第十三讲 反比例函数
第十三讲 反比例函数
考点综述:
反比例函数也是中考重点考查的内容之一,它要求考生能结合具体情境体会反比例函数的意义,根据已知条件确定反比例函数的关系式;会画反比例函数的图象,并能根据图象和关系式探索其性质;能用反比例函数解决实际问题。
中考课标要求
考点精析
考点1 反比例函数
(1)反比例函数的概念:一般地,形如x
k y =
(k 为常数,0≠k )的函数叫做反比例函数,其中x 是自变量,y 是x 的函数,k 是比例系数。
注意:反比例函数也可以写成1-=kx y 和k xy =的形式。 (2)反比例函数的特征
①自变量x 位于分母上,且其次数是1; ②常量0≠k ;
③自变量x 的取值范围是0≠x 的一切实数; ④函数值y 的取值范围是非0实数。 考点2 反比例函数的图像与性质 (1)反比例函数的图像:反比例函数x
k y =
(k 为常数,0≠k )的图像由两个分支组成,叫做双曲线;它的
两个分支分别在第一、三或第二、四象限,这两个分支关于坐标原点成中心对称。 (2)反比例函数的性质
①当0>k 时,双曲线的两个分支分别位于第一、三象限,在每一象限内,y 随x 的增大而减小; ②当0 注意:①由于双曲线在0=x 处是断开的,因此其性质强调在每一个象限内y 随x 的变化而变化的情况,整个图像没有这样的性质,使用时,必须分别在每一个象限内来研究函数值y 随x 的变化情况; ②根据图像说出性质、根据性质大致画出图像及求解析式是一个难点,要逐步理解和掌握。 考点3 反比例函数解析式的确定:因为反比例函数的解析式x k y = 中,只有一个待定系数k ,确定了k 的值, 也就确定了反比例函数,因而一般只需要给出一组x 、y 的对应值或图像上一点的坐标,代入x k y =中即可求 出k 的值,从而确定反比例函数的解析式。 考点4 反比例函数的应用 在实际生活中,如何应用反比例函数只是解题,关键是建立反比例函数模型,即列出符合题意的函数解析式,然后再根据反比例函数的性质,综合方程、不等式、几何知识和图像求解。 在反比例函数应用的过程中,要注意结合实际,确定自变量的取值范围,求出对应的函数值时,也要结合实际舍去不符合题意的部分。 2008年中考试题荟萃 一、选择题: 1.(2008年南昌市)下列四个点,在反比例函数6y x = 图象上的是( ) A .(1,6-) B .(2,4) C .(3,2-) D .(6-,1-) 2.(2008嘉兴市)某反比例函数的图象经过点(23)-,,则此函数图象也经过点( ) A .(23)-, B .(33)--, C .(23), D .(46)-, 3.(2008年安徽省)函数k y x = 的图象经过点(1,-2),则k 的值为( ) A . 12 B .12 - C .2 D .-2 4.(2008黄冈市)已知反比例函数y= 2x ,下列结论中,不正确... 的是( ) A .图象必经过点(1,2) B .y 随x 的增大而减少 C .图象在第一、三象限内 D .若1x >,则2y < 5.(2008常州市) 若反比例函数1k y x -= 的图象在其每个象限内,y 随x 的增大而减小,则k 的值可以是( ) A.-1 B.3 C.0 D.-3 6.(2008年南京市)已知反比例函数的图象经过点(21)P -,,则这个函数的图象位于( ) A .第一、三象限; B .第二、三象限; C .第二、四象限; D .第三、四象限 7.(2008年宁波市)如图,正方形A B O C 的边长为2,反比例函数k y x = 过点A ,则k 的值是( ) A .2 B .2- C .4 D .4- (第7题) A B C D A. B.C.D. 2 y x = x y O P1 P2 P3 P4 1 2 3 4 8.(2008年扬州市)函数 x k 1 y - =的图象与直线x y=没有交点,那么k的取值范围是( ) A、1 k>B、1 k k- >D、1 k- < 9.(2008年双柏县)已知甲、乙两地相距s(km),汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶的时间t(h)与行 驶速度v(km/h)的函数关系图象大致是() 10.(08年宁夏回族自治区)反比例函数 x k y=(k >0)的部分图象如图所示,A、B是 图象上两点, AC⊥x轴于点C,BD⊥x 轴于点D,若△AOC的面积为S 1 ,△BOD 的面积为S 2 ,则S 1 和S 2 的大小关系为() A.S 1 >S 2 B。S 1 = S 2 C。S 1 <S 2 D。无法确定 11.(2008恩施自治州)如图5,一次函数y 1 =x-1与反比例函数y 2 = x 2 的图像交于 点A(2,1),B(-1,-2),则使y 1 >y 2 的x的取值范围是() A. x>2 B. x>2 或-1<x<0 C. -1<x<2 D. x>2 或x<-1 12.(2008年广东湛江市)已知三角形的面积一定,则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是 ( A.B.C. D . 13. (2008年西宁市) 如图,已知函数 k y x =-中,0 x>时,y随x的增大而增大,则y kx k =-的大致图象为 ( 14.(2008年益阳)物理学知识告诉我们,一个物体所受到的压强P与所受压力F及受力面积S之间的计算公 式为 S F P=. 当一个物体所受压力为定值时,那么该物体所受压强P与受力面积S之间的关系用图象表示大致 为( ) 15.(2008年内江市) 若() A a b ,,(2) B a c -,两点均在函数 1 y x =的图象上,且0 a<,则b与c的大小关 系为()A.b c >B.b c =D.无法判断 二、填空题: 1.(2008年义乌市)函数 1 y x a = - ,当2 x=时没有意义,则a的值为. 2.(2008年上海市)在平面直角坐标系中,如果双曲线(0) k y k x =≠经过点(21) - ,,那么k=. 3.(2008年龙岩市)若 x k y=的图象分别位于第一、第三象限,则k的取值范围是 . 4.(云南省2008年)函数2 1 y x = - 中,自变量x的取值范围是_________. 5.