高中数学平面向量基本概念
平面向量与解析几何
平面向量与解析几何平面向量与解析几何是高中数学的重要内容之一，它们是研究平面上点和向量的位置关系以及相关性质的有效工具。
平面向量通过模和方向来表示，通常用有序对(a, b)来表示。
解析几何则通过坐标系和代数方法研究几何问题。
本文将介绍平面向量和解析几何的基本概念、运算、重要定理和应用。
一、平面向量的基本概念平面向量是指位于同一平面内的具有大小和方向的有序对。
平面向量的表示通常用直角坐标系，其中向量的起点作为坐标原点，向量的终点与原点坐标进行表示。
平面向量AB用向量→AB表示，其中→AB= (x2 - x1, y2 - y1)表示。
平面向量的模记作|→AB|，表示向量的长度或大小。
平面向量的方向用角度α或方向角θ表示，通常在x轴正方向逆时针旋转所得。
平面向量还可以通过分解为x轴和y轴上的分量来表示。
二、平面向量的运算平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和数量除法。
1. 平面向量的加法：向量→AC = →AB + →BC，其中→AC(x3 - x1, y3 - y1) = (x2 - x1, y2 - y1) + (x3 - x2, y3 - y2) = (x3 - x1, y3 - y1)。
2. 平面向量的减法：向量→AB - →CD = →AB + (-→CD)，其中→AB - →CD = (x2 - x1, y2 - y1) - (x4 - x3, y4 - y3) = (x2 - x1 - x4 + x3, y2 - y1 - y4 + y3)。
3. 数量乘法：数乘一个实数k，→AC = k→AB，其中→AC(kx2 -kx1, ky2 - ky1) = k(x2 - x1, y2 - y1)。
4. 数量除法：→AB/ k = (1/k)→AB，其中→AB/ k = (1/k)(x2 - x1, y2 - y1)。
三、平面向量的重要定理平面向量的重要定理包括共线定理、共点定理和位移定理。
1. 共线定理：若向量→AB和→CD共线，则存在实数k，使得→AB= k→CD。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a；坐标表示法),(y x yj xi a向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC u u u r（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a =a ； (ii) a +(a )=(a )+a =0；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差， 记作：)(b a b a求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =a6平面向量的基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例1 给出下列命题：① 若|a r |＝|b r |，则a r =b r；② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC u u u r u u u r是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③ 若a r =b r ，b r =c r ，则a r =c r ，④a r =b r 的充要条件是|a r |=|b r |且a r //b r；⑤ 若a r //b r ，b r //c r ，则a r //c r ，解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．② 正确．∵ AB DC u u u r u u u r ，∴ ||||AB DC u u u r u u u r且//AB DC u u u r u u u r ，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则，//AB DC u u u r u u u r 且||||AB DC u u u r u u u r，因此，AB DC u u u r u u u r．③ 正确．∵ a r =b r ，∴ a r ，b r的长度相等且方向相同；又b r ＝c r ，∴ b r ，c r的长度相等且方向相同，∴ a r ，c r 的长度相等且方向相同，故a r ＝c r ．④ 不正确．当a r //b r 且方向相反时，即使|a r |=|b r |，也不能得到a r =b r，故|a r |=|b r |且a r //b r 不是a r =b r的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤ 不正确．考虑b r =0r这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．例2 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简： ①AB BC CD u u u r u u u r u u u r ，②DB AC BD u u u r u u u r u u u r ③OA OC OB CO u u u r u u u r u u u r u u u r解：①原式= ()AB BC CD AC CD AD u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r②原式= ()0DB BD AC AC AC u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r③原式= ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r例3设非零向量a r 、b r 不共线，c r =k a r +b r ，d r =a r +k b r (k R)，若c r∥d r ，试求k解：∵c r∥d r∴由向量共线的充要条件得：c r=λd r (λ R) 即 k a r +b r =λ(a r +k b r ) ∴(k λ) a r+ (1 λk ) b r = 0r又∵a r 、b r不共线∴由平面向量的基本定理 1010k k k二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a r可表示成a xi yj r r r ，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr(2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1212a