吉林省吉林大学附属中学2017届高三第六次摸底考试数学(理)试题含答案
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考试时间:120分钟 试卷满分:150分 命题人: 审题人:
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试结束后,将答题卡交回。 注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不得折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷(选择题60分)
一、选择题(本大题包括12个小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只.有一项...
是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). (1)已知{|12}{|3}U M x x N x x ==-=R ,≤≤,≤,则()U M N = e
(A ){|23}x x ≤≤
(B ){|23}x x <≤
(C ){|1x x -≤或23}x ≤≤ (D ){|1x x <-或23}x <≤
(2)已知复数2i
1i
z +=
+,则复数z 在复平面内对应的点在 (A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限
(3)在等差数列{}n a 中,15487a a a +==,,则5a = (A )11 (B )10 (C )7 (D )3
(4)平面向量a 与b 的夹角为60?,||2||1==,
a b ,则|2|+=a b
2016—2017学年下学期高三年级 数学第六次摸底考试数学(理科)试卷
“鹰隼三朝展羽翼 蛟龙一跃上九天”
(A
(B
) (C )4 (D )12
(5)执行下列程序后,输出的i 的值是
(A )5
(B )4 (C )10 (D )11
(6)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商
鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若 取3,其体积为12.6(单位:立方寸),则图中的x 为
(A )1.2 (B )1.6 (C )1.8
(D )2.4
(7)2014年5月12日,国家统计局公布了《2013年农民工监测调查报告》,报告显示:我国农 民工收入持续快速增长.某地区农民工人均月收入增长率如图1,并将人均月收入绘制成
如
图2的不完整的条形统计图.
农民工人均月收入增长率统计图
农民工人均月收入统计图
i =
1
WHILE i <=10i =i +5
WEND PRINT i END
图1 图2
根据以上统计图来判断以下说法错误的是 (A )2013年农民工人均月收入的增长率是10% (B )2011年农民工人均月收入是2205元
(C )小明看了统计图后说:“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了” (D )2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高
(8)函数()y f x =是R 上的偶函数,且在(0]-∞,
上为增函数.若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是 (A )2a ≤ (B )2a -≥ (C )22a -≤≤ (D )2a -≤或2a ≥
(9)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线216y x =的准线交于A B 、两点,
||AB =C 的实轴长为
(A (B )(C )4
(D )8
(10)在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车
和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为
(A )2000元 (B )2200元
(C )2400元
(D )2800元
(11)已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点,2AB AC ==,60ABC ∠=?,且棱锥O ABC -
,则球O 的表面积为 (A )10π (B )24π (C )36π (D )48π
(12)已知函数32()f x x ax bx c =+++,2()32g x x ax b =++(a b c ,,是常数),若()f x 在(01),
上 单调递减,则下列结论中:①(0)(1)0f f ?≤;②(0)(1)0g g ?≥;③23a b -有最小值. 正确结论的个数为
(A )0
(B )1
(C )2
(D )3
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题-21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题、23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上). (13)已知函数2(31)32f x x x +=++,则(4)f =________.
(14)若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21
x 的系
数 .
(15)已知正项等比数列{}n a 满足:7652a a a =+,若存在两项m n a a ,
14a ,则
14
m n +
的最小值 .
(16)如图,利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线2
2
x y =与两直线2x =及0y =所围成的
阴
影部分的面积S .①利用计算机先产生N 组均匀随机数()(1,2,3)i i x y i N = ,, [][]0,20,2i i x y ∈∈,;②生成N 个点()i i x y ,,并统计满足条件2
2
i i x
y <
的点的个数1N ,已知某同学用计算机做模拟试验结果,当1000N =时, 1332N =,则据此可估计S 的值为__________.
三、解答题(本大题包括6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).
(17)(本小题满分12分)
如图,在平面四边形ABCD
中,2AB AD BC ===,120ABC ∠=?, 75DAB ∠=?.
(Ⅰ)设ABC △、ABD △的面积分别为12S S ,,求证:21S S >;
(Ⅱ)求BD 和DC 的长.
D
C
B
A
(18)(本小题满分12分)
在等腰Rt ABC △中,90BAC ∠=?,腰长为2,D 、E 分别是边AB 、BC 的中点,将BDE
△沿DE 翻折,得到四棱锥B ADEC -,且F 为棱BC
中点,BA = (Ⅰ)求证: EF ⊥平面BAC ;
(Ⅱ)在线段AD 上是否存在一点Q ,使得//AF 平面BEQ ?若存在,求二面角Q BE A
--的余弦值,若不存在,请说明理由.
B D
A
C
E
B
D
E
C
F
A Q
(19)(本小题满分12分)
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某
医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下数据资料:
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这6组(每个有序数对()x y ,叫作一组)数据中随机选取
2组作为检验数据,用剩下的4组数据求线性回归方程.
(Ⅰ)求选取的2组数据恰好来自相邻两个月的概率;
(Ⅱ)若选取的是1月和6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性回归方程;
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问(Ⅱ)中所得到的线性回归方程是否是理想的?
