(完整版)华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总

2000年华南师范大学数学分析

一、填空题（3*10=30分） 1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4

sin )1(===+-=∞→∞→n n n n n

n a a n n a 则Λπ

；

2.设处连续；

在则为无理数为有理数

____)(, , ,)(=∈?

?

?-=x x f R x x x x x x f 3._____;1lim 1

0=+?∞→dx x

x n n

4._________;)cos (sin lim 10

=+→x

x x x

5.方程)(032

为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根； 6._______;

__________),1()(1122=>+=

++?n n n n I I n n a x dx

I 的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cos sin 0

==

?

+du t f dt t f y x u y

x 是可微函数，则

8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________;

9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2

=x 10.曲线π20,sin ,cos 3

3

≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________.

二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞

→存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或

最小值.

三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(2

2

2

y

z

yf z y x =++所确定，其中f 是可微函数，试证：

xz y

z xy x z z y x 22)

(222=??+??--.

四、（12分）求极限：)22211(

lim 222n

n n

n n n n n ++++++++∞

→Λ.

五、（12分）已知a,b 为实数，且1

a

b b a ln ln )1(1+>+）（.

六、(12分)计算曲面积分：.3

2dxdy z dzdx y xdydz I S

++=??

其中S 是球面1222=++z y x 的外侧.

七、(10分)设0)(≥x u n ,在[a,b]上连续，n=1,2,…,

∑∞

=1

)(n n

x u

在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证

明：∑∞

=1

)(n n

x u

在[a,b]上一致收敛于f(x).

一、(12分)求极限).)

12)(12(1531311(

lim +-++?+?∞

→n n n Λ 二、(12分)设{}.,11,11:),(2dxdy x y y x y x D D

??

-≤≤-≤≤-=求积分

三、(12分)证明

∑∞

=+13

31n x

n nx

在[a,b]上一致收敛(其中，0

=+1

3

31n x n nx

在(0,+∞)上连续.

四、(12分)求第二型曲线积分dy x dx y L 333

132+-?，其中，12:2

2=+y x L ，取逆时针方向。

五、(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果)(lim x f a

x +→和)(lim x f x +∞

→都存在(有限)，

那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反

例。

六、(15分)设

dx y x f a

?

+∞

),(关于],[d c y ∈一致收敛，而且，对于每个固定的],[d c y ∈，f(x,y)

关于x 在[a,+∞)上单调减少。求证：当+∞→x 时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于],[d c y ∈一致地收敛于0.

1.(12分)设,,2,1,)11(Λ=+=n n

a n

n 证明数列{}n a 严格单调增加且收敛。

2.(12分)求函数?????=≠=0

,00

,1sin )(2

x x x

x x f 的导函数，并讨论导函数的连续性。

3.(12分)求幂级数n n n n x n )21

(])1(2[1

--+∑∞

=的收敛半径和收敛域。

4.(12分)求函数??

?<≤<≤-=ππx x x f 0

,00

,1)(的Fourier 级数，并由此求数列级数：

ΛΛ++-+++-1

21

)1(51311n n 的和。

5.(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0

b a b f f ln ln )

)(()(--'='ηξξ。

6.(15分))(0M B r 是以),,(0000z y x M =为心，r 为半径的球，)(0M B r ?是以M 0为心，r 为半径的球面，f(x,y,z)在R 3上连续，证明：

dS z y x f dxdydz z y x f dr d

M B M B r r ??????=)

()

(00),,(),,(

一、计算题（4*8=32分）

1.求x x

x x 30sin cos )cos(sin lim -→. 2.求dx x ?3sec .

3.求2222)0,0(),(lim y x y x y x +→.

4.求?

+-L y

x ydx

xdy 224.其中10,)1(222≠<=-+R R y x L ：,取逆时针方向。

二、证明题（3*9=27分） 1.证明：对)(2

1,,2

b a

b a e e e

R b a +≤

∈?+； 2.设0lim =∞

→n n a ，证明：0lim

21=+++∞→n

a a a n

n Λ；

3.设f(x)在(0,1)上连续，-∞==-+→→)(lim )(lim 1

x f x f x x ，证明:f(x)在(0,1)内取到最大值.

