硬币滚动中的数学

10 πr 8 πr 18 πr + = = 6 π． 3 3 3 硬币运动的路程均为几段弧的长度之
和． 解决问题的关键在于确定弧所在圆的圆心角的度数 及哪几段弧 ． 点评 学生通过做实验， 画图， 观察发现硬币滚动
的过程中始终要与轨道相切， 所以当硬币要由一个圆形 到另一个圆形时， 会与这两个圆形轨道同时外切 ． 因此 就能自己发现这三个圆形圆心的连线是等边三角形， 而 得到 ∠BCD = 60 ° ， 所以 ∠ OAB = 120 ° ， 即硬币在两侧的 弧所对的圆心角是 120 ° ， 在中间所经过弧所对的圆心角 都是 60 °． （ 3 ） 由 6 个半径均为 r 的圆形相拼而成的图形
（ 180 ° － ∠ BCD） πR + CD 180 ° + （ 180 ° － ∠CDE） πR +… 180 ° α1 π R α2 π R α3 π R + BC + + CD + +… 180 ° 180 ° 180 ° 360 ° πR 180 °
)
生4 ： 多了 DE， 还要加DE 的长度 ． 生5 ： 运动距离为两部分的和， 即线段的长度加弧长DE． 老师请画图的学生说明原因 ． 生6 ： ⊙ O 在线段 AC 和 BC 上滚动时， 都和直线 AC OA 始终和直线垂直， 和 BC 相切， 在运动过程中， 所以当 圆心 O 从 D 到 E 时， 多走了一段 DE， 圆心 O 在线段 AC 上移动的距离等于 AC 的长度， 在线段 BC 运动的距离等 点评
硬币运动的轨迹就是一条与运动轨道平行的线段 ． 滚动 的距离实际是圆心 O 移动的距离 、 线段的长度 ． （ 2 ） 由两条直线段组成， 其夹角为 α． 师： 当圆沿着直线 AC 和 BC 滚动时， 圆与直线是什 么位置关系？ 生： 仍然相切， 此时过切点的半径与切线垂直 ． 师： （ 1 ） 这时⊙O 滚动的距离还是等于折线段 AB 的 长度吗？ （ 2 ） 角度对滚动的距离有什么影响？ 老师示意小组合作， 动手实验 ．
)
= AB +
)
= AB + BC + CD + … +
= AB + BC + CD + … + 2 πR = 多边形的周长 + 圆的周长 ． 由折线改为多边形， 从而使情况由简单到复 杂， 由特殊到一般 ． 学生自己总结得出规律 ．
)
· 案例评析 ·
（ 4 ） 一个圆形 ⊙A 师： （ 1 ） 设 ⊙O 的 半 径 为 r， 的半径也为 r， 若 ⊙ O 固定， ⊙A 沿着 其边缘滚动一周， 这时 ⊙A 滚动的距 离？ （ 2 ） 此时两枚硬币是怎样的位置 关系？ 生9 ： 两圆外切 ． 生10 ： 滚动的距离 2 π（ r + r） = 4 πr． 师： 很好！ 能说说为什么？
为 2 πr 的下列轨道上滚动； （ 1 ） 一条直线段；
师： 观察， 这时 ⊙ O 与直线什么关系？ 生： 相切 ． 师： 对． 那⊙ O 滚动的轨迹是什么？ 距离又是多少？ 猜想圆心的运动轨迹， 动手操作验证并画出轨迹 ． 生： （ 每个学生用手中的硬币重复着实验） 生1 ： 硬币的运动轨迹是一条与轨道平行的线段
学生很容易地回答了这个问题 ． 面做了铺垫， （ 2 ） 由 7 个半径均为 r 的圆形连贯而成的图形 师： 若半径为 r 的 ⊙O 沿着 7 个半径均为 r 的圆形 连贯而成图形的边缘滚动， 这时滚动的圆沿着怎样的轨
)
2． 3
继续观察， 拓展提高
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师： 若半径为 r 的 ⊙ O 沿着 由 6 个半径均为 r 的圆形相拼而 这时滚动的 成图形的边缘滚动， 圆沿着什 么 样 的 轨 迹 运 动？ 滚 动的距离是多少？ 学生思考， 并画出运动的轨迹 老师在行间巡视， 并请画图 正确的学生在黑板上画出运动轨迹 ． 由学生自己完成所求的滚动的距离， 最后师生共同 校对所得结果． 点评 这个问题与第（ 2 ） 个问题的情况是类似的，
（ 2011 年第 4 期·初中版）
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迹运动？ 滚动的距离是多少？
图8 图5
生： （ 思考中， 边画着示意图） 生11 ： 沿着七段弧线滚动 ． 请学生到黑板上画出 ⊙ O 滚动的轨迹． 如图 8 ， 师： 怎样确定弧所在圆的圆心角的度数？ 生： （ 学生在动手操作和观察图形时， 发现圆在滚动 当滚动到与相邻两圆都外切 中均与经过的每个圆外切， 时， 三个圆心的连线构成等边三角形） ． 师： 那同学们能否计算出这些弧线的长度？ 老师给了 3 分钟的时间让学生观察和思考图形特征． 生： （ 思考， 讨论中） 生12 ： 老师， 我能算出 ． 学生举手， 老师示意他到黑板书写， 过程如下 ． 解 ∵ ⊙A， ⊙B， ⊙C 两外切，
图 13
所以学生能自己解决这个问题 ． 2． 4 指导应用， 深化理解 例1 （ 2009 年佛山） 将两枚
