析取与合取范式
1.6析取范式与合取范式
再例如p→q m0∨m1∨m3 M2
主范式的用途（3）
2.判断公式的类型
设公式A中含n个命题变项，容易看出： （1）A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个极小 项。 （2）A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项。 此时，记A的主析取范式为F。 （3）A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含一个极 小项。
例
例2.10 用公式的主析取范式判断公式的类型： （1）┐(p→q)∧q （2）p→(p∨q) （3）(p∨q)→r
解： 注意（1）（2）中含两个命题变项，演算中极小项含两个文字，而（3）
中公式含三个命题变项，因而极小项应含三个文字。
（1）┐(p→q)∧q ┐（┐p∨q）∧q (p∧┐q)∧q F 这说明（1）中公式是矛盾式。 （2）p→(p∨q) ┐p∨p∨q ┐p∧(┐q∨q)∨p∧(┐q∨q)∨(┐p∨p)∧q (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q)∨ (┐p∧q)∨(p∧q) (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q) m0∨m1∨m2∨m3 这说明该公式为重言式。
n个命题变项共可产生多少个个不同的极小项？多 少个不同的极大项？
表2.3
极小项 公式 p∧q 成真赋值 0 0
由p,q形成的极小项和极大项
极大项 名称 公式 p∨q 成假赋值 0 0 名称
p∧q
p∧q p∧q
0 1
1 0 1 1
m0 m1 m2 m3
p∨q
p∨q p∨q
0 1
1 1 0 1
p∧q∧r
1 1 1
p∨q∨r
1 1 1
根据上面的两个表可以验证如下的定理： 定理2.4 设mi与Mi是命题变项p1,p2,…,pn形成的 极小项和极大项，则┐mi Mi， ┐Mi mi
简单析取式和简单合取式
0 由∏小到大用∏表示 1 1
1
1 0 0
展开成极大项 1 1 1 0 1 1 1 0 1
0
0
0
1
1 0 1
∏表示合取
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
一个简单合取式是矛盾
p∧┐p∧q是矛盾式
式，当且仅当它同时含一 个命题变项及其否定。
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范 式 ---- 析取范式和合取范式
析取范式： 仅由有限个简单合取式构成的析取式 A=(p∧┐q∧r)∨(┐p∧q)∨(q∧┐q)
析取范式的对偶
合取范式： 仅由有限个简单析取式构成的合取式 A*=(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q)Байду номын сангаас(q∨┐q)
极大项 在n个变元的简单析 取式中，若每个变元与其否 定不同时存在，而二者之一 必出现且仅出现一次，这种 析取式就叫做极大项 ┐p∨q∨┐r
0 0 0 0 1 1
1
1
1
1
0
1
M6
M7
范 式 ---- 求主析取范式
求p∧q ∨r的主合取范式 解 （p∧q）∨r 求出合取范式
（P∨r)∧(q∨r) （P∨(q∧┐q)∨r)∧((p∧┐p)∨q∨r) （P∨q∨r)∧(P∨┐q∨r)∧(p∨q∨r)∧(┐p∨q∨r) 000 ∧010 ∧ 000 ∧ 011 （p∨r)∧(q∨r) p q r M 0 ∧ M2 ∧ M3 0 0 0 0 0 0 ∏(0,2,3) 0 0 1 1 1 1
p∨(q∧┐r)
(交换律和吸收律)
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范 式 ---- 主范式
主析取范式概念
第二章析取范式与合取范式
11. 主析取范式的用途
➢ 求公式的成真与成假赋值 ➢ 判断公式的类型 ➢ 判断两个命题公式是否等值 ➢ 应用主析取范式分析和解决实际问题
A m1∨m2∨…∨ms 例1: 求 (p→q)→ (q∨p) 的成真赋值
(p→q)→ (q p) (p q) (q p) (p q) (q p) (p q) (p q) (pq) m0 m2 m3 即成真赋值为：0 0,1 0，1 1
p ∧ q ∧ r; p ∧ ┐q ∧ r; ┐ p ∧ ┐q ∧ ┐ r
思考: (1) n个命题变项共可产生多少个不同的极小项? 2n (2)每个极小项有多少个成真赋值? 一个
规定:成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数i，就将所对应 极小项记作mi
7. 极小项与极大项的定义
➢极大项：在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项 和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且 第i个命题变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题 变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单析取式为极大 项。 例：p ∨ r ∨ q; p ∨ ┐ p ∨ r; p ∨ ┐ q ∨ p;
方法1：真值表法
p q p →q 00 1 01 1 10 0 11 1
p→q m0 m1 m4 ( p q) ( p q) ( p q) M2 p q
方法2：公式法
p→q p q [ p (q q)] [q (p p)] ( p q) ( p q) ( p q) m0 m1 m4
历史遗留问题: (1)我只给村里所有那些不给自己理发的人理发 (2)只要别人有困难,他就帮忙,除非困难解决. (3) a:别人有困难, b: 他帮忙
(4) a b
作业 Ｐ38 5题（1 、3） 注意总结规律
简单析取式和简单合取式(最全版)PTT文档
0 1 1 0 0 ∑(2,4,5,6,B7) B∧1B∧(pi∨┐pi)(B∧pi)∨(B∧┐pi)
范 式 ---- 析取式和合取式 A*(┐p,┐q,┐r) ┐p∧(q∨┐r) ┐A*(p,q,r)
∨(p∨┐p)∧(q∧┐r) (p∧q∧r)∨(p∧q∧┐r)
1 0 0 1 0 合取对范偶式式的为析（3）将重复出现的命题变项、矛盾式
(消去第一个→)
┐(┐(p∨q)∨r)∨p
(消去第一个→)
┐((┐p∧┐q)∨r)∨p ((┐┐p∨┐┐q)∧┐r)∨p ((p∨q)∧┐r)∨p
求合取范式 ((p∨q)∧┐r)∨p
