(完整)2016年广西南宁中考数学试卷及答案,推荐文档
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2016 年南宁初中毕业升学考试数学试卷
（考试时间：120 分钟，满分：120 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的） 1. -2 的相反数是（ ） （A ） -2
（B ） 0
（C ） 2
（D ） 4
2. 把一个正六棱柱如图 1 摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是 （
）
（A ） （B ） （C ）
3. 据《南国早报》报道：2016 年广西高考报名人数约为 332000 人，创历史新高。其中数据 332000 用科学记
数法表示为（
）
（A ） 0.332×106
（B ） 3.32×105
（C ） 3.32×104
（D ） 33.2×104 4. 已知正比例函数 y=3x 的图像经过点（1，m ），则 m 的值为（
）
（A ）
（B ） 3 （C ） -
（D ） -3
5. 某校规定学生的学期数学成绩满分为 100 分，其中研究性学习成绩占 40%，期末卷面成绩占 60%，小明的两项成绩（百分制）依次是 80 分，90 分，则小明这学期的数学成绩是（
）
（A ） 80 分
（B ） 82 分 （C ） 84 分 （D ） 86 分
6. 如图 2，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架跨度 BC=10 米， B=36°, 则中柱 AD （D 为底边中点）的长是（ ） B
（A ）
5sin36°米 （B ）
5cos36°米
（C ）
5tan36°米
（D ）
10tan36°
A
36O
C
D
图 2
米
7. 下列运算正确的是（ ）
（A ） a 2-a=a
（B ） ax+ay=axy
（C ） m 2 · m 4=m 6
（D ） （y 3）2=y 5
图 1
图 7 2
S 1
S 2
у
y=ax 2+bx+c
y= 0
χ
3
2 3
2
8. 下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的是（
）
9. 如图 3，点 A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D ，E ，
∠ DCE=40°，则 ∠ P 的度数为（
）
（A ） 140°
（B ） 70°
（C ） 60°
（D ） 40°
10. 超市店庆促销，某种书包原价每个 x 元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减 10 元，经两次降价后售价为 90 元。则得到方程（ ）
（A ） 0.8x-10=90 （B ） 0.08x-10=90 （C ） 90-0.8x=10
（D ） x-0.8x-
10=90
11. 有 3 个正方形如图 4 所示放置，阴影部分的面积依次记为 S 1 ，S 2 ，则 S 1 ： S 2 等于 图 4
（
）
（A ）1： （B ）1：2
（C ）2：3
（D ）4：9
12. 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 和正比例函数 y=
方程 ax2+（b- ）x+c=0 （a≠0）的两根和（
x 的图象。如图 5 所示，则 x
）
（A ）大于 0
（B ）等于 0
（C ）小于 0
（D ）不能确定
图 5
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
13. 若二次根式 x -1 有意义，则 x 的取值范围
14. 如图 6，平行线 AB 、CD 被直线 AE 所截。∠1=50°。则∠A=
A
15. 分解因式：a2-9=
16.
如图 7，在 4×4 正方形网格中，有 3 个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白
B
D
1
y C C
E 图 6
B O
A
x
图 8
D
3
2
2
1
色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率是
17. 如图 8 所示，反比例函数 y =
k
(k ≠ 0, x > 0)的图象经过矩形 OABC 的对角线 AC 的中点 D ，若矩形 OABC
x
的面积为 8，则 k 的值为
18. 观察下列等式： 第一层
1+2=3 第二层 4+5+6=7+8 第三层 9+10+11+12=13+14+15 第四层 16+17+18+19+20=21+22+23+24
……
在上述的数字宝塔中，从上往下数，2016 在第
层。
三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（6 分）计算：
?3x - 2 ≤ x 20.（6 分）解不等式组?
2x +1 x +1 ，并把解集在数轴上表示出来
? < ? 5 2
21.（8 分）如图 9，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(2，2)，B(4，0)，C(4，-4).