b x x y y rr若a b rr ，则02121 y y x x3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算运算类型几何方法 坐标方法 运算性质向 量 的 加 法1平行四边形法则 2三角形法则 1212(,)a b x x y y r r a b b a)()(c b a c b aAB BC AC u u u r u u u r u u u r向 量 的 减 法 三角形法则 1212(,)a b x x y y rr )(b a b aAB BA u u u r u u u r OB OA AB u u u r u u u r u u u r向 量 的 乘 法a是一个向量,满足:>0时,a 与a同向;<0时,a 与a异向;=0时, a =0),(y x a a a)()(a a a)( b a b a )(a ∥b a b向 量的 数量 积b a•是一个数 0 a 或0b 时, b a•=0 0 a 且0 b 时,•b a b a b a,cos |||| 1212a b x x y y • rra b b a • •)()()(b a b a b a • • • c b c a c b a • • • )(22||a a ,22||y x a||||||b a b a •例1 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r ，2v a b rr r ，且//u v r r ，求实数x 的值解：因为(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r，2v a b r r r所以(1,2)2(,1)(21,4)u x x r ，2(1,2)(,1)(2,3)v x x r又因为//u v r r所以3(21)4(2)0x x ，即105x解得12x例2已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （O 为坐标原点）交点P 的坐标解：设(,)P x y ，则(,),(4,)OP x y AP x y u u u r u u u r因为P 是AC 与OB 的交点所以P 在直线AC 上，也在直线OB 上即得//,//OP OB AP AC u u u r u u u r u u u r u u u r由点)6,2(),4,4(),0,4(C B A 得，(2,6),(4,4)AC OB u u u r u u u r得方程组6(4)20440x y x y解之得33x y故直线AC 与OB 的交点P 的坐标为(3,3)三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos叫做a r 与b r的数量积（或内积） 规定0a r r2向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r5乘法公式成立： 2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a r r r r②对实数的结合律成立：a b a b a b R r r r r r r③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r r；（2）消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r，则a r ·b r =1212x x y y8a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800 ）叫做向量a r 与b r的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r =当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x 平面向量数量积的性质例1 判断下列各命题正确与否：（1）00a r；（2）00a r r ；（3）若0,a a b a c r r r r r，则b c r r ；⑷若a b a c r r r r ，则b c r r 当且仅当0a rr 时成立； （5）()()a b c a b c r r r r r r 对任意,,a b c r r r向量都成立；（6）对任意向量a r，有22a a r r解：⑴错； ⑵对； ⑶错； ⑷错； ⑸ 错；⑹对例2已知两单位向量a r 与b r 的夹角为0120，若2,3c a b d b a r r r r r r ，试求c r 与d r的夹角解：由题意，1a b r r ，且a r 与b r的夹角为0120，所以，01cos1202a b a b r r r r ，2c c c r r rQ (2)(2)a b a b r r r r 22447a a b b r r r r ，c r同理可得d r而c d r r 2217(2)(3)7322a b b a a b b a r r r r r r r r ，设 为c r与d r 的夹角， 则1829117137217cos1829117arccos点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例3 已知 4,3a r， 1,2b r ，,m a b r r r 2n a b r r r ，按下列条件求实数的值（1）m n r r ；（2）//m n r r；(3)m n r r 解： 4,32,m a b r r r 27,8n a b rr r （1）m n r r 082374 952；（2）//m n r r 072384 21 ；(3)m n r r 088458723422222点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算。
人教版高中数学必修42.1平面向量的实际背景及基本概念
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量． 注：向量与数量的区分
①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比 较大小.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
注：我们所学的向量常被称为自由向量.
1、有向线段的三要素：起点、方向、长度
B（终点）
向量就是有向线段么？
2、向量的表示
A（起点）
（1）向量的几何表示：可以用有向线段表示.