三、讨论题（2*8=16分）

1.讨论级数ΛΛ+-

-+

+-+-+-3

12

13

12

13

12

13

1)

2(1)

12(161

514131211n n 的敛散性。

2.设0,0>>βα，讨论dx x

x ?

∞+0

sin αβ

的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）。

1.(15分)假设)(lim 30

x f x →存在，试证明：)(lim )(lim 30

x f x f x x →→=.

2.(15分)假设f(x)在[a,b]上为单调函数，试证明：f(x)在[a,b]上可积。

3.(15分)假设),2,1)((Λ=n x u n 在[a,b]上连续，级数∑∞

=1)(n n x u 在(a,b)上一致收敛，试

证明：

（i ）∑∞

=1

)(n n a u ,∑∞

=1

)(n n b u 收敛； (ii)∑∞

=1

)(n n x u 在[a,b]上一致收敛。

4.(15分)假设?????=+≠++=)0( 0)0( ),(222

222

2y x y x y x y x y x f ,试证明:f(x,y)在(0,0)连续，且偏导

数存在，但此点不可微。

5.(15分)计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x I s

222++=??，其中s 为锥面

)0(222h z z y x ≤≤=+所示部分，方向为外侧。

1.(15分)证明数列?

??

???n n 2收敛，并求其极限.

2.(15分)f(x)在x=0的邻域U(0)内有定义，且f(x)=f(-x). (1).(5分)如果f(x)在U(0)可导，证明0)0(='f ；

(2).(10分)只假定)0(f '存在，证明0)0(='f .

3.(15分)求积分：Λ,2,1,0,sin 20

=?n dx x n π

.

4.(15分)判别函数列),(,1)(2

2+∞-∞∈+=x x

n x

x f n 的一致收敛性.

5.(15分)设12

2

2

=++z y x ，求x

z

??和22x z ??.

6.(15分)利用2

02

π

=

?∞

+-dx e

x 和分部积分法求dx e x ax )1(12

2

-+∞

-?

，其中a>0.

7.(20分)设L 是平面区域Ω的边界曲线，L 光滑。u(x,y)在Ω上二阶连续可微，

用格林公式证明：ds n u

dxdy y u x u L

?????=??+??Ω)(2222.其中n 是L 上的单位外法向量，n u ??是u 沿n 方向的方向导数.

8.(20分)设f(x)的导函数)(x f '在[0,1]上连续，且)0(f '>0，证明瑕积分

)1(,)

0()(1

>-?

p dx x

f x f p

.当1

9.(20分)设f(x)在[0,+∞)上一致连续，且对任何]1,0[∈x ，有.0)(lim =+∞

→n x f n 证明：

.0)(lim =+∞

→x f x

2008年华南师范大学数学分析

一.(15分)设.0lim ,10,lim ,01

=<≤=>∞

→+∞→n n n

n n n u a a u u u 证明

二.(15分)设R S ?为有界集，证明必存在数列{}.sup lim ,S x S x n n n =?∞

→使

三.(15分)设???+=为无理数

为有理数x x x x x x f ,

,)(2

(1)证明若0≠x ，则f 在x 处不连续；(2)计算)0(f '.

四.(15分)设n 为自然数，求不定积分xdx x I n n cos ?=的递推公式，并计算

xdx x

cos 3

?.

五.(20分)

(1)设]23

,0[,2sin

2

)(1∈=∑+∞

=x x n x x s n n n π，证明).1(),1()(lim 1s s x s x 并求=→

(2)证明函数项级数x x n n cos )cos 1(1∑+∞

=-在x=0的邻域U(0)内不一致收敛.