(p∨q∨p)∧(┐r∨p) 求 析(p取∨范q)式∧(┐r∨p) (((交p∨换q律)∧和┐等r幂)∨律p) (p∧┐r)∨(q∧┐r)∨p
求p∧q ∨r的主合取范式
0 0 0 0 解
范
式（-p-∧--q）求∨主（r析1取）范求式 A的析取范式A’
0
0 0 1 0 （1）求A的析取范式A’
任何命题公式的主析取范式都是存在的，并且是唯一的。
0
求命题公式(( p∨q)→r)→p 的主析取范式。
解：((p∨q)→r)→p
p∨(q∧┐r)
N个变元可构成(22n)个若极A小’项的某简单合取式B中不含命题变项
p∧┐q∧r
N个变元可构成2n 个极小项
p
q
r
记 作
0 0 0 m0
0 0 1 m1
0 1 0 m2
0 1 1 m3
1 0 0 m4
1 0 1 m5
1 1 0 m6
1 1 1 m7
范 式 ---- 求主析取范式
p q r 范
范
主析取主合取范式
主析取主合取范式
主析取主合取范式（DisjunctiveNormalFormandConjunctiveNormalForm）是命题逻辑
中的两种标准化形式，用于表示和简化复合命题。
主析取范式是由若干个合取范式通过析取符号“∨”组合而成，合取范式是由若干个命题通过合取符号“∧”组合而成。
将一个复合命题转化为主析取范式或主合取范式可以使得计算机对其进行更高效的处理。
主析取范式和主合取范式在表达方式上是互逆的。
主析取范式将一个复合命题表示为若干个命题的析取式，每个命题都是一些原子命题或其否定形式的合取式。
主合取范式则将一个复合命题表示为若干个命题的合取式，每个命题都是一些原子命题或其否定形式的析取式。
通过将一个复合命题转化为主析取范式或主合取范式，我们可以方便地进行以下操作：
1. 确定命题的真值。
2. 判断命题的等价性。
3. 简化复合命题的形式，使其更易于处理和理解。
主析取范式和主合取范式在数学证明和计算机科学中都有广泛
的应用。
对于计算机科学中的布尔代数运算，主析取范式和主合取范式可以帮助我们有效地进行逻辑运算，从而实现各种复杂的算法和系统。
- 1 -。
数理逻辑2.2
2.2 析取范式与合取范式1.简单析取式与简单合取式定义2.2: 命题变项及其否定统称为文字. 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式. 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式.*解释: 析取, 合取.例子: p, ┐q, p∨┐p, ┐p∨q, p∨┐q∨r, p∨┐p∨r都是简单析取式.┐p, q, p∧┐p, p∧┐q, p∧q∧┐r, ┐p∧p∧q都是简单合取式.定理2.1: (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及其的否定式; (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及其否定式.*举例说明: p∨┐p∨q∨r, p∨┐q∨rp∧┐p∧┐q∧r, ┐p∧q∧r2.合取范式与析取范式定义 2.3: 由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称为析取范式. 由有限个简单析取式的合取构成的命题公式称为合取范式. 析取范式与合取范式统称为范式.*析取范式的一般形式为A1∨A2∨…∨A s, 其中, A i为简单合取式, i =1, 2, …,s.合取范式的一般形式为B1∧B2∧…∧B t, 其中, B j为简单析取式, j = 1, 2, …, t.例如: (p∧┐q)∨(┐q∧r)∨p是析取范式.(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r∧(┐p∨┐r∨s)为合取范式.定理 2.2: (1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式; (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式;例如: (p∧┐p∧q)∨(q∧┐q∧p∧r)∨(p∧┐p∧┐r)是矛盾式;(p∨r∨q∨┐q)∧(p∨┐q∨r∨┐r)∧(┐p∨p∨q∨┐r)是重言式.3. 将合式公式转化为析取范式与合取范式命题公式有5个联结词{∧,∨,┐,→,↔}, 如何把包含这5个联结词的公式转化为合取范式或析取范式?(1) 蕴涵式与等值式A→B⇔┐A∨BA↔B⇔(A→B)∧(B→A)⇔(┐A∨B)∧(┐B∨A)(2) 公式中的否定┐┐A⇔A┐(A∧B)⇔┐A∨┐B┐(A∨B)⇔┐A∧┐B(3) 析取范式与合取范式互换A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)定理 2.3: (范式存在定理) 任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式.求给定公式范式的步骤为:(1) 消去联结词→和↔;(2) 用双重否定律消去双重否定符, 用德∙摩根律内移否定符;(3) 使用分配律: 求析取范式时使用∧对∨的分配律; 求合取范式时, 使用∨对∧的分配律.例2.8: 求公式(p→q)↔r的合取范式与析取范式.解: (1) 先求合取范式:(p→q)↔r⇔(┐p∨q)↔r 消去→⇔((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) 消去↔⇔(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) 消去→⇔((┐┐p∧┐q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) 否定符内移⇔((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 消去双重否定⇔((p∨r)∧(┐q∨r))∧(┐p∨q∨┐r) ∨对∧的分配律⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 结合律(2)求析取范式(p→q)↔r⇔(┐p∨q)↔r 消去→⇔((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) 消去↔⇔(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) 消去→⇔((┐┐p∧┐q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) 否定符内移⇔((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 消去双重否定,交换律⇔(p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)∨(r∧┐r)∧对∨的分配律⇔0∨0∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)∨0 矛盾律⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r) 同一律定义2.4: 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中,若每个命题变项和它的否定式恰好出现一次且仅出现一次,而且命题变项或它的否定式按下标从小到大或按字典序排列, 称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项).