参考公式:
11
222
11
()()
?
()
?
?
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b
x x x nx
a y bx
==
==
?
---
?
?==
?
?--
?
?
=-
??
∑∑
∑∑.
(20)(本小题满分12分)
如图,设椭圆22
221x y a b
+=(0a b >>)的左、右焦点分别为12F F ,
,点D 在椭圆上,112DF F F ⊥
,
121||||F F DF =12DF F △
. (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在y 轴上的圆,使圆在x 轴的上方与椭圆
有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由. (21)(本小题满分12分)
函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ,其图象与x 轴交于1(0)A x ,
,2(0)B x ,两点,且12x x <. (Ⅰ)求a 的取值范围;
(Ⅱ)证明:0f '<(()f x '为()f x 的导函数).
(Ⅲ)设点C 在函数()f x 图象上,且ABC △
t =,求(1)(1)a t --的值.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程.
在平面直角坐标系中,椭圆C
的参数方程为2cos x y αα=???
??
,
,(α为参数),已知以坐标原点
为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系. (Ⅰ)把椭圆C 的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)设A B ,分别为椭圆C 上的两点,且OA OB ⊥,求
22
11
||||OA OB +的值.
(23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数()|3|||()
=-++∈R.
f x x x m x
(Ⅰ)当1
m=时,求不等式()6
f x≥的解集;
(Ⅱ)若不等式()5
f x≤的解集不是空集,求参数m的取值范围.
考试时间:120分钟 试卷满分:150分 命题人: 审题人:
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试结束后,将答题卡交回。 注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不得折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷(选择题60分)
一、选择题(本大题包括12个小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只.有一项...
是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). (1)已知{|12}{|3}U M x x N x x ==-=R ,≤≤,≤,则()U M N = e
(A ){|23}x x ≤≤
(B ){|23}x x <≤
(C ){|1x x -≤或23}x ≤≤ (D ){|1x x <-或23}x <≤
解析:(D ) (2)已知复数2i
1i
z +=
+,则复数z 在复平面内对应的点在 (A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限
解析:(D )
(3)在等差数列{}n a 中,15487a a a +==,,则5a =
(A )11
(B )10
(C )7
(D )3
解析:(B )
(4)平面向量a 与b 的夹角为60?,||2||1==,
a b ,则|2|+=a b
2016—2017学年下学期高三年级 数学第六次摸底考试数学(理科)试卷
“鹰隼三朝展羽翼 蛟龙一跃上九天”
(A
(B
) (C )4 (D )12
解析:(B )
(5)执行下列程序后,输出的i 的值是
(A )5
(B )4 (C )10 (D )11 解析:(D )
(6)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商
鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若 取3,其体积为12.6(单位:立方寸),则图中的x 为
(A )1.2 (B )1.6 (C )1.8
(D )2.4
解析:(B )
(7)2014年5月12日,国家统计局公布了《2013年农民工监测调查报告》,报告显示:我国农 民工收入持续快速增长.某地区农民工人均月收入增长率如图1,并将人均月收入绘制成
如
图2的不完整的条形统计图.
农民工人均月收入增长率统计图
农民工人均月收入统计图
i
=1
WHILE i <=10i =i +5
WEND PRINT i END
图1 图2
根据以上统计图来判断以下说法错误的是 (A )2013年农民工人均月收入的增长率是10% (B )2011年农民工人均月收入是2205元
(C )小明看了统计图后说:“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了” (D )2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高 解析:(C )
(8)函数()y f x =是R 上的偶函数,且在(0]-∞,
上为增函数.若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是 (A )2a ≤ (B )2a -≥ (C )22a -≤≤ (D )2a -≤或2a ≥
解析:(D )
(9)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线216y x =的准线交于A B 、两点,
||AB =C 的实轴长为
(A (B )(C )4
(D )8
解析:(C )
(10)在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车
和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为
(A )2000元 (B )2200元
(C )2400元
(D )2800元
解析:(B )
(11)已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点,2AB AC ==,60ABC ∠=?,且棱锥O ABC -
,则球O 的表面积为 (A )10π (B )24π (C )36π (D )48π 解析:(D )
(12)已知函数32()f x x ax bx c =+++,2()32g x x ax b =++(a b c ,,是常数),若()f x 在(01),
上单调递减,则下列结论中:
①(0)(1)0f f ?≤;②(0)(1)0g g ?≥;③23a b -有最小值.正确结论的个数为
(A )0
(B )1
(C )2
(D )3
解析:(C )由题意,得2()32f x x ax b '=++,若函数()f x 在(01),
上单调递减,则(0)0(1)0f f '??
'?
≤,
≤, 即0320b a b ??++?≤,≤,
所以(0)(1)(32)0g g b a b ?=++≥,故②正确;不妨设32()235f x x x x =--+,则(0)(1)5(1235)0f f ?=?--+>,故①错;画出不等式组
0320b a b ??
++?
