2021.1北京西城区高三期末数学卷+答案
北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷
高三数学2021.1
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项。
（1）已知集合{|13}
A x x
=-<<，{|04}
B x x
=<≤，则A B =
（A）(0,3)（B）(1,4)
-（C）(0,4]（D）(1,4]
-
（2）在复平面内，复数z所对应的点的坐标为(1,1)
-，则z z?=
（A）2（B）2i
-（C
（D）2i
（3）已知()
f x为奇函数，其局部图象如图所示，那么
（A）(2)2
f=
（B）(2)2
f=-
（C）(2)2
f>-
（D）(2)2
f<-
（4）已知(4,8)
A，(2,4)
B，(3,)
C y三点共线，则y的值为
（A）4（B）5（C）6（D）7
（5）已知双曲线
22
22
1
x y
a b
-=的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为
（A
）y=（B）2
y x
=±（C
）y=（D）
1
2 y x =±
（6）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120
x y
-+=的距离的最小值为（A）0（B）1（C）2（D）3
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（7）已知函数()sin 2,[,]f x x x a b =∈，则“2
b a π
-≥
”是“()f x 的值域为[1,1]-”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（8）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log (1)S
C W N
=+
，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ；W 为信道带宽，单位为Hz ；S
N
为信噪比. 香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.
当
99S N =，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；当9999S
N
=，3000Hz W =时，最大数据传输速率记为2C ，则2
1
C C 为 （A ）1
（B ）
52 （C ）154
（D ）3
（9）设函数()f x 和()g x 的定义域为D ，若存在非零实数c D ∈，使得()()0f c g c +=，则称函数
()f x 和()g x 在D 上具有性质P .
现有三组函数：
①()f x x =，2()g x x = ②()2x f x -=，()e x g x =-
③2()f x x =-，()2x g x =
其中具有性质P 的是 （A ）①②
（B ）①③
（C ）②③
（D ）①②③
（10）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,BD B C 的中点，点P 在正方体的
表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是 （A ）点P 可以是棱1BB 的中点 （B ）线段MP 3 （C ）点P 的轨迹是正方形 （D ）点P 轨迹的长度为2+5
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）5
(2)
x-的展开式中x的系数是_______.
（12）数列{}
n
a是公差为2-的等差数列，记{}
n
a的前n项
和为
n
S，且
134
,,
a a a成等比数列，则
1
a=_______；
n
S=_______.
（13）一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的
长度为_______.
（14）已知抛物线2
:2(0)
C y px p
=>的焦点为F，过点(1,4)
M-作y轴的垂线交抛物线C于点A，且满足||||
AF AM
=，则抛物线C的方程为_______；设直线AF交抛物线C于另一点B，则点B的纵坐标为______.
（15）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道.某商店统计了一款冰激凌6月份前6天每天的供应量和销售量，结果如下表：
记()
V t为6月t日冰激凌的供应量，()
W t为6月t日冰激凌的销售量，其中1,2,,30
t=.
用销售指数
()(1)(1)
(,)100%
()(1)(1)
W t W t W t n
P t n
V t V t V t n
+++++-
=?
+++++-
,(1,)
n n∈N
≥来评价从6月t 日开始连续n天的冰激凌的销售情况. 当1
n=时，(,1)
P t表示6月t日的日销售指数.
给出下列四个结论：
①在6月1日至6日这6天中，(4,1)
P最小，(5,1)
P最大；
②在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；
③(1,3)(4,3)
P P
=；
④如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和
销售量对应相等，则对任意{1,2,3,4,5,6,7}
t∈，都有(,6)(1,12)
P t P
=.
其中所有正确结论的序号是______.
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三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，14AA =，
AB AC ⊥，1BE AB ⊥交1AA 于点E ，D 为1CC 的中点.
（Ⅰ）求证：BE ⊥平面1AB C ； （Ⅱ）求二面角1C AB D --的余弦值.
（17）（本小题13分）
已知ABC △的面积为 （Ⅰ）b 和c 的值； （Ⅱ）sin()A B -的值．
条件①:6a =,1cos 3C =-；条件②:A C =,7
cos 9B =-.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题14分）
防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末（10月1日）水库的蓄水量数据如下：
（Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的
绝对值小于1亿立方米的概率；
（Ⅱ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设X 为蓄水量超过33亿立方米
的年份个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明）
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（19）（本小题15分）
已知函数3()f x x x =-.
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅲ）设函数()
()2sin f x t x x x
=-，(0,)x ∈π，试判断()t x 的零点个数，并证明你的结论.
（20）（本小题15分）
已知椭圆22
:142x y C +=. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率和长轴长；
（Ⅱ）已知直线2y kx =+与椭圆C 有两个不同的交点,A B ，P 为x 轴上一点. 是否存在实数k ，
使得PAB △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k 的值及点P 的坐标；若不存在，说明理由.
