高中数学必修5第三章不等式练习题附答案解析

人教版高中数学必修5第三章不等式单元测试题及答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．不等式x 2

≥2x 的解集是( )

A ．{x |x ≥2}

B ．{x |x ≤2}

C ．{x |0≤x ≤2}

D ．{x |x ≤0或x ≥2} 2．下列说确的是( )

A ．a >b ?ac 2>bc 2

B ．a >b ?a 2>b 2

C ．a >b ?a 3>b 3

D ．a 2>b 2

?a >b

3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( ) A ．(－3,4) B ．(－3，－4) C ．(0，－3) D ．(－3,2)

4．不等式x －1

x ＋2

>1的解集是( )

A ．{x |x <－2}

B ．{x |－2

C ．{x |x <1}

D ．{x |x ∈R } 5．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M

?

2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，

y ≥0表示的平面区域的形状为( )

A ．三角形

B ．平行四边形

C ．梯形

D ．正方形

7．设z ＝x －y ，式中变量x 和y 满足条件?????

x ＋y －3≥0，

x －2y ≥0，

则z 的最小值为( )

A ．1

B ．－1

C ．3

D ．－3

8．若关于x 的函数y ＝x ＋m 2

x

在(0，＋∞)的值恒大于4，则( )

A ．m >2

B ．m <－2或m >2

C ．－2

D ．m <－2

9．已知定义域在实数集R 上的函数y ＝f (x )不恒为零，同时满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且当x >0时，f (x )>1，那么当x <0时，一定有( )

A ．f (x )<－1

B ．－1

C ．f (x )>1

D ．0

10．若x ＋23x －5

<0，化简y ＝25－30x ＋9x 2－(x ＋2)2

－3的结果为( )

A ．y ＝－4x

B ．y ＝2－x

C ．y ＝3x －4

D ．y ＝5－x

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

11．对于x ∈R ，式子1

kx 2＋kx ＋1

恒有意义，则常数k 的取值围是_________．

12．不等式log 12(x 2－2x －15)>log 1

2

(x ＋13)的解集是_________．

13．函数f (x )＝

x －2

x －3

＋lg 4－x 的定义域是__________． 14．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________．

15．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份

销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是________．

三、解答题(本大题共6小题，共75分) 16．(12分)已知a >b >0，c

e

a －c 与

e

b －d

的大小．

17．(12分)解下列不等式：

(1)－x 2＋2x －23

>0； (2)9x 2

－6x ＋1≥0.

18．(12分)已知m ∈R 且m <－2，试解关于x 的不等式：(m ＋3)x 2

－(2m ＋3)x ＋m >0.

19．(12分)已知非负实数x ，y 满足?

????

2x ＋y －4≤0，

x ＋y －3≤0.

(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域； (2)求z ＝x ＋3y 的最大值．

20．(13分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天的销售量(件)与价格(元)均

为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－1

2

|t

－10|(元)．

(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．

21．(14分)某工厂有一段旧墙长14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，

面积为126 m 2

的厂房，工程条件是：(1)建1 m 新墙的费用为a 元；(2)修1 m 旧墙的费用

为a

4

元； (3)拆去1 m 的旧墙，用可得的建材建1 m 的新墙的费用为a

2

元．

经讨论有两种方案：

①利用旧墙x m(0

必修5第三章《不等式》单元测试题

1．解析：原不等式化为x 2

－2x ≥0，则x ≤0或x ≥2. 答案：D

2．解析：A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；B 中，当a ＝0>b ＝－1时，a 2

＝0(－1)2

时，－2<－1，所以D 不正确．很明显C 正确．

答案：C

3．解析：当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0，可以验证，仅有点(－3,4)的坐标满足3x ＋2y ＋5>0.

答案：A

4．解析：x －1x ＋2>1?x －1x ＋2－1>0?－3

x ＋2

>0?x ＋2<0?x <－2.

答案：A

5．解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3)＝a 2

≥0， 所以M ≥N . 答案：B

6．解析：在平面直角坐标系中，画出不等式组表示的平面区域，如下图中的阴影部分．

则平面区域是△ABC . 答案：A

7．解析：画出可行域如下图中的阴影部分所示．解方程组???

??

x ＋y －3＝0，

x －2y ＝0.

得A (2,1)．由

图知，当直线y ＝x －z 过A 时，－z 最大，即z 最小，则z 的最小值为2－1＝1.

答案：A

8．解析：∵x ＋m 2

x

≥2|m |，∴2|m |>4.

∴m >2或m <－2.

答案：B

9．解析：令x ＝y ＝0得f (0)＝f 2

(0)，

若f (0)＝0，则f (x )＝0·f (x )＝0与题设矛盾． ∴f (0)＝1.又令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )·f (－x )，

故f (x )＝1

f (－x )

.

∵x >0时，f (x )>1，∴x <0时，0

10．解析：∵x ＋23x －5<0，∴－2

.而y ＝25－30x ＋9x 2－(x ＋2)2

－3＝|3x －5|－|x

＋2|－3＝5－3x －x －2－3＝－4x .∴选A.

答案：A

二、填空题（填空题的答案与试题不符）

11．对于x ∈R ，式子1

kx 2

＋kx ＋1恒有意义，则常数k 的取值围是__________． 解析：式子1kx 2

＋kx ＋1

恒有意义，即kx 2

＋kx ＋1>0恒成立．当k ≠0时，k >0且Δ＝k 2

－4k <0，∴00恒成立，故0≤k <4，选C.

答案：C ？

12．函数f (x )＝x －2

x －3

＋lg 4－x 的定义域是__________．

解析：求原函数定义域等价于解不等式组

????

