五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).教师版

一、 排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．

一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．

排列的基本问题是计算排列的总个数．

从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．

根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：

步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；

步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法； ……

步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m -

-=-+（）(种)方法；

由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ?-?-??-+ （）（）（），即

121m n P n n n n m =---+ （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，

共有m 个因数相乘．

二、 排列数

一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-???? （

）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，

知识结构

排列组合

记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =?-?-???? （）（）　．

在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．

三、 组合问题

日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．

一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．

从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元

素的组合数．记作m

n C ．

一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：

第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m

n C 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．

根据乘法原理，得到m m m

n n m P C P =?． 因此，组合数12)112321

m

m n n

m m

P n n n n m C m m m P ?-?-??-+=

=

?-?-???? （）（（）

（）（）．

这个公式就是组合数公式．

四、 组合数的重要性质

一般地，组合数有下面的重要性质：m n m

n n

C C -=(m n ≤) 这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从

n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法

恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．

例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =． 规定1n n C =，01n C =．

五、 插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：

①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1

个物体，不能有没分到物体的组出现．

在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．

六、 使用插板法一般有如下三种类型：

⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的

(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为1

1m n C --．

⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下

[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为

1(1)1m n m a C ----．

⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这

样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．

一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数

【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？

【解析】：（1）43（2）34 （3）3

4

【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，

第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有6

7种不同方案.

【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38 B 、83 C 、38A D 、3

8C

【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠 军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有3

8种

不同的结果。所以选A

二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有

【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，

4424A =种 【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3

位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96

【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，

22223242C A A A =432 种

例题精讲

其中男生甲站两端的有1222223232

A C A A A =144，符合条件的排法故共有288

三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是

52563600A A 种

【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）

【解析】：

111789A A A =504 【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的

演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是

【解析】：不同排法的种数为

5256A A ＝3600 【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工 程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6 项工程的不同排法种数是

【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有2

5A ＝20

种不同排法。

【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目， 但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变， 则该晚会的节目单的编排总数为 种.

【解析】：

11191011A A A =990 【例6】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的

二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C 种方

法,所以满足条件的关灯方案有10种.

说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒 模型可使问题容易解决.

【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？ 【解析】： 解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A 3

3，○*○*○*○，在四个空

中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有

A 14

种，所以每个人左右两边都空位的排法有

3314A A =24种.

解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A 34

=24种.

【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？

【解析】：先排好8辆车有

A 8

8种方法，要求空车位置连在一起，则在每

2辆之间及其两端的9

个空档中任选一个，将空车位置插入有C 1

9种方法，所以共有

C 19A 8

8种方法.

注：题中*表示元素，○表示空. 四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元 素；再排其它的元素。

【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四 人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，

其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ） 高☆考♂资♀源€网 ☆

A. 36种

B. 12种

C. 18种

D. 48种

【解析】： 方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。

2333A 36A = 方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法24

331212=A C C ；若小张、小赵都入选，则有

选法

122322=A A ，共有选法36种，选A. 【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

【解析】： 老师在中间三个位置上选一个有1

3A 种，4名同学在其余4个位置上有44A 种方法；所以共有

14

3472A A =种。.

【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？

【解析】 法一：1656A 3600A = 法二： 25653600A A = 法三：

36006

66677=--A A A 五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。高☆考♂资♀源€网 ☆

【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ） A 、36种 B 、120种 C 、720种 D 、1440种 （2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为

（A ）

510515A A （B ）3355510515A A A A （C ）1515A （D ）3

355510515A A A A ÷

（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，

有多少种不同排法？

【解析】 ：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66

720A =种，选C . ☆

（2）答案：C

（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A 种，某1个元素排在后半段的四个位置

中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故共有

125

4455760A A A =种排法. 五．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的

方法.

