计量经济学练习题

《计量经济学》

习题

河北经贸大学应用经济学教研室

2004年7月

第一章绪论

⒈为什么说计量经济学是经济理论、数学和经济统计学的结合？

⒉为什么说计量经济学是一门经济学科？它在经济学科体系中的地位是什么？它在经济研究中的作用是什么？

⒊建立与应用计量经济学模型的主要步骤有哪些？

⒋计量经济学模型有哪些主要应用领域？各自的原理是什么？

⒌下列假想模型是否属于揭示因果关系的计量经济学模型？为什么？

⑴St=112.0+0.12Rt

其中，St为第t年农村居民储蓄增加额（亿元），Rt为第t年城镇居民可支配收入总额（亿元）。

⑵S t-1=4432.0+0.30R t

其中，S t-1为第（t-1）年底农村居民储蓄余额（亿元），Rt为第t年农村居民纯收入总额（亿元）。

⒍指出下列假想模型中两个最明显的错误，并说明理由：

RS t=8300.0-0.24RI t+1.12IV t

其中，RS t为第t年社会消费品零售总额（亿元），RI t为第t年居民收入总额（亿元）（城镇居民可支配收入总额与农村居民纯收入总额之和），IV t为第t年全社会固定资产投资总额（亿元）。

第二章一元线性回归模型

⒈ 对于设定的回归模型作回归分析，需对模型作哪些假定，这些假定为什么是必要的？ ⒉ 试说明利用样本决定系数R 2

为什么能够判定回归直线与样本观测值的拟和优度。

⒊ 说明利用)

(0∧

βS 、)(1∧βS 衡量∧0β、∧

1β对0β、1β估计稳定性的道理。

⒋ 为什么对

∧

0β、∧

1β进行显著性检验？试述检验方法及步骤。

⒌ 对于求得的回归方程为什么进行显著性检验？试述检验方法及步骤。 ⒍ 阐述回归分析的步骤。

⒎ 试述计量经济模型与一般的经济模型有什么不同？ ⒏ 一元线性回归模型有时采用如下形式：

i i i X Y μβ+=1

模型中的截距为零，叫做通过原点的回归模型。试证明该模型中：

（1）

∑∑=

∧

21i

i

i X

Y

X β

（2）

∑=

∧

221)var(i

X

μ

σβ

⒐ 下述结果是从一个样本中获得的，该样本包含某企业的销售额（Y ）及相应价格（X ）的11个观测值。

18

.519_

=X ；

82

.217_

=Y ；

∑=3134543

2

i

X

；

∑=1296836

i

i Y

X ；

∑=539512

2

i

Y

（1）估计销售额对价格的样本回归直线，并解释其结果。

（2）回归直线的判定系数是多少？

⒑ 已知某地区26年的工农业总产值与货运周转量的数据见下表。试作一元线性回归分析，若下一年计划该地区工农业总产值为8亿元，预测货运周转量。

⒒我国1977年至1987年国民收入总额与社会消费品零售额的统计资料如下表所示。

（1）用Y 表示社会消费品零售额，X 表示国民收入，作出散点图，进行分析后建立一元线性回归模型，利用OLS 求得回归方程，说明其经济含义。

（2）计算r 2，说明回归方程的拟合优度。

（3）给定显著水平为5%，对回归方程进行显著性检验。

⒓ 从经济学和数学两个角度说明，为什么计量经济学模型的理论方程中必须包含随机误差项？

⒔ 下列方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？

（1）t t X Y βα+=； （2）t t t X Y μβα++=； （3）t t t X Y μβα++=∧

∧

（4）t t t X Y μβα++=∧

∧

∧

（5）

t

t X Y ∧

∧+=βα （6）

t

t X Y ∧

∧∧+=βα

（7）

∧

∧

∧

++=t

t t X Y μβα （8）

∧

∧

∧

∧

++=t

t t X Y μβα 其中， n t ,,2,1 =。

⒕ 线性回归模型

t t t X Y μβα++= n t ,,2,1 =

的零均值假设是否可以表示为∑==n

t t n 1?01μ为什么？

⒖ 最小二乘法和最大或然法的基本原理各是什么？为什么说它们是两类不同的估计方法？

⒗ 参数估计量的无偏性和有效性的含义是什么？从参数估计量的无偏性和有效性证明过程说明，为什么说满足基本假设的计量经济学模型的普通最小二乘参数估计量才具有无偏性和有效性？

