一组勾股定理探究题
一组勾股定理探究题
勾股定理是初中数学中的重要定理之一.它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，反映了三边之间特殊的平方关系。在应用定理解证题后，进行深入探究，既有利于培养学生的分析问题和创造性能力，又能使勾股定理应用的教学余音不绝。近些年来，出现了很多与勾股定理相关的探究题，现举几例说明。 一、有关勾股定理证明方面的探究题
【例题1】如图1，是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别是a 和b ，斜边长是c 。如图2，是以c 为直角边的等腰直角三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形？
（2）用这个图形证明勾股定理。
（3）假设图1中的直角三角形有若干个，你能利用图1中所给的直角三角形拼成另一种可以证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）。
解：（1）示意图如图3，是直角梯形。
（2）根据梯形面积公式知：S 梯形 = 12
(a+b) 2
;
同时该梯形面积等于所给三个三角形的面积之和：S 梯形 =2×(12 ab)+ 12 c 2
所以，S 梯形= 12 (a+b) 2 =2×(12 ab)+ 12 c 2 化简得：a 2+b 2=c 2
(3)如图4，等等。
二、有关勾股数规律方面的探究题
【例题列举
猜想
3、4、5 32
=4+5 5、12、13 52
=12+13 7、24、25 72=24+25 …… …… 13、b 、c
132=b+c
解：通过观察，每组勾股数的第一个都是奇数，3，5，7，9…… 那么第n 个奇数为2n+1
设第二个数为x ，第三个数为y 则（2n+1）2+x2=y2 ∴4n2+4n+1=（y+x ）（y-x ）
通过观察，每组勾股数中，第三个数与第二个数相差都为1 ∴y-x=1，∴y+x=4n2+4n+1
通过这两个就可求出x=2n2+2n，y=2n2+2n+1
本题中2n+1=13,n=6,那么，b=2×62+2×6=84,c=2×62+2×6+1=85 三、有关勾股定理拓展方面的探究题
【例题3】△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，若∠C=90°，如图5，根据勾股
定理，则2
22c b a =+，若△ABC 不是直角三角形，如图6和图7，请你类比勾股定理，试猜想22b a +与2
c 的关系，并证明你的结论。
解：若△ABC 是锐角三角形，则有a 2
+b 2
>c 2
；若△ABC 是钝角三角形，∠C 为钝角，则有a 2
+b 2
当△ABC是锐角三角形时， 证明：如上图8，过点A作AD⊥CB，垂足为D。设CD为x，则有DB=a－x 根据勾股定理得 b2－x2＝c2―(a―x) 2 即 b2－x2＝c2―a2＋2ax―x2 ∴a2＋b2＝c2＋2ax ∵a>0，x>0 ∴2ax>0 ∴a2+b2>c2 当△ABC是钝角三角形时， 证明：如上图9，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D。 设CD为x，则有DB2=a2－x2 根据勾股定理得 (b＋x) 2＋(a2―x2)＝c2 即 b2＋2bx＋x2＋a2―x2＝c2 ∴a2＋b2＋2bx＝c2 ∵b>0，x>0 ∴2bx>0 ∴a2+b2 四、有关勾股定理应用方面的探究题 【例题4】如图10①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 (1) 如图10②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明) (2) 如图10③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明； (3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，为使S 1、S 2、S 3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论； (4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 . 解：设直角三角形ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则c 2 =a 2 +b 2 。 (1) S 1=S 2+S 3 。(2) S 1=S 2+S 3 。 证明如下： (3) 当所作的三个三角形相似时，S 1=S 2+S 3. 证明如下： ∵ 所作三个三角形相似， ∴ 22 322211,.S S a b S c S c ==， 2223123 2 11,S S a b S S S S c ++∴==∴=+。 (4) 分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S 1、 S 2、S 3表示，则S 1=S 2+S 3 。