固定 同样大小的硬币放在桌 上， 其中一枚， 而另一枚则沿 着 其 边 这时滚动的 硬 币 滚 缘滚动一周， 动了 A． 1 圈 C． 2 圈 例2 B． 1． 5 圈 D． 2． 5 圈 如 图， 一个等边三角
生10 ： ⊙A 是绕着 O 滚动， 它移动的距离就是圆心 A 移动的距离， 因为两圆是外切， 圆心距等于两半径的和 ． 而圆心 A 是在以 O 为圆心， 以两圆的圆心距为半径的圆 所以它滚动的距离是 2 π（ r + r） = 4 πr． 上运动， 教师称赞两位学生的发言， 同时补充 、 强调圆心的 作用 ． 点评 轨道改变为圆形时， 也可以看成是当多边形 的边数 n 趋近于无穷大时的图形 ． 这也符合从特殊到一 般的规律， 学生容易接受 ． 如下图所示 ．
图 10
（ 2 ） 连接 O3 O4 ， ∵ O2 O3 = O3 O4 = O2 O4 = 2 ， ∴ △O2 O3 O4 为等边三角形， 则 ∠O4 O2 O3 = 60 ° ， ∴ ∠O1 O2 O4 = 180 ° － ∠ O4 O2 O3 = 120 °． 又 O1 O2 = O2 O4 = 2 ， 120 π × 2 4 = π≈4 ． 19 ． ∴ 圆心 O1 移动的距离为 180 3 2 ． （ 2009 年河北） 如图 14 至图 18 ， ⊙O 均作无滑动 ⊙ O1 ， ⊙ O2 ， ⊙ O3 ， ⊙ O4 均 表 示 ⊙O 与 线 段 AB 或 滚动， BC 相切于端点时刻的位置， ⊙O 的周长为 c． 阅读理解 （ 1 ） 如图 14 ， ⊙ O 从 ⊙ O1 的位 置 出 发， 沿 AB 滚 动 到
师： 所以我们可以求出 ⊙O 移动的距离 = AC + BC +
图3
生： （ 思考中， 有的学生还用手中的硬币操作着 ． 尝 发现滚动的距离再也不是线段的长度， 而是比 试求解， 线段的长度多一些 ． ） 学生通过探究共同得出结论： 硬币运动的轨迹是两条 拐点在这两条等高线交汇的地方． 与轨道平行的等高线， 老师肯定学生的做法， 鼓励他们画出图形 ． 请一个 成绩优秀的学生在黑板上画出轨迹 ． （ 大家懒懒地看着上面演示的同学， 过了一会儿， 教 室安静下来， 原来黑板前作图演示的同学通过实际操作 已画好轨迹， 却还不愿下来， 他看着自己所画的图形， 显 然出现疑虑， 难道情况有变？） 大家看到： 上去演示的同学在黑板上画出的圆心轨 而是由 迹是平行于轨道的两条等高线并没有直接相交， 一段弧线把这两条等高线连起来 ． 所有的同学的精神又 重新进入亢奋状态 ． 师： 我们请他动手再画一次吧 ． （ 如图 3 ） （ 此时全体学生屏息静气， 生怕漏过演示同学的每 一个细微动作， 教室安静极了） 师： 没错， 事实上确实是平行于轨道的两条不平行 的等高线之间由一段弧线连接起来 ． （ 教室一片哗然） 师： 哪位同学来说说你的发现？ 生3 ： 我发现圆心的运动轨迹上有两个拐点， 这两个 拐点用一段半径等于小圆半径的圆弧把这两条等高线 连起来 ．
（ 180 ° － α） πR ． 180 ° 点评 把直线改为折线， 增加难度， 通过学生独立
思考， 探究， 交流总结， 发言， 锻炼学生的自主学习 观察 、 为下一环节的学习做铺垫 ． 和语言表达能力， （ 3 ） 一个多边形
)
)
图4
师： 若把折线改为多边形呢？ 这时 ⊙O 移动的距离 又是多少？ 生： （ 思考， 讨论中） 生8 ： ∵ ⊙O 移动的距离 = AB + （ 180 ° － ∠ ABC ） πR + BC + 180 °
∴ AB = BC = AC = 2 r， ∴ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠BAC = 60 ° ，
图6
∴ ∠BAO = 120 °． L = 5 BD + 2 OB = 5 × = 60 ° π2 r 120 ° π2 r +2 × 180 ° 180 °
)
规律总结
图7
问题 2
将轨道改为下列
情形， 你能 找 出 其 中 的 数 学 奥 秘吗？ （ 1 ） 一个半径为 2 r 的圆形 师： 若半径为 r 的⊙ O 沿着 半径为 2 r 的⊙ A 的边缘滚动一 周， 这时滚动的圆滚动的距离是多少？ 生： 是 2 π（ r1 + r2 ） = 2 π（ r + 2 r） = 6 πr． 点评 先由最简单的两圆相外切开始入手， 由于上
图1
生2 ： ⊙O 滚动的距离实际是圆心 O 移动的距离， 应 等于线段的长度 ． 点评 由最简单的直线段入手， 学生容易直观感知
思考
①一枚硬币在平面上滚动一圈， 那么它滚动
轨迹是什么， 它的距离是多少？ ② 研究滚动的硬币经过的距离时， 怎样观察硬币最 方便？ （ 观察圆心的运动路径， 在进行后面的研究时最好 在硬币上作记号） ③ 将两枚同样大小的硬币换成大小不一样的呢？ 点评 思考 ． 2． 2 探索新知， 合作交流 师： 通过上述的活动， 学生们知道硬币在直线上滚 动一圈的距离刚好等于它的周长 ． 在同样大的硬币上滚 动手操作旨在引起学生对本课题的兴趣和