⒘ 解释概念：

总体回归函数 样本回归函数 随机的总体回归函数 线性回归模型 随机误差项 残差项 条件期望 非条件期望 回归系数（或回归参数） 回归系数的估计量 最小二乘 OLS 估计量 估计量的方差 估计量的标准差 同方差性 自回归 BLUE 总离差平方和 回归平方和 残差平方和 判定系数r 2 估计值的标准差 显著性检验 t 检验 统计显著的

⒙（1）令

∑∑=

--=

2

2

_

_

)(i i i

i i x x X X

X

X k ，证明：

∑∑∑∑∑

∑=====∧

i

i i

i

i

i

i i

i

Y k X

k x

k x k k

12

2

1

1

10

β

（2）令i

i k X n w _

1-=，证明：

∑∑∑===∧

i

i i

i

i

Y w x

w w

00

1

β

（3）证明：

0_

====∑∑∑∧i

i

i

i

i

Y

e x

e e e

（4）证明OLS 估计量具有线性、无偏性、有效性。 ⒚ 考虑下面的模型：

20)

73.18()(9460

.0)()7509.10(0650.0105.662====+-=∧

n t r se X Y i i

完成空缺。若α=5%，你能接受假设：真实的参数估计值为0吗？用单边检验还是双边检验，为什么？

⒛ 选择一简单经济问题，收集样本资料，建立一元线性回归模型，进行回归分析（采用TSP 软件包），并写出详细的研究报告。

第三章 多元线性回归方程

⒈多元线性计量经济学模型

n i X X X Y i

ki k i i i ,,2,122110 =+++++=μββββ

的矩阵形式是什么？其中每个矩阵的含义是什么？熟练地写出用矩阵表示的该模型的普通最小二乘参数估计量，并证明在满足基本假设的情况下该普通最小二乘参数估计量是无偏和有效的估计量。