（1） 请画出△ABC 向左平移 6 个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；
（2） 以点 O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的
，得到△A 2B 2C 2，请 - 2 + 4 cos 30? - ? 1 ?
-1 ? 2 ?
? + 12
在 y 轴右侧画出△A2B2C2，并求出 A2C2B2的正弦值.
22.（8 分）在“书香八桂，阅读圆梦”读书活动中，某中学设置了书法、国学诵读、演讲、征文四个比赛项目（每人只参加一个项目），九（2）班全班同学都参加了比赛，该班班长为了了解本班同学参加各项比赛的情况，收集
整理数据后，绘制以下不完整的折线统计图（图 10-2）.根据图表中的信息解答下列各题：
（1）请求出九（2）班全班人数；
（2）请把折线统计图补充完整；
（3）南南和宁宁参加了比赛，请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率.
23.（8 分）如图 11，在Rt△ABC 中，C=90°，BD 是角平分线，点 O 在
AB 上，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆经过点 D，交 BC 于点 E。
（1）求证：AC 是⊙O的切线；
a
1
3
1 （2） 若 OB=10，CD=8，求 BE 的长。
24.（10 分）在南宁市地铁 1 号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要 150 天，甲队单独施工 30 天后
增加乙队，两队又共同工作了 15 天，共完成总工程的 。
（1） 求乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2） 为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是
，甲队的工作效率是乙队的
m 倍（ 1 ≤ m ≤ 2 ）。若两队合作 40 天完成剩余的工程，请写出 a 关于 m 的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？
25.（10 分）已知四边形 ABCD 是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF 的两边分别与射线 CB 、DC 相交于点 E 、F ，且∠EAF=60° .
（1） 如图 12-1，当点 E 是线段 CB 的中点时，直接写出线段 AE ，EF ，AF 之间的数量关系； （2） 如图 12-2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B 、C 重合），求证：BE=CF ； （3） 如图 12-3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且∠EAB=15°时，求点 F 到 BC 的距离。
26.（10 分）如图 13，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（1，1），且与直线 y=x-2 交于 B，C 两点。
（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作MN⊥x轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，M，N 为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点 N 的坐标，若不存在，请说明理由。
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2016 年南宁中考数学答案及解析
（考试时间：120 分钟，满分：120 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的） 2. -2 的相反数是（ ） （A ） -2 （B ） 0
（C ） 2
（D ） 4
【答案】C
【考点】相反数-初一上册
2. 把一个正六棱柱如图 1 摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是 （
）
（A ） （B ） （C ）
【答案】A
【考点】投影-初三下册 11.
据《南国早报》报道：2016 年广西高考报名人数约为 332000 人，创历史新高。其中数据 332000 用科学
记数法表示为（
）
（A ） 0.332×106
（B ） 3.32×105
（C ） 3.32×104
（D ） 33.2×104
【答案】B
【考点】科学计数法-初一上册
【海壁点评】本题关注广西高考时事，与时俱进，也恭喜我们海壁学生高考数学再创新高，平均分高达 120。 12. 已知正比例函数 y=3x 的图像经过点（1，m ），则 m 的值为（