≤,≤表示的平面区域,如图所示,令23z a b =-,则2133z b a =-,当33z
->-,即9z <时,抛物线2133
z
b a =-与直线230a b ++=有公共点,联立两个方程消去b 得
2690a a z ++-=,2(3)0z a =+≥,所以09z <≤;当33
z
--≤,即9z ≥时,抛物线与平面
区域必有公共点,综上所述,0z ≥,所以23z a b =-有最小值,故③正确,故选C .
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题-21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题、23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上). (13)已知函数2(31)32f x x x +=++,则(4)f =________. 解析:6.(4)(311)1326f f =?+=++=.
(14)若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21
x 的系
数 .
解析:56.因为26C C n n =,所以8n =.8181C ()r r r
r T x
x -+==828C r r x -,令822r -=-,解得5r =. 所以系数为5
8C 56=.
(14)已知正项等比数列{}n a 满足:7652a a a =+,若存在两项m n a a ,
14a ,则
14m n +
的最小值 .
解析:
32
. (16)如图,利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线2
2
x y =与两直线2x =及0y =所围成的
阴
影部分的面积S . ①利用计算机先产生N 组均匀随机数()(1,2,3)i i x y i N = ,, [][]0,20,2i i x y ∈∈,;②生成N 个点()i i x y ,,并统计满足条件2
2
i i x
y <
的点的个数1N ,已知某同学用计算机做模拟试验结果,当1000N =时, 1332N =,则据此可估计S 的值为__________.
解析:1.328
三、解答题(本大题包括6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). (17)(本小题满分12分)
如图,在平面四边形ABCD
中,2AB AD BC ===,120ABC ∠=?, 75DAB ∠=?.
(Ⅰ)设ABC △、ABD △的面积分别为12S S ,,求证:21S S >;
(Ⅱ)求BD 和DC 的长.
D
C
B
A
解析:
(Ⅰ)∵111sin1202322ABC S S BA BC ==
???=??=△;
又sin sin 75sin(4530)DAB ∠=?=?+?=,
∴211sin 752222ABD
S S AB AD ==???=??==+△
∴2110S S -=>,∴21S S >.
(Ⅱ)在DAB △
中,由余弦定理得BD
= ∴BD BA =,∴75DBA DAB ∠=∠=?,∴1207545DBC ∠=?-?=?, 在BDC △,由余弦定理得
DC
= 所求BD 和DC
(18)(本小题满分12分)
在等腰Rt ABC △中,90BAC ∠=?,腰长为2,D 、E 分别是边AB 、BC 的中点,将BDE
△沿DE 翻折,得到四棱锥B ADEC -,且F 为棱BC
中点,BA = (Ⅰ)求证: EF ⊥平面BAC ;
(Ⅱ)在线段AD 上是否存在一点Q ,使得//AF 平面BEQ ?若存在,求二面角Q BE A --的余弦值,若不存在,请说明理由.
B
D
A
C
E
B
D
E
C
F
A Q
解析:(Ⅰ)证明:取AB 中点H ,连结DH 、HF ,
因为在等腰Rt ABC △中,90BAC ∠=?,2AB AC ==,D 、E 分别是边AB 、BC 的中点, 所以1AD BD ==
,又因为翻折后AB =AD BD ⊥, 且ADB △为等腰直角三角形,所以DH AB ⊥,
因为翻折后DE AD ⊥,DE BD ⊥,且AD BD D = ,所以DE ⊥平面ADB ,因为DE AC ∥, 所以AC ⊥平面ADB ,所以AC DH ⊥,又AB AC A = ,所以D H ⊥平面ABC ,
又因为HF AC DE AC ∥,∥,且1
2H F A C D E ==,所以DEFH 是平行四边形,所以EF DH ∥,
所以EF ⊥平面ABC ;
(Ⅱ)以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.
则11
(010)(001)(100)(210)(1)22
A B E C F ,,,,,,,,,,,,,,,
设(00)(01)Q t t ,,≤≤,则(01)BQ t =- ,,,(10)EQ t =- ,,,11
(1)22AF =- ,,,
设平面BQE 的法向量为()x y z =,,n ,则由0BQ = ,n 且0EQ = n ,得00yt z x ty -=??-+=?
,
,
令1y =,则(1)t t =,
,n ,要使AF ∥平面BEQ ,则须11
022AF t t =-+= n , 所以13t =
,即线段AD 上存在一点1(00)3Q ,,,使得AF ∥平面BEQ ,此时11(1)33
=,,n , 设平面BAE 的一个法向量为111()x y z =,,m ,则由0AB = m ,且0AE = m ,得1111
00y z x y -+=??-=?,
,
令11y =,则(111)=,
,m
,所以11
1cos ++
??==,m n 因为二面角Q BE A --
即线段AD 上存在一点Q (点Q 是线段AD 上的靠近点D 的一个三等分点), 使得AF ∥平面BEQ ,此时二面角Q BE A --
E
z
(19)(本小题满分12分)
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某
医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下数据资料:
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这6组(每个有序数对()
x y
,叫作一组)数据中随机选取2组作为检验数据,用剩下的4组数据求线性回归方程.