⒉什么是正规方程组？分别用非矩阵形式和矩阵形式写出第一题中多元线性回归模型的正规方程组及其推导过程。

⒊熟悉t 统计量的计算方法和查表判断。

⒋为什么从计量经济学模型得到的预测值不是一个确定的值？预测值的置信区间和置信度的含义是什么？在相同的置信度下如何才能缩小置信区间？为什么？

⒌试对二元线性回归模型

μβββ+++=22110X X Y

作回归分析。

（1）求参数210

βββ的最小二乘估计量∧

∧

∧

21

βββ。 （2）求∧

∧

21

ββ的方差与随机项μ的方差

2

μ

σ的估计值

2e

S ，对∧

∧

21

ββ进行显著性t

检验。

（3）求模型的可决系数R 2，F 值，对回归方程进行显著性检验。

⒍下表列出了某种商品的需求量、价格和消费者收入十年的时间序列资料。

（1）商品需求量Y 是其价格X 1和消费者收入X 2的函数，试求Y 对X 1和X 2的最小二

乘回归方程：

2

2110X X Y ∧

∧∧∧++=βββ

（2）求Y 的总离差平方和中未被X 1和X 2解释的部分，并对回归方程进行显著性检验。 （3）对回归系数∧

∧

21

ββ进行显著性检验（t 检验）。

⒎下表给出了我国全民所有制独立核算工业企业7年的总产值、全员劳动生产率、企业从业职工总数的统计资料。试进行二元线性回归分析，并进行相关检验。

⒏解释概念：

偏回归系数可决系数调整后的可决系数⒐求下列情况下的2?σ

（1）∑=

=

=4

,

25

,

800

2k

n

e

i（包括截距）；

（2）∑=

=

=3

,

14

,

1200

2k

n

e

i（不包括截距）。

⒑下表给出了三变量模型的回归的结果：

（1）样本容量是多少？

（2）求RSS？

（3）ESS与RSS的自由度各为多少？

（4）求2

R和2R

⒒分析一实际经济问题，建立多元线性回归模型，收集样本，进行回归分析（运用TSP 软件包），写出研究报告。

第四章异方差性

⒈ 什么是异方差？产生异方差性的经济背景是什么？检验异方差性的方法思路是什么？

⒉ 理解加权最小二乘法的方法原理和实际应用中的具体步骤。 ⒊ 阐明G-Q 检验的步骤。试说明构造统计量

1

212)

2/()

2/(

RSS RSS k c n RSS k c

n RSS F =

----=

作为检验统计量的道理。

⒋ 考察下述模型：

t t t X Y μββ++=10

式中，

t t t X νβμ+=2

2 ，t ν是一个独立于X 且满足全部古典假定的随机变量。 那么，对原模型是否可以利用OLS?为什么？

⒌ 某地区31年中的个人储蓄及个人收入资料如下表所示。利用给定的资料，作异方差性检验；如果存在显著的异方差，假定出异方差的形式，建立一元线性回归模型，进行回归分析。

⒍ 对一元线性回归模型：

i i i X Y μββ++=10

假设

??

?=≠=j

i j i E i j i σμμ0

),(

令

2

1

i

i w σ=

，对模型应用加权最小二乘法求∧

∧

21

ββ。

⒎ 考察下述形式的消费函数：

t t t t A Y C μβββ+++=210

式中，

t C 为消费支出；t Y 为个人可支配收入；t A 为消费者的流动资产；

2

2)(0

)(t

t t Y Var E μσμμ==（其中

2

μ

σ为常数）。

（1）将上述模型变换为其随机项是同方差的模型。 （2）试证这个变换了的模型的随机项的方差等于

2μ

σ，因而变换了的模型是同方差的。

（3）写出估计这个变换了的模型参数所需要的正规方程。

⒏ 对某沿海地区家庭每年生活开支和每年收入进行抽样研究，调查了20个家庭，其中每5个家庭收入相同，共分作四组，数据列表如下：

家庭生活开支模型假设为：

i i i X Y μββ++=10

式中，

i Y 为家庭生活开支；i X 为家庭收入。

（1）利用OLS 求回归方程。

（2）作散点图，用散点图分析家庭生活开支离差量的变化情况。

（3）把数据分作两个子样本，第一个子样本包括收入为5000元与10000元的家庭，即低收入家庭。第二个子样本包括收入为15000元和20000元的家庭，即高收入家庭（这里没有删去量）。进行G-Q 检验。

