解析几何重点题型归纳

解析几何重点题型归纳

1、设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足?4PA PB =,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求 (I)求点A B 、的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程.

2、在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线43=-y x 相切. （Ⅰ）求圆O 的方程；

（Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB | 成等比数列，求、

的取值范围.

3、已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足

AP PB =，0MA AP ?=.

（Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；

（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，

当12l l ⊥，求直线l 的方程.

4、已知抛物线C :2

2x py

=()0p >的焦点为F ,A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的

不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ，且12l l ⊥，1l 与2l 相交于点D . (1) 求点D 的纵坐标； (2) 证明：A 、B 、F 三点共线；

(3) 假设点D 的坐标为3,12??- ???

，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆， 若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.

5、 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3

，过右焦点F 的直线l 与C 相交于

A 、

B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 2

（I ）求a ，b 的值；

（II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立

若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。

6、双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直

于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

7、设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．

（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．

8、如图，已知抛物线2

:E y x =与圆

222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点。

（I ）求r 得取值范围；

（II ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、

BD 的交点P 坐标。

9、已知椭圆22

132

x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．

（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：22

00

132

x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．

解析几何重点题型归纳【答案】

1、解: (Ⅰ)令033)23()(2

3=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或

当1-'x f ,当1>x 时,0)(<'x f

所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故

1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f 所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.

(Ⅱ) 设),(n m p ，),(y x Q ，()()4414,1,122=-+-=--?---=?n n m n m n m PB PA

21-=PQ k ，所以21-=--m x n y ，

又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以??

?

??-+=+4222n x m y 消去n m ,得()()9282

2

=++-y x

2、解： （Ⅰ）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线43=-y x 的距离，即 23

14=+=

r

得圆O 的方程为422

=+y x

.

（Ⅱ）不妨设4.),0,(),0,(22121=

222222)2()2(y x y x y x +=+-?++ 即 .222=-y x

).

1(24)

,2(),2(222-=+-=--?---=?y y x y x y x PB PA 内于点P 在圆O 内做?????=-<+2

4

22

2y x y x

由此得：y 2

<1 所以 ?的取值范围为).0,2[-

3、（Ⅰ）解：设P (,)x y ，(,0),(0,)(0)A B B

A x

B y y 则

(,)A AP x x y =- (,)B PB x y y =-- 由AP PB = 得 2A x x =，2B y y = …4分

又(,2)A MA x = (,)A AP x x y =-即(2,2)MA x =，(,)AP x y =-……………6分 由0MA AP ?= 得 2

(0)x y y =≥…………………………………..8分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：(2)y k x

设11(,)E x y ，22(,)F x y

因为

'2y x = ，故两切线的斜率分别为122,2x x …………………10分

由方程组2(2)

x y

y k x ?=?=+? 得220x kx k --= 所以12x x k += 122x x k ?=-

当12l l ⊥时，，12221x x ?=-，所以 18k = 所以，直线l 的方程是 1

(2)8

y x =+

4、(1) 解:设点A 、B 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ， ∵ 1l 、2l 分别是抛物线C 在点A 、B 处的切线， ∴直线1l 的斜率1'

1

1x x x k y p

===

，直线2l 的斜率2'2

2x x x k y p

===

. ∵ 12l l ⊥, ∴ 121k k =-, 得2

12x x p =-. ① …2分

∵A 、B 是抛物线C 上的点, ∴ 221212,.22x x y y p p

== ∴ 直线1l 的方程为()21112x x y x x p p -

=-,直线2l 的方程为()2

2222x x y x x p p

-=-. 由()()211

12

222,2,

2x x y x x p p x x y x x p p ?-=-????-=-??

解得12,2.2x x x p y +?=????=-??∴点D 的纵坐标为2p -. …4分

(2) 证法1：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0,

2p F ?

? ???

. ∴ 直线AF 的斜率为212

211111

22202AF

x p p y x p p k x x px ---===

-， 直线BF 的斜率为2

22

222222

22202BF

x p p y x p p k x x px ---===

-.

∵ 2222

1212

22AF BF

x p x p k k px px ---=-

()()22222112122x x p x x p px x ---= ()()2121212122x x x x p x x px x -+-=()()

22121212

2p x x p x x px x --+-=0=.

∴. AF BF k k = ∴A 、B 、F 三点共线. 证法2：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0,

2p F ?

? ???

. ∴2221111,,222x p x p AF x x p p ????-=--=- ? ?????， 222

2

222,,222x p x p BF x x p p ????

-=--

=- ? ?????

. ∵ 22

12221121122222

22122222p x p x x x x x p

p x p x x x x x p

----===----, ∴ //AF BF . ∴A 、B 、F 三点共线. 证法3：设线段AB 的中点为E , 则E 的坐标为1212,2

2x x y y ++??

???.抛物线C 的准线为:2

p

l y =-

. 作11,AA l BB l ⊥⊥, 垂足分别为11,A B . ∵ 由(1)知点D 的坐标为12

,2

2x x p +??-

???, ∴DE l ⊥. ∴DE 是直角梯形11AA B B 的中位线.∴DE 根据抛物线的定义得:11

,AA AF BB ==∵AD DB ⊥,E 为线段AB 的中点,∴DE =即AB AF BF =+. ∴A 、B 、F (3)解: 不存在. 证明如下： 依题意得,MA AD MB BD ⊥⊥，且MA = 由12l l ⊥，得AD BD ⊥.