（2）向量的符号表示：①
a
,
b
,
c
,
. . .印刷体可
当堂测试
1、下列物理量中， 不能称为向量的是
（）
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是
（）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都 相同
3、下列说法错误的是
（）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
。② 以用黑体表示向量 AB CD ，
模 向量| AB | 的 长度（大小）就是向量 | AB |的模，
注：向量的模是可以比较大小的。
零向量 :长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
记作 | AB |
注：零向量也有方向，并且规定零向量的方向是任意的 单位向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
高三数学平面向量考点解析
高三数学平面向量考点解析1、高中数学知识点总结平面向量的概念：平面向量是既有大小又有方向的量。
向量和数量是数学中讨论的两种量的形式，数量是实数。
2、平面向量的三种形式：（1）字母形式：用单独的小写字母带箭头或者用两个大写字母带箭头表示向量；（2）几何形式；用平面内的有向线段表示向量，零向量是一个点；（3）坐标形式：向量可以在坐标平面内用坐标表示，向量坐标等于它的终点坐标减去始点坐标。
3、平面向量的相关概念，（1）模（绝对值）：向量的大小或者向量的长度叫做向量的模，模是大于等于的实数。
模也叫作绝对值、大小、长度，这几个说法是一个意思。
（2）相等向量：方向相同、大小相等的向量叫做相等向量（或者叫相同向量），两个相等向量的x，y坐标对应相等。
（3）相反向量：方向相反、大小相等的向量叫做相反向量。
一个向量加负号即变为其相反向量，在向量化简和运算中很常见、很重要。
（4）平行（共线）向量：平面内两个向量所在的直线平行或者重合，则说这两个向量平行（或者共线），用平行符号表示。
因为向量可以自由平移，所以对向量来讲平行和共线是一个意思。
两个非零向量平行时，必定方向相同或相反。
规定零向量和任意向量都平行，但不能说零向量和其它向量方向相同或相反。
（5）垂直向量：两向量所在的直线垂直（或者说夹角为90度），则说这两个向量为垂直向量，用垂直符号表示。
规定零向量和任意向量都垂直，但不能说夹角90度。
（6）零向量：大小为零（或者说模、绝对值、长度为零都是一个意思）的向量叫做零向量，规定零向量的方向是任意的，不能讨论零向量和其它向量方向的关系及夹角问题。
规定零向量和任意向量都平行且垂直。
（7）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。
一个向量除以自己的模得到和这个向量同方向的单位向量；单位向量乘以一个向量的模得到这个向量。
（8）位置向量：向量AB可以表示点B相对点A的位置，所以向量AB可以叫做点B关于点A的位置向量。
（9）方向向量：一个非零向量与一条直线平行，则这个向量叫做这条直线的平行向量。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
高中数学必修二 专题6 1 平面向量的概念-同步培优专练
专题6.1 平面向量的概念知识储备一 向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.二 向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB ，线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长度记作|AB |.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用c b a ,,).3.模、零向量、单位向量 向量AB 的大小，称为向量AB 的长度(或称模)，记作|AB |.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.三 相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b .(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？答案 (1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错， 所以正确答案只有一个．故选B ．2．下列命题正确的是（ ）A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b =【答案】A 【解析】模为零的向量是零向量，所以A 项正确；||||a b =时，只说明向,a b 的长度相等，无法确定方向，所以B ，C 均错；a b 时，只说明,a b 方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D 错.故选A.3．若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误是（ ）A ．//a bB ．a b ≠C ．a b ≠D ．a b =-【答案】C 【解析】由平行向量的定义可知A 项正确；因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；由相反向量的定义可知a b =-，故选项D 正确；由相反向量的定义知a b =，故C 项错误.故选C.4．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）A ．BAB ．CDC ．AD D ．OD【答案】D 【解析】根据图形看出，四边形BCDO 是平行四边形//,BC OD BC OD ∴=BC OD ∴=故选：D 5．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ）A ．不共线B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量 【答案】D 【解析】向量a 与向量b 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D.6．下列说法错误的是（ ）A ．若非零向量a b c ，，有//a b ，//b c ，则//a cB ．零向量与任意向量平行C ．已知向量a b ，不共线，且//a c ，//b c ，则0c =D ．平行四边形ABCD 中，AB CD =【答案】D【解析】选项A ：因为a b c ，，都不是零向量，所以由//a b ，可知向量a 与向量b 具有相同或相反方向.又由//b c ，可得向量c 与向量b 具有相同或相反方向，所以向量a 与向量c 具有相同或相反方向，故//a c ，故本说法是正确的；选项B ：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；选项C ：由//a c ，//b c ，可知：c 与向量a 具有相同或相反方向，c 与向量b 具有相同或相反方向，但是向量a b ，不共线，所以0c ，故本说法是正确的；选项D ：平行四边形ABCD 中，应该有AB DC =，故本说法是错误的.故选：D7．a ，b 为非零向量，且a b a b +=+，则（ ）A ．a ，b 同向B ．a ，b 反向C ．a b =-D ．a ，b 无论什么关系均可【答案】A 【解析】当两个非零向量a 与b 不共线时,a b +的方向与a ,b 的方向都不相同,且a b a b +<+；当向量a 与b 同向时,a b +的方向与a ,b 的方向都相同,且a b a b +=+； 当向量a 与b 反向且a b <时,a b +的方向与b 的方向相同（与a 的方向相反）,且a b b a +=-, 故选:A8．如图是34⨯的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB的向量共有( )A．12个B．18个C．24个D．36个【答案】C⨯的格点图中【解析】由题意知，每个小正方形的对角线与AB34包含12个小正方形，所以有12条对角线，与AB平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学竞赛讲义平面向量
