【数学】浙江省杭州市杭州地区七校联考2017届高三试题

浙江省杭州市杭州地区七校联考2017届高三试题

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。

一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知全集R U =，{}22≤≤-=x x M ，{

}1<=x x N ，那么M N ?=（ ▲ ） A ．{}12<≤-x x B ．{}12<<-x x C ．{}2-

}2≤x x 2、函数()3

cos 12f x x x π??

=+-+

???

，若()2f a =, 则()f a -的值为（ ▲ ） A.3 B.0 C.1- D.2- 3、在ABC ?中，“3

A π

>

”是“3

sin A >

”的（ ▲ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、若函数()(01)x

x

f x ka a a a -=->≠且在R 上既是奇函数又是增函数，

则函数()()log a g x x k =+的图像是（ ▲ ）

5、已知函数4sin(2)6y x π

=+

，70,6x π??

∈????

的图像与直线y m =有三个交点，其横坐标分别为123,,x x x ()123x x x <<，那么1232x x x ++的值是（ ▲ ） A.

34π B. 43π C. 53π D. 32

π

6、在ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且()cos2cos cos 1B B C A ++-=, 则（ ▲ ）

A. ,,a b c 成等比数列

B. ,,a b c 成等差数列

C. ,,a c b 成等比数列

D. ,,a c b 成等差数列

7、已知点A B C 、、为直线l 上不同的三点，点O l ?，实数x 满足关系式

2

20x OA xOB OC ++=u u u r u u u r u u u r

，则下列结论中正确的个数有（ ▲ ）

①.20OB OA OC -?≥u u u r u u u r u u u r ②. 20OB OA OC -?

③.x 的值有且只有一个

④. x 的值有两个 ⑤.点B 是线段AC 的中点 A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

8、记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式222

12n n

S a ma n

+≥对任意等差数列{}n a 及任意正

整数n 都成立，则实数m 的最大值为（ ▲ ） A. 12 B. 13 C. 1

4

D.15

二. 填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题5分，共38分。

9

、计算：2

log 2

=▲ ，24log 3log 32+=▲．

10、记公差d 不为0的等差数列}{n a 的前n 项和为3358,9,,,n S S a a a =成等比数列， 则公差d =▲ ；数列}{n a 的前n 项和为n S =▲ ；

11、

已知点A ，O 为坐标原点，点(,)P x y

满足0

200y x y ?-≤??

-+≥??≥??

,

则满足条件点P 所形成的平面区域的面积为▲,

则OP uuu r 在OA uu u r

方向上的投影的最大值是▲。

12、已知函数)1(+x f 是偶函数,且满足()()

1

1f x f x +=

，当2121x x ≥>≥时，0))](()([1212>--x x x f x f 恒成立，设(2016)a f =-，(2015)b f =，()c f π=，

则a ，b ，c 的大小关系为▲。

13、设ABC ?的三个内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，三角形的面积为S ，

若2

2)(c b a S --=，则

A

A

cos 1sin -=▲。

14、在等腰梯形ABCD 中，已知AB 平行CD ，2,1,60AB BC ABC ==∠=o

,

动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,9BE BC DF DC λλ

==u u u r u u u r u u u r u u u r

,

则AE AF ?u u u r u u u r

的最小值为▲。

15、已知函数()f x 定义域为R ，若存在常数M ，使()||||f x M x ≤对一切实数均成立，

则称()f x 为0F 函数，给出下列函数：

①()0f x =；②()2

f x x =；③()sin cos f x x x =+；④()2

1

x

f x x x =

++； ⑤()f x 是定义域在R 上的奇函数，且满足对一切实数均有()()1212||||f x f x x x -≤-。 其中是0

F 函数的序号为▲ 。（少选或多选一律不给分）

三. 解答题：本大题共5题，共73分。解答应写出相应文字说明，证明过程或演算步骤。 16、（本题满分14分）

在 ABC ?中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且sin sin cos ,,

sin sin cos B C B

A A A

成等差数列 (I)、求角A 的值；

(II)、若5a b c =+=时，求ABC ?的面积。

17、（本题满分14分）

已知向量()()

sin cos ,sin ,sin cos a x x x b x x x ωωωωωω=-=+r r

，设函数

()f x a b λ=?+r r 的图像关于直线x π=对称，其中,ωλ为常数，且1,12ω??