）
（A ）
（B ） 3 （C ） -
（D ） -3
【答案】B
【考点】正比例函数-初二下册
图 1
13.某校规定学生的学期数学成绩满分为 100 分，其中研究性学习成绩占 40%，期末卷面成绩占 60%，小明的两项成绩（百分制）依次是 80 分，90 分，则小明这学期的数学成绩是（）
（A）80 分（B）82 分（C）84 分（D） 86 分
【答案】D
【考点】加权平均数-初二下册
14.如图 2，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架跨度 BC=10 米，∠B=36°, 则中柱 AD（D 为底边中点）的长是（）A
（A）5sin36°米（B）5cos36°米（C）5tan36°米（D） 10tan36°米
【答案】C B36O C
D
【考点】等腰三角形-八年级上册；锐角三角函数-九年级下册图 2
15.下列运算正确的是（）
（A）a2-a=a （B）ax+ay=axy （C） m2 · m4=m6 （D）（y3）2=y5
【答案】C
【考点】整式加减-初一上册；整式的乘除-初二上册
16.下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的是（）
【答案】D
【考点】函数的定义-初二下册
【海壁点评】本题回归根本又联系未来，对函数的认知，对函数与解析几何的区别有所探讨
9.如图 3，点 A，B，C，P 在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为
D，E，
∠DCE=40°，则∠P 的度数为（）
у
y=ax 2+bx+c
y= 0
χ
图 5
3
2 3
2 3 2 （A ） 140° （B ） 70° （C ） 60° （D ） 40°
【答案】B
【考点】四边形内角和-八年级上册；圆心角和圆周角-九年级上册
10. 超市店庆促销，某种书包原价每个 x 元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减 10 元，经两次降价后售价为 90 元。则得到方程（ ）
（A ） 0.8x-10=90 （B ） 0.08x-10=90 （C ） 90-0.8x=10
（D ） x-0.8x-10=90
【答案】A
【考点】一元一次方程-七年级上册
13. 有 3 个正方形如图 4 所示放置，阴影部分的面积依次记为 S 1 ，S 2 ，则 S 1 ： S
等于（
）
（A ）1： 【答案】D
（B ）1：2
（C ）2：3
（D ）4：9
【考点】正方形-八年级下册；相似-九年级下册
【海壁点评】看起来像几比几？相信很多同学会猜 1：2 吧。猜是一种很好的直觉思维，海壁鼓励的是先猜后证。这道题通过相似，面积比等于边长比的平方证明就 ok ，也可以代入边长的特殊值来计算。 14. 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 和正比例函数 y= x 的图象如图 5 所示，则
x
方程 ax2+（b- ）x+c=0 （a≠0）的两根和（ ）
（A ）大于 0
（B ）等于 0 （C ）小于 0
（D ）不能确定
【答案】A
【考点】一次函数-八年级下册；二次函数-九年级上册；韦达定理-九年级上册
? y = ax 2 + bx + c ? 【解答】联立? y = 2 x
? 3
b - 2
得到 ax2+（b- ）x+c=0，通过观察图像两交点横坐标的和可得。 b - 2 或由 x 1+x 2= -
3 . 观察图象可得 a>0 , a >0 推出 b<0 ∴两根和- 3 >0. a
2 S 1
S 2
3 2 - b 2a
2
【海壁点评】这道题的题眼是两根和，初三的学生应该清楚，韦达定理是唯一的选择。含有参数的一元二次方程， 这是海壁老师多次强调的重点，也是我们总结的数与式体系的选择压轴七大类型题中考频非常高的一种。今年是将函数图像的交点和韦达定理结合起来考察，学生要清楚两根和代表两个交点横坐标的和。这道题难度有限。学生如果还对答案存疑，完全可以代入具体的数字进行验证。韦达定理是南宁中考的重点，在 2013 年的 26 题、 2015 年的 26 题中都有涉及。它是高中解析几何重点应用的一个知识点。
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
19. 若二次根式 【答案】x ≥1
x -1 有意义，则 x 的取值范围
A
【考点】二次根式-八年级下册
C 图 6
20. 如图 6，平行线 AB 、CD 被直线 AE 所截。∠1=50°。则∠A=
【答案】50°
【考点】相交线与平行线-七年级下册 21. 分解因式：a2-9=
【答案】(a+3)(a-3)
【考点】因式分解-八年级上册
图 7
22. 如图 7，在 4×4 正方形网格中，有 3 个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率是
【答案】
【考点】轴对称图形-八年级上册；概率-九年级上册 k
23.
