全新小学数学图形计算例题大汇总.优选

第一讲不规则图形面积的计算（一）

我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：

实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

解：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

又因为S甲+S乙=12×12+10×10=244，

所以阴影部分面积=244-（50+132+12）=50（平方厘米）。

例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.

解：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边形AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD

在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，

∴△ECF的面积为2×2÷2=2。

所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

解：在等腰直角三角形ABC中

∵AB=10

∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，

∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4 如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.

解：取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.

所以△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。

又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE的面积是15平方厘米。

例5 如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘

解：过E作BC的垂线交AD于F。

在矩形ABEF中AE是对角线，所以S△ABE=S△AEF=8.在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF。

例6 如右图，已知：S△ABC=1，

解：连结DF。

∵AE=ED，

∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED，

例7 如下页右上图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？

解：连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.

∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，

∴S△AGD=AH×DG÷2，

∴AH=8×2÷5=3.2（厘米），

∴DE=3.2（厘米）。

例8 如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.

解：∵梯形面积=（上底+下底）×高÷2

即45=（AD+BC）×6÷2，

45=（AD+10）×6÷2，

∴AD=45×2÷6-10=5米。

∴△ADE的高是2米。

△EBC的高等于梯形的高减去△ADE的高，即6-2=4米，

例9 如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.

证明：连结CE，ABCD的面积等于△CDE面积的2倍，而DEFG的面积也是△CDE 面积的2倍。

∴ABCD的面积与DEFG的面积相等。

习题一

一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）：

二、解答题：

1.如右图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AB、AD中点，且FG=2GE.求阴影部分面积。

2.如右图，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为12厘米和6厘米.求四边形CMGN（阴影部分）的面积.

3.如右图，正方形ABCD的边长为5厘米，△CEF的面积比△ADF的面积大5平方厘米.求CE的长。

4.如右图，已知CF=2DF，DE=EA，三角形BCF的面积为2，四边形BEDF的面积为4.求三角形ABE的面积.

5.如右图，直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD＝5厘米.又三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等。求三角形DEF的面积.

6.如右图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米.求长方形的长、宽各是多少？

7.如右图，有一三角形纸片沿虚线折叠得到右下图，它的面积与原三角形面积之比为2：3，已知阴影部分的面积为5平方厘米.求原三角形面积.

8.如右图，ABCD的边长BC=10，直角三角形BCE的直角边EC长8，已知阴影部分的面积比△EFG的面积大10.求CF的长.

习题一解答一、填空题：

二、解答题：

3．CE=7厘米．

可求出BE=12．所以CE=BE-5=7厘米．

4．3．提示：加辅助线BD

∴CE=4，DE=CD-CE=5-4=1。

同理AF=8，DF=AD-AF=14-8=6，

6．如右图，大正方形边长等于长方形的长与宽的和.中间小正方形的边长等于长方形的长与宽的差.而大、小正方形的边长分别是8米和3米，所以长方形的宽为（8-3）÷2=2.5（米），长方形的长为8-2.5=5.5（米）.

7．15平方厘米．解：如右图，设折叠后重合部分的面积为x平方厘米，

x=5．所以原三角形的面积为2×5+5=15平方厘米．

∴阴影部分面积是：10x-40＋S△GEF

由题意：S△GEF＋10=阴影部分面积，∴10x-40=10，x＝5（厘米）.

第五讲同余的概念和性质

你会解答下面的问题吗？

问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？

这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”儿童节是星期一。

问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？

这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元旦应该是星期六。

问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。

同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：

a≡b（modm）. （*）

上式可读作：

a同余于b，模m。

同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：

a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.