∈ ???

。

(I)、求函数()f x 的最小正周期及单调减区间；

(II)、若()y f x =的图像经过点,05π??

???，若集合()3,0,5A x f x t x π????==∈???????

?仅有一个元素，求实数t 的取值范围。

18、（本题满分14分）

在平行四边形ABCD 中，,M N 分别是线段,AB BC 的中点，且1,2,DM DN ==

3

MDN π

∠=

;

(I)、试用向量,AB AD u u u r u u u r 表示向量,DM DN u u u u r u u u r

;

(II)、求,AB AD u u u r u u u r

；

(III)、设O 为ADM ?的重心（三角形三条中线的交点），若AO x AD y AM =+u u u r u u u r u u u u r

，

求,x y 的值。

19、（本题满分15分）

已知等比数列{}n a 的公比为q ()01q <<，且253491

,88

a a a a +==． （I ）、求数列{}n a 的通项公式；

（II ）、若()2log n n n b a a =?，求n b 的前n 项和n T ；

（III ）、设该等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，正整数,m n 满足

11

2

n n S m S m +-<-，

求出所有符合条件的,m n 的值．

20、（本题满分15分）

已知函数()2

1,442,x x a

x ax x a

f x x a -?-+≥?=?-?

（I ）、若x a <时，()1f x <恒成立，求实数a 的取值范围；

（II ）、若4a ≥-时，函数()f x 在实数集R 上有最小值，求实数a 的取值范围。

参考答案

一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

二. 填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题5分，共38分。 9、 第一问

2

，第二问，每空3分 10、 第一问1，第二问232

n n

+，每空3分

11、 3分 12、 b a c <<（或者a c b >>） 13、 4 14、

2918

15、 ①④⑤（多选或少选都不给分）

三. 解答题：本大题共5题，共73分。解答应写出相应文字说明，证明过程或演算步骤。 16、（本题满分14分） （I ）、由

sin sin cos ,,sin sin cos B C B A A A 成等差数列知sin cos sin 2

sin cos sin B B C

A A A

+= 法1sin cos cos sin 2sin cos sin()sin 2sin cos B A B A C A B A C C A ?+=?+== 所以1cos 23

A A π

=

?=------------------------------------------------------------------------------6分 法2222

2222222

2222

222122a c b b c a c b ac b c b c a bc b c

a a a

b

c a bc

+-??+-?+=?+=?+-= ?+-+-?? 所以1cos 23

A A π

=

?=------------------------------------------------------------------------------6分 (II)、由余弦定理知()2

2

2

2

3a b c bc b c bc =+-=+-------------------------------------------8分 代入5a b c =+=得5bc =-------------------------------------------------------------------11分 所以1sin 24

S bc A ==-----------------------------------------------------------------------14分

17、（本题满分14分）

()()(

)sin cos sin cos cos f x a b x x x x x x λωωωωωωλ

=?+=-+++r

r

2cos 22sin 26x x x πωωλωλ?

?=-+=-+ ??

?------------------------------------------2分

由()f x 的图像关于直线x π=对称知

1112,1,6

2322k k k Z π

π

ωππω????

-

=

+?=+∈∈ ? ?????

,所以56ω=----------------------------4分 （I ）、所以()5

2sin 36f x x πλ??=-+

???

，其最小正周期26553

T ππ==

---------------------6分 单调减区间为266,,555k k k Z ππ

ππ??++∈?

???

(不用区间或集合表示扣1分) --------------8分 （I I ）、()y f x =的图像经过点,05π??

???

得2sin 0156f ππλλ??

=+=?=- ???

