运筹学存贮论

第八章存贮论

主要内容：1、存贮问题的基本概念；

2、确定性存贮模型；

3、随机性存贮模型。

重点与难点：存贮策略，费用指标，经济订货批量模型，生产批量模型，随机性离散模型，随机性连续模型。

要求：理解存贮论的基本概念，正确区别各种模型的应用条件，掌握模型的求解技巧，能够熟练应用这些模型解决实际问题。

§1 基本概念

一、存贮：工厂为了生产，必须贮存一些原料，把这些贮存物称为存贮。

生产时从存贮中取出一定数量的原料消耗掉，使存贮减少生产不断进行，存贮不断减少，到一定时刻必须对存贮给以补充，否则存贮用完了，生产无法进行。

一般的说，存贮量因需求而减少，因补充而增加。

存贮系统：输入

（补充）（需求）

补充和需求一般有几种可能：连续的、间断的、确定型、随机型。

二、存贮策略：补充库存的方法，称为存贮策略。

1、t

0循环策略：每隔t

时间补充存贮量Ｑ。

2、（β, s）策略：

当存储量x>β时，不补充；

当x≤β时，补充存贮，补充量为Q=s-x（即将存贮量补充到s）。

3、（t0,β,s）策略：每经过t

时间检查存贮量x，当x>β时，不补充存贮；当x≤β时，补充存贮，补充量Q=s-x 。

三、费用，存贮主要包括下列费用：

1、库存费用：库存从入库到出库整个过程中直接用于库存的费用，称为库存费用。如保管费，占用资金利息，损耗费用等。

c1表示单位时间内单位货物的库存费用。

2、缺货损失费用：因货物不足，供不应求，而造成的损失，称为缺货损失费用。

c2表示单位时间缺少单位货物的损失费。

3、订货费用：每组织一次生产或每一次订货所必需的，且与订货量本身无关的费用，

称为订货费用。

c 3表示每次订货的费用。

4、货物成本费用：包括货物成本价格、运费、运输过程中的损耗等。

K 表示单位货物的成本费用。

§2 确定性存贮模型

一、经典的经济订货批量模型 条件：（1）不允许缺货；

（2）需求是连续的、均匀的； （3）当库存为零时，立即补充；

（4）每次订货量不变，订货费不变（每次生产量不变，装配费不变）； （5）单位存贮费不变。

库存量

Q

采用t 0循环策略：

t 0——订货周期 Q ——订货量

R ——需求速度（即单位时间的需求量） Q=Rt 0

单位时间的总费用：

10

302

0010

030

1321)2

1()(0

Rt c kR t c t Rt Qt c t kQ t c t d Rt Q c kQ c c t t +

+=

-++

=??

???

?-+

+=?

∵

R c t c dt dc

12

30

2

1+

-

=

02

3

32

2

>=t c dt c d

∴ c 取最小值，令R c t c 12

32

1+

-

=0，

则 R

c c t 13*

02=

——最佳订购周期

1

30*

2c R c Rt Q ==——最佳订购批量，称为经济批量公式（简称E.O.Q ）

最小费用

t c =0*

)(

例1 某钢筋混凝土构件预制厂每年将以不变速度向某工地提供18000块屋面板，不许

缺货，每一制品每月的存贮费是0.2元，而每一生产循环的安装费为600元，试求其生产批量、生产周期及一年内的总存贮费用。

解：以月为单位，c 1=0.2 c 3=600 R=1800/12=1500

)

/(72001215006002.02122(21500

300031*

0*

0年元月）

=????=

?=

==

=R c c c R Q t

所以，该厂生产批量为3000块每月，生产周期为2月，一年内的总存贮费用为7200元。 二、生产批量模型（输入间断） 条件：（1）不允许缺货；

（2）需求是均匀的、连续的；

（3）当库存量为零时，开始补充，库存达到一定数量时，就停止补充； （4）每次订货量不变，订货费不变； （5）单位存贮费不变。

设P 代表单位时间内生产的数量，生产时间为T ，在生产过程中库存量增加的速度为P-R （R 为需求速度，即库存减少的速度。）

)

(30002

.01500

6002213*

块=??=

=

∴

c R c Q

采用t 0循环策略，每个周期的补充量Q=PT ，进货周期t 0

单位时间平均库存量T R P t t T R P )(2

1/)(2

100-=?-=

单位时间的平均库存费用T R P c )(2

11-=

一个周期组织生产费用为c 3

一个周期生产货物成本费=KQ 所以，单位时间总费用

2)

(021)(21)(2

)(,)(2

12

313

322

2

313100

31=-->=

-?-=

++?

-=∴==++

-=

Q

R c P

R P c c Q

R c dQ c d Q

R c P R P c dQ dc kR

Q

R c P Q R P c Q c Rt Q PT Q t kQ t c T R P c c 令

取极小值又

得：)

(213*

R P c PR c Q -=

——最佳批量

)(213*

*

R P P c R c P Q

T

-=

=

——最佳生产时间

R

R P c P c R

Q

t )(213*

*0

-==

——最佳订货时间间隔

kR R

P R c c c +-

=

)1(231*

——最小费用

当1→-∞→R

P P P 时

，生产批量模型就变成了经济订购批量模型。

例2 某厂每月需要甲产品100件，每月生产率为500件，每批装配费为5元，每月每件存贮费为0.4元，求每批最佳生产量、最佳生产周期、最佳订货周期和最低装配及存贮费用。 解：以月为时间单位 R=100，P=500，c 1=0.4，c 3=5