高中数学竞赛讲义(8)平面向量(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高中数学竞赛讲义（八）──平面向量一、基础知识定义1? 既有大小又有方向的量，称为向量。
画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。
向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。
书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。
零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。
定义2? 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。
定理1? 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。
加法和减法都满足交换律和结合律。
定理2? 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f定理3? 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。
定义3? 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。
定义4? 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos<a, b>，也称内积，其中|b|cos叫做b 在a上的投影（注：投影可能为负值）。
定理4? 平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c，3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),4. a定义5? 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。
(完整版)高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,ABa BCb uu u ru uu r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =ACuu u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BCCDPQQRAR u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u rL，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λa 的方向与a 的方向相同；当时，λa 的方向与a 的方向相反；当0时，0a，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,使：2211e ea，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a r可表示成axi yj r rr ，记作a r=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：(1)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212,a bx x y y r r (2)若2211,,,y x B y x A ，则2121,AB x x y y u u u r(3)若a r =(x,y)，则a r =(x, y)(4)若1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212a bx x y y r r 若ab rr ，则02121y y x x 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r与b r 的数量积（或内积）规定00ar r 2向量的投影：︱b r ︱cos =||a b a r r r ∈R ，称为向量b r 在a r方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r 5乘法公式成立：2222a b ab a b a b r r r r r r r r ；2222abaa bb r r r r r r 222aa bbr r r r 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a bb arr r r ②对实数的结合律成立：a b a b a bRr r r r r r ③分配律成立：abca cb c r r r r r r r ca br r r 特别注意：（1）结合律不成立：ab ca b c r r r r r r ；（2）消去律不成立a ba cr r r r 不能得到bc rr （3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax y b x y rr，则a r ·b r=1212x x y y 8向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos,a b a ba b??r r r r r r =222221212121y x y x y y x x 当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r⊥br 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ba ·b ＝O02121y y x x 平面向量数量积的性质一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()．A ．AB 与AC 共线B ．DE 与CB 共线C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是()．A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC ＝OA ＋OB ，其中，∈R ，且＋＝1，则点C 的轨迹方程为()．