六.(15分)求函数)arctan(x

y

z =在位于圆)23,21(0222上一点=-+x y x 处沿这圆

周切线方向的方向导数（切线倾斜角παα<≤0的范围是）。

七.(15分)设有n 个实数01

2)1(3,,,12

121=--++-

-n a a a a a a n n n ΛΛ满足，

证明方程)2

,0(0)12cos(3cos cos 21π

在区间=-+++x n a x a x a n Λ中至少有一个根。

八.(20分)设dx x f ?+∞∞

-)(收敛，证明函数),()cos()()(+∞-∞=?

+∞

∞

-在dx x x f g αα上一致

连续。

九.(20分)设{}

222),(r y x y x D ≤+=，L 是D 的边界曲线，L 取逆时针方向为正向。

n 是L 的外法线方向上的单位向量，F （P(x,y),Q(x,y)）是定义在D 上的连续可微向量函数，计算极限：ds F r L

r ??→2

01lim π.

2009年华南师范大学数学分析

一、(20分)

.

)]()([lim .,,)(lim ,)(lim -∞=+-∈=-∞=→→→x g x f R A a A x g x f a

x a

x a x 语言证明用这里设δε

二、(15分)设数列{}n x 无上界。试证明存在{}n x 的子列{}

k n x 满足+∞=∞

→k n k x lim 。

三、(20分)设R k x x

x kx x F x x f ∈???

??<-≥=+=，这里 0,10,)(,1)(2

,求函数

G(x)=f(x)-F(x)的导数，并判别函数G 的单调性。

四、(20分)求下列函数的偏导数或全微分：

1、z

x u

xy u z

???=2,)(求；

2、设函数f 有一阶连续偏导数，求由方程f(x-y,y-z,z-x)=0所确定的函数z=z(x,y)的全微分。

五、(15分)求圆锥面内的那一部分面积。在圆柱体x y x y x z ≤++=22222

六、(20分)计算曲线积分)0,(,2222a A L dy y

x y

x dx y x y x I L -++++-=?

是从点其中经过上半椭圆0,0)0,()0(122

22>>≥=+b a a y b

y a x 的弧段，这里到点。

七、(20分)设正项级数..,1

1

∑∑=∞==≤n

k k n n n n a S M a a 令发散

求证：1).发散收敛；∑∑?∑∞=∞=+∞+∞

=+-+∞==11111).3 ).2 ;1

n n

n n n n n a n n n S a

S a a x dx S a 。

八、(20分)设Λ是区间I 上定义的函数族。若

εδδε<-Λ∈<-∈>?>?)()(,,,0,0212121x f x f f x x I x x 都有时，对所有且当，则称函数族Λ在区间I 上等度连续。

设函数列{})(x f n 各项在[a,b]上连续，且{})(x f n 在[a,b]上一致收敛于函数f(x),证明：函数列{})(x f n 在[a,b]上等度连续。

2010年华南师范大学数学分析

1.已知x

x y n

-=1，求对y 进行n 阶求导得到的公式。

2.已知)0()1(>+∑+p n

n n p n

，求p 取不同值的敛散性。

3.已知dt t f dt t f x x x f ??+-=1

2

2

)(2)()(，求f(x)的值。

4.在{}n a 数列中，存在M>0时，M a a a n ≤+++Λ21，证明{}n a 收敛。

5.已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，g(x)在[a,+∞)上一致连续，)]()([lim x g x f x -+∞

→存在，证

明f(x)在[a,+∞)上一致连续。

6.f(x)在(-∞,0)上有),1()(lim )(lim ),()(0

3-===-→-∞

→f x f x f x f x f x x 且

)0,(),1()(-∞∈-≡x f x f 求证.

7.f(x)、g(x)在[a,+∞)上可微，当,)()(x g x f a x '<'≥时，有

.

)()()()(a g x g a f x f -<-求

8.f(x,y)在D 内关于偏导数y 连续，),(y x f x 在D 上存在且有界，求证f(x,y)在D 上连续。

9.已知一条封闭曲线L,n 为它的外法向量,l 是任意方向的向量，求证.0),cos(=?

ds n l L