元

天月天

月件

89.17)50

1001(10054.02)1(26.312.0500

60186.01006060)

100500(4.010*********

0*

*

0*

=-

????=

-

=

===

=

===

=

=-????=∴*

*

P R R c c c P

Q

T

R Q

t Q

三、允许缺货的经济订货批量模型

条件：除允许缺货、瞬时补充外，其余条件与模型一相同。

采用t 0循环策略：

c 2表示单位时间缺少单位货物的损失费。

S Q Q Q +=1 1Q ——库存最大量，S Q ——缺货最大量

每个周期t 0内存贮费用1112

1t Q c =

（由积分求得）

每个周期t 0内缺货搡损失费用))((2

1)(2

11012102t t Q Q c t t Q c s --=

-=

每个周期t 0内订货费=3c

每个周期t 0内货物成本费=kQ ∴单位

kR

c c R c c c c R

c c c c c R

Q t R c c c c c R Q

t c c c R c c Q c c R

c c c Q c Q Q c c Q R c Q Q c c c Q c Q

c c Q

Q c c Q Q Q c Q Q c Q c Q R c Q Q c c c Q

R c Q

Q Q c Q Q Q c Q Q c Q

c kR

Q

R c Q

Q Q c Q Q c Q Q c Rt Q Rt Q t kQ t c t t t Q Q c t t Q c c ++=

+=

=

+=

=

+=

+=

??????

?=-+=-+-=??=??-+=

--

=

??-

+-

=-

---+

=??++

-+

=∴==+

+

--+

=

2

1321*

21132*

1*1

21213*

*

21132*

121213*

2

1212

322

1

2121

2

1

21121112

32

2

1

2122

32

2

12122

2

1132

122

1111100

30

10120

1112)(2)(2)(2)(20

)(02)(2

,

0)()

(2)(22)

(2)(222)

(2),(2)

)((2得

解方程组令

当,12

12

2→+∞→c c c

c 时，也就是不允许缺货。 R

c c t R

c c t c R c Q c R c Q

131130

13*

113*

2,

22,

2→

→→

→*

*

其意义：该模型就变成了经济订货批量模型。 四、允许缺货的生产批量模型（略）

自己讨论

§3 随机性存贮模型

随机性存贮模型的重要特点是需求为随机的，其概率分布为已知的。随机性存贮模型分为随机性离散模型和随机性连续模型。

一、随机性离散模型

特点：每一个订货周期内的需求量R 是随机的，其概率分布是已知的。如：

其中：R i

11

=∑

=m

i i p

采用（s ,β）策略，即进入每个周期初检查库存，如果发现库存量低于β时，就立即补充库存量到s ，使得库存总费用最低。

设订货周期初末进货时，库存量为g ，补充的数量为Q ，则补充后的库存量y=g+Q 存贮费：

∑≤-y

R i i i p R y c

)(1

缺货损失费：∑

>-y

R i

i i p y R c )(2

订货费：3c

总费用：∑∑>≤-+

-+-+=y

R i i y

R i i i i p y R c

p R y c

g y k c c )()()(2

1

3

用边际分析法得：

（1）s 的最优值为满足2

121

c c k c p m

i i +-≥

∑=的最小值m R ；

（2）β的最优值，计算∑∑>≤-+

-+

+=s

R i i s

R i i i i p s R c

p R s c

ks c c )()(2

1

30，依次取

m

R R R y ,,,21 =，计算

ky p y R c

p R y c

y

R i i y

R i i i i +-+

-∑∑>≤)()(2

1

）（*，并0c 比较，当第一次0c ≤时，

取β为 R y =。

例3 每月需求及其概率分布为：

每次订货费为500元，每月每吨保管费50元，每月每吨缺货损失费为1500元，每吨材料购置

费为1000元，问企业采用何种（s ,β）策略，其总费用最小？ 解：以月为时间单位

32

.01500

50100015001000

,1500,50,5002

12213=+-=

+-====c c k

c k c c c

()[][]()()()70

94100

709677560101000]05.0)50120(10.0)50110(10.0)50100(20.0)5090(25.0)5080(15.0)5070(10.0)5060[(150********

05.0)80120(10.0)80110(10.0)80100(20.0)8090(150015.0)7080(10.0)6080(05.050805080100050080

32.055.032.030.032.015.032.005.00

00044321321211=∴<*=>*=>=?-+?-+?-+?-+?-+?-+?-?*==?-+?-+?-+?-?+

?-+?-+?-?+?+===∴>=+++<=++<=+<=βc y c y c y c R s p p p p p p p p p p ，得：代入计算公式取，得：代入计算公式取，得：

，代入计算公式

取 故采取（70，80）策略，费用最小。

二、随机性连续模型

每一个订货周期内的需求量R 是随机的，其密度函数为)(R φ，?∞

=01)(dR R φ

分布函数 )0(1)()(0>==

?a dR

R a F a

φ

采用（s ,β）策略：

设订货周期初末进货时，库存量为g ，补充的数量为Q ，则补充后的库存量为Q g y += 存贮费的期望值：?-y

dR R R y c 01)()(φ

缺货损失费的期望值：?∞

-y

dR R y R c )()(2φ

总费用?

?

∞-+

-+-+=y

y

dR R y R c dR R R y c g y k c c )()()()()(20

13φφ

由

2

120

)(,0c c k c dR R dy

dc y

+-=

=?φ得

取y s =

])()()()([])()()()([)(200

13≥--

-+

--

-+-+??

??∞

∞x

s

x

s

dR R x R dR R s R c dR R R x dR R R s c x s k c φφφφβ取使

成立的x 值