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是A ．6B ．3C ．23D ．565．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1)B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22)C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝()．(第1题)A．EF＋ED B．EF－DE C．EF＋AD D．EF＋AF7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m 等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？(第10题)18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．一、选择题1．B 解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，OA ＝(3，)，OB ＝(－，3)，又OA ＋OB ＝(3－，＋3)，∴(x ，y)＝(3－，＋3)，∴33＋＝－＝y x ，又＋＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴a 2＝b 2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴a 与b 的夹角是3π．5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ，∴DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．7．C解析：由(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b|＝4，a ·b ＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D 解析：由OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA ,即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ，∴O 是△ABC 的三条高的交点．9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |．∴四边形ABCD 为梯形．10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．(第1题)二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又A ，B ，C 三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k －4)，∴k ＝－32．12．－1．解析：∵M(－1，3)，N(1，3)，∴MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴＝4－3－2＝3＋2x x x 解得4＝1＝－1＝－x x x 或∴x ＝－1．13．－25．解析：思路1：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴△ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB )＝－(CA )2＝－2CA ＝－25．思路2：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°，∴cos ∠CAB ＝CAAB ＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0，BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16，CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)．∵(a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又OA ＋OC ＝－OB ，(第15题)D(第13题)∴OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP ＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴713532yx 即7455yx 要使点P 在第三象限内，只需74055解得λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C (4，3)，AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又D 是BC 的中点，∴AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5)＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴F 是AD 的中点，∴DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)．19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ．∴AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴a 2＝b 2，a ·b ＝0．∴AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴|2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第18题)(第19题)。
高中数学向量知识点总结
高中数学向量知识点总结一、基础概念向量是由大小和方向两个方面表示的量，可以用有向线段表示。
向量的模(长度)是一个标量，用||a||表示，其中a为向量。
模为0的向量称为零向量。
向量的方向由其符号决定，同方向向量与相反方向向量称为“对向向量”。
二、向量的加法向量加法：向量加上另一个向量就是在另一个向量的末端从起点开始画一个同样大小的向量。
可加性：若a、b、c为向量，那么a+b=c，即a+b=c-b。
交换律：一个向量加上另一个向量等于另一个向量加上第一个向量。
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)三、向量的减法向量减法：一个向量减上另一个向量等于另一个向量的相反数加上第一个向量。
四、向量的数量积向量的数量积：向量 a 与标量 k 的积乘积表示为ka 。
向量 a 与向量 b 的数量积表示为a·b 。
夹角公式：a·b=|a||b|cosθ。
五、向量的叉积向量的叉积可以得到一个新的向量，叉积符号为叉乘号-×。
向量的叉积表示为a×b，结果垂直于a和b所在的平面，方向通过右手定则判断。
六、平面向量平面向量：一个平面向量的模表示这个向量所代表的有向线段的长度，而朝向的方向则由向量的起点指向终点。
标准单位向量i、j 满足|i|=|j|=1，同时是相互垂直的。