*由于每个命题变项在极小项中以原形式或否定形式出现且仅出现一次, 因而n个命题变项共产生2n个不同的极小项(或极大项). 每个极小项有且仅有一个成真赋值, 每个极大项有且仅有一个成假赋值. (见下表格)例如: 含p和q的极小项和极大项极小项极大项公式成真赋值名称公式成假赋值名称┐p∧┐q 0 0 m0p∨q 0 0 M0┐p∧q 0 1 m1p∨┐q 0 1 M1 p∧┐q 1 0 m2┐p∨q 1 0 M2 p∧q 1 1 m3┐p∨┐q 1 1 M3 例如: 含p, q, r的极小项与极大项极小项极大项成真名成假名公式赋值称公式赋值称┐p∧┐q∧┐r 0 0 0 m0p∨q∨r 0 0 0 M0 ┐p∧┐q∧r 0 0 1 m1p∨q∨┐r 0 0 1 M1 ┐p∧q∧┐r 0 1 0 m2p∨┐q∨r 0 1 0 M2┐p∧q∧r 0 1 1 m3p∨┐q∨┐r 0 1 1 M3 p∧┐q∧┐r 1 0 0 m4┐p∨q∨r 1 0 0 M4 p∧┐q∧r 1 0 1 m5┐p∨q∨┐r 1 0 1 M5 p∧q∧┐r 1 1 0 m6┐p∨┐q∨r 1 1 0 M6 p∧q∧r 1 1 1 m7┐p∨┐q∨┐r 1 1 1 M7*解释极小项与极大项的不同, 成真赋值与成假赋值.定理2.4: 设M i和m i是含命题变项p1, p2, …, p n的极大项和极小项, 则有┐m i⇔M i和┐M i⇔m i .定义 2.5: 所有简单合取式(简单析取式)都是极小项(极大项)的析取范式(合取范式)称为主析取范式(主合取范式).定理 2.5: 任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是唯一的.证明: 这里只证主析取范式的存在性和唯一性.首先证明存在性. 设A是任一含n个命题变项的公式. 由定理2.3可知, 存在与A等值的析取范式A’, 即A⇔A’. 若A’的某个简单合取式A i中既不含命题变项p j, 也不含它的否定式┐p j, 则将A i展开成如下等值式:A i∧(p j∨┐p j)⇔(A i∧p j)∨(A i∧┐p j)继续这个过程, 直到所有的简单合取式都含有所有的命题变项或它的否定式.若在演算过程中出现的命题变项在极小项中出现矛盾式, 则应消去.如用p代替p∧p, m i代替m i∨m i,0代替矛盾式等. 最后, 就将A化为与之等值的主析取范式A”.下面再证明唯一性. 假设命题公式A等值于两个不同的主析取范式B和C, 那么必有B⇔C. 由于B和C是不同的主析取范式, 不妨设极小项m i只出现在B中, 而不出现在C中. 于是,角标i的二进制表示为B的成真赋值, 而为C的成假赋值, 这与B⇔C矛盾.主合取范式的存在性和唯一性可类似证明.例2.9: 求公式(p→q)↔r的主析取范式和主合取范式.解: (1) 求主析取范式在例2.8中已求出(p→q)↔r⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r), 因此(p→q)↔r⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r∧(q∨┐q))∨(q∧r∧(p∨┐p))⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r∧q)∨(┐p∧r∧┐q)∨(q∧r∧p)∨(q∧r∧┐p)⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(p∧q∧r) ⇔m1∨m3∨m4∨m7(2) 求主合取范式在例2.8中, 已求出(p→q)↔r⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r), 因此,(p→q)↔r⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨r∨(q∧┐q))∧(┐q∨r∨(p∧┐p))∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨r∨q)∧(p∨r∨┐q)∧(┐q∨r∨p)∧(┐q∨r∨┐p)∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨r) ⇔M0∧M2∧M5∧M64.主析取范式和主合取范式与真值表的一一对应关系例2.10: 给出合式公式: (p→q)↔r.它的真值表见下图.p q r p→q (p→q)↔r0 0 0 1 00 0 1 1 10 1 0 1 00 1 1 1 11 0 0 0 11 0 1 0 01 1 0 1 01 1 1 1 1主析取范式:(p→q)↔r⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(p∧q∧r) ⇔m1∨m3∨m4∨m7主合取范式(p→q)↔r⇔(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨r) ⇔M0∧M2∧M5∧M6*从主析取范式求主合取范式(或从主合取范式求主析取范式)*判断公式的类型:重言式或矛盾式的主析取范式和主合取范式是什么样的?设公式A中含n个命题变项, 容易看出:(1)A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个极小项.(2)A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项,此时, 记A的主析取范式为0.(3)A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含一个极小项.例2.11: 用公式的主析取范式判断下列公式的类型.(1) ┐(p→q)∧q(2) p→(p∨q)(3) (p∨q)→r解: 公式(1), (2)只含两个命题变项, 而(3)中含3个命题变项.(1) ┐(p→q)∧q⇔┐(┐p∨q)∧q⇔(┐┐p∧┐q)∧q⇔p∧┐q∧q⇔0, 故(1)式是矛盾式.