（21）（本小题15分）
对于数列{}n a ，定义1*11,,1,.
n n n n n a a a a a ++?=?-
n S . （Ⅰ）设2
n n n a =
，写出*1a ，*2a ，*3a ，*
4a ； （Ⅱ）证明：“对任意*n ∈N ，有*
11n n S a a +=-”的充要条件是“对任意*n ∈N ，有1||1n n a a +-=”；
（Ⅲ）已知首项为0，项数为1(2)m m +≥的数列{}n a 满足：
①对任意1n m ≤≤且*n ∈N ，有1{1,0,1}n n a a +-∈-；②*
m
m S a =. 求所有满足条件的数列{}n a 的个数.
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高三数学参考答案 2021.1
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（ 1 ）D （ 2 ）A （ 3 ）C （ 4 ）C （ 5 ）A （ 6 ）B （ 7 ）B
（ 8 ）D
（ 9 ）B
（10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）80
（12）8，
29n n -+ （13
）
（14）24y x =，1-
（15）①④
注：第（12）和（14）题第一空 3 分,第二空 2 分.第（15）题全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他得 3 分.
三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）
解：（Ⅰ）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ， 所以1AA AC ⊥. ……………1分
因为AC AB ⊥，1AB
AA A =，所以AC ⊥平面11AA B B . ……………3分
因为BE ?平面11AA B B ，所以AC BE ⊥.
因为1BE AB ⊥，1AC
AB A =，
所以BE ⊥平面1AB C . ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1,,AB AC AA 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系A xyz -．
则(000)A ，，,1(2,0,4)B ,(0,2,2)D ,(2,0,0)B . ……………7分
设(0,0,)E a ，所以1=(02,2)=(2,0,4)=(20,)AD AB BE a -,
，，,， 因为1AB BE ⊥，所以440a -=，即1a =.
……………8分 所以平面1AB C 的一个法向量为=(20,1)BE -,
． ……………9分
设平面1AB D 的法向量为(,,)x y z =n ，
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所以10,
0.
AD AB ??=??
?=??n n 所以220,240.y z x z +=??+=? 即,
2.y z x z =-??=-?
……………10分
令1z =-，则2,1x y ==，
所以平面1AB D 的一个法向量为(2,1,1)=-n . ……………11分
所以cos ,=||||6BE BE BE ?<>=
=n n n ……………12分
由已知，二面角1C AB D --为锐角，
所以二面角1C AB D --.
……………13分
（17）（共13分）
若选择条件①：
解：（Ⅰ）在ABC △中，因为1
cos 3
C =-，
所以(,)2
C π∈π，sin C =
……………2分 因为1
sin 2
S ab C ==6a =，所以2b =.
……………4分 由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=
，
……………5分 所以c =……………6分
（Ⅱ）由正弦定理
sin sin sin a
b c
A B C ==
，可得62sin sin A B
==. …………7分
所以sin A ，sin B =. ……………9分
因为,(0,)2
A
B π
∈，所以cos A =cos B .
……………11分
所以sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-
-=
……………13分
若选择条件②：
解：（Ⅰ）在ABC △中，因为A C =，所以a c =. 因为
7cos 9B =-
，所以(,)2
B π
∈π，sin B ==.
………2分
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因为211sin 22S ac B c =
==
所以a c ==.
……………4分
由余弦定理，2222cos 64b a c ac B =+-=，所以8b =. ……………6分 （Ⅱ）由正弦定理得
sin sin a b
A B
=
，
所以1sin sin 3a A B b =
=. ……………8分
因为(0,)2
A π∈
，所以cos A . ……………10分
所以sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-
1723
()3927
=?-=-. ……………13分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）设事件A 为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米”， 从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能，…2分
由图表可知，事件A 包含“2011年和2012年”，“2014年和2015年”，“2018年和2019
年”.
……………3分 所以31
()93
P A =
=.
……………4分
（Ⅱ）由表可知，2014到2019年的样本数据中，蓄水量超过33亿立方米有2年，蓄水量不
超过33亿立方米有4年.
随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.
……………5分
022426C C 62(0)C 155P X ?====，11
24
2
6C C 8(1)C 15
P X ?===， 2024
2
6C C 1(2)C 15
P X ?===.
……………8分 所以随机变量
X 的分布列为：
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……………9分
所以2812()012515153
E X =?
+?+?=. ……………11分 （Ⅲ）从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大.
……………14分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由3()f x x x =-，得 2()31f x x '=-．
……………1分 因为(1)0f =，(1)2f '=，
……………3分
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-.
…………4分
（Ⅱ）令()0f x '=，得2310x -=
，解得x =
或x =． 当x 变化时，()f x 和()f x '变化情况如下表：
……………7分
所以，()f x 的单调递减区间是(，单调递增区间是(,-∞-， )+∞； ()f x
在x =x =处取得极小值
……………9分
（Ⅲ）(0,)x ∈π,()0t x =，即21
20sin x x
--=，
等价于2
12sin 0x x --=.
