相似三角形的应用及位似(讲义及答案).

相似三角形的应用及位似（讲义）

?课前预习

一、读一读，想一想

太阳光线可以看成平行光线．早在约公元前600 年前，就有人利用平行光线去解决实际生活当中的问题了．他就是泰勒斯——古希腊第一位享有世界声誉，有“科学之父”和“希腊数学的鼻祖”美称的伟大学者．

泰勒斯已经观察金字塔很久了：底部是正方形，四个侧面都是相同的等腰三角形．要测量出底部正方形的边长并不困难，但仅仅知道这一点还无法解决问题．他苦苦思索着．

当他看到金字塔在阳光下的影子时，他突然想到办法了．这一天，阳光的角度很合适，把所有东西都拖出一条长长的影子．泰勒斯仔细地观察着影子的变化，找出金字塔底面正方形的一边的中点（这个点到边的两端的距离相等），并作了标记．然后他笔直地站立在沙地上，并请人不断测量他的影子的长度．当影子的长度和他的身高相等时，他立即跑过去测量金字塔影子的顶点到做标记的中点的距离．他稍做计算，就得出了这座金字塔的高度．

当他算出金字塔高度时，围观的人十分惊讶，纷纷问他是怎样算出金字塔的高度的．泰勒斯一边在沙地上画图示意，一边解释说：“当我笔直地站立在沙地上时，我和我的影子构成了一个直角三角形．当我的影子和我的身高相等时，就构成了一个等腰直角三角形．而这时金字塔的高（金字塔顶点到底面正方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形．所以这个巨大的直角三角形的两条直角边也相等．”他停顿了一下，又说：“刚才金字塔的影子的顶点与我做标记的中心的连线，恰好与这个中点所在的边垂直，这时就很容易计算出金字塔影子的顶点与底面正方形中心的距离了．它等于底面正方形边长的一半加上我刚才测量的距离，算出来的数值也就是金字塔的高度了．

想一想：为什么金字塔的高（金字塔顶点到底面正方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形呢？

?知识点睛

1.测量旗杆高度的方法：

①利用阳光下的影子②利用标杆③利用镜子的反射

（太阳光是平行光）（同位角相等）（借助反射角、入射角相等）2.影子上墙：

、、是影子上墙时的三种常见处理方式，它们的实质是构造三角形相似．

△DEH∽△ABC △DHG∽△ABC △HEF∽△ABC

3.位似：

①如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在直线

都经过，且有，那么这样的两个多边形叫做，叫做

．k 就是这两个相似多边形的相似比．

②位似图形不仅相似，而且具有特殊的位置关系；利用位似，

可以将一个图形．

③在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、

纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是，它们的相似比为．

?精讲精练

1.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五

百年前．其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺．立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1 丈=10 尺，1 尺=10 寸），则竹竿的长为（）

A．五丈B．四丈五尺

C．一丈D．五尺

2.如图，若标杆高度CD=3 m，标杆与

旗杆的水平距离BD=15 m，人的眼睛

与地面的高度EF=1.6 m，人与标杆

CD 的水平距离DF=2 m，则旗杆的高

度AB= ．

3.如图，把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4 m 的点E 处，

然后沿着直线BE 后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4 m，观察者目高CD=1.6 m，则树的高度AB= ．

4.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，

在近岸取点Q 和S，使点P，Q，S 在一条直线上，且直线PS 与河垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R．若QS=60 m，ST=120 m，QR=80 m，则河的宽度PQ 为．

5.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章

中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为200 步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H

位于GD 的中点，南门K 位于ED

的中点，出东门15 步的A 处有一

树木，求出南门多少步恰好看到

位于A 处的树木（即点D 在直线

AC 上）？请你计算KC 的长为

步．

6.周末小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的

宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底

部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB 与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点

D，竖起标杆DE，使得点E 与点C，A 共线．已知：

CB⊥AD，ED⊥ AD，测得BC=1 m，DE=1.5 m，BD=8.5 m，测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．

7.某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享

发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小

芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月

阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们

经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，

因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测

量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线

BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM 上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D 时，看到“望月阁”顶端点A 在镜面

中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的

高度ED=1.5 米，CD=2 米，然后，在阳光下，他们用测影长

的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D 点沿

DM 方向走了16 米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG 的影长FH=2.5 米，FG=1.65 米．如图，已

知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平

面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出

“望月阁”的高AB 的长度．

8.数学兴趣小组想测量一棵树的高度．在阳光下，一名同学测

得一根长为1 米的竹竿的影长为0.8 米，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），这部分影长为1.2 米，落在地面上的影长为2.4 米，则树高为．

9.小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，

量得CD=8 米，BC=20 米，CD 与地面成30°角，且此时测得1 米杆的影长为2 米，则电线杆的高度为（）

A．9 米B．28 米

C．(7 +3) 米D．(14 + 2 3) 米

10.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B 是CD 的中点，CD 是

水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．若铁塔底

座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是

1.6 m，同一时刻小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在

平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2 m 和1 m，

则塔高AB 为（）

A．24 m B．22 m C．20 m D．18 m

1.如图，若以O 为原点构造平面直角坐标系，其中A 点坐标为

(6，-1)，B 点坐标为(5，3)，C 点坐标为(3，-2)，以O 为位

似中心，将△ABC 缩小为原来的1

，则缩小后的△ABC 的三

个顶点坐标是多少？

12.如图，已知△ABC 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，

3)，若以点C 为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A′B′C，

使得△A′B′C与△ABC 位似，且相似比为2:1，则点B′的坐标为．

3. 在平面直角坐标系中，点 P (m ，n )是线段 AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为（） A ．(2m ，2n )

B ．(2m ，2n )或(-2m ，-2n )

C ．( 1 m ， 1 n )

D ．( 1 m ， 1 n )或( - 1 m ，- 1 n )

2 2

2 2 2 2

4. 如图，线段 CD 两个端点的坐标分别为 C (-1，-2)，D (-2，-1)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 CD 扩大为原来的 2 倍，得到线段 AB ，则线段 AB 的中点 E 的坐标为

．

【参考答案】

?课前预习

一、由于太阳光是平行线，因此同一时刻，太阳光与地面所成夹角相等，结合直角，构成了两个等腰直角三角形．

?知识点睛

一、相似三角形的实际应用

2.推墙法；抬高地面法；砍树法

3.①P，P′；同一点O；OP′=k·OP（k≠0）；位似多边形；点O；

位似中心

②放大或缩小

③原点；|k|

?精讲精练

1. B

2. 1

3.5 m

3. 5.6 m

4. 120 m

5. 2 000 3

6.河宽AB 为17 m．

7.“望月阁”的高AB 的长度为99 米．

8. 4.2 米

9. D

10.A

11. A1(3，-1

)，B1(

，

)，C1(

，-1)或A2(-3，

)，B2( -

，2 2 2 2 2 2

-3

)，C2( -

，1) 2 2

12. (4，6)或(0，-2)

13. B

14. (3，3)