*矛盾式的主析取范式与主合取范式(2) p→(p∨q)⇔┐p∨(p∨q)⇔(┐p∧(q∨┐q))∨(p∧(q∨┐q))∨(q∧(p∨┐p))⇔(┐p∧q)∨(┐p∧┐q)∨(p∧q)∨(p∧┐q)∨(q∧p)∨(q∧┐p)⇔(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q)⇔m0∨m1∨m2∨m3故(2)式是重言式.也可以按如下方式:p→(p∨q)⇔┐p∨(p∨q)⇔┐p∨p∨q⇔1∨q⇔1⇔m0∨m1∨m2∨m3*重言式的主析取范式与主合取范式.(3) (p∨q)→r⇔┐(p∨q)∨r⇔(┐p∧┐q)∨r⇔(┐p∧┐q∧(r∨┐r))∨(r∧(p∨┐p))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(r∧p)∨(r∧┐p)⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(p∧r∧(q∨┐q))∨(┐p∧r∧(q∨┐q))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(p∧r∧q)∨(p∧r∧┐q)∨(┐p∧r∧q)∨(┐p∧r∧┐q)⇔(┐p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q ∧r)∨(p∧q∧r)⇔m0∨m1∨m3∨m5∨m7故(3)式是可满足式.*判定两个合式公式是否等值.两个合式公式等值当且仅当它们有相同的主析取范式(主合取范式).例2.12: 某科研所要从3名科研骨干A, B, C中挑选1至2名出国进修. 由于工作需要, 选派时要满足以下条件:(1)若A去, 则C同去.(2)若B去, 则C不能去.(3)若C不去, 则A或B可以去.问所里有哪些选派方案?解: 设p: 派A去; q: 派B去; r: 派C去.由已知条件可得公式: (p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q))该公式的成真赋值即为可行的选派方案. 经演算得到(p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)⇔m1∨m2∨m5故有三种选派方案:(1)C去, A和B都不去; (2) B去, A和C都不去;(3) A和C同去, B不去.作业:1.用等值演算求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值.(1) (┐p→q)→(┐q∨p)(2) (┐p→q)∧(q∧r)(3) (p∨(q∧r))→(p∨q∨r)2.用等值演算求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值.(1) (p→(p∨q))∨r(2) ┐(q→┐p)∧┐p3.求下列公式的主析取范式, 再用主析取范式求主合取范式.(1) (p→q)∧(q→r)4.用真值表求下列公式的主析取范式与主合取范式.(1) (p q)→r(2) ┐(q→┐p)∧┐p。
离散数学主析取范式和主合取范式
离散数学主析取范式和主合取范式好嘞，今天我们来聊聊离散数学里的主析取范式和主合取范式。
别看这名字听起来有点高大上，其实它们就像是数学里的两个小伙伴，各自有各自的特长。
先说主析取范式。
想象一下，你正在和朋友们讨论晚餐吃什么。
有人说吃披萨，有人说吃汉堡，还有人提议中餐。
每个人都在表达自己的想法，你得把这些意见整合在一起。
这就是主析取范式的味道。
它把不同的逻辑表达式用“或者”连接起来，形成一个大的表达式。
简单来说，就是“要么…要么…”的那种感觉。
就像我们平时说的“你要是去超市，就顺便帮我买点牛奶。
”这里的“要么”就是一个选项，让我们感觉选择的乐趣满满。
再看看主合取范式。
这个听起来就像个正式的聚会，但实际上，它和主析取范式有点像过年的团圆饭，大家一起吃个团圆。
主合取范式是把各种条件用“而且”连接起来，形成一个综合的表达式。
比如，你想去爬山，得有天气好、朋友愿意去、车子开得了，这样才能顺利出发。
“如果天气好，而且朋友愿意去，而且车子也没问题，那我们就去爬山！”这就是主合取范式的魅力所在。
它把多个条件紧紧相连，就像一个不可分割的整体，让人觉得踏实。
咱们说说这两者的区别。
主析取范式就像是在众多选择中找到你最喜欢的，简简单单的“或”就能让你感到满足。
而主合取范式呢，就像在拼图一样，每一块都得恰如其分地嵌进去，缺一不可。
这就让人觉得，逻辑的世界真是千变万化，特别有趣。
就像生活中的各种选择，有时候你要在“吃披萨”或者“吃汉堡”中做决定，但有时候却需要“天气好而且朋友有空而且车能开”这种条件，才敢下定决心。
说到这里，很多人可能会觉得，这些范式好像没什么太大用处。
它们就像数学中的调味料，能让复杂的逻辑问题变得清晰。
通过主析取范式和主合取范式，我们能把复杂的逻辑表达式化繁为简，抓住问题的核心。
试想一下，生活中遇到的各种选择和条件，常常让人头大。
用这些范式整理思路，真的是帮了大忙。
就像做菜时，调料一加，味道立马提升。
更有趣的是，这两个范式还可以互相转换。
析取范式与合取范式
析取范式与合取范式析取范式与合取范式合同协议书合同基本信息合同名称：析取范式与合取范式合同协议书合同编号：____________________________签署日期：____________________________合同生效日期：____________________________合同标的：析取范式与合取范式应用及其相关服务合同方信息合同方甲（服务提供方）：名称：____________________________地址：____________________________联系电话：____________________________电子邮箱：____________________________合同方乙（服务接受方）：姓名：____________________________地址：____________________________联系电话：____________________________电子邮箱：____________________________服务内容服务项目1：析取范式的理论讲解与应用服务项目2：合取范式的理论讲解与应用服务项目3：相关案例分析与实际应用服务项目4：提供相关资料及文献支持服务标准服务标准1：服务内容应涵盖析取范式与合取范式的基本概念、计算方法及应用实例。
服务标准2：提供的材料应为最新的研究成果及学术资料，确保准确性与前瞻性。
服务标准3：服务应包括理论讲解、问题解答及案例分析，确保服务效果。