【例1】.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ） ☆

【解析】 ：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一

半，即5

51602A =种

【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法

【解析】 ：法一：39A 法二：9

9

661A A

【例3】将A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个字母排成一排，若A 、B 、C 必须按A 在前，B 居中，C 在后的原则（A 、

B 、

C 允许不相邻），有多少种不同的排法？ 【解析】 ：法一：36A 法二：6

6

331A A

六．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排

入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）

A 、6种

B 、9种

C 、11种

D 、23种 ☆

【解析】 ：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填

入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9

种填法，选B.

【例2】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中

有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（）

A 10种

B 20种

C 30种

D 60种

答案：B

【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，

则4张贺年卡不同的分配方式共有( )

（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种

【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。

第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；

第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：

（1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，

（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。

根据加法原理和乘法原理，一共有

3129

?+=

()种分配方式。故选（B）

【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( ) （A）60种（B）44种（C）36种（D）24种

答案：B

六．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法

【例1】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？高☆考♂资♀源€网☆分成1本、2本、3本三组；

分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；

分成每组都是2本的三个组；

分给甲、乙、丙三人，每个人2本；

分给5人每人至少1本。

【解析】：（1）

3

3

2

5

1

6

C

C

C

（2）

3

3

3

3

2

5

1

6

A

C

C

C

（3）

3

3

2

2

2

4

2

6

A

C

C

C

（4）

2

2

2

4

2

6

C

C

C

（5）

211111

5

554321

5

4

4

C C C C C C

A

A

【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．

【解析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有

211

421

2

2

C C C

A

??

;

第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有

3

3

A所以满足条件得分配的方案有

211

3

421

3

2

2

36

C C C

A

A

??

?=

说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.

【例3】5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（A）150种(B)180种(C)200种(D)280种

【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有

311

3

521

3

2

2

C C C

A

A

?

＝60种，

若是1,1,3，

则有

122

3

542

3

2

2

C C C

A

A

?

＝90种，所以共有150种，选A

【例4】将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（）A．70 B．140 C．280 D．840

答案：（ A ）

【例5】将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有

（ ）

（A ）３０种 （B ）９０种 （C ）１８０种 （D ）２７０种 【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5

名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有12

54

2

215C C A ?=种方法，再将3组分到3个班， 共有

3

31590A ?=种不同的分配方案，选B. 【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超 过2个,则该外商不同的投资方案有（ ）种 ☆

A ．16种

B ．36种

C ．42种

D ．60种

【解析】：按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构，∴22233

43243362460

C C A C A +=+= 故选

D ； 【例7】（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 答案：B . （2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有多少种？

答案：444

31284

33

3A A C C C

【例8】 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担 这三项任务，不同的选法种数是（ ）

A 、1260种

B 、2025种

C 、2520种

D 、5040种 【解析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第

三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有

211

10872520C C C =种，选C . 【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发

建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

①若甲乙都不参加，则有派遣方案4

8A 种；

②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有3

83A ；

③若乙参加而甲不参加同理也有3

83A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余

8人到另

两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为4332

8

8883374088A A A A +++=种 【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有24C 种，再排：在四个盒中每次排3个有

3

4A 种，故共有

23

44144C A =种. 七．相同元素的分配问题隔板法：

【例1】：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？ 【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17

个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有1202

16

=C 种。

【例2】 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆 至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，

故共有不同的分配方案为69

84C =种

变式1：7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有 种

变式2：马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其 中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件 的关灯办法有 种 【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个 中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？

【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有34C 种方法。

2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有2

3C 、2

4C 、

25C 种方法。

3、由分步计数原理可得34C 23C 24C 2

5C =720种

八．多面手问题（ 分类法---选定标准）

【例1】： 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、 日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日 语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？

34111235244544253412454412354445C C C C C C C C C C C C C C C C +++++ 变式：. 有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式?

答案 ：

九．走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）

【例1】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？ 【解析】 ：插空法解题：考虑走3级台阶的次数： 1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；

2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）； 3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：

（a ）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有 166C =种 （b ）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有

2615C =种走法。

4）有3次（不可能）

5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中，

同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种

125515C C +=走法； 6）有5次（不可能）

故总共有：1+6+15+15=37种。

变式：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( ) （A ）34种 （B ）55种 （C ）89种 （D ）144种 答案： （C ）

十．排数问题（注意数字“0”）

【例1】（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ） A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种

【解析】 ：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，

1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B .