……………10分
设2
()12sin g x x x =--,(0,)x ∈π，则()22cos g x x x '=-.
① 当
[,)
2
x π∈π时，
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()0g x '>，()g x 在区间[,)2
π
π上单调递增.
又2()3024
g ππ=-<，2
()10g π=π->，
所以()g x 在区间[,)2
π
π上有一个零点.
……………11分 ②
当
(0,)2
x π
∈时,设
()()22cos h x g x x x '==-.
()22sin 0h x x '=+>，所以()g x '在区间(0,)2
π上单调递增. ………12分 又(0)20g '=-<，()02
g π'=π>， 所以存在0(0,)2
x π∈，使得0()0g x '=.
所以，当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；
当0(,)2
x x π∈时，()0g x '>，()g x 单调递增.
……………13分
又(0)10g =-<，2
()3024
g ππ=-<，
所以()g x 在区间(0,)2
π上无零点. ……………14分 综上所述，函数()t x 在定义域内只有一个零点.
……………15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）由题意：24a =，22b =，所以2a =. ……………1分 因为222a b c =+，所以22c =
，c = ……………2分
所以c e a =
=. ……………3分
所以椭圆C
离心率为
2
，长轴长为4. ……………4分
（Ⅱ）联立222,142
y kx x y =+???+
=?? 消y 整理得：22
(21)840k x kx +++=.
……………5分
因为直线与椭圆交于,A B 两点，故0?＞，解得21
2
k ＞.
……………6分
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设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122821k x x k -+=+，12
24
21
x x k =+.……………8分 设AB 中点00(,)G x y ，
则1202
4221x x k x k +-==+，0022
221
y kx k =+=+， 故22
42(
,)2121
k G k k -++. ……………9分
假设存在k 和点(,0)P m ，使得PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形， 则PG AB ⊥，故1PG AB k k ?=-，
所以
2
22
211421
k k k m k +?=---+，解得2221k m k -=+，故22(0)2+1k P k -，.…………10分 又因为2
APB π
∠=
，所以0PA PB ?=. 所以1122(,)(,)0x m y x m y -?-=，即1112()()0x m x m y y --+=.
整理得 22
1212(1)(2)()40k x x k m x x m ++-+++=.
所以2222
48(1)(2)4021
21
k
k k m m k k +?--?
++=++， ……………12分 代入2
221
k
m k -=
+，整理得41k =，即21k =. ……………14分
当1k =-时，P 点坐标为2
(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3
-. 此时，PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形.
……………15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）因为112a =
，212a =，338a =，414a =，55
32
a =， 根据题意可得*1
1a =，*21a =-，*31a =-，*41a =-. ……………4分
（Ⅱ）必要性：对1n =，有*121S a a =-，因此**
2111||||||1a a S a -===. ……5分
对任意*n ∈N 且2n ≥，有*11n n S a a +=-，*
11n n S a a -=-，
两式作差，得**11n n n n S S a a -+-=-，即*
1n
n n a a a +=-， 因此 *
1||||1n n n a a a +-==.
……………7分
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综上，对任意*n ∈N ，有1||1n n a a +-=.
充分性：若对任意*n ∈N ，有1||1n n a a +-=，则*
1n n n a a a +=-， 所以 ***
*
122132111()()()n
n n n n S a a a a a a a a a a a ++=+++=-+-+
+-=-.
综上，“对任意*n ∈N ，*
11n n S a a +=-”的充要条件是“对任意*n ∈N ，
1||1n n a a +-=”.
……………10分
（Ⅲ）构造数列{}n b ：10b =，1111,||1,1,0.n n n n n n n n a a a a b b a a ++++--=?-=?-=?
则对任意1n m ≤≤且*n ∈N ，有**
n n b a =，1||1n n b b +-=. 结合（Ⅱ）可知，***
****
1212111m m m m m S a a a b b b b b b ++=+++=++
+=-=.
又*
m m S a =，因此1m m b a +=.
设21321,,,m m a a a a a a +---中有k 项为0，
则1121321()()()m m m a a a a a a a a ++=+-+-++-
121321()()()m m b b b b b b b k +=+-+-++--
1m b k +=- m a k =-. 即1m m a a k +-=-.
因为1{1,0,1}m m a a +-∈-，所以0k =或1. ……………13分 若0k =，则10m m a a +-=， 与21321,,
,m m a a a a a a +---中有0项为0，即0k =矛盾，不符题意.
若1k =，则11m m a a +-=-.
所以，当11m m a a +-=-，21321,,
,m m a a a a a a ----中有一项为0，其余2m -项为1
±时，数列{}n a 满足条件.
21321,,
,m m a a a a a a ----中有一项为0，共1m -种取法；其余2m -项每项
有1或1-两种取法，
所以，满足条件的数列{}n a 的个数为2
(1)2
m m --?. ……………15分