x b y c a x b y c +=??+=?的两个方程左右两边各除以5得：?????=+=+②c y b x a ①

c y b x a 2221115

352

将???+=+=222

114343b a c b a c 分别代入①，②中得?????+=++=+④

b a y b x a ③b a y b x a 2222111143525

3435253

③×2b -④×1b 得()()1221122135

b a b a x b a b a -=-解得x=5．将x=5代入③中得y=10．

∴方程组111222

325325a x b y c a x b y c +=??+=?的解为???==105

y x ．

评注：本题主要考查同学们解题的灵活性和观察问题、分析问题的应变能力．

二．残缺型

例2 小明给小刚出了一道数学题：如果我将二元一次方程组???=+=+②

3①32y x y x 的第一

个方程y 的系数遮住，第2个方程x 的系数遮住，并且告诉你?

??==12

y x 是这个方程组的解，你能求出原来的方程组吗？分析：先设这个遮住的系数分别为m ，n ，由于???==12

y x 是方程组?

??=+=+②3①32y x y x 的解，所以??

?==12y x 同时满足方程①和②，于是将???==1

y x 分别代入方程①和②，可得 ?

?=+?=?+?3123

122n m 即可求出m ，n 的值．

解：∵?

??==12

y x 是方程组的解, ∴?

?==12

y x 分别代入方程①和②，可得 ?

?=+?=?+?3123122n m 解得???=-=11

n m ∴原方程组为?

?=+=-33

2y x y x

评注：本题用待定系数法，先设未知数的系数分别为m 和n ，然后把方程组的解代入两个方程，可求出m 、n 的值，通过交流讨论,能达成共识，提高了学习的积极性，加深了对二元一次方程组的解的概念的理解．

三．开放编拟型 1．编方程组

例3 请写出一个以x y ，为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：

①由两个二元一次方程组成 ②方程组的解为2

3x y =??=?这样的方程组可以

是．

解析：构造方程组，一般从方程组的解入手,即列出与2

3x y =??=?有关的等式，如

???=-?=+5324532然后用23

x y =??=?代换，这时等式变成了方程组???=-=+.54,

5y x y x

评注：对于这类已知方程（组）的解编拟方程（组）的问题，通常有两种思路：一种是写一个与解有关的数字等式，再将数字换成未知数；另一种思路是根据等式性质直接对方程（组）的解加以变形．本题有助于我们深刻理解二元一次方程组及其解的概念，培养我们的逆向思维和发散思维的能力；同时帮助我们复习巩固等式变形的知识． 2．编应用题

例4 “方程”是现实生活中十分重要的数学模型，请结合你的生活实际编写一

道二元一次方程组的应用题，并使所列出的二元一次方程组为???=+=602y x y x 并写出

求解过程．

分析：这是一道自编问题型中考题，给解题者提供了十分广阔的思维空间，此类试试题一般具有较强的开放性，要求同学们具有一定的文字功底．可根据所给方程组，结合自己的生活与社会经验及所学的方程组应用题的类型，从多方面进行思考，如从行程、工程、商品销售等方面予以取材编写,答案一般不唯一．下面提供几种解答方案，供同学们参考．解：方案一：行程问题

甲、乙两辆汽车从相距60千米的两地同时相向而行，1小时后相遇，已知甲车的速度是乙车速度的2倍，求甲、乙两车速度分别是多少？解答过程：设甲车速度是x 千米/时,乙车速度是y 千米/时．

依题意,得???=+=.60,2y x y x 解得???==.

20,

40y x

答：甲、乙两车速度分别是：40千米/时、20千米/时．方案二：植树问题设杨树x 棵，柳树y 棵

依题意：602x y x y +=??=?①

②

解得4020x y =??=?

答：我家有杨树40棵，柳树20棵．

方案三：工程问题

一批零件共60个,甲、乙两人合做一天即可完成，已知甲做该零件的个数是乙的2倍，试求甲、乙两人分别做多少个零件？

方案四：商品销售问题

小明去某超市购买钢笔一支和笔记本一本，共花出6元钱，已知一支钢笔的价格是一本笔记本的2倍，试问钢笔和笔记本价格分别是多少角？

方案五：几何图形问题

用一根长120米的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，问这个长方形的长和宽分别是多少？

（方案3，4，5的具体解题过程，请同学们自己完成）

评注：开放性试题作为考查同学们创新意识的渠道之一，有利于激发同学们自主探索、自我发挥的学习积极性，在有些情况下还可以考查同学们的动手操作能力和实践能力，因而这类试题已成为中考一道亮丽的风景线．有关方程的开放性试题类型较多，这是一道按给定方程组结合生活实际编题型．试题的入口较宽，正确使多数同学尽可能得到分，突出体现了课标的新理念．对于此题，相信同学们还能给出更多新颖巧妙、合理简练的答案来．