（2）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 【解析】 ：将

{}

1,2,3,100I = 分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}

4,8,12,100A = ；能被

4除余1的数集

{}1,5,9,97B = ，能被4除余2的数集

{}

2,6,,98C = ，能被4除余3的数集

{}

3,7,11,99D = ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取

一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共

有211225252525C C C C ++种.

十一．染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论; （2）根据相对区域是否同色分类讨论;

（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。

【例1】 将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______. 【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。

(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种涂A 、B 、C 、D

四点，此时只能A 与C 、B 与D 分别同色，故有

125460C A =种方法。 (2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染

A 与

B ，由于A 、B 颜色可以交换，故有2

4A 种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D 或C ，而D 与C ，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有1211

5422240C A C C =种方法。

(3)若恰用五种颜色染色，有

55120A =种染色法 综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.

【解析二】设想染色按S —A —B —C —D 的顺序进行，对S 、A 、B 染色，有54360??=种染色方法。

由于C 点的颜色可能与A 同色或不同色，这影响到D 点颜色的选取方法数，故分类讨论： C 与A 同色时（此时C 对颜色的选取方法唯一），D 应与A （C ）、S 不同色，有3种选择； C 与A 不同色时，C 有2种选择的颜色，D 也有2种颜色可供选择，从而对C 、D 染色有13227?+?=种染色方法。

由乘法原理，总的染色方法是607420?=

【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，

对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？ 总体实施分步完成,可分为四大步: ①给S 涂色有5种方法;

②给A 涂色有4种方法(与S 不同色); ③给B 涂色有3种方法(与A,S 不同色);

④给C,D 涂色.当C 与A 异色时,C,D 都有2种涂色方法; 当C 与A 同色时,C 有一种涂色方法(与A 同色),D 有3种涂色方法.给C,D 涂色共有2×2+3=7种方法. 由分步计数原理共有5×4×3×7=420种方法 [规律小结] 涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论;（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。 十二．“至多”“至少”问题用间接法或分类: 十三． 几何中的排列组合问题:

【例1】 已知直线1x y a b +=（a b ，是非零常数）与圆

22

100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条

【解析】： 圆上的整点有：(6,8) ,(8,6),(10,0),(010)±±±±±± 12 个

212C =66 其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有112

C =12 ， 其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60

答案:60

【巩固】 4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？

【例 1】 将A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七位同学在操场排成一列，其中学生B 与C 必须相邻．请问共有多

少种不同的排列方法？

【巩固】 6名小朋友、、、、、A B C D E F 站成一排，若，A B 两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？

若、A B 两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？

【例 2】 书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果

同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？

【巩固】 四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：

如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？

【例 3】8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？

【巩固】a，b，c，d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法？

【例 4】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：

⑴当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？

⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？

【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？

【例 5】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？

【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？

【巩固】有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法．

【例 6】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？【巩固】将13个相同的苹果放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着。一共有种不同的放法。

【例 7】把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？

【巩固】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？

【例 8】(1)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?

(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法?

【巩固】有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？

【例 9】马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯

方法有多少种？

【巩固】学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？

【例 10】在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？

【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个？

【例 11】 所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？

【巩固】 从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？

【随练1】 某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有4人，全组同学站成一排，要求女

少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？

【随练2】 把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3个人，每人至少1支，问有多少种方法？

【随练3】 在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？

课堂检测

【作业1】 将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有种不同的放法。

【作业2】 学校合唱团要从6个班中补充8名同学，每个班至少1名，共有多少种抽调方法？

【作业3】 能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个。

【作业4】 学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问： （1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？ （2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？

【作业5】 由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有个．

【作业6】 停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一

起，一共有多少种不同的停车方案?

家庭作业

教学反馈