?

x －2≥0，x －3≠0，4－x >0，

解得2≤x <3或3

∴定义域为[2,3)∪(3,4)． 答案：[2,3)∪(3,4)

13．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________． 解析：如下图中阴影部分所示，围成的平面区域是Rt △OAB .

可求得A (4,0)，B (0,4)，则OA ＝OB ＝4，

AB ＝42，所以Rt △OAB 的周长是4＋4＋42＝8＋4 2. 答案：8＋4 2

14．已知函数f (x )＝x 2

－2x ，则满足条件?

????

f (x )＋f (y )≤0，f (x )－f (y )≥0的点(x ，y )所形成区域

的面积为__________．

解析：化简原不等式组

?

????

(x －1)2＋(y －1)2

≤2，(x －y )(x ＋y －2)≥0， 所表示的区域如右图所示，阴影部分面积为半圆面积． 答案：π

15．(2010·高考)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是________．

解析：由已知条件可得，七月份销售额为500×(1＋x %)，八月份销售额为500×(1＋x %)2

，

一月份至十月份的销售总额为3860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2

]，可列出不等式为

4360＋1000[(1＋x %)＋(1＋x %)2]≥7000.令1＋x %＝t ，则t 2

＋t －6625≥0，即?

????t ＋115? ????t －65≥

0.又∵t ＋11

5≥0，

∴t ≥65，∴1＋x %≥65

，

∴x %≥0.2，∴x ≥20.故x 的最小值是20. 答案：20

三、解答题(本大题共6小题，共75分)

16．(12分)已知a >b >0，c

e

a －c 与

e

b －d

的大小．

解：e a －c －e b －d ＝e (b －d )－e (a －c )(a －c )(b －d )＝(b －a )＋(c －d )(a －c )(b －d )e .

∵a >b >0，c

∴a －c >0，b －d >0，b －a <0，c －d <0.

又e <0，∴e a －c －e b －d >0.∴e a －c >e

b －d

.

17．(12分)解下列不等式：

(1)－x 2

＋2x －23

>0；

(2)9x 2

－6x ＋1≥0.

解：(1)－x 2＋2x －23>0?x 2－2x ＋23

<0?3x 2

－6x ＋2<0.

Δ＝12>0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的两根为x 1＝1－

33，x 2＝1＋3

3

， ∴原不等式解集为{x |1－

33

3

}． (2)9x 2－6x ＋1≥0?(3x －1)2

≥0. ∴x ∈R .∴不等式解集为R .

18．(12分)已知m ∈R 且m <－2，试解关于x 的不等式：(m ＋3)x 2

－(2m ＋3)x ＋m >0. 解：当m ＝－3时，不等式变成3x －3>0，得x >1； 当－3

－m ]>0，得x >1或x <

m

m ＋3；

当m <－3时，得1

m ＋3

.

综上，当m ＝－3时，原不等式的解集为(1，＋∞)；当

－3

??－∞，m m ＋3∪(1，＋∞)；当m <－3时，原不等式的解集为? ??

??1，m m ＋3. 19．(12分)已知非负实数x ，y 满足?

????

2x ＋y －4≤0，

x ＋y －3≤0.

(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；

(2)求z ＝x ＋3y 的最大值．

解：(1)由x ，y 取非负实数，根据线性约束条件作出可行域，如下图所示阴影部分．

(2)作出直线l ：x ＋3y ＝0，将直线l 向上平移至l 1与y 轴的交点M 位置时，此时可行域M 点与直线l 的距离最大，而直线x ＋y －3＝0与y 轴交于点M (0,3)．

∴z max ＝0＋3×3＝9.

20．(13分)(2009·调研)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满

足f (t )＝20－1

2

|t －10|(元)．

(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 解：(1)y ＝g (t )·f (t )

＝(80－2t )·(20－1

2

|t －10|)

＝(40－t )(40－|t －10|)

＝?

??

??

(30＋t )(40－t )， 0≤t <10，(40－t )(50－t )， 10≤t ≤20.

(2)当0≤t <10时，y 的取值围是[1200,1225]， 在t ＝5时，y 取得最大值为1225；

当10≤t ≤20时，y 的取值围是[600,1200]， 在t ＝20时，y 取得最小值为600.

21．(14分)某工厂有一段旧墙长14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩

形，面积为126 m 2

的厂房，工程条件是：

(1)建1 m 新墙的费用为a 元；

(2)修1 m 旧墙的费用为a

4

元；

(3)拆去1 m 的旧墙，用可得的建材建1 m 的新墙的费用为a

2

元．

经讨论有两种方案：

①利用旧墙x m(0

ax

4

(元)，

拆旧墙造新墙费用为(14－x )a

2(元)，

其余新墙费用为(2x ＋2×126

x

－14)a (元)，

则总费用为y ＝ax 4＋(14－x )a 2＋(2x ＋2×126x －14)a ＝7a (x 4＋36x －1)(0

∵x 4＋36

x

≥2x 4·36

x

＝6， ∴当且仅当x 4＝36

x

即x ＝12时，y min ＝35a ，

方案②：

利用旧墙费用为14×a 4＝7a

2(元)，

建新墙费用为(2x ＋252

x

－14)a (元)，

则总费用为y ＝7a 2＋(2x ＋252x －14)a ＝2a (x ＋126x )－21

2a (x ≥14)，

可以证明函数x ＋126

x

在[14，＋∞)上为增函数，

∴当x ＝14时，y min ＝35.5a . ∴采用方案①更好些．