2017年普通高等学校招生全国统一考试

2017 年普通高等学校招生全国统一考试

数学模拟卷

本试卷分选择题与非选择题两部分.满分150分,考试时间为120分钟

考生注意:

1．答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

参考公式：

数学模拟考试题第 1 页共 14 页

数学模拟考试题第 2 页共 14 页

一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U R =，集合1{|||2},{|3}x

A x x

B x x

-=<=≤,则()U

A C

B ?= （）

A.1(0,)4

B.1(2,)4-

C.1

(2,0)(,2)4-? D.1[0,)4

2. 设a R ∈，且

()a i i

+为正实数，则a 的值为（）

A.1a =

B.1a =±

C.1a =-

D.不能确定a 的值

3. 已知,m n αβ??，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4. 若曲线2

1y=ln 22

a x x x ++的切线斜率都是正数，则实数a 的取值范围是（）

数学模拟考试题第 3 页共 14 页

A. ()1,+∞

B. [)1,+∞

C. [)0,+∞

D. ()0,+∞ 5.

的展开式中的系数为（）

A. －3

B.－4 C －5. D.－7

6．现有如下四个函数的部分图像：①y ＝sin|x |；②y ＝x ·|sin x |；③y ＝|x |·cos x ；④y ＝x ＋sin x ．已知

顺序被打乱，则将图像对应的函数序号按照从左到右的顺序排列正确的一组是（）

A ．①③②④

B ．①③④②

C ．③①②④

D ．③①④② 7. 从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只能参加一

天.若要求甲、乙两人中至少一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期

不相邻，那么不同的安排种数为（）

A ．3240. B.5040 C.6480. D.8600

320,8.,0,(0,0)4,

0,0,x y x y x y z ax by a b x y a b --≤??

-≥=+>>??≥≥?

+设满足约束条件若目标函数的最大值为则的值为（）

数学模拟考试题第 4 页共 14 页

A.4

B.2

C.14

D.0

9．在棱长为1的正方体11

ABCD A B C D -中，点P 是棱上一点，若1

125

PA PC +=,则点P 的个数为（）

A ． 6个

B ． 12个

C ． 18个

D ．以上都不对

10．如图,若曲线Γ在顶点为O 的角α的内部,A 、B 分别是曲线Γ上相异的任意两点,且AOB α≥∠,

我们把满足条件的最小角α叫做曲线Γ相对于点O 的“确切角”. 已知O 为坐标原点,曲线C 的方程

为0)

20)

x y x ≥=

那么它相对于点ΓO 的“确切角”等于（）

A.3

π B.512π C.712π

D.23π

第Ⅱ卷非选择题部分(共110分)

二、填空题:（本大题共7小题,前4小题每题6分,后3小题每题4分,共36分）。

O A B

数学模拟考试题第 5 页共 14 页

11.求与椭圆

14924

y x

有公共焦点，且离心率54

e =的双曲线的方程为，

渐近线方程是。

12. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3。

13. 将编号为1，2，3，的四个球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒内放一个球，记

X 为球的编号与盒子编号恰好相同的个数，则X 的数学期望是________；

方差是．

14．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，

AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD .

12题

图

14题图

数学模拟考试题第 6 页共 14 页

则AD 的长等于；△ABC 的面积等于． 15. 已知平面向量,,r r r a b c

满足

a b c ++=r r r r ，，若

()0

a b c -?=r r r

，

||1,,60a a b ==o

u u r r r

且

222||||||

a b c ++r r r = ________。

16. 设{}n

a 是等差数列，{}n

b 是等比数列，,n

S T 分别是

{}

n a ，{}n b 的前

n 项的和,若

5353

34442533

,,,5S S a a

b T T b a b b a -+===-+且

则=________。

17. 已知0,0a b >>，2222

442

b b

a a a

b a b h +

++=，则h 的最大值=

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）已知函数f (x )＝sin(π

－x )sin x

－3cos 2x .

(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在[π6，2π

]上的单调性.

数学模拟考试题第 7 页共 14 页

19. 如图，在三棱柱11

ABC A B C -中，平面1

A ACC ⊥平面,2,ABC A

B B

C ==

111

30,60,,ACB C CB BC AC ∠=∠=⊥o o

E 为AC 的中点，1

2CC =.

（1）求证：1A C ⊥平面1

C EB ；

（2）求直线1

CC 与平面ABC 所成角的

余弦值.

20.设函数()1x

x f x e x

=+，[]0,1x ∈. （1）证明：()231

82f x x x ≤++；

（2）证明：

()15

f x ≤≤

21．已知点A(0,2),B(0,-1)，动点M(x,y)满足2

MA MB y ?=u u u r u u u r

，

（1）求动点M 的轨迹E 的方程；

（2）过点A 的直线交E 于C,D 两点，求证:E 在C,D 两点处的切线斜率之积是定值；

（3）过E 上一点()00

,P x y 作两直线,PQ PR 和圆O:

数学模拟考试题第 8 页共 14 页

221

x y +=相切，且分别交E 于,Q R 两

点，若直线QR

的斜率为P 的坐

标.

22. 数列{}n

a 满足2*

3,(,)n n

a a a na R n N λλ+==-+∈∈ （1）已知23

46a a ≥≥且，求λ的取值范围；（2）若λ满足（1）的取值范围，试证：2n

≥；

（3）若λ= -2，求证： 121112222n

a a a +++<---L

富阳中学2017届三模

数学参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，

单空题每小题4分，共36分）

数学模拟考试题第 9 页共 14 页

11.