如图 8 所示，反比例函数 y =
(k ≠ 0, x > 0)的图象经过矩形 OABC 的对角
x
线 AC 的中点 D ，若矩形 OABC 的面积为 8，则 k 的值为
【答案】2
【考点】矩形-八年级下册；反比例函数-九年级下册，相似-九年级下册
B
D
1
E
y C
B O
A x
D
图 8
【海壁点评】反比例函数结合相似是函数选择填空压轴题中比较常考的类型。这道题目在这个类型中属于比较简单的，充分体现了出题老师的和蔼。
24.观察下列等式：第一层1+2=3
第二层4+5+6=7+8
第三层9+10+11+12=13+14+15
第四层16+17+18+19+20=21+22+23+24
……
在上述的数字宝塔中，从上往下数，2016 在第层。
【答案】44
【考点】找规律—数列—高二
【解答】由题易知，首项为 1、4、9、16……第 n 层首项为 n2 （也可讨论：末尾项 3、8、15、24……第 n 层末尾项为：n2+2n，方法一样，但规律难找） 442=1936，452=2025，1936 <2016 <2025 。所以，2016 在第 44 层
【海壁点评】找规律题型是南宁市中考的重点题型，近几年只有 2014 没有出现（2010 年的 18 题，2011 年的18 题，2012 年的 18 题，2013 年的 17 题，2015 年的 18 题）海壁对规律题相较于学校和其他机构有更为深刻的理解。这种理解是基于对初高中知识体系和联系的把握。找规律本质是数列。今年的找规律是海壁所总结的四大规律中的平方数列，我们有两种以上的方法求出 n 项的代数式（也就是高中的通项公式）。我们对找规律可拓展的方向也有非常明确地分析。在海壁学习的学生不但对于初中的难题能够高人一筹，对于高中的掌握也能快人一步。
三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21.（6 分）计算：【答案】- 2 + 4 cos 30?-
?1 ?-1
?2 ?
?+ 12
C 2 D
B 2 D
3
- 4 2
1
【考点】绝对值-七年级上册；负次幂、根数-七年级下册；锐角三角函数-九年级下册
?3x - 2 ≤ x 22.（6 分）解不等式组?
2x +1 x +1 ，并把解集在数轴上表示出来
? < ? 5 2
【答案】
【考点】不等式组-七年级下册
21.（8 分）如图 9，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(2，2)，B(4，0)，C(4，-4).
（1） 请画出△ABC 向左平移 6 个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；
（2） 以点 O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的
，得到△A 2B 2C 2，请在
y 轴右侧画出△A 2B 2C 2，并求出∠ A 2C 2B 2 的正弦值. 【答案】（1）△A1B1C1 如右图所示：
（2 分）
（2）△A 2B 2C 2 如右图所示：
（2 分）
解：如图，A 2（-1，-1），B 2（-2，0），C 2（-2，2）
设直线 A 2C 2 解析式为：y=kx+b 将 A 2（-1，-1），C 2（-2，2）代入，求得：y=-3x-4；
则直线 A 2C 2 与 x 轴交点的坐标 D 为 （ ，0）
（1 分）
在 RT△B 2DC 2 中，B 2D=
sin ∠ A 2C 2B 2=
= ， C 2D= （1 分）
（2 分）
【考点】平面直角坐标系，平移—七年级下册；位似—九年级下册；一次函数-八年级下册；勾股定理-八年级下册；三角函数—九年级下册
2 10
3 3
2
【海壁点评】本题相比南宁往年中考题的创新之处在将三角函数与平面直角坐标系结合起来，形成了“二选一”题型（解直角三角形+作图）的合二为一。难度中等，有点意思。
22.（8 分）在“书香八桂，阅读圆梦”读书活动中，某中学设置了书法、国学诵读、演讲、征文四个比赛项目（每人只参加一个项目），九（2）班全班同学都参加了比赛，该班班长为了了解本班同学参加各项比赛的情况，收集