例如：①15≡365（mod7），因为365-15=350=7×50。

②56≡20（mod9），因为56-20=36＝9×4。

③90≡0（mod10），因为90-0＝90=10×9。

由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（modm）。

例如，表示a是一个偶数，可以写

a≡0（mod 2）

表示b是一个奇数，可以写

b≡1（mod 2）

补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：

a b（modm）

我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。

性质1：a≡a（mod m），（反身性）

这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。

性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m），（对称性）。

性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。

性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。

性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。

性质6：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。

性质7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。

注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。

例如6≡10（mod 4），而35（mod 4），因为（2，4）≠1。

请你自己举些例子验证上面的性质。

同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。

例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？

解：∵288-214=74=37×2。

∴288≡214（mod37）。

∵74-20=54，而3754，

∴7420（mod37）。

例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。

分析若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。

解：∵418≡2（mod13），

814≡8（mod13），1616≡4（mod13），

∴根据同余的性质5可得：

418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）。

答：乘积418×814×1616除以13余数是12。

例3 求14389除以7的余数。

分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。

解法1：∵143≡3（mod7）

∴14389≡389（mod 7）

∵89＝64+16+8+1

而32≡2（mod 7），

34≡4（mod7），

38≡16≡2（mod 7），

316≡4（mod 7），

332≡16≡2（mod 7），

364≡4（mod 7）。

∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod 7），

∴14389≡5（mod 7）。

答：14389除以7的余数是5。

解法2：证得14389≡389（mod 7）后，

36≡32×34≡2×4≡1（mod 7），

∴384≡（36）14≡1（mod 7）。

∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod 7）。

∴14389≡5（mod 7）。

例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？

分析与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，而1小时=60分钟=120×30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数，因为120≡0（mod 4），所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。

十位，…上的数码，再设M=a0＋a1＋…＋an，求证：N≡M（mod 9）。

分析首先把整数N改写成关于10的幂的形式，然后利用10≡1（mod 9）。

又∵ 1≡1（mod 9），

10≡1（mod 9），

102≡1（mod 9），

…

10n≡1（mod 9），

上面这些同余式两边分别同乘以a0、a1、a2、…、a n，再相加得：

a0＋a1×10+a2×102+…+a n×10n

≡a0＋a1＋a2＋…＋a n（mod 9），

即 N≡M（mod 9）.

这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：

任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

例如，求1827496被9除的余数，只要先求（1+8＋2＋7＋4＋9＋6），再求和被9除的余数。

再观察一下上面求和式.我们可以发现，和不一定要求出.因为和式中1＋8，2+7，9被9除都余0，求余数时可不予考虑.这样只需求4＋6被9除的余数.因此，1827496被9除余数是1。

有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检查方法叫：弃九法。

弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。

用弃九法检验乘式5483×9117≡49888511是否正确？

因为 5483≡5＋4＋8＋3≡11≡2（mod 9），

9117≡9＋1＋1＋7≡0（mod 9），

所以 5483×9117≡2×0≡0（mod 9）。

但是 49888511≡4+9＋8+8+8＋5+1+1

≡8（mod9），

所以 5483×9117≠49888511，即乘积不正确。

要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如，9875≡9＋8+7+5≡2（mod 9），

4873≡4＋8＋7＋3≡4（mod 9），

32475689≡3+2+4+7＋5+6+8+9

≡8（mod 9），

这时，9875×4873≡2×4≡32475689（mod 9）。

但观察个位数字立刻可以判定9875×4873≠32475689.因为末位数字5和3相乘不可能等于9。

弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。

例6 用弃九法检验下面的计算是否正确：

23372458÷7312＝3544。

解：把除式转化为：

3544×7312＝23372458。

∵ 3544≡3＋5＋4＋4≡7（mod 9），

7312≡7＋3＋1＋2≡4（mod 9），

∴ 3544×7312≡7×4≡1（mod 9），

但 23372458≡2＋3＋3＋8≡7（mod 9）。

而 17（mod 9）

∴ 3544×7312≠23372458，

即 23372458÷7312≠3544。

例7 求自然数2100＋3101＋4102的个位数字。

分析求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题。

解：∵2100≡24×25≡625≡6（mod 10），

3101≡34×25·31≡125·31≡3（mod 10），

4102≡（22）100·42≡6·6≡6（mod 10），

∴ 2100＋3101＋4102≡6＋3＋6≡5（mod 10），

即自然数2100＋3101＋4102的个位数字是5.