平面向量加减的公式与三维向量相同。
七、空间向量空间向量：空间向量是三维向量，定义为一个向量的起点和终点可以在三维空间中的任意两个点之间往返移动。
空间向量加减的公式与平面向量相同。
空间向量的数量积：a·b=|a||b|cosθ。
八、向量的应用平移变换：平移是向量应用最广泛的变换之一，在2D空间或3D空间中使用相同的基础技巧。
投影：当我们需要在三维空间中绘制3D图像时，我们经常需要计算平行于某个坐标轴的投影。
高中数学平面向量知识点总结及常见题型
高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。
向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。
由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。
大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。
1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。
3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。
零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳平面向量是高中数学中的重要内容，也是大学数学中的基础知识，它是向量的一种。
向量是数学中的一个概念，它有方向和大小，用有向线段表示。
平面向量是指在平面中的向量，以下是平面向量的知识点归纳。
一、平面向量的定义平面向量是表示平面上有大小和方向的箭头的数学概念。
平面向量AB用符号→AB表示，它的长度表示向量大小，而方向则由方向角表示。
二、平面向量的加减法1. 平面向量的加法平面向量加法是指将一条平面向量按照另一条向量的方向和大小来平移，并合成为一条新的向量。
记作→AB+→BC=→AC。
向量加法满足交换律、结合律、分配律。
2. 平面向量的减法平面向量减法是将另一向量的方向翻转，依次相加，得到一个新向量。
记作→AB-→AC=→CB。
三、平面向量的数量积平面向量的数量积是指两个向量之间相乘得到的标量。
记作→a⋅→b=a·b·cosθ，其中a、b是两个向量，θ是它们之间的夹角。
四、平面向量的叉积平面向量的叉积是在二维平面内的两个向量所形成的向量垂直于平面，大小等于两个向量所组成的平行四边形的面积。
记作→a×→b，其中a、b是两个向量。
五、平面向量的共线、垂直及夹角1. 平面向量的共线两个向量共线的充要条件是它们的数量积等于它们的模的乘积，即→a//→b，当且仅当a·b=|a||b|。
2. 平面向量的垂直两个向量垂直的充要条件是它们的数量积等于0，即→a⊥→b当且仅当a·b=0。
3. 平面向量的夹角两个向量的夹角是指它们之间的夹角，记作θ，其中θ的范围是0≤θ≤π。
六、平面向量的投影与单位向量1. 平面向量的投影平面向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影，也是向量的一个重要应用。
投影的值等于向量的模与夹角的余弦的乘积。
记作pr→a。
2. 平面向量的单位向量单位向量是模等于1的向量，它表示的方向与原向量相同。
单位向量是向量的一种特殊情况，用符号→e表示。
高中数学平面向量知识点与典型例题总结（师）
高中数学平面向量知识点与典型例题总结（师）《数学》必会基础题型——《平面向量》【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。
记作：AB 或a 。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。
3.单位向量：长度为1的向量。
若e 是单位向量，则||1e =。
4.零向量：长度为0的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。
AB BA =-。
8.三角形法则：AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）9.平行四边形法则：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。
10.共线定理：//a b a b λ=?。
当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a ba b +=+13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?=? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+=题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。
（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。
高中数学平面向量与空间向量知识点总结
高中数学平面向量与空间向量知识点总结为了帮助高中数学学习者更好地掌握平面向量与空间向量的知识，以下是对于这两个概念的详细总结。
通过阅读本文，你将对平面向量与空间向量的定义、表示、运算以及相关性质有一个全面的了解。
平面向量1. 定义与表示平面向量是由起点和终点确定的有向线段，通常用→AB 或 AB 来表示，其中 A 为起点，B 为终点。
向量可以用坐标、分量、或单位向量的形式进行表示。
2. 向量的运算a) 向量的加法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点放在另一个向量的终点，以第一个向量的终点为新向量的终点，新向量即为原向量的和。
b) 向量的数乘：将向量的每个分量乘以一个标量，得到的新向量即为原向量的数乘。
c) 两个向量的数量积：平面向量的数量积满足平行四边形的面积公式，即对于向量→A 和→B，其数量积为A·B = |A||B|cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量的模长，θ 表示两个向量之间的夹角。
3. 向量的性质平面向量具有以下性质：a) 两个向量相等，当且仅当它们有相同的模长和方向。
b) 两个向量平行，当且仅当它们的夹角为 0°或 180°。
c) 三角形的三条边可以看作是由两个向量的和构成。
d) 对于任意向量 A，A+(-A) = 0，其中 0 表示零向量。
e) 若向量 A·B = 0，则称向量 A 和 B 互相垂直。
空间向量1. 定义与表示空间向量与平面向量相似，但是在三维空间中存在。
空间向量通常用→AB 或 AB 来表示，其中 A 为起点，B 为终点。
2. 向量的运算空间向量的运算与平面向量类似，但是需要注意三个维度的变化。
向量的加法、数乘等运算仍然适用。
3. 向量的性质空间向量的性质与平面向量类似，但在三维空间中，还需要考虑向量与平面的相交等问题。
总结通过对平面向量与空间向量的知识点的总结，我们可以得出以下结论：- 平面向量和空间向量的定义和表示方式类似，都是由起点和终点确定的有向线段。
高中数学人教A版(2019)必修(第二册)6.1平面向量的概念
长度为0的向量叫做零向量,记作
G 我们知道，从一支笔、一棵树、一本书∙∙∙∙∙∙中，可以抽象出 只有大小的数量“1”.类似地，我们可以对力、位移、速度∙∙∙∙∙∙ 这些量进行抽象，形成一种新的量.