∴ 四边形MADB 是正方形. ∴ AD =

∵点D 的坐标为3,12??

-

???

， ∴12-=-p ,得2p =.

把点D 3,12??

- ???

的坐标代入直线1l , 得211131422x x x ??--

=?- ???， 解得14x =或11x =-,∴点A 的坐标为()4,4或11,

4??- ???

. 同理可求得点B 的坐标为()4,4或11,

4??- ???

. 由于A 、B 是抛物线C 上的不同两点，不妨令11,4A ??- ??

?

,()4,4B .

∴2231125112416AD ????=--++= ? ?????, ()2

2312544124BD ?

?=-++= ???

.

∴AD BD ≠, 这与AD BD =矛盾.∴经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆不存在.

5、解:(I ）设(,0)F c ，直线:0l x y c --=，由坐标原点O 到l 的距离为

2

2

则

2

22

=

，解得1c =.又3,3,2c e a b a ==∴==. （II ）由(I ）知椭圆的方程为22

:132

x y C +=.设11(,)A x y 、B 22(,)x y 由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设 :1l x my =+

代入椭圆的方程中整理得2

2

(23)440m y my ++-=，显然0?>。 由韦达定理有：1224,23m y y m +=-

+122

4

,23

y y m =-+．．．．．．．．① .假设存在点P ，使OP OA OB =+成立，则其充要条件为：

点1212P (,)x x y y ++的坐标为，点P 在椭圆上，即

22

1212()()132

x x y y +++=。 整理得2222

112212122323466x y x y x x y y +++++=。

又

A B

、在椭圆上，即

22221122236,236

x y x y +=+=.故

12122330x x y y ++=．．．．．．．．．②

将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++及①代入②解得2

12

m =

1222y y ∴+=-,12x x +=2243

2232

m m -+=+,

即

3(,22P ±.

当

3,(,:12m P l x y =

=+;

当

3,(,:12222

m P l x y =-

=-+. 评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算

理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一

个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时算理和算法并不是截然区分的。例如：

三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算在具体处理时，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。

6、解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+由勾股定理可得：

222

()()m d m m d -+=+ 得：14d m =

，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23

AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴

2

2

431b a b a =??

- ?

??，解得1

2

b

a =

,

则离心率e =

（Ⅱ）过F 直线方程为()a

y x c b

=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立，将2a b =

，

c =

代入，化简有22152104x x b b -

+=

，124x -=将数值代入，

有4=,解得3b =故所求的双曲线方程为

22

1369

x y -=。

7、（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2

214

x y +=，

直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，， 其中12x x <，且12x x ，满足方程2

2

(14)4k x +=，

故21x x =-=

①由6ED DF =知01206()x x x x -=-，

得02121

5(6)77

x x x x =+=

由D 在AB 上知0022x kx +=，得02

12x k

=+

．所以212k =+，

化简得2

242560k k -+=， 解得23k =

或3

8

k =． （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB

的距离分别为

1h =

=

2h =

=

又AB =

=，所以四边形AEBF 的面积为

121()2S AB h h =+1

5

2

5(14k =

+

=

=≤ 当2

1k =，即当1

2

k =

时，上式取等号．所以S 的最大值为 ······· 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为

BEF AEF S

S S =+△△222x y =

+=

=

=当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ············ 12分

8、分析：（I ）这一问学生易下手。将抛物线2

:E y x =与圆2

2

2

:(4)(0)M x y r r -+=>的

方程联立，消去2

y ，整理得22

7160x x r -+-=．．．（＊）抛物线2

:E y x =与圆

222:(4)(0)M x y r r -+=>

相交于A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是：方程（＊）有两个

不相等的正根即可.易得r ∈.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．

（II ）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代

入的方法处理本小题是一个较好的切入点．

设四个交点的坐标分别为1(A x

、1(,B x

、2(,C x

、2(D x 。

则由（I ）根据韦达定理有2

12127,16x x x x r +==-

，4)r ∈

则21211

2||||2

S x x x x =

??-=-

222121212[()4]((715)S x x x x x x r ∴=+-++=+-

t =，则2

2

(72)(72)S t t =+- 下面求2

S 的最大值。

方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。

221(72)(72)(72)(72)(144)2S t t t t t =+-=++- 3317272144128()()

2323t t t ++++-≤=?

当且仅当72144t t +=-，即7

6

t =

时取最大值。经检验此时(4)2r ∈满足题意。 方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。 下面来处理点P 的坐标。设点P 的坐标为：(,0)p P x 由A P C 、、

121p =

得7

6

p x t ===。以下略。

9

、证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c =

=，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径

的圆上，故2

20

1x y +=，所以，2222

00021132222

y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程

22132

x y +=，并化简得2222

(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，， 则 2122632k x x k +=-+，21223632

k x x k -=+

，2222

12221221)(1)()432k BD x x k x x x x k +?

-=++-?+ 因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k -，所以，2211132k AC k

?+???==?+

四边形ABCD 的面积

2222222

22124(1)(1)962(32)(23)25

(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++??+++????

≥．当21k =时，上式取等号． （ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为

96

25

．