整理数据后，绘制以下不完整的折线统计图（图 10-2）.根据图表中的信息解答下列各题：
（1）请求出九（2）班全班人数；
（2）请把折线统计图补充完整；
（3）南南和宁宁参加了比赛，请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率. 【答案】（1）解：根据演讲人数推断总人数：12÷25%= 48（人）；（2 分）（2）如右图所示。（2 分）
（3）答：两人参加比赛项目相同的概率为：4÷16=（2 分）树形图：如图（2 分）
or 列表法：（2 分）
【考点】折线统计图和扇形统计图—七年级下册；统计：利用部分推测总体—七年级下册；概率（树形图与列表法）—九年级上册
【海壁点评】本题毫无悬念。阅读作为背景传递了数学出题老师的心声。读书也是专注数学的海壁的每一位老师都大力提倡的。只有读书才能圆梦，也只有读好书，好读书，才能学好数学哦。当然，除了国学以外，还有传记、心理学、历史、艺术、经济学和哲学等，都可以成为中学生不错的选择。
23.（8 分）如图 11，在Rt△ABC中，C=90°，BD 是角平分线，点 O 在
AB 上，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆经过点 D，交 BC 于点 E。
（1）求证：AC 是⊙O的切线；
（2）若 OB=10，CD=8，求 BE 的长。
【答案】（1）证明：连接 OD（如图蓝线所示）
∴
∴
∴
3
1 OD=OB
∠OBD=∠ODB
B D 是∠AB
C 的角平分线
∴∠OBD=∠CBD
∠CBD=∠ODB
OD∥BC
（1 分）
∴
∠C=90°
∠ODC=90°
OD⊥AC
点 D 在⊙O 上，
AC 是⊙O 的切线
（2 分） 【海壁备注：方法很多，如等角代换】
（2）解：过圆心 O 作 OM ⊥ BC 交 BC 于 M （如右图蓝线所示）
BE 为⊙O 的弦，且 OM ⊥ BE
∴ BM=EM
（1 分）
∠ODC=∠C=∠OMC= 90°
∴ 四边形 ODCH 为矩形，则 OM=DC=8
OB=10 ∴ BM= BE=BM+EM=
12
=6=EM
（2 分）
（2 分） 【海壁备注：方法很多，如作 DH⊥AB】
【考点】角平分线、平行—七年级下册；矩形—八年级下册；圆、切线、垂径定理—九年级上册
【海壁点评】南宁中考的传统是 23 题-三角形和四边形，25 题-圆与直角三角形；今年互换了位置。这在南宁尚属首次。但在广西省外却不新鲜。对于用《天利 38 套》作为主要练习册的海壁学生们，想必也不会奇怪。单论这道题目，第一问非常常规，考圆的切线的证明，海壁的同学们练习过多次，轻车熟路；第二问主要考察辅助线， 想比以前的三角形和四边形，难度有所提升。方法很多，如果做 DH⊥AB 也能做出来，但明显做 OM⊥BC 更加简单。为什么能想到 OM⊥BC，请注意 ODCB 是一个直角梯形啊，直角梯形的辅助线还有哪条？！哪条？！条？ ！……
24.（10 分）在南宁市地铁 1 号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要 150 天，甲队单独施工 30 天后
增加乙队，两队又共同工作了 15 天，共完成总工程的 。
102 - 82 ∴ ∴ ∴
a 1 a
1 a 1
a m a
1
a
1
（1） 求乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2） 为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是
，甲队的工作效率是乙队的
m 倍（ 1 ≤ m ≤ 2 ）。若两队合作 40 天完成剩余的工程，请写出 a 关于 m 的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？
【答案】（1）解：设乙队单独完成这项工程需要 x 天，则乙队每天的工作效率为 ，依题意，得：
（2 分）
解得： x =450
（1 分） 经检验： x =450 是原分式方程的解.