服务时间与地点服务开始日期：____________________________服务结束日期：____________________________服务地点：____________________________服务时间安排：____________________________费用及支付方式服务费用总额：____________________________费用明细：明细1：____________________________明细2：____________________________支付方式：____________________________支付时间安排：____________________________第一次支付：____________________________第二次支付：____________________________双方责任合同方甲（服务提供方）负责按合同约定提供服务，确保服务质量，并在规定时间内完成服务内容。
析取范式和合取范式
析取范式和合取范式
析取范式（Disjunctive Normal Form，简称DNF）和合取范式（Conjunctive Normal Form，简称CNF）是两种常见的逻辑表达式的标准化形式。
析取范式是由多个子句构成的逻辑表达式，其中每个子句由多个文字构成，而子句之间使用逻辑或运算符（∨）连接。
一个逻辑表达式处于析取范式的形式，意味着它是多个子句相互连接，并且每个子句内部的文字使用逻辑或运算符连接。
例如，逻辑表达式(A ∧B) ∨(C ∧D) 就是一个析取范式，其中有两个子句：(A ∧B) 和(C ∧D)。
合取范式是由多个子句构成的逻辑表达式，其中每个子句由多个文字构成，而子句之间使用逻辑与运算符（∧）连接。
一个逻辑表达式处于合取范式的形式，意味着它是多个子句相互连接，并且每个子句内部的文字使用逻辑与运算符连接。
例如，逻辑表达式(A ∨B) ∧(C ∨D) 就是一个合取范式，其中有两个子句：(A ∨B) 和(C ∨D)。
标准化成析取范式或合取范式有助于简化逻辑表达式，并且使得逻辑运算更加容易理解和处理。
这两种范式形式可以通过逻辑等价转换来相互转换，也可以通过逻辑推理算法来生成。
需要注意的是，虽然析取范式和合取范式是标准化的形式，但并不是所有逻辑表
达式都可以转换为它们。
有些逻辑表达式可能无法简化成析取范式或合取范式，或者可能需要引入更复杂的表达式来表示。
简单析取式和简单合取式
┐((┐p∧┐q)∨r)∨p ((┐┐p∨┐┐q)∧┐r)∨p ((p∨q)∧┐r)∨p
p∨(q∧┐r)
(交换律和吸收律)
上页
范 式 ---- 主范式
主析取范式概念
求主析取范式 主合取范式概念 求主合取范式
范 式 ---- 主析取范式
定义 形如A＝A1∨A2∨……∨An
范 式 ---- 对
偶 式
定理1.2 设A与A*互为对偶式，p,q,r是出现在A 和A*中的全部的命题变项，若将A和A*写成函 数形式:
┐A(p,q,r)┐p∨(q∧┐r)A*(┐p,┐q,┐r) A*(┐p,┐q,┐r)┐p∧(q∨┐r)┐A*(p,q,r)
对偶原理
设A,B为命题公式，若AB,则A*B*， 其中A*，B*分别为A,B的对偶式。
范 式
对偶式 简单析取式和简单合取式 析取范式和合取范式 主范式
01计机 08号 陈燕丽
范 式 ---- 对偶 式 Nhomakorabea定义： 在仅含有联结词┐，∨，∧的命题公式A中，将∨换成 ∧， ∧换成∨，若A中含0或1，就将0换成1,1换成0， 所得命题公式称为A的对偶式，记作A*。
如：┐p∨(q∧r)与┐p∧(q∨r) （P∨q)∨0与（P∧q) ∧1 互为对偶式
范 式 ---- 析取范式和合取范式
范式存在定理 任一命题公式都存在着与之等值 的析取范式和合取范式
例 求命题公式((p∨q)→r)→q的范 式 解： 化简 原式(┐(p∨q)∨r)→q)
(消去第一个→)
┐(┐(p∨q)∨r)∨p
(消去第一个→)
求合取范式 ((p∨q)∧┐r)∨p (p∨q∨p)∧(┐r∨p) 求析取范式 (p∨q)∧(┐r∨p) ((p ∨q)∧┐r)∨p) (交换律和等幂律 (p∧┐r)∨(q∧┐r)∨p
析取范式与合取范式
不相同。极小项和它的成真赋值构成了一一对应的关系。 可用成真赋值为极小项进行编码，并把编码作为m的下标来 表示该极小项，叫做该极小项的名称。 两个命题变元的极小项、成真赋值和名称如表1-7.2所示。 三个命题变元的极小项，成真赋值和名称如表1-7.3所示。 从表1-7.2和表1-7.3中可以看出，极小项与其成真赋值的 对应关系为：变元对应1，而变元的否定对应0。
从表1-7.5和表1-7.6中可以看出，极大项与成假赋值的对应 关系为：变元对应0，而变元的否定对应1。
极大项的性质
极大项 p∨q p∨¬q ¬p∨q ¬p∨¬q
极大项 p∨q∨r p∨q∨¬r p∨¬q∨r p∨¬q∨¬r ¬p∨q∨r p∨q∨¬r ¬p∨¬q∨r ¬p∨¬q∨¬r
表1-7.5
主析取和主合取范式的关系
在前面例中，求出(p→q)→r的主析取范式为： m7∨m5∨m4∨m3∨m1⇔∑1，3，4，5，7
求出该公式的主合取范式为： M0∧M2∧M6⇔∏0，2，6
¾ 比较这两个结果，得出以下的结论：同一公式的主析取 范式中m的下标和主合取范式中M的下标是互补的。因 此，知道了主析(合)取范式就可以写出主合(析)取范 式。
i=0
主析取范式
定义1-7.7 对于给定的命题公式，如果有一个它的 等价公式，仅由极小项的析取组成，称该公式 为原公式的主析取范式。
¾ 任何命题公式都存在着与之等价的主析取范 式。
主析取范式
一个命题公式的主析取范式可以由以下两种方法求得： ⑴ 等价演算法：即用基本等价公式推出。
用等价演算法求主析取范式的步骤如下： ① 化归为析取范式。 ② 除去析取范式中所有永假的基本积。 ③ 在基本积中，将重复出现的合取项和相同变元合并。 ④ 在基本积中补入没有出现的命题变元，即添加
主析取范式和主合取范式
主析取范式和主合取范式一、主析取范式1. 定义主析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF）是布尔代数中的一种标准形式，也称为合取范式。
它是由若干个子句组成的析取式，每个子句都是由若干个原子命题或其否定组成的合取式。
2. 构造方法主析取范式的构造方法有两种：（1）真值表法：将所有可能的输入情况列出来，并计算出每种情况下逻辑表达式的输出结果。
然后将输出结果为真的输入情况所对应的项相加，得到主析取范式。
（2）化简法：通过化简逻辑表达式，将其转换为主析取范式。
化简法有多种方法，如代数运算法、Karnaugh图法等。
3. 举例说明以逻辑表达式(A∨B)∧(¬A∨C)为例，构造其主析取范式：（1）真值表法：| A | B | C | (A∨B)∧(¬A∨C) ||:-:|:-:|:-:|:------------:|| 0 | 0 | 0 | 0 || 0 | 0 | 1 | 1 || 0 | 1 | 0 | 1 || 0 | 1 | 1 | 1 || 1 | 0 | 0 | 0 || 1 | 0 | 1 | 1 || 1 | 1 | 0 | 0 || 1 | 1 | 1 | 1 |由上表可知，逻辑表达式(A∨B)∧(¬A∨C)的主析取范式为(A∧¬B∧C)∨(¬A∧B∧C)∨(¬A∧B∧¬C)。