二、向量的概念
既有大小，又有方向的量叫做向量. 如力、位移、速度.
只有大小，没有方向的量叫做数量. 如年龄、身高、长度、面积、体积、质量.
向量是近代数学中重要和基本的概念之一,向量理论具有丰富 的物理背景、深刻的数学内涵.向量既是代数研究对象，也是几何 研究对象，是沟通几何与代数的桥梁,是进一步学习和研究其他数 学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用.
本章我们将通过实际背景引入向量的概念,类比数的运算学习 向量的运算及其性质，建立向量的运算体系.在此基础上，用向量 的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的一些问题.
零向量是有方向的，但它的方向不确定，是任意的；但Байду номын сангаас是 没有方向的.
长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 向量也可以用小写字母表示：a ，b ，c ……
印刷用黑体a， 书写用a .
四、向量的几何表示
例1 在右图中,分别用向量表示A地
A
至B、C两地的位移，并根据图
中的比例尺，求出A地至B、C
两地的实际距离(精确到1km).
位移和速度有各自的特性，但也有共同属性，请问共同
属性是什么？ 以A为起点，B为终点的有向线段记作 .
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
既有大小，又有方向. 在本章引言中，小船位移的大小是A、B两地之间的距离15 n mile,位移的方向是东南方向;小船航行速度的大小是10 n mile/h,
以A为起点，B为终点的有向线段记作 .
高中的数学平面向量专题复习(含例题练习)
标准实用平面向量专题复习一.向量有关概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移) 。
如：2•零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是-AB )； 一|AB|4 •相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量 a 、b 叫做平行向量，记作： a // b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：① 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;② 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 平行不包含两条直线重合； *③ 平行向量无传递性！(因为有0)$ ④ 三点A B C 共线 AB AC 共线；a 的相反向量是一a 。
女口 =b ，则a =b 。
(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
(4)若ABCD 是平行四边形，则 AB = DC 。
( 5)若a = b,b= c ，则、向量的表示1•几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后;2 •符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a , b , c 等；坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三. 平面向量的基本定理：如果 e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ,有且只有一对实数 ■ 1、 ’2，使a= \ 8+ '2e 2。
女口卄片 片 ■+4例 2 (1)若 a =(1,1)b =(1,-1),c=(—1,2)，则 c= _________(2) 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 2 =(0,0),e 2 =(1,-2)B. e =(-1,2)© =(5,7)13 C. e = (3,5)6 =(6,10) D. e =(2,-3)© =(—,-—)24(3) 已知AD,BE 分别是 ABC 的边BC,AC 上的中线，且AD =a,BE =b ,则BC 可用向量a,b 表示为 _____但两条直线6 .相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
平面向量的概念 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
(3)不正确.依据规定：与任意向量平行.
(4)不正确.因为向量与向量若有一个是零向量，则其方向不定.
(5)正确.向量完全由它的模和方向确定，与起点无关.
练习
变1.下列说法正确的是( ).
A.若与平行，与平行，则与一定平行
B.一定在同一直线上
C.若|| < ||，则 <
解：(1)如图所示，作出 ， ， ： 解：(2)由题意知//， = ，
所以四边形是平行四边形.
所以 = = 400，所以|| =
400.
Байду номын сангаас
练习
变3.在四边形中， = ，且|| = ||，则这个四边形是（ ）.
A.正方形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
答案：D.
解：由 = 可知//，且|| = ||，
所以四边形为平行四边形.