（1 分）
答：乙队单独完成这项工程需要
450 天。
（2）解：乙队的工作效率为
40 （ + ）=
转化得： a =60 m +60
，依题意可得甲队的工作效率为 ，可列出等式为：
（1 分）
（2 分）
要求乙队最大工作效率，即求 的最大值。当正数 a 最小时， 最大
m =1 时，a
即：
小=120
此时， = （1 分）
（2 分）
答：乙队最大工作效率是原来的
3.75 倍。
【考点】分式方程—八年级上册；一次函数—八年级下册；反比例函数—九年级下册
【海壁点评】今天是 6 月 28 日，南宁地铁正式运营！可喜可贺啊！能提升市民骄傲城市热点话题入应用题都是老 套路，好吗？！工程问题是不错的选择（海壁归纳的三大类之一），工程总量看成单位 1 也天然契合。第二小问初
120 1
3 2 a m a
1 1 ≤ m ≤ 2
1 ÷ 1 = 3.75 450
120
a
1
看让人迷糊，好家伙，a 和 m 两个参数，会吓到一批只注重颜值、只看到表面的小伙伴。其实呢，会审题的朋友
们发现，都是纸老虎。用万能表格法把式子列出来，so easy ！当我们很高兴的时候，又来一个坑—— 和 a 的
大小关系是反过来的。*&……%￥#。不要凌乱，只要检查。把两个边界值代入检验下，看看哪个效率更高不就好了吗？这次应用题说实话不算难（特别是相对去年的应用题第三小问，计算量惨无人道），简单的不检查，才难！
25.（10 分）已知四边形 ABCD 是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF 的两边分别与射线 CB 、DC 相交于点 E 、F ，且∠EAF=60° .
（1） 如图 12-1，当点 E 是线段 CB 的中点时，直接写出线段 AE ，EF ，AF 之间的数量关系； （2） 如图 12-2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B 、C 重合），求证：BE=CF ； （3） 如图 12-3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且∠EAB=15°时，求点 F 到 BC 的距离。
【答案】（1）
AE=EF=AF
（2 分）
（2）证明：连接 AC （如右图蓝色部分所示）
四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=60 AB=AD=AC ，∠ABC=∠ACB=∠ACD=60 ∠EAF=60 ，即∠EAC+∠FAC=60 ∠ABC =60 ，即∠EAC+∠BAE=60 ∠FAC=∠BAE （1 分）
又
∠ABE=∠ACD=60 且 AC=AB
=
△ABE △ACF（ASA ） （2 分）
BE=CF
（1 分）【海壁备注：方法很多，如△AEC≌△AFD】
（3）过点 A 作 AG⊥BC 于点 G ，过点 F 作 FH⊥EC 于点 H （如下图蓝线部分所示）
∠EAB=15 ，∠ABC=60
∠AEB=45
Rt△AGB 中 ，∠ABC=60 ，AB=4 BG=2，AG=
Rt△AGE 中 ，∠AEB=45 ，AG=EG= 2 3 ∴ EB=EG -BG= 2 3 -2
（1 分）
由（2）易同理可证，△AEB △AFC
∴AE=AF， EB=CF= 2 3 -2 ， ∠AEB=∠AFC=45 （1 分）
∠EAF=60 ，AE=AF
△AEF 为等边三角形，∴ ∠AEF=∠AFE=60 ∠AEB=45 ，∠AEF=60
∠CEF=∠AEF -∠AEB=15
Rt△EFH 中 ，∠CEF=15 ，∴ ∠EFH=75 又 ∠AFE=60 ，
∠AFH=∠EFH -∠AFE=15
又 ∠AFC=45 ，∠CFH=∠AFC -∠AFH =30 （1 分）
Rt△CHF 中 ，∠CFH=30°，CF= 2 3 -2 ∴ FH=CF·cos30°=（ 2 3 -2）·
（2 分）【海壁备注：方法很多，如用三角函数】
FH 的长度即为点 F 到 BC 的距离
.
【考点】等边三角形，三角形全等—八年级上册；菱形—八年级下册；30°和 45°直角三角形—九年级下册 【海壁点评】如果学生问我，一般来说，四边形和圆谁更难？我会说，都不难。相似才难，辅助线更难。如果学生问我，今年的这道压轴难不难？我会说，按这个标准，今年的题目难度一般。因为没有眼花缭乱的相似三角形 （当然，有也不要怕，海壁有五大模型），因为没有出其不意的辅助线（做垂线，很套路）。出题老师的善良让人
2 3
3
2
解得， ?