(Ⅰ)求选取的2组数据恰好来自相邻两个月的概率;
(Ⅱ)若选取的是1月和6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程;
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问(Ⅱ)中所得到的线性回归方程是否是理想的?
参考公式:
11
222
11
()()
?
()
?
?
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b
x x x nx
a y bx
==
==
?
---
?
?==
?
?--
?
?
=-
??
∑∑
∑∑.
解析:(Ⅰ)设选取的2组数据恰好是相邻两个月为事件A,因为从6组数据中选取2组数据
共有15种情况,每种情况都是等可能出现的.
其中选取的2组数据恰好是相邻两个月的情况有5种. 所以
51
()
153
P A==.
(Ⅱ)由数据求得1124
x y
==
,.
由公式求得
18
?
7
b=,再由?
?a y bx
=-求得:
30
?
7
a=-.
所以y关于x的线性回归方程为 1830 77
y x
=-.
(Ⅲ)当10
x=时,
1501504
|22|2
777
y=-=<
,;当6
x=时,
78786
|12|2
777
y=-=<
,.
所以,该小组所得线性回归方程是理想的. (20)(本小题满分12分)
如图,设椭圆22
221x y a b
+=(0a b >>)的左、右焦点分别为12F F ,
,点D 在椭圆上,112DF F F ⊥
,
121||||F F DF =12DF F △
. (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在y 轴上的圆,使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个
交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由.
解析:(1)设1(0)F c -,
,2(0)F c ,,其中222c a b =-
,由121||||F F DF =
1||DF =,
从而1221121||||2DF F S DF F F =
?==△1c =.
从而1||DF =,由112DF F F ⊥得22221129
||||||2
DF DF F F =+=
,因此2||DF .
所以122||||a DF DF =+=
故222
1a b a c =-=.因此,所求椭圆的标准方程为2212
x y +=
.
(2)如图,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2
212
x y +=相交,111222()()P x y P x y ,
,,是两个交点,1200y y >>,,11F P ,22F P 是圆C 的切线,且11F P ⊥22F P 由圆和椭圆的对称性,易知
2112x x y y =-=,
1212||PP x =, 由(1)知12(10)(10)F F -,,,,所以11112211(1)(1)F P x y F P x y =+=-- ,,,
, 再由11F P ⊥22F P 得22
11(1)0x y -++=,
由椭圆方程得22111(1)2
x x -=+,即211340x x +=,解得14
3x =-或10x =.
当10x =时,12P P ,
重合,此时题设要求的圆不存在. 当14
3
x =-时,过12P P ,分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ,设0(0)C y ,
由111CP F P ⊥得1011111y y y x x -?=-+,而111|1|3y x =+=,故05
3y =, 圆C
的半径1CP =
, 综上,存在满足条件的圆,其方程为22532
()39
x y +-=.
(21)(本小题满分12分)
函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ,其图象与x 轴交于1(0)A x ,
,2(0)B x ,两点,且12x x <. (Ⅰ)求a 的取值范围;
(Ⅱ)证明:0f '<(()f x '为()f x 的导函数).
(Ⅲ)设点C 在函数()f x 图象上,且ABC △
t =,求(1)(1)a t --的值.
解析: 因为()e ()x f x ax a a =-+∈R ,所以'()e x f x a =-,若0a ≤,则'()0f x >,则函数()f x 是单调增函数,这与题设矛盾.所以0a >,令'()0f x =,则ln x a =,当'()0f x <时,ln x a <,()f x 单调递减,当'()0f x >时,ln x a >,()f x 是单调递增函数,于是当ln x a =时,()f x 取
得极小值.因为函数()f x 的图象与x 轴交于两点1212(0)(0)()A x B x x x <,
,,, 所以(ln )(2ln )0f a a a =-<,即2a e >,此时,存在1ln a <,(1)e 0f =>,存在3ln ln a a >,32(3ln )30f a a a a >-+>,又由()f x 在(ln )a -∞,
及(ln )a +∞,上的单调性及曲线在R 上不间断,可知2e a >为所求取值范围.
(Ⅱ) 1212e 0
e 0
x
x ax a ax a ?-+=??-+=??,∴两式相减得2121e e x x a x x -=-.记212x x s -=(0s >),
则12
1221
2
12
2
21e e e
(
)e [2(e e )]2
2x x x x x x s s x x f s x x s
++-+-'=-
=---,
设()2(e e )s s g s s -=--则'()2(e e )0s s g s -=-+<,∴()g s 是单调减函数,
则有()(0)0g s g <=,而
122
e
02x x s
+>,∴12
(
)02
x x f +'<. 又()e x f x a '=-
是单调增函数,且
12
2
x x +>
∴0f '<. (Ⅲ)依题意有e 0i x i ax a -+=,则(1)e 01(12)i x i i a x x i -=>>=,,.