（2）化简法：将逻辑表达式(A∨B)∧(¬A∨C)转换为主析取范式：(A∨B)∧(¬A∨C)= (A∧¬A) ∨ (B ∧ ¬A) ∨ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)= (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) ∨ (B ∧ ¬A)= (A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ ¬C)二、主合取范式1. 定义主合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）是布尔代数中的一种标准形式，也称为析取范式。
(方案)2.2 析取范式与合取范式.ppt.ppt
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2 、范式的性质
定理2.2 （1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单 合取式都是矛盾式. （2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 析取式都是重言式.
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定理2.3 （范式存在定理）任一命题公式都存在 着与之等值的析取范式与合取范式。
证明: (1) 由蕴涵等值式与等价等值式可知
是在利用分配律时有所不同。因而可以用（1）中前 四步的结果，接着进行∧对∨分配律演算。
(p→q) r
((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
(p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)
∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r)
(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
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利用∨ 对∧的分配律求合取范式。
注意
为了清晰和无误，演算中利用交换律，使得
每个简单析取式或合取式中命题变项的出现都是
按字典顺序，这对下文中求主范式更为重要.
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例2.7 求公式 (p→q) ↔ r 的析取范式与合取范式： 解：（1）先求合取范式
(p→q) r (┐p∨q) r
（消去→）
式.
注意
① 一个文字既是简单析取式，又是简单合取式.
② 为方便起见，有时用 A1, A2 , As 表示 s 个简单 析取式或 s 个简单合取式.
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定理2.1 （1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含
有某个命题变项及它的否定式; （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含
有某个命题变项及它的否定式。
第二章 命题逻辑等值运算
第1节 等值式 第2节 析取范式与合取范式 第3节 联结词的完备集
既是合取范式又是析取范式的式子
既是合取范式又是析取范式的式子既是合取范式又是析取范式的式子在逻辑学中，合取范式（Conjunctive Normal Form，简称CNF）和析取范式（Disjunctive Normal Form，简称DNF）是两种常见的命题逻辑表达方式。
合取范式是由多个“或”的项组成，而析取范式则由多个“与”的项组成。
通常，这两种范式都有各自的特点和应用场景。
然而，有时候会出现一些特殊的式子，既是合取范式，又是析取范式。
这意味着这些式子既能用多个“与”的项表示，又能用多个“或”的项表示。
这种特殊的式子不仅在逻辑学中具有重要意义，也在计算机科学和人工智能领域中发挥着重要作用。
在逻辑学中，这样的式子被称为双重条件式（Biconditional）。
双重条件式是一种联结词，用符号“⇔”或“↔”表示，它表示两个命题之间的等价关系。
具体来说，一个双重条件式是两个条件式的合取和析取，即P⇔Q等价于(P→Q)∧(Q→P)或(P↔Q)。
假设P表示“这个动物是狗”，Q表示“这个动物有四条腿”。
我们可以通过双重条件式来表示“这个动物是狗当且仅当它有四条腿”，即“这个动物是狗⇔它有四条腿”。
双重条件式既是合取范式又是析取范式的特点使得它在逻辑推理和知识表示中具有重要价值。
对于逻辑推理来说，双重条件式可以被用于判断两个条件是否完全等价，从而确定它们的真值。
在推理中，如果我们已知双重条件式的两个条件一个为真，那么可以推出另一个条件也为真。
这种推理方法被称为双向推理。
在知识表示中，双重条件式也常用于表示概念之间的等价关系。
当我们希望表达“正方形的四个边相等当且仅当它的四个角为直角”时，可以使用双重条件式来表示这个等价关系。
另外，双重条件式还能够通过将其转化为合取范式和析取范式来进行逻辑运算。
在这个过程中，我们可以使用逻辑等价关系，如德摩根定律和分配律，将双重条件式转化为更简单的形式。
这种逻辑运算的过程在计算机科学和人工智能中具有重要的应用，如知识表示与推理系统中的规则推导和逻辑证明等。
析取范式与合取范式
▪ 析取范式与合取范式 ▪ 主析取范式与主合取范式
1
析取范式与合取范式
文字:命题变项及其否定的总称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, … 析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式
A (pq)((qr)(qr))(su)(u(pq))
((rs)(rs))
（交换律)
B1= (pq)((qr)(qr)) ((pqr)(pqr)(qr)) （分配律）
28
例 (续)
B2= (su)(u(pq)) ((su)(pqs)(pqu))
（分配律）
B1B2 (pqrsu)(pqrsu) (qrsu)(pqrs)(pqru)
说明： 由公式A的主析取范式确定它的主合取范式，反之亦然. 用公式A的真值表求A的主范式.