AB = (1- 2)2 +12 = 2
∴ BC = (-1- 2)2 + (- 3)2 = 3 2
敬仰。第一题，送分题，善良不解释。第二题，中等以上的同学都应该做出来，难度在于要做一条辅助线。对于海壁的学生来说，“动中不变量”还说的少？！！第三小问，继续遵循不变（字母都不变）的全等三角形，通过放 大局部，再做两条辅助线解决问题。15°，我们还不联系联想到 30°、45°和 60°，我们还不联想到特殊直角三角形， 我们还有什么脸面号称数学学霸！同学们，不要局限于是圆还是四边形，这不重要，海壁要告诉大家，一二问都 是套路，圆和四边形套路不同而已，第三问归根究底就是三个字（这个在海壁的同学都知道）我们还是保留一些悬念吧。
26.（10 分）如图 13，已知抛物线经过原点 O ，顶点为 A （1，1），且与直线 y=x-2 交于 B ，C 两点。
（1） 求抛物线的解析式及点 C 的坐标； （2） 求证：△ABC 是直角三角形；
（3） 若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MN⊥x 轴与抛物线交于点 M ，则是否存在以 O ，M ，N 为顶点的
三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点 N 的坐标，若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：抛物线顶点为（1，1），设解析式为代入（0，0），解得 a=-1
抛物线为： （2 分）
抛物线与直线 y = x - 2 交于 B 、C 两， 得
? x 1 = -1 y = -3
? 1
C 点坐标为
（-1，-3）
（1 分）
（2）由题目和（1）得，B （2，0），C （-1，-3），A （1，1），根据两点间距离公式
（1 分）
?
? y = -x 2 + 2x ? y = x - 2
∴ ? y ?x 2 = 2
? 2 = 0
∴ AC = (-1-1)2 + (- 3 -1)2 = 2 5
y = a (x -1)2 +1
∴ AC 2 = 20
AB 2 + BC 2 = 2 +18 = 20
∴ AC 2 = AB 2 + BC 2
根据勾股逆定理，得出?ABC 是直角三角形.
（2 分）【海壁备注：方法很多，如直线斜率乘积-
1】
（3） 要使得存在 O 、M 、N 为顶点的三角形与?ABC 相似
又∵ ∠ABC=∠ONM=90°
或
设 N （ x ，0）
∴ MN=| - x 2 + 2x |
ON=| x |
M （ x ， - x 2 + 2x ）
当 时，
解得，
当
x = 5 或 x = -1 或 x = 0 （舍去）
（2 分）
时，
解得， x = 5 或 x = 7
或 x = 0 （舍去）
（2 分）
3 3
∴N 坐 标 为
（5，0）,（-1，0）,（ ，0）,（ ，0）
【考点】抛物线的解析式，一次函数与二次函数的交点—九年级上册；勾股定理—八年级下册；相似—九年级下册；两点间的距离公式—哪年级？
【海壁点评】欢笑吧，2016 的数学中考少年！相比前几年的中考压轴题，今年第三小问的难度下降一个档次，新颖度下降一个档次。第一小问，常规的求二次函数的解析式，用顶点式较快，海壁推荐先求解析式后转化三种形式让错误不再来；第二小问，两点间的距离公式，得出三边长度后，用勾股逆定理判断直角三角形。（也可以求出 AB 的斜率，然后用 K AB ·K CB =-1 这个高中的知识点，当然会损失一点超纲分）；第三小问，海壁总结的四大类型中 的“存在问题”，稍有难度的是需要分类讨论，第一是边比会换，第二是有正有负，稍不注意就会漏点。日常在学
∴ MN ⊥ x 轴 .
∴ BC AB
ON = NM
BC AB
ON = NM
BC AB
NM = ON
- x 2 + 2x =
x 3 2
2
NM = ON AB
BC x = - x 2 + 2x
3 2 2