于是122
e
x x +=,在等腰三角形ABC ,显然90C =?,所以12
012()2
x x x x x +=
∈,,
即00()0y f x =<,由直角三角形斜边的中线性质,可知2102x x y -=-,所以21002x x
y -+=,即
12
212
12e
()022x x a x x x x a +--+++=
,所以2112()022
a x x
x x a -+++=
,即2112(1)(1)[(1)(1)]022
a x x x x ----+-+=,因为110x -≠
,则
22111
1
11
(1)0212x a x x x ----++=-
t ,所以221(1)(1)022a at t t -++-=,即2
11
a t =+
-,所以(1)(1)2a t --=. 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程.
在平面直角坐标系中,椭圆C
的参数方程为2cos x y αα=?????
,
,(α为参数),已知以坐标原点
为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系. (Ⅰ)把椭圆C 的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)设A B ,分别为椭圆C 上的两点,且OA OB ⊥,求
22
11
||||OA OB +的值. 解析:(Ⅰ)∵椭圆C
的参数方程为2cos x y αα=???
=??
,
,(α为参数),
∴椭圆C 的普通方程为22143x y +=,∴22
(cos )(sin )143ρθρθ+=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得2221cos sin 43θθρ=+,可设11()A ρθ,,21()2
B π
ρθ+,,
∴222
2
1111222212cos ()sin ()
cos sin 111122||||4343
OA OB ππ
θθθθρρ+++=+=+++
22221111cos sin sin cos 4343θθθθ=+++1173412
=+=.
∴
22
11||||OA OB +的值是7
12
. (23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数()()3f x x x m x =-++∈R .
(Ⅰ)当1m =时,求不等式()6f x ≥的解集;
(Ⅱ)若不等式()5f x ≤的解集不是空集,求参数m 的取值范围. 解析:(Ⅰ)解: {|24}x x x -≤或≥
(Ⅱ)|3||||(3)()||3|x x m x x m m -++--+=+≥,所以min ()|3|f x m =+ 所以|3|5m +≤解得{|82}m m -≤≤.
2021届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题
绝密★启用前 数学试卷 学校:___________ 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一. 填空题 1. 已知集合{1,3,}A m =,{1,}B m =,A B A =,则非零实数m = 2. 不等式2log (21)1x -<的解集为 3. 已知sin( )2 m π α+=,则cos(2)πα-= 4. 若满足约束条件10 040 x x y x y -≥?? -≤??+-≤? ,则y x 的最大值为 5. 已知1()y f x -=是函数3()f x x a =+的反函数,且1(2)1f -=,则实数a = 6. 在△ABC 中,角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ,已知23a =,2c =,sin sin 0 020cos 01 C B b c A -=, 则△ABC 的面积为 7. 已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a += 8. 在平面直角坐标系O 中,O 为原点,(1,0)A -,(0,3)B ,(3,0)C ,动点D 满足,则|| OA OB OD ++的最大值为 9. 我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I 专业组,并顺利通过各项考核,已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类、物理学类、力学类这三个专业中的某一个专业,则这三个专业都有我校学生的概率是 (结果用最简分数表示) 10. 设(,)n n n P x y 是直线2()1n x y n n += ∈+*N 与圆222x y +=在第四象限的交点,则极限1lim 1n n n y x →∞+=- 11. 设1x 、2x 分别是函数()x f x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点(其中1a >),则122020x x +的取值范围是 12. 已知12a =,点1(,)n n a a +在函数2 ()2f x x x =+的图像上()n ∈*N ,112 n n n b a a = ++,则数列{}n b 的前n 项和n S = 二. 选择题 13. 设复数z 满足3 (2i)12i z +?=-,则复数z 对应的点位于复平面内( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
高三数学12月摸底考试试题理
山东省桓台第二中学2017届高三数学12月摸底考试试题 理 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共2页。满分150分,考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。 第Ⅰ卷(选择题 共50分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知R 是实数集,2 {| 1},{|1}M x N y y x x ===-<,则R N C M ?=( ) A.(1,2) B. [0,2] C.? D. [1,2] 2.设i 为虚数单位,复数3i z i -=,则z 的共轭复数z =( ) A.13i -- B. 13i - C. 13i -+ D. 13i + 3.已知平面向量,a b ,1,2,25a b a b ==-=,则向量,a b 的夹角为( ) A. 6 π B. 3π C. 4 π D. 2 π 4.下列命题中,真命题是( ) A. 2 ,2x x R x ?∈> B. ,0x x R e ?∈< C. 若,a b c d >>,则 a c b d ->- D. 22ac bc <是a b <的充分不必要条件 5.已知实数,x y 满足401010x y y x +-≤?? -≥??-≥? ,则22(1)z x y =-+的最大值是( ) A .1 B .9 C .2 D .11 6.将函数sin 26y x π?? =- ?? ? 图象向左平移 4 π 个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是( ) A. 12 x π =- B. 12 x π = C. 6 x π = D. 3 x π = 7.函数()01x y a a a a = ->≠且的定义域和值域都是[]0,1,则548 log log 65 a a += ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.已知函数()()2,14x f x ax e f '=--=-,则函数()y f x =的零点所在的区间是( ) A. ()3,2-- B. ()1,0- C. ()0,1 D. ()4,5