24
主范式的用途(续)
例 某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕 业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须 满足以下条件：
(1)若赵去，钱也去； (2)李、周两人中至少有一人去； (3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人； (4)孙、李两人同去或同不去； (5)若周去，则赵、钱也去. 试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出 国？
21
主范式的用途——与真值表相同
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 例如 (pq)r m1m3m5 m6m7， 其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111， 其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值. 类似地，由主合取范式也可立即求出成 假赋值和成真赋值.
22
主范式的用途(续)
A
M
j1
主析取范式与主合取范式
主析取范式与主合取范式主析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF）和主合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）是逻辑学中重要的概念。
它们分别是由逻辑表达式经过一定的变换步骤后得到的一种标准形式。
本文将对主析取范式和主合取范式作详细介绍。
一、主析取范式主析取范式是一种逻辑表达式的标准形式，它是由若干个子句的析取构成的，每个子句是由若干个变量或其取反构成的合取式。
例如，下面是一个主析取范式的例子：(A∧B)∨(¬A∧C)∨(D∧¬E)上述例子中，共有三个子句，分别为(A∧B)、(¬A∧C)和(D∧¬E)。
子句中的变量可以赋值为真或假，如果存在一种赋值方式能够使整个逻辑表达式为真，则该赋值方式称为逻辑表达式的一个“满足赋值”。
主析取范式转换的主要步骤为：1.将逻辑表达式中所有的非NOT符号移到变量上方，例如(¬A∨B)变为(A→B)。
2.使用分配律和德摩根定律将所有合取和析取符号进行展开，直到无法再展开为止。
3.将所有变量用圆括号括起来，形成若干个子句；将子句用符号“∨”连接起来，就得到了主析取范式。
主析取范式与主合取范式都是逻辑表达式的标准形式，它们的形式是相近的，只是子句之间的联结符不同。
主析取范式和主合取范式是等价的，即一个逻辑表达式可以通过主析取范式或主合取范式来表示。
但是，在实际运用中，它们各有优点。
主析取范式适合用于实现由逻辑表达式到电路的转换，因为在电路中结构比较简单的是或门（OR），而每一个子句都可以看作是或门的输入。
总之，主析取范式和主合取范式是逻辑学中非常重要的概念，它们不仅有助于对逻辑表达式进行化简与转换，还能在逻辑设计中起到重要的作用。
因此，在逻辑设计与应用过程中，需要灵活掌握主析取范式和主合取范式的使用方法，以便更好地解决实际问题。
离散数学析取范式与合取范式名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
例1.19 由( p q) r 旳真值表求其主析取范式.
p q r p q ( p q) r
000 0
0
001 0
0
010 1
0
011 1
1
100 1
0
101 1
1
110 1
0
111 1
1
主析取范式为： m3m5m7
19
作业: P36 17(1)(3)，18(1)，19
20
课堂练习：
(pq)r （消去） pqr （结合律） 这既是A旳析取范式（由3个简朴合取式构成旳 析取式），又是A旳合取范式（由一种简朴析 取式构成旳合取式）
6
(2) B = ( pq)r
解: (pq)r
(pq)r （消去第一种）
(pq)r （消去第二个）
(pq)r
（否定号内移——德摩根律）
这一步已为析取范式（两个简朴合取式构成）
39
作业: P36 18(2)，20(1)
40
100
M4
p q r
101
M5
p q r
110
M6
p q r
111
M7
32
极小项与极大项比较
由p, q两个命题变项形成旳极小项与极大项
极小项 公式 成真
赋值 p q 0 0 p q 0 1
p q 1 0 pq 1 1
名称
m0 m1 m2 m3
极大项 公式 成假
赋值 pq 0 0 p q 0 1 p q 1 0 p q 1 1
（对分配）
(q p)( p r)(q r) （零律,同一律）
8
(2) 求 ( p q) (p r) 旳合取范式。
合取范式与析取范式
合取范式与析取范式
我们知道在离散数学中，有主合取范式与主析取范式的概念。
本文分享什么是主合取范式与主析取范式，以及如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式。
首先，我们需要了解一下数学概念。
简而言之，
主合取范式，就是若干个极大项的合取（交集）。
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
主析取范式，就是若干个极小项的析取（并集）。
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
而所谓的极大项，就是包含全部数目的命题变元的析取表达式
比如：
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
所谓的极小项，就是涵盖全部数目的命题变元的谓词表达式
例如：
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
下面言归正传，我们看如何按步骤求解命题公式的主合取范式与主析取范式。
常用的方法存有两种，等值演算法和真值表法
等值演算法，就是按照步骤推导公式，最终得到主合取范式或者主析取范式
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
下面，我们来举个例子，求出命题公式的主合取范式与主析取范式
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