(08河南)已知反比例函数的图象经过点(m,2)和(-2,3)则m的值为. 6.(2008年湖北省宜昌市)某物体对地面的压力为定值,物体对地面的压强p(Pa)与受 力面积S(㎡)之间的函数关系如图所示.这一函数表达式为p=________. 7.(2008年巴中市)如图8,若点A在反比例函数(0) k y k x =≠的图象上,A M x ⊥轴于点M,A M O △的 面积为3,则k=. 9.(2008福建福州)如图,在反比例函数 2 y x =(0 x>)的图象上,有点 1234 P P P P ,,,,它们的横坐标依 次为1,2,3,4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 123 S S S ,,,则 123 S S S ++=. v/(km/h) v/(km/h) v/(km/h) A.B.C. k y x = 1y x = (10题图) n ) 10.(2008年遵义市)如图,在平面直角坐标系中,函数k y x = (0x >,常数0k >)的图象经过点(12)A ,, ()B m n ,,(1m >),过点B 作y 轴的垂线,垂足为C .若A B △的坐标为 . 11.(2008年湖北省咸宁市)两个反比例函数k y x = 和1y x = 在第一象限内的图象如图所示,点P 在k y x = 的图 象上,PC ⊥x 轴于点C ,交1y x =的图象于点A ,PD ⊥y 轴于点D ,交1y x =的图象于点B ,当点P 在k y x = 的图象上运动时,以下结论: ①△ODB 与△OCA 的面积相等;②四边形PAOB 的面积不会发生变化;③P A 与PB 始终相等; ④当点A 是PC 的中点时,点B 一定是PD 的中点. 其中一定正确的是 (把你认为正确结论的序号都填上,少填或错填不给分). 12.(2008年荆州市)如图,一次函数122 y x = -的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ,P 为AB 上一点且PC 为 △AOB 的中位线,PC 的延长线交反比例函数(0)k y k x =>的图象于Q ,32 O Q C S ?= ,则k 的值和Q 点的坐 标分别为_________________________. 13.(2008年芜湖市)在平面直角坐标系xo y 中,直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l .直线l 与反 比例函数k y x = 的图象的一个交点为(2)A a ,,则k 的值等于 . 14.(2008常州市) 过反比例函数(0)k y k x = >的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段,如果垂线段与x 、y 轴 所围成的矩形面积是6,那么该函数的表达式是______;若点A(-3,m)在这个反比例函数的图象上,则m=______. 15. (2008年西宁市)如图3所示的是函数y kx b =+与y m x n =+的图象,求方 程组y kx b y m x n =+?? =+?的解关于原点对称的点的坐标是 ;在平面直角 坐标系中,将点(53)P ,向左平移6个单位,再向下平移1个单位,恰好在函数k y x = 的图象上,则此函数的图象分布在第 象限. 16.(2008年甘肃省白银市)一个函数具有下列性质: ①它的图像经过点(-1,1);②它的图像在二、四象限内; ③在每个象限内,函数值y 随自变量x 的增大 而增大.则这个函数的解析式可以为 . 17、(2008年宜宾市)若正方形AOBC 的边OA 、OB 在坐标轴上,顶点C 在第一象限且在反比例函数y= x 1的图像 上,则点C 的坐标是 . 18.(四川省资阳市)若A (1x ,1y )、B (2x ,2y )在函数12y x = 的图象上,则当1x 、2 x 满足_______________时, 1y >2y 。 19、(08河南试验区)如图,直线2-==kx y (k >0)与双曲线x k y = 在第一象限内 的交点面积为R ,与x 轴的交点为P ,与y 轴的交点为Q ;作RM ⊥x 轴于点M ,若△OPQ 与△PRM 的面积是4:1,则=k . 三、解答题: 1. (2008年郴州市)已知一次函数y =ax +b 的图像与反比例函数4y x = 的图像交于A (2,2),B (-1,m ), 求一次函数的解析式. 2.(2008年聊城市)已知一次函数与反比例函数的图象交于点(3) P m -,(1)求这两个函数的函数关系式; (2)在给定的直角坐标系(如图)中,画出这两个函数的大致图象; (3)当x 为何值时,一次函数的值大于反比例函数的值?当x 为何 值时,一次函数的值小于反比例函数的值? _4 图3 x 3.(2008年重庆市)已知:如图,反比例函数的图象经过点A 、B ,点A 的坐标为(1,3),点B 的纵坐标为1,点C 的坐标为(2,0). (1)求该反比例函数的解析式; (2)求直线BC 的解析式. 4. ( 2008年杭州市) 为了预防流感,某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比;药物释放完毕后,y 与t 的函数关系式为t a y (a 为常数),如图所示.据图中提供的信息,解答下列问题: (1) 写出从药物释放开始,y 与t 之间的两个函 数关系式及相应的自变量的取值范围; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进入教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能进入教室? 6. (四川省资阳市)若一次函数y =2x -1和反比例函数y =2k x 的图象都经过点(1,1). (1)求反比例函数的解析式; (2)已知点A 在第三象限,且同时在两个函数的图象上,求点A 的坐标; (3)利用(2)的结果,若点B 的坐标为(2,0),且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形,请你 直接写出点P 的坐标. (第4题)