（4）设22)(i i X Var σμ=，其中2σ为一非零常数，变换原模型求回归方程。

⒐ 在双变量总体回归函数中，假设随机项方差有如下结构：

422)(i i X E σμ=

如何变换模型从而达到同方差的目的？并进一步估计变换后的模型参数，列出估计步骤。

第五章 序列相关性

⒈ 什么是序列相关性？产生序列相关性的经济背景是什么？检验序列相关性的方法思路是什么？熟悉D.W.统计量的计算方法和查表判断。

⒉ 结合教材P86的发电量模型，理解广义差分法的应用。

⒊举例说明自相关的经济意义，对于线性回归模型，导致随机项μ自相关的原因有哪些？

⒋某地区居民对农产品的消费量Y 和居民收入X 的样本资料见下表，确定消费量Y 对收入X 的回归方程（理论计算和TSP 软件两种方法）。

⒌ 对于线性回归模型：

t t t X Y μββ++=10

已知μ为一阶自回归形式：

t t t ερμμ+=-1

证明：

∑∑=-=-∧

≈

n

t t n

t t t e

e

e 2

21

21ρ

⒍ 假定下述模型：

t t t P S μββ++=10

描述某一企业的产量决策。其中

t S 表示产量，t P 表示价格，t μ为随机项。每当由于某

种原因促使企业在t-1期生产过剩，决策者就要削减t 期的产量。

根据上述信息，如果用OLS 估计

0β和1β，其结果如何？

⒎解释名词：自相关一阶自相关 D.W.检验广义差分法

⒏在存在AR(1)自相关的情形下，什么估计方法能够产生BLUE估计量？简述这个方法的具体步骤。

⒐D.W.统计量虽广泛使用，但它有什么缺陷？

⒑在研究工人在价值增值中所占份额的变化中，根据1949年到1964年期间美国的数据，得到如下回归结果：

模型A：

)

9708

.3

(

8252

.0

.

5284

.0

0041

.0

4529

.02

-

=

=

=

-

=

∧

t

W

D

r

t

Y

t

模型B：

)

7777

.2(

)

2724

.3

(

82

.1

.

5284

.0

0005

.0

00127

.0

4786

.02

2

-

=

=

=

+

-

=

∧

t

W

D

r

t

t

Y

t

其中，Y为劳动份额，t为时间。

（1）在模型A中存在序列相关吗？模型B呢？

（2）如果在模型A中存在序列相关而模型B中不存在，则前者存在序列相关的原因何在？

（3）这个例子告诉我们在自相关的检验中，D.W统计量有哪些优点？

11．（判断题）

（1）当模型存在高阶自相关时，可用D-W法进行自相关检验。

（2）当模型的解释变量包括内生变量的滞后变量时，D-W检验就不适用了。

（3）DW值在0和4之间，数值越小说明正相关程度越大，数值越大说明负相关程度越大。（4）假设模型存在一阶自相关，其他条件均满足，则仍用OLS法估计未知参数，得到的估计量是无偏的，不再是有效的，显著性检验失效，预测失效。