最后，我们看看如何采用真值表方法，谋命题公式的主合取范式与主析取范式。
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
我们来看这样一个具体内容例子。
根据真值表，我们取值为0的指派，得到最大项从而写下最小项的谓词，获得主合取范式
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式。
主合取范式和主析取范式求法
主合取范式和主析取范式求法在我们日常生活中，逻辑就像是一根无形的线，把一切串联在一起。
你知道的，逻辑不仅仅是那些严肃的数学公式，也可以是我们日常交流中潜移默化的存在。
说到逻辑，就不得不提到主合取范式和主析取范式了。
听起来有点复杂，其实说白了就是把逻辑表达得更清晰。
别急，咱们慢慢聊聊。
主合取范式，嗯，这个名字一听就觉得有点拗口。
其实呢，就是把逻辑表达成“与”的形式。
想象一下，你在一场聚会上，大家都在聊着自己的事儿。
这时候，你决定说：“好吧，我们来聊聊谁最喜欢吃披萨、喝啤酒、看电影。
”这个时候，你就把几个条件结合起来了，听起来就像是一道很酷的逻辑公式。
在主合取范式中，你只要把这些条件都用“与”连接起来，比如“我喜欢披萨与我喜欢啤酒与我喜欢看电影”，这就是个典型的主合取范式。
主析取范式又是个啥呢？就像个派对上不同的人选择不同的食物一样，主析取范式强调的是“或”的关系。
比如说你在问大家：“你们想吃披萨还是汉堡，还是炸鸡？”这个时候，大家的选择就成了不同的选项。
每个选项都可以单独成一个句子，比如“我喜欢披萨或我喜欢汉堡或我喜欢炸鸡”。
听起来是不是很简单呢？这就是主析取范式，简单明了，直来直去。
怎么从一个复杂的逻辑表达转化成这两种形式呢？咱们可以把这些条件一个一个拆开，慢慢分析。
你得搞清楚逻辑中的每一个命题，像是在解一个拼图。
然后，把这些命题用“与”或者“或”连接起来。
别担心，这个过程就像在做美食，先把材料准备好，然后根据自己的喜好来搭配。
你可以把条件拿出来，像一个厨师一样，看看哪些可以一起炒，哪些可以单独炖。
假设你有几个命题，比如“天气很好”、“有时间去公园”、“带了零食”。
你想把它们转成主合取范式。
简单，直接把它们用“与”连起来，变成“天气很好与有时间去公园与带了零食”。
嘿，这样就完成了！换成主析取范式，只需把每个命题用“或”连接，就可以得到“天气很好或有时间去公园或带了零食”。
这样一来，逻辑就变得清晰又简单了。
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简单合取式：由有限个命题变项及其否定通过合取联结词形式构成的合取式 注：1. 只由命题变项及否定形式构成 2. 形式结构 3. 一个命题变项否定形式也称简单合取式
4. 可以重复
析取范式：由有限个简单合取式构成的析取式
注：1. 有限个
2. 形式结构
3.简单析取式也可称作析取范式，也可称作合取范式 合取范式：由有限个简单析取式构成的合取式
析取范式与合取范式
简单析取式：由有限个命题变项及其否定通过析取联结词构成的析取式
注：1. 只由命题变项及否定形式构成
2. 形式结构
3. 一个命题变项否定形式也称简单析取式
4. 可以重复
定理：1. 一个简单析取式永真当且仅当它同时含有某个命题变项及否定形式
2. 一个简单合取式永假当且仅当它同时含有某个命题变项及否定形式i源自 MiM i mi
主析取范式：
主合取范式：
主范式存在唯一定理：任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和 主合取范式，并且唯一。 证明：存在性：重就消，缺就补 唯一性：
例2. 求公式( p q ) r的主析取范式和主合取 范式
例3. 判断下面公式的类型 (1) ( p q ) q (2) p ( p q ) (3) ( p q ) r 例4.判断下面公式是否等值 (1) p与( p q ) ( p q ) (2) ( p q ) r与（p q ) r
A B ( A B ) ( A B ) (2) 范式中不会出现形如： A, ( A B), ( A B), ( A B)的形式 （3） 在析取范式中不会出现 A ( B C )的形式 在合取范式中不会出现 A ( B C )的形式
例 1. 求公式( p q) r的析取范式和合取范式
解决实际问题：
例5. 某科研所要从三名科研骨干A、B、C中挑选1—2人出国进修，
由于工作需要，选派时要满足下面条件： （1）若A去，则C同去； （2）若B去，则C不能同去； （3）若C不去，则A或B可以去。 问该如何派人？
例6.某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人 出国留学，选派时应满足下面条件： （1）若赵去，则钱也去； （2）李、周两人中必有一人去； （3）钱、孙两人中去且仅去一人；
极小项：在含有n个命题变项的简单合取式中，若每个命题变项和 它的否定形式不同时出现，而二者之一必须出现仅出现一 次，且第i个命题变项或它的否定出现在从左算起的第i位
上，（若命题变项无下标，则按字典顺序，称这样的简单
合取式为极小项。
例2. 请写出一个、二个、三个变量的极小项
极大项：在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项和
注：1. 有限个 2. 形式结构 3.简单合取式也可称作合取范式，也可称作析取范式
4.析取范式、合取范式统称为范式
定理：1. 一个析取范式是永假式当且仅当它的每一个简单合取式为永假式
2. 一个合取范式是永真式当且仅当它的每一个简单析取式为永真式 范式存在定理：(1) A B A B, A B (A B) ( A B)
（4）孙、李两人同去或同不去；
（5）若周去，则赵、钱同去
用等值演算分析该公司该如何派他们出国？
例7.如果A曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A就犯有谋杀罪。
A曾到过受害者房间。如果A在11点前离开，看门人会看见他。
看门人没看见他。所以，A犯有谋杀罪
它的否定形式不同时出现，而二者之一必须出现仅出现一
次，且第i个命题变项或它的否定出现在从左算起的第i位
上，（若命题变项无下标，则按字典顺序，称这样的简单 析取式为极大项。 例2. 请写出一个、二个、三个变量的极大项
问题：n个命题变项可以产生多少个极小项、极大项？
极小项、极大项的记法及相互关系：m