高三数学下期中试题(附答案)(5)
高三数学下期中试题(附答案)(5) 一、选择题 1.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+,12a =,则2a =( ) A .2 B .-4 C .2或-4 D .4 2.等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么{}n a 的前7项和7S =( ) A .22 B .24 C .26 D .28 3.正项等比数列 中,的等比中项为 ,令 ,则 ( ) A .6 B .16 C .32 D .64 4.ABC ?中有:①若A B >,则sin sin A>B ;②若22sin A sin B =,则ABC ?—定为等腰三角形;③若cos acosB b A c -=,则ABC ?—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有( ) A .0 B .1 C .2 D .3 5.在ABC ?中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且()cos 4cos a B c b A =-,则 cos2A =( ) A .78 B . 18 C .78 - D .18 - 6.设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥?? +-≥??--≤? 则2z x y =+的最大值为( ) A .2 B .3 C .12 D .13 7.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=,则 313233310log log log log a a a a +++???+=( ) A .10 B .12 C .31log 5+ D .32log 5+ 8.已知等比数列{}n a 中,11a =,356a a +=,则57a a +=( ) A .12 B .10 C .2 D .629.中华人民共和国国歌有84个字,37小节,奏唱需要46秒,某校周一举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15?的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60?和30°,第一排和最后一排的距离为2部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为(米/秒)
初二下册期中考试数学试卷及答案(最新)
第二学期期中阶段测试 初二数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)第Ⅲ卷附加题三部分,其中第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷共100分,第Ⅲ卷20分,考试时间100分钟。 第Ⅰ卷(共30分) 一、选择题:(本大题共10小题,每小题3分,共30分. 在每小题的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的). 1.下列各式中,运算正确的是( ). A .3333-= B .822= C .2+323=D .2(2)2-=- 2.下列二次根式中,是最简二次根式的是(). A .15 B .12 C .1 3 D .9 3.下列各组数中,以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是( ). A .1,2,3B .3,4,5C .5,12,13D .2,2,31. 4.如图,矩形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于O 点. 若∠AOB=60°,AC =8,则AB 的长为( ). A .4 B .43 C .3 D .5 5.如图,点A 是直线l 外一点,在l 上取两点B 、C ,分别以A 、C 为圆心,BC 、AB 长为半 径画弧,两弧交于点D ,分别连接AB 、AD 、CD ,则四边形ABCD 一定是( ). A .平行四边形 B .矩形 C .菱形 D .正方形 6.用配方法解方程2 230x x --=,原方程应变形为( ). A .2(1)2x -= B .2(1)4x += C .2 (1)4x -= D .2(1)2x += 7.如图,在平行四边形ABCD 中,∠BAD 的平分线交BC 于点E ,∠ABC 的平分线交AD 于点F , 若BF =12,AB =10, 则AE 的长为( ). A .13 B .14 C .15 D .16 8.下列命题中,正确的是(). A .有一组邻边相等的四边形是菱形 B .对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C .两组邻角相等的四边形是平行四边形 D .对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 9.如图,一根木棍斜靠在与地面(OM )垂直的墙(ON )上,设木棍中点为P ,若木棍A 端沿 墙下滑,且B 沿地面向右滑行. 在此滑动过程中,点P 到点O 的距离( ). A .不变B .变小 C .变大 D .无法判断