221169y x -=;22

4,(0)3169

y x y x =±-= 12.

;173

13. 1 ; 1 14. 5 ; 753

4 15.

5 16.

- 17. 12

三、解答题（本大题共5小题，共74分）

18．（本小题满分14分）解 (1)f (x )＝sin(π

－x )sin x －3cos 2x

＝cos x sin x －3

(1＋cos 2x ) ……(2分)

＝12sin 2x －32cos 2x －32

＝sin(2x －π3)－3

，……(5分)

因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－3

.……(7分) (2)当x ∈π6，2π3]时，0≤2x －π

≤π.

易知当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π

时，f (x )单调递增，

当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π

时，f (x )单调递减．所以f (x )在π6，5π12]上单调递增；在5π12，2π

]上单调

递减．……(14分)

19．（本小题满分15分）【解析】（1）因为

数学模拟考试题第 10 页共 14 页

2,AB BC E

==为AC 中点，所以AC BE ⊥ (2分)

又因为平面1

A ACC ⊥平面ABC ，面1

AACC ABC AC ?=面,

所以1

BE AACC ⊥面……(5分) 所以1

BE A C ⊥，又因为1

BC A C ⊥ 所以1

A C ⊥平面1

C EB ；……(7分) （2）因为平面1

A ACC ⊥平面ABC

所以直线1

CC 与平面ABC 所成角为1

C CA ∠……(9分)

因为30BAC ∠=o

,2,AB BC E ==为AC 中点

所以3,1EC EB ==

因为12CC =,1

60C CB ∠=o

所以2BC =,……(11分) 因为11

BE AACC ⊥面，所以,3BE EC EC ⊥= 在1

CC E ?中，根据余弦定理可知，1

3cos 3C CA ∠=……(15分)

另解：以点E 为中心，EC 为x 轴，EB 为y 轴，……(9分)

因为30BAC ∠=o

,2,AB BC E ==为AC 中点

所以3,1EC EB ==

因为12CC =,1

60C CB ∠=o

所以2BC =,……(11分) 因为11

BE AACC ⊥面，所以,3BE EC EC ⊥=

数学模拟考试题第 11 页共 14 页

设点()

1,0,C C x y 则

11||2,||1

CC C E ==u u u u r u u u u r ,

所以1C ??

则

133CC ?=- ??

u u u u r ，面ABC 的法向量为

()

0,0,1n =r

则

1sin cos ,CC n α=<>=

u u u u r r

，所以cos α=

……(15

分) 20．（本小题满分15分）（1）令

()()231182g x f x x x ??

=-++ ?

，

则

()

131

42x x g x x e -'=

，（2分）

满足()00g '=，

(

)23

4x x g x e -''=

-<，则()g x 递减，且

()00

g =，

得证！（7分）

（2）由（1）知()2

182

f x x x ≤+

+，而

()231

h x x x =++在[]0,1上

递增，

()()()15

f x h x h ≤≤=

；（10分）

另一方面，

()

x f x e -'=

，()00f '>，()10f '<，

则存在()0

0f x '=，当()0

0,x x ∈时，()0f x '>，当()0

,1x x ∈时，

()0f x '<，则()f x 先增后减，()()(){}min

min 0,11f x f f ==.（15分）

21．（本小题满分15分）【解析】（1）2

2x y =+(3分)

（2）设直线为1

1222,(,),(,)

y kx A x

y B x y =+

222

402

x y x kx y kx ?=+?--=?

=+?，在点C,D 处的斜率分别为1

2,2x

x ，

则1

416

x x

=-为定值(7分)

数学模拟考试题第 12 页共 14 页

（3）设0

(,),(,),(,)P x y Q x y R x y

则2

212

(2)(2)

QR x x k x x x x

---==+=-设直线PQ:

010()

y y k x x -=-，与圆相切，得0222

01001(1)210

x k x y k y --+-=

同理，直线PR ：

20()

y y k x x -=-得0222

2002(1)210

k x y k y --+-=(9

分)

故

122021

x y

k k x +=-，由

2211001010

20x y x k x k x y y k x y k x ?=+?-+--=?

=+-?

故0

x x k +=，同理0

x x k +=，(12分)

故000

022213

x y x x x k k x x x ++=+?=

?=--

故点5

(),3

P P -(15分)

22. （本小题满分15分）（Ⅰ）

236+4-211246,-2-9-2

a λλλλλλλ=≥≥=++≥≥≤∴≥2依题意a ，得：；得或（3

分）

（Ⅱ）I -2λ≥由（）知，下证：2n

a n ≥ 用数学归纳法证明如下：

（1）当n=1时，a 1=3>2?1,成立，当n=2时，由

（I ）知，也成立（4分）

（2）假设n=k （k>1）时成立，即a k >2k, 则n=k+1时，

k+1

()222(1)(1)2(1)k

a a ka a a k k k k k λλ=-+=-+≥-=+-≥+……（7分）

即n=k+1时也成立，

数学模拟考试题第 13 页共 14 页

由（1）（2）知，对所有*

n N ∴∈，2n

a n

≥均成立，（8

分）

（Ⅲ）λ当=-2时，

212112211122=44242(2)0(2),(13111111

(3),14222222

1111111

122152222222

n n n n n n n n n n n n n a a na na a a n n a a a a a a +--------≥-≥-=->≥∴≤≤≤=≥---∴

+++≤++++=-<---L g L L 分）（分）（）（分）