练习
方法技巧：
平面向量在实际生活中的应用
生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用
向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解，解答时，一般先把实际问题用
有向线段表示向量，使向量有了直观形象.
向量的大小称为向量的长度(或模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，
记作.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
(向量的字母表示)向量也可以用字母, , , …表示.
印刷用黑体，书写用.
Ԧ
新知探索
1.向量的定义及表示
(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
头的线段来表示向量，线段按一定比例(标度)画出，它的长短表示向量的大小，
箭头的指向表示向量的方向.
新知探索
通常在线段的两个端点中,规定一个顺序,假设为起点，为终点，我们就
人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
√ （5）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（ ） （6）直角坐标平面图上的x轴,y轴都是向量（√ ）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
2.判断下面命题的对错
（1）若a = b，b = c，则a = c。（ √） （2）若|a|=0，则a = 0 （×） （3）若|a|=|b|，则a = b （×）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
说明： 1、向量的几何表示：用有向线段表示。 人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记
作 |AB |。
向量不能比较大小，模可以比较大小。
2、向量的字母符号表示：（1）a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 例如，AB，CD。 注意字母的顺序
量
长度（模）符 概号 念表示 : AB , a
零向量
单位向量
关系相 平等 行向 （量 共线）向量 用向量表示点的位置：位置向量
CB、DO、FE
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
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在平面图形中寻求共线向量、相等向量的方法： (1)在平面图形中找共线向量时，应逐个列举，做到不 重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后再 找平行直线上的共线向量，要注意一条线段有一正一 反两个共线向量，而方向相同、长度不等的有向线段 又可以表示不同的共线向量． 对于相等向量，一定是共线向量，因此在找相等向量 时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等、方向相 同的共线向量即可．
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平面向量基本概念一．考试内容：向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面向量的数量积.平面两点间的距离.平移.二．考试要求：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用.掌握平移公式.【注意】向量是数学的重要概念之一，它给平面解析几何奠定了必要的基础，同时也为物理学提供了工具，这部分内容与实际结合比较密切.在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用.三．基础知识:1.实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.2.向量的数量积的运算律：(1) a·b= b·a（交换律）;(2)（λa）·b= λ（a·b）=λa·b= a·（λb）;(3)（a+b）·c= a·c +b·c.切记：两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律，3.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4.向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0， 则a P b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.5.a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ．6. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 7.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 8.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).9.平面两点间的距离公式(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).,A B d =||AB =u u u r 10.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0， 则A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 11.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=u u u r u u u r，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+u u u r u u u r u u u r ⇔12(1)OP tOP t OP =+-u u u r u u u r u u u r （11t λ=+）. 12.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 13.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+u u u r u u u r u u u r 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP u u u r的坐标为(,)h k .14.“按向量平移”的几个结论 （1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得 到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！15. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==u u u r u u u r u u u r .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=uu u r uuu r uuu r r. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+u u u r u u u r u u u r . 四．基本概念 1、向量有关概念： （1）向量的概念向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r共线的单位向量是||AB AB ±u u u r u u u r )；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r)； ④三点A B C 、、共线⇔ AB AC u u u r u u u r、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=r r r，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3. 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=r r当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=r r，注意：λa ≠0。
4、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2π时，a ，b 垂直。
当θ为锐角时，a •b ＞0，且 a b r r 、不同向，0a b ⋅>r r是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b r r 、不反向，0a b ⋅<r r是θ为钝角的必要非充分条件； （2）b 在a 上的投影为||cos b θr，它是一个实数，但不一定大于0。
6、向量的运算：系xOy 中，60xOy ∠=o ，平面上任一点P 关于斜坐如图，在平面斜坐标标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+u u u r u r u u r ，其中12,e e u r u u r分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y 。
7.线段的定比分点：λ的符号与分点P 的位置之间的关系：当P 点在线段 P 1P 2上时⇔λ>0；当P 点在线段 P 1P 2的延长线上时⇔λ<－1；当P 点在线段P 2P 1的延长线上时10λ⇔-<<；若点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P u u u u r所成的比为1λ。