12．考虑以下模型：

t t t t t X X X Y μββββ++++=4433221，其中t t t v +=-1ρμμ。

请问怎样消除此模型中的自相关？

第六章 多重共线性

⒈ 什么是多重共线性？请举例说明。产生多重共线性的经济背景是什么？检验多重共线性的方法思路是什么？

⒉ 完全多重共线性和不完全多重共线性的区别是什么？ ⒊ 简述多重共线性的逐步回归法。

⒋ 下表给出了某国1959-1968年的服装消费量i Y 、可支配收入i X 1、流动资产i X 2、

服装价格指数

i X 3、一般商品的价格指数i X 4五项时间序列资料。求影响服装消费量的主要

因素的回归方程（运用TSP 软件包），并进一步理解逐步回归法。

⒌ 考虑模型

i i i i i X X X Y μββββ++++=3

32210 其中，Y 是生产的总成本，X 是产出。“既然X 2和X 3

是X 的函数，则模型中存在着共线性”。这种说法正确吗？为什么？

⒍ 不完全多重共线性的理论后果和实际后果是什么？

第七章 随机解释变量和虚拟变量

⒈ 什么是工具变量法？为什么说它是克服随机解释变量问题的有效方法？ ⒉ 在如下多元线性回归模型中，

n i X X X Y i

ki k i i i ,,2,122110 =+++++=μββββ

如果1X 是随机解释变量并且与随机误差项相关，选择变量Z 作为它的工具变量： （1）变量Z 应满足什么条件？

（2）分别用非矩阵形式和矩阵形式写出关于工具变量法参数估计量的正规方程组。

⒊ 利用工具变量法估计模型参数的基本思路是什么？ ⒋ 对于多元线性回归模型：Y=XB+U

设X 为随机矩阵，X 与U 相关，即 0

)1

lim(≠XU n P

选Z 作工具变量（Z 为n ×(k+1)阶矩阵），试用工具变量法求参数估计量矩阵*

B 。

⒌ 证明工具变量法求参数估计量*

B 是B 的无偏估计量。 ⒍ 某经济学家想要估计消费函数：

t t t Y C μββ++=10

式中，C 为消费，Y 为收入，Z 为投资（可作为工具变量）。其观测数据见下表。

（1）试用OLS 估计消费函数。

（2）试用工具变量法估计消费函数，比较这两个估计函数。

⒎ 试述对有些经济问题，在建立线性回归模型时为什么要引入虚拟变量，根据虚拟变量的引入方式，说明它在模型中的作用。

⒏ 已知春秋两季中，购买新汽车的数量较多。现知其模型为：

t t t P Y A μβββ+++=210

其中，A 为购买汽车的数量，Y 为可支配收入，P 为汽车价格。

如果该模型是用季度资料估计的，若考虑季节变动对购买汽车的影响，试确定一个虚拟变量，建立所需要的模型。

9．在经济发展发生转折时期，可以通过引入虚拟变量方法来表示这种变化。例如，研究进口消费品的数量Y 与国民收入X 的模型关系时。1979年前后，Y 对X 的回归关系明显

不同。现以1979年为转折时期，设虚拟变量

??

?=)1979(1979119790年含年以后年以前

t D

数据散点图显示进口消费函数发生了结构性变化：基本消费部分下降了，边际消费倾向变大了。试写出该进口消费品线性消费函数的计量经济学方程。

第八章 联立方程计量经济学模型理论与方法

⒈ 理解联立方程计量经济学模型的以下重要概念：内生变量、外生变量、先决变量、结构式模型、简化式模型、参数关系体系。

⒉ 已知一个联立方程计量经济学的完备的结构式模型，如何确定其中的内生变量、先决变量、外生变量。

⒊ 为什么联立方程计量经济学模型存在识别问题？识别的几种定义之间的区别与联系是什么？什么是“确定的统计形式”？

⒋ 如何从定义出发判断模型的识别状态？

⒌ 熟悉并会正确应用结构式识别条件判断模型的识别状态。 ⒍ 如何对不可识别的方程进行简单修改使之可以识别？

⒎ 理解联立方程计量经济学模型单方程估计方法与系统估计方法的概念。

⒏ 联立方程计量经济学模型的单方程估计方法与单方程计量经济学模型的估计方法之间的联系与区别是什么？

⒐ 理解ILS 、IV 、2SLS 的概念、方法、适用对象。

⒑ 为什么说ILS 、IV 、2SLS 方法都可以认为是工具变量方法？它们在工具变量的选取上有什么区别？

⒒ 如何用矩阵形式表示ILS 、IV 、2SLS 的参数估计量？

⒓ 证明对于恰好识别的结构方程ILS 、IV 、2SLS 的参数估计量是等价的。 ⒔ 为什么实际中常应用OLS ？ ⒕

在如下的宏观经济学模型中，其完备的结构式

为: 1996

,,1979,197821011210 =???

??++=++=+++=-t G

C I Y Y I C Y C t

t t t

t t t t t t t μββμααα

（1）请指出内生变量、外生变量和先决变量。 （2）利用模型识别条件分析判断模型的可识别性。 ⒖ 某联立方程计量经济学模型有3个方程、3个内生变量（321Y Y Y ）、3个外生变量

（

321X X X ）和样本观测值始终是1的虚变量C ，样本容量为n 。其中第2个方程

233321102μαααα++++=X Y X Y

为恰好识别的结构方程。

（1）写出用IV 法估计该方程参数的正规方程组。

（2）用ILS 方法估计该方程参数，也可以看成一种工具变量方法，指出工具变量是如何选取的，并写出参数估计量的矩阵表达式。

（3）用2SLS 方法估计该方程参数，也可以看成一种工具变量方法，指出3Y 的工具变量

是什么，并写出参数估计量的矩阵表达式。