习题五

1.验证对于任意整数a、b，式子a≡b（mod1）成立，并说出它的含义。

2.已知自然数a、b、c，其中c≥3，a除以c余1，b除以c余2，则ab除以c余多少？

3.1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？

4.求33335555＋55553333被7除的余数。

5.所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面？

6.数，被13除余多少？（提示：先试除，可知13|111111，而1993≡1（mod 6））。

7.用弃九法检验下面运算是否正确：

①845×372=315340；

②12345×67891=838114385；

③1144192613÷28997＝39459。

8.求1993100的个位数字.

习题五解答

1.例：∵1|a-b，2≡3（mod 1），7≡15（mod 1），式子a≡b（mod 1）的含义是：任意整数a、b对模1同余.整数是模1的同余类。

2.解：∵a≡1（mod c），b≡2（mod c），

∴ab＝2（mod c）

即ab除以c余2。

3.1993年的十月一日是星期五。

4.解：∵ 3333≡1（mod 7），

∴ 33335555≡1（mod 7）。

又∵ 5555≡4（mod 7），

∴ 55553333＝43333（mod 7）。

而 43≡1（mod 7），

∵ 43333≡（43)1111≡1（mod 7），

∴ 33335555+55553333≡1+1≡2（mod 7），

即 33335555＋55553333被7除余2。

5.解：∵ 300≡6（mod 7）。

∴ 300与6在同一列，在D下面。

6.答：余1。

7.①不正确；

②不正确；

③不正确。

8.1.

第四讲最大公约数和最小公倍数

本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数.它们

的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。

定理1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1。

证明：设a÷d=a1，b÷d=b1，那么a＝a1d，b=b1d。

假设（a1，b1）≠1，可设（a1，b1）＝m（m＞1），于是有a1=a2m，b1＝b2m.（a2，b2是整数）

所以a=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。

那么md是a、b的公约数。

又∵m＞1，∵md＞d。

这就与d是a、b的最大公约数相矛盾.因此，（a1，b1）≠1的假设是不正确的.所以只能是（a1，b1）=1，也就是（a÷d，b÷d）＝1。

定理2 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.（证明略）

定理3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.（证明略）

下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。

例1 甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数.

解法1：由甲数×乙数=甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数，可得

36×乙数=4×288，

乙数=4×288÷36，

解出乙数=32。

答：乙数是32。

解法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数=4×9，设乙数=4×b1，且（b1，9）=1。

因为甲、乙两数的最小公倍数是288，

则 288＝4×9×b1，

b1＝288÷36，

解出 b1＝8。

所以，乙数=4×8=32。

答：乙数是32。

例2 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？

解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b。

因为这两个数的最大公约数是21，故设a=21a1，b＝21b1，且（a1，b1）＝1。

因为这两个数的最小公倍数是126，

所以 126=21×a1×b1，

于是 a1×b1=6，

因此，这两个数的和为21＋126=147，或42＋63=105。

答：这两个数的和为147或105。

例3 已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。

解：设这两个自然数分别为a与b，a＜b.因为这两个自然数的最大公约数是5，故设a=5a1，b=5b1，且（a1，b1）=1，a1＜b1。

因为 a＋b=50，所以有5a1+5b1=50，

a1+b1=10。

满足（a1，b1）=1，a1＜b1的解有：

答：这两个数为5与45或15与35。

例4 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

解：设这两个数为a与b，a＜b，且设（a，b）＝d，a＝da1，b＝db1，其中（a1，b1）＝1。

因为两个自然数的积=两数的最大公约数×两数的最小公倍数，

所以 240=d×60，

解出 d＝4，

所以 a=4a1，b=4b1.

因为a与b的最小公倍数为60，

所以 4×a1×b1＝60，

于是有 a1×b1＝15。

答：这两个数为4与60或12与20。