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】

二次函数压轴题题型归纳

一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ，直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。（题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立）小结．．：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a

二次函数最经典综合提高题

周村区城北中学二次函数综合提升寒假作业题一、顶点、平移 1、抛物线y ＝－(x ＋2)2 －3的顶点坐标是（）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） 2、若,,,,,123351A y B y C y 444??????- ? ? ??????? 为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则123y y y 、、的大小关系是 A.123y y y << B. 213y y y << C.312y y y << D.132y y y << 3、二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为（）A ． B ．2 C ． D ． 4、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A ．y = (x ? 2)2 + 1 B ．y = (x + 2)2 + 1 C ．y = (x ? 2)2 ? 3 D ．y = (x + 2)2 ? 3 5、将二次函数2 45y x x =-+化为2 ()y x h k =-+的形式，则y = ． 6二次函数与y=kx 2﹣8x +8的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（） A ．k ＜2 B ．k ＜2且k ≠0 C ．k ≤2 D ．k ≤2且k ≠0 7、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线3-=x C ．其最小值为1 D ．当3

中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1， ∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5）， ∴S△OA′B′=1 2 ×（2+5）×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的

二次函数经典题型含答案.doc

二次函数经典题型（启东教育） 1.看图，解答下列问题．（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象． 2.已知函数y=x2+bx-1 的图象经过点（3， 2）（1）求这个函数的解析式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当 x>0 时，求使 y≥2的 x 的取值范围． 3.已知抛物线y＝－ x2＋ mx－ m＋ 2．（1）若抛物线与x 轴的两个交点A、 B 分别在原点的两侧，并且AB＝ 5 ，试求m 的值；（2）设 C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、 N，并且△MNC的面积等于27，试求 m 的值． 4.如图，已知点 A（ tan α， 0）， B（ tan β， 0）在 x 轴正半轴上，点 A 在点 B 的左边，α、β是以线段AB 为斜边、顶点 C 在 x 轴上方的Rt△ ABC的两个锐角． 5 kx＋（ 2＋ 2k－k2）的图象经过A、 B 两点，求它的解析式；（1）若二次函数y＝－ x2－ 2 （2）点 C 在（ 1）中求出的二次函数的图象上吗请说明理由．

5.已知抛物线y x2 kx b 经过点 P(2， 3)， Q ( 1，0) ．y （1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线顶点为 Q O N ，与y轴交点为A．求 sin∠ AON 的值．x M A （3）设抛物线与x 轴的另一个交点为M，求四边形OANM的面积．N 6.已知抛物线y=ax2+bx+c 经过 A， B， C 三点，当x≥0时，其图象如图所示． (1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； (2)画出抛物线y=ax2+bx+c 当 x<0 时的图象； (3)利用抛物线y=ax2+bx+c,写出 x 为何值时， y>0． (第 6 题) 7.已知抛物线y ax2 bx c 与y 轴的交点为 C，顶点为 M，直线 CM 的解析式 y=-x+2 y 并且线段 CM 的长为2 2 （1）求抛物线的解析式。 O x （2）设抛物线与 x 轴有两个交点 A（ X1， 0）、 B（ X2， 0），且点 A 在 B 的左侧，求线段 AB 的长。（3）若以 AB 为直径作⊙ N，请你判断直线CM 与⊙ N 的位置关系，并说明理由。

九上数学二次函数提高题常考题型抛物线压轴题(含解析)

—4 — 3 — 2 — 1 F 列说确的是（） A .抛物线的开口向下二次函数常考题型与解析 ?选择题（共12小题）若二次函数y=x 2+mx 的对称轴是X =3，则关于X 的方程x 2 +mx=7的解为 X 1=0 , X 2=6 B . X 1=1 , X 2=7 C . X 1 =1 , X 2= — 7 D . X 1= — 1 , X 2=7 点 P 1 (— 1 , y 1), P 2 (3 , y 2), P 3 (5 , y )均在二次函数 y= — X 2+2X +C 的图象上，贝U y 1, y 2, y 3的大小关系是（） A . y 3 >y 2>y 1 B . y >y 1=y 2 C . y 1>y 2 >y 3 D . y 1=y 2 >y 3 .抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=ax+b 与反比例函数 4 .二次函数 y=ax 2+bx+c y=—在同一平面直角坐标系的图象大致为 C ,自变量X 与函数y 的对应值如表:

B. 当x > - 3时，y 随x 的增大而增大 C. 二次函数的最小值是-2 D .抛物线的对称轴是x=-二 5 .已知函数y=ax 2 - 2ax - 1 （a 是常数，a^O ）,下列结论正确的是（） A. 当a=1时，函数图象过点（-1 , 1） B. 当a= - 2时，函数图象与x 轴没有交点 C. 若a >0，则当x >1时，y 随x 的增大而减小 D .若a v 0，则当x <1时，y 随x 的增大而增大 6.如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a^O ）的图象与x 轴交于点A （- 1，0），与y 轴的交点B 在（0，- 2）和（0，- 1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1 .下列结论： ① abc > 0 ② 4a+2b+c >0 ③ 4ac - b 2v 8a ④ 菲a v t ⑤ b > c . 其中含所有正确结论的选项是（ 7 ?抛物线y=x 2+bx+c （其中b , c 是常数）过点A （2, 6）,且抛物线的对称 C .②④⑤ D .①③④⑤

二次函数提高拓展题(含答案)

图象写出y 2>y 1时，x 的取值范围 ________________ . 三、解答题 8.已知：如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A B 两点，其中A 点坐标为(-1 , 0), 点C(0, 5)，另抛物线经过点(1 , 8) , M 为它的顶点. (1)求抛物线的解析式；二次函数提高拓展题一、选择题 1.如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c(a 丰 0)的图象的顶点P 的横坐标是4,图象交x 轴于点 A(m, 0)和点B ,且m>4那么AB 的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 2.已知函数y = (k — 3)X 2+ 2x + 1的图象与x 轴有交点，贝U k 的取是() A. k v 4 B . k <4 C . k v 4 且 k ^3 D. k <4 且 23 值范围 3.若 X 1, X 2 (X 1

2020年中考复习之提高篇——二次函数压轴题(含答案)

2020年中考复习之提高篇——二次函数压轴题（含答案） 1．(2019抚顺）（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数334 y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于B 点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D 作DC x ⊥轴于点C ，交直线AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式（2）是否存在点D ，使得BDE ?和ACE ?相似？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，F 是第一象限内抛物线上的动点（不与点D 重合），点G 是线段AB 上的动点．连接DF ，FG ，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G 的坐标．

2（2019沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2√2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．

3（2018年辽宁本溪）.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF 沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

二次函数各种题型汇总

二次函数各种题型汇总一、利用函数的对称性解题（一）用对称比较大小例1、已知二次函数y=x2-3x-4，若x 2-3/2＞3/2-x 1 ＞0，比较y 1 与y 2 的大小解：抛物线的对称轴为x=3/2，且3/2-x 1＞0，x 2 -3/2＞0，所以x 1 在对称轴的左侧，x 2 在对称轴的右侧，由已知条件x 2-3/2＞3/2-x 1 ＞0，得：x2到对称轴的距离大于x 1 到对称轴的距离，所以y 2 ＞ y 1 （二）用对称求解析式例1、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（－1，4），与x轴两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式。解：因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x=－1，又因为抛物线与x轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为： x 1=－1－3=－4，x 2 =－1+3=2 则两交点的坐标为（－4，0）、（2，0）；设抛物线的解析式为顶点式：ya（x+1）+4，把（2，0）代入得a=－4/9。所以抛物线的解析式为y=－4/9（x+1）2+4 （三）用对称性解题例1：关于x的方程x2+px+1=0（p＞0）的两根之差为1，则p等于（） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 解：设方程x2+px+1=0（p＞0）的两根为x1、x2，则抛物线y=x2+px+1与x轴两交点的坐标为（x1，0），（x2，0）。因为抛物线的对称轴为x=－p/2，所以x1=－p/2－1/2，x2=－p/2+1/2，因为x1x2=1。所以(－p/2－1/2)(－p/2+1/2=1，p2=5 因为p＞0，所以p=5例2、如图，已知抛物线y=x2 +bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（） A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）

高一数学二次函数题型复习总结

基本初等函数 1、常函数：C C y ,=为任意常数。图像：平行于x 轴直线。 2、一次函数：)0(≠+=a b ax y 。图像：直线。 3、二次函数：)0(2≠++=a c bx ax y 。图像:抛物线。 4、幂函数：,a x y =自变量在底数。图像：根据a 不同的取值，图像性质不同。 5、指数函数：,x a y =自变量在指数。图像：1>a 递增，10<a 递增，10<

题型一、求二次函数最值 1、无指定区间、对称轴固定例1：（1）求6)(2+-=x x x f 的值域（2）求a x x x f +-=2)(的值域 2、无指定区间、对称轴不固定例2：（1）求6)(2+-=ax x x f 的值域（2）求)0(6)(2≠+-=a x ax x f 的值域 3、区间固定、对称轴固定例3：（1）求[]1,1-6)(2在+-=x x x f 的值域（2）求[]1,1-)0(6)(2在≠+-=a ax ax x f 的值域 4、区间固定、对阵轴动例4：（1）求[]4,06)(2在+-=ax x x f 的最小值