甘肃省临洮县第二中学高二数学上学期第三次月考试题理
2016—2017学年度第一学期高二年级第三次月考试卷
数 学（理）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.)
1、命题“若3=x ，则01892=+-x x ”的逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为（ ） A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
2、过点（0，2）与抛物线x y 82
=只有一个公共点的直线有（ ） A 、1条
B 、2条
C 、3条
D 、无数条
3、“b a >”是“22bc ac >”的（ ）
A 、必要不充分条件
B 、充分不必要条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
4、如果22
2
=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）
A 、()+∞,0
B 、()2,0
C 、()+∞,1
D 、()1,0
5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程为
02=-y x ，则它的离心率为（ ）
A 、5
B 、
2
5
C 、3
D 、2
6、已知P 在抛物线x y 42
=上，那么点P 到点Q （2，1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，最小值为（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
7、已知命题：p ：,20x x R ?∈>对总有,q:”的充分不必要条件”是““21>>x x 。则下列命题为真命题的是（ ） A.q p ∧ B.q p ?∧?
C.q p ∧?
D.q p ?∧
8、设椭圆1C 的离心率为
13
5
，焦点在x 轴上且长轴长为26 ，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）
A 、1342222=-y x
B 、1542222=-y x
C 、14132222=-y x
D 、112
1322
22=-y x
9、已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ?等于（ ）
A 、
4
1
B 、
43 C 、 43- D 、4
1- 10、⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为（ ） A 、41 B 、4
C 、5
D 、52
11、设P 是双曲线x 2
a 2－y 2
b 2 ＝1(a ＞0 ,b ＞0)上的点，F 1、F 2是焦点，双曲线的离心率是5
4 ，且∠F 1PF 2
＝90°，△F 1PF 2面积是9，则a + b ＝（ ） A 、4
B 、5
C 、6
D 、7
12、如图所示，正方体D C B A ABCD ''''-的棱长为1，O 是平面D C B A ''''的中心，则O 到平面D C AB '
'的距离是（ ） A 、
2
1
B 、
42
C 、
2
2
D 、
2
3 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、命题“01,2
3
≤+-∈?x x R x ”的否定是 ____________________。 14、若x , y 是正数，且
14
1x y
+=，则x+y 最小值为__________ 15、已知向量)1,10,()1,5,4()1,12,(k k -===，且A 、B 、C 三点共线，则
=k ________。
16、方程k x -42+1
2
-k y =1表示的曲线为C ，给出下列四个命题：
①曲线C 不可能是圆； ②若1
O
④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1 5 。 其中正确的命题是 __________。 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 17、（10分）在锐角△ABC中，角A,B,C 的对边的长分别为a,b,c 。已知5=b ，7 sin 4 A = ， 157 4ABC S ?= （1）求c 的值；（2）求C sin 的值. 18、（12分）已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M （32,3-） （1）求抛物线的标准方程。 （2）如果直线m x y +=与这个抛物线交于不同的两点，求m 的取值范围。 19.（12分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF⊥PB 交PB 于点F 。 （1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB⊥平面EFD ； 20. （12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ； （2）令211n n b a =-（n N + ∈）,求证数列{}n b 的前n 项和4 1 T . 21.（12分） 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 、M 、N 分别是A 1B 1、BC 、C 1D 1、B 1C 1 的中点。 （1）求直线EF 与MN 的夹角； （2）求二面角N —EF —M 的平面角的正切值。 22. （12分）已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ?? ??? . （1）求该椭圆的标准方程； （2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程； （3）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ?面积的最大值。 2016—2017学年度第一学期高二年级第三次月考试卷 数学（理）答案 一、选择题 1-5：CCADA 6-10:BDADC 11-12:DB 二、填空题 13：.01,2 3 >+-∈?x x R x 14: 9 15:3 2- 16:③④ 三、解答题 17.解（1）由 1157 sin 24ABC S bc A ?== 可得，6c = （II ）由锐角△ABC中 7sin 4A = 3 cos 4A = 由余弦定理可得： 2223 2cos 253660164a b c bc A =+-?=+-? =， 有4a = 由正弦定理：sin sin c a C A =， 即 7 6sin 374sin 48c A C a ? ===18.解（1）因为抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)32,3(-M ，所以可设它的标准方程为：)0(,22 >-=p py x 又因为点M 在抛物线上，所以43= p ，因此所求方程为y x 2 32 - = （2）?? ???+=-=m x y y x 23 2 得03322 =++m x x 则038342 >-=-=?m ac b 8 3 ：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。 ∵底面ABCD是正方形， ∴点O是AC的中点 在中，EO是中位线， ∴PA // EO 而平面EDB 且平面EDB， 所以，PA // 平面EDB 。 （2）∵PD⊥底面ABCD 且底面ABCD， ∴ ∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴。① 同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。 ∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC， ∴BC⊥平面PDC。 而平面PDC， ∴。② 由①和②推得平面PBC。 而平面PBC， ∴ 又且， 所以PB⊥平面EFD。 20.解:（1）设等差数列{a n}的公差为d， 因为a3=7，a5+a7=26， 所以有，解得， 所以 ，； （2）由（Ⅰ）知 ， 所以b n =， 所以， 即数列{b n }的前n 项和。 所以4 1 n T ，得证。 21.解：设 =i ， =j ， =k ，以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系A —xyz ， 则有E(，0，1，)，F(1，，0)，M(，1，1)，N(1，，1). (1)∵ ∴ ∴EF⊥MN，即直线EF 与MN 的夹角为90°. (2)在平面NEF 中，过点N 作NG⊥EF 于点G ，连结MG ，由三垂线定理，得MG⊥EF. ∴∠MGN 为二面角N-EF-M 的平面角. 在Rt△NEF 中，NG= ∴在Rt△MNG 中，tan∠MGN= ∴二面角M-EF-N 的平面角的正切值为. 22. 解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为14 22 =+y x (2)设线段PA 的中点为M(x,y) ,点P 的坐标是(x 0,y 0), 由 x=2 10+x 得 x 0=2x －1 y= 2 210+ y y 0=2y － 2 1 由,点P 在椭圆上,得1)2 1 2(4)12(22=-+-y x , ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是1)4 1(4)21 (22=-+-y x . (3)当直线BC 垂直于x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积S △ABC =1. 当直线BC 不垂直于x 轴时,说该直线方程为y=kx,代入14 22 =+y x , 解得B( 1 422 +k , 1 422 +k k ),C(－ 1 422 +k ,－ 1 422 +k k ), 则2 24114 k k BC ++=,又点A 到直线BC 的距离d= 2 12 1k k +- , ∴△ABC 的面积S △ABC =2411221 k k d AB +-=? 于是S △ABC =1 44114144222+- =++-k k k k k 由 1 442 +k k ≥－1,得S △ABC ≤2,其中,当k=－21 时,等号成立. ∴S △ABC 的最大值是2 .