--------10分

数形结合知实数t 的取值范围为1t =或20t -≤<---------------------------------------------14分

18、（本题满分14分）

（I ）、11,22DM AB AD DN AB AD =-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

---------------------------------------------------4分

(II)、由（I ）知2442,3333

AD DN DM AB DN DM =-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r

-----------------------------6分

所以4,3AD AB ====u u u r u u u r 分

(III)、由重心性质知：0AO DO MO ++=u u u u r r

所以 ()()

()()()01xAD y AM OA x AO DO y AO MO AO

x y AO x DO y MO

=+-=-+--=+-+-+-r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r

所以()()()1

1::1:1:13

x y x y x y +---=?==--------------------------------------------14分

19、（本题满分15分）

（I ）、数列{}n a 的通项公式为2

12n n a -??

= ?

??

------------------------------------------------------4分

（II ）、()()22

2log 2

n n n n n b a a --=?=错位相减法得

2

2

n n n T -=

---------------------------9分

（III ）、1412n n S ??

=-

??

?

，由()1122462n n n S m m S m +-

所以有12

222423

4241n n n n m m m m ==??==??∨?∨????

==-=-=????---------------------------------------15分 （采用特殊值求出答案最多给2分，即每组答案1分）

20.（本小题满分15分）

解: （1）因为a x <时,a

x x x f -?-=244)(，所以令t x =2,则有a t 20<<,

所以1)(

42

t ， 即

t t a

12

4->在)2,0(a

t ∈上恒成立, -------------------------------------------------------------2分. 令)2,0(,1)(a t t

t t g ∈-=,所以t

t t g 1)(-=在)2,0(a

上单调递增, ------------------------3分.

所以a a a g t g 212)2()(-

=<,所以有: a a

a 2

1224-≥. a

a

22

5≥?

5)2(2≤?a 52≤?a ----------------------------------------------------------4分. 5log 2≤?a .--------------------------------------------------------------------------------------5分.

（2）当a x ≥时，1)(2

+-=ax x x f ，即4

1)2()(2

2a a x x f -+-=

①当

02

≥?≤a a a

时，此时对称轴在区间左侧,开口向上,所以)(x f 在),[+∞a 单调递增, 所以1)()(min ==a f x f ；-------------------------------------------------------------------------6分. ②当

042<≤-?>a a a 时, 此时对称轴在区间内,开口向上,所以)(x f 在)2

,[a

a 递减, 在),2

(+∞a

单调递增,所以41)2()(2min a a f x f -==.---------------------------------------7分.

所以由①②可得: 当a x ≥时有:???

??≥<≤--=0,

104,41)(2

min

a a a x f .-------------------------8分.

当a x <时，a x x x f -?-=244)(,令t x =2,)2,0(a

t ∈，

则a a a t t t t h 4

4)22(24)(22--=-=, ③当212222202>?>?<<

a a

a a 时，)(t h 在)22,0(a 递减，在)2,22(a a

上递增 a

a h t h 44

)22(

)(min -

==；-----------------------------------------------------------------------9分. ④当

212222

22≤?≤?≥a a

a a

时，)(t h 在)2,0(a 递减, )0,44())0(),2(()(-=∈a a h h t h

所以,此时, )(t h 在)2,0(a

上无最小值; -----------------------------------------------------------10分.

所以由③④可得当a x <时有:当21>a 时, a t h x f 4

4)()(min min -==; 当2

1

≤a 时,无最小值.----------------- ------------------------11分. 所以,由①②③④可得: 当21>

a 时，因为144<-a ,所以函数a x f 4

4

)(min -=;-------------------------------------12分. 当2

1

0≤

≤a 时， 因为1044<<-a ，函数)(x f 无最小值; -----------------------------13分. 当04<≤-a 时，4

13442

a a

-≤-<-，函数)(x f 无最小值.--------- ----------------14分.

综上，当21>

a 时，函数)(x f 有最小值为a 4

4-；当21

4≤≤-a 时，函数)(x f 无最小值． 所以函数)(x f 在实数集R 上有最小值时，实数a 的取值范围为),2

1

(+∞.--------------15分.