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赣州市2020年高三年级摸底考试理科数学参考答案 一、选择题 1~5.BAACB ;6~10.ADBDC ;11~12.AB . 提示:9.令1ln y x =,2y ax =,(0,)x ∈+∞显然在 (0,1)x ∈函数没有三各公共点,故1ln ln y x x ==, 111y a x x a '= =?=,所以21y =,故切点为1(,1)a ,代入1ln y x =得1e a =,1ln 42ln 2y ==,函数过点(4,2ln 2),2ln 2ln 242a ==,故范围为ln 21(,)2e .10.解法一:不妨设(2,0)a = ,(,)b x y = ,则由()3b b a ?-= 得22(1)4x y -+=,22(2)a b x y -=-+ 表示圆22(1)4x y -+=上的点到(2,0)的距离,故max 3a b -= .解法二:由()3b b a ?-= 得23a b b ?=- ,2a = , 222222242(3)10a b a b a b b b b -=+-?=+--=- ,要a b - 最大,必须2b 最小,而2cos 30b a b θ-?-= ,即22cos 30b b θ--= ,解得2cos cos 3b θθ=++ , min 121(cos 1)b θ=-+==- ,所以max 3a b -= .11三角形1F MN 为直角三角形,故它的内切圆半径 1112MF MN NF MF MN NF r +-+-==1212MF MN MN MF MF MF a b +---====,故离心力2e =12.①(2)sin()sin ()2x f x x f x π-=-=-,所以成立;④(2)sin sin ()2 x f x x f x π+=-=,故该函数为周期函数;②由④得,所以2π是()f x 的一个周期,不妨设02x π≤≤,则 2()2sin cos 22x x f x =221cos cos 22x x ??=- ?? ?,令2cos [1,1]t x =∈-,令()g t ()32t t =-,
新高考高三上学期期中考试数学试题(附参考答案及评分标准)
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期中考试数学试题 同学们,轻松的心情会战胜一切困难。愿你放开手脚,大步朝前,迎难而上。加油哟! 一、你还记得吗?填填看。(每空2分,共26分) 1、把5米长的铁丝,平均分成6份,每份是_________米,占 全长的_________。 2、若3x-2=4,则x=__________。 3、方程 81 x5 =x+1的解为_________。 4、适合方程2x+3y=5的一个整数解为__________。 5、若x2=25,则x=__________。 6、(-1)2011=__________。 7、X2-0.81=__________。 8、2280000写成科学计数法______________。 9、48路公共汽车起点站每5分钟发一趟车,1小时要发出 _________辆公共汽车。 10、若-5X=60,则X=__________。 11、某人想泡茶喝,已知他洗水壶1分钟,洗茶壶1分钟,洗
茶杯1分钟,烧开水15分钟,买茶叶10分钟,请问这个人 最快要_________分钟才可以喝到茶水。(提示:此题属于“统 筹方法”,它是我国著名的数学家华罗庚先生提出的。) 12、5001080001读作__________________________________ 二、脑筋转转转,答案全发现。(把正确答案前的字母填在括号里。每题3分,共15分。) 13、下列说法正确的是( )。 A 、3是9的倍数。 B 、4是10的约数。 C 、1是质数。 D 、15是合数。 14、982+4×98+4的值是( )。 A 、10000 B 、1000 C 、100000 D 、9000 15、已知3月1日是星期一,那么5月10日是星期几?( ) A 、星期一 B 、星期二 C 、星期三 D 、星期六 16、下列方程是一元一次方程的是( )。 A 、x+y=2 B 、x 2+1=3 C 、3-x 1=2 D 、x=2 17、已知一道选择题有A 、B 、C 、D 4个选择答案,请问小明 瞎猜做对的可能性是( )。(此题属于“概率”问题,概率 是指一个事件发生可能性的大小,它的值在0和1之间,包括 0和1。) A 、21 B 、31 C 、41 D 、0 三、大胆猜猜看,奇迹会出现。(对的打“√”,错的打“×”,每
2020届高三数学摸底考试试题 文
2019届高三摸底考试 数 学(文科) 得分:______________ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共8页。时量120分钟。满分150分。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集U =R ,集合M ={x |-4≤x -1≤4}和N ={x |x =2k -1,k =1,2,…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 A .2个 B .3个 C .1个 D .无穷多个 2.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α在 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.设i 为虚数单位,m ∈R ,“复数z =(m 2 -1)+(m -1)i 是纯虚数”是“m =±1”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件 4.已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的离心率为3,则其渐近线的方程为 A .22y ±x =0 B .22x ±y =0 C .8x ±y =0 D .x ±8y =0 5.下列函数的最小正周期为π的是 A .y =cos 2 x B .y =|sin x 2| C .y =sin x D .y =tan x 2 6.如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形,则该几何体的体积为
A.33 B.32 C. 23 3 D. 3 7.已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )+g (x )=a x -a -x +2 (a >0,a ≠1),若g (2)=a ,则f (2)= A .2 B.154 C.174 D .a 2 8.已知向量m =(λ+1,1),n =(λ+2,2),若(m +n )⊥(m -n ),则λ= A .-4 B .-3 C .-2 D .-1 9.已知某程序框图如图所示,当输入的x 的值为5时,输出的y 的值恰好是1 3,则在空 白的赋值框处应填入的关系式可以是 A .y =x 3 B .y =13x C .y =3x D .y =3-x 10.设x ,y 满足约束条件???? ?3x -y -6≤0x -y +2≥0x ≥0,y ≥0,若目标函数z =ax +by (a >0,b >0)的最大值 为12,则2a +3 b 的最小值为 A .4 B.83 C.113 D.25 6 11.过点P ()-1,1作圆C :()x -t 2 +()y -t +22 =1()t ∈R 的切线,切点分别为A 、 B ,则PA →·PB → 的最小值为 A. 103 B.403 C.21 4 D .22-3 12.已知函数f ()x = ln x +() x -b 2 x (b ∈R ).若存在x ∈???? ??12,2,使得f (x )>- x ·f ′(x ),则实数b 的取值范围是
高三期中考试数学试卷分析
高三期中考试数学试卷分析 一.命题指导思想 高三期中考试数学试卷以《普通高中数学课程标准(实验)》、《考试大纲》及《考试说明》为依据, 立足现行高中数学教材,结合当前高中数学教学实际,注重考查考生的数学基础知识、基本技能和基本思想方法,按照“考查基础知识的同时,注重考查能力”的原则,确立“以能力立意”的命题指导思想;同时,由于期中考试是一轮复习起始阶段的一次阶段性考试,试题也适当地突出了基础知识的考查。二.试卷结构 全卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷共12个选择题,全部为必考内容,每题5分,满分60分.第Ⅱ卷为非选择题,分为必考和选考两部分,必考部分由4个填空题和5解答题组成,其中填空题每题5分,满分20分;解答题为17-21题,每题12分。选考部分是三选一的选做题,10分,第Ⅱ卷满分90分。 从试卷的考查范围来看,文理科试卷均考查了集合与简易逻辑、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、数列等内容。突出了阶段性考试的特点。 三.试卷特点
1.重视考查“三基” 高三数学一轮复习以基本知识、基本方法的复习为重点,并通过基本知识、基本方法的复习形成基本技能。鉴于此,此次考试重视基础知识、基本方法、基本技能方面的考查. 试卷中多数题目属于常规试题,起点低、入手容易,如理科的1、2、3、4、7、13题分别对等差数列、集合、向量的坐标运算、三角运算、对数运算、定积分等基本概念和基本运算进行了考查. 另外,第9题、17题、18题、19题分别考查等比数列、等差数列与数列求和、三角函数的图像与性质、导数的简单应用。仍属于考查“三基”的范畴,但有一定深度,体现了《考试说明》“对数学基本知识的考查达到必要的深度”的要求。 2.注重知识交汇 《考试说明》指出:“要从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题,在知识网络交汇点处设计试题”。根据这一原则,试卷注重在知识交汇点处设计试题。如理科第5题将等比数列的性质与函数的极值相结合,第8题将三角函数的图像、周期与向量的模相结合,第14题将函数的极值与向量的夹角相结合,第16题将函数的奇偶性与导数相结合,第17题将数列与不等式相结合,第20题将数列、解三角形、向量的夹角与投影等相结合。 3.突出主干内容
2020年初三下期中考试数学试题及答案
初三数学第1页 共22页 初三数学第2页 共22页 一、选择题(每题3分,共30分) 1.下列函数是二次函数的是( ) A .12+=x y B .22 1y x =- + C .22+=x y D .22 1-=x y 2.已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图像如图所示,下 列说法错误的是( ) A .图像关于直线x=1对称 B .函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的最小值是-4 C .-1和3是方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根 D .当x <1时,y 随x 的增大而增大 3.已知二次函数y=x 2 -3x+m (m 为常数)的图像与x 轴的 一个交点为(1,0),则关于x 的一元二次方程x 2 -3x+m=0的两实数根是( ) A .x 1=1,x 2=-1 B .x 1=1,x 2=2 C .x 1=1, x 2=0 D .x 1=1,x 2=3 4.如图,在⊙O 中,OC ⊥弦AB 于点C ,AB=4,OC=1, 则OB 的长是( ) A . 3 B .5 C . 15 D . 17 5.如图,□ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙O 上,顶点C 在⊙O 的直径BE 上,∠ADC=70°,连接AE ,则∠AEB 的度数为( ) A .26° B .24° C .25° D .20° 6.在直角坐标系中,⊙P 、⊙Q 的位置如图所示.下列 四个点中,在⊙P 外部且在⊙Q 内部的是( ) A .(1,2) B .(2,1) C .(2,-1) D .(3,1) 7.已知⊙O 的半径为5,圆心O 到直线l 的距离为3, 则反映直线l 与⊙O 的位置关系的图形是( ) 8.用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝 角”时,假设正确的是( ) A .假设三个外角都是锐角 B .假设至少有 一个钝角 C .假设三个外角都是钝角 D .假设三个外角中只有一个钝角 9.如图,AB 是⊙O 的直径,C 、D 是⊙O 上的点,∠
2021年高三第一次摸底考试数学试题 Word版含答案
2021年高三第一次摸底考试数学试题 Word 版含答案 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。 1、若}1log |{},822|{2>∈=≤≤∈=x R x B Z x A x ,则=__________。 2、设,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是_______________。 3、已知复数,,那=______________。 4、若角的终边落在射线上,则=____________。 5、在数列中,若,,,则该数列的通项为 。 6、甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,他们分别射击了5次,成绩如下表 (单位:环) 如果甲、乙两人中只有1人入选,则入选的最佳人选应是 。 7、在闭区间 [-1,1]上任取两个实数,则它们的和不大于1的概率是 。 8、已知对称中心为原点的双曲线与椭圆有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的标准方程为___________________。 9、阅读下列程序: Read S1 For I from 1 to 5 step 2 SS+I Print S End for End 输出的结果是 。 10、给出下列四个命题,其中不正确命题的序号是 。 ①若;②函数的图象关于x=对称;③函数为偶函数,④函数是周期函数,且周期为2。 11、若函数在上是增函数,则的取值范围是____________。 12、设,则的最大值是_________________。 13、棱长为1的正方体中,若E 、G 分别为、的中点,F 是正方 形的中心,则空间四边形BGEF 在正方体的六个面内射影的面积的最大值为 。 14、已知平面上的向量、满足,,设向量,则的最小值是 。 二、解答题:本大题共6小题,共90分。请在答题卡指定区域....... 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。