等差数列及其运用
等差数列及其运用
姓名
知识、规律、方法
相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就成为等差数列。其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示。如：1，2，3，4，5，......中，d=2-1=3-2=4-3= (1)
1，3，5，7，9，...中，d=3-1=5-3=7-5= (2)
数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项......最后一个数叫末项。
对于公差为d的等差数列来说，1、如果首项小于末项，则
2、如果首项大于末项，则
3、如果末项大于首项，则
如果末项小于首项，则0
4、这个n项等差数列的和为：
范例、拓展
例1 已知等差数列1，4，7，10，13，...，
（1）这个数列的第15项是多少？
（2）55是其中的第几项？
拓展一如果一个等差数列的第三项为21，第六项为33，求它的第九项。
拓展二在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，写出插入的5个数。
例2 计算：3+7+11+15+19+23+27+31+...+79+83
拓展一求（2+4+6+8+...+1000）—（1+3+5+7+...+999）的值
拓展二1000+999—998+997+996—995+...+106+105—104+103+102—101的结果是多少？
例3 求所有被8除余数是3的三位数的和是多少？
练习：
1、计算。
（1）15+16+17+18+...+26+27+28 （2）1+3+5+7+...+45+47+49
（3）200+202+204+...+296+298+300 （4）297+293+289+...+213+209
（5）3000—1—2—3—...—57—58 （6）1+2+...+99+100+99+...+2+1
2、小米读一本书，第一天读了25页，以后每天比前一天多看了3页，看了20天刚好看完。这本书一共有多少页?
3、有10个盒子，44个乒乓球，能不能把44个乒乓球放到盒子里，使每个盒子里的乒乓球数都不相等？
4、有一堆粗细均匀的圆木，堆成下图的形状，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，共堆了25根。这堆圆木共有多少根？
5、某剧院有25排座位。后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。这个剧院一共有多少个座位？
6、小明从1月1日开始写大字，第一天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月共写了589个大字。小明每天比前一天多写几个大字？
7、在1——100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
等差数列应用题.题库
等差数列应用题 例题精讲 【例 1】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【例 2】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？ 【例 3】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按 照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102 个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？ 【巩固】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根? 【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？ 【难度】2星【题型】解答 【例 4】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？ 【巩固】某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？ 【巩固】一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢?
(完整版)等差数列的通项公式及应用习题
等差数列的通项公式及应用习题 1. 已知等差数列｛a n ｝中，a2=2, a5=8,贝擞列的第10项为（） A. 12 B . 14 C. 16 D. 18 2. 已知等差数列前3项为-3, -1, 1，则数列的第50项为（） A . 91 B. 93 C. 95 D. 97 3. 已知等差数列首项为2,末项为62,公差为4,则这个数列共有 A . 13 项 B . 14 项C. 15 项D. 16 项 4. 已知等差数列的通项公式为a n=-3n+a, a为常数，则公差d=久一3 B, 3 C. 一三 D.- 2 2 5. 已知等差数列｛a n ｝中，a1=1, d=3,那么当a n=298时，项数n等于 A. 98 B . 99 C . 100 D . 101 6. 在等差数列｛a n ｝中，若a3=-4 , a5=11,则an等于 A. 56 B . 18 C . 15 D . 45 7. 在等差数列｛a n｝中，若a1+a2=-18 , a5+a6=-2，则30是这个数列的
A .第22项B.第21项C.第20项D.第19项 3,在数列中，若ai= 20, =-^ + 1),则时等于 -- A. 45 B. 48 C. 52 D. 55 11. 已知数列a, -15 , b, c, 45是等差数列，则a+b+c的值是 A. -5 B . 0 C . 5 D. 10 12. 已知等差数列｛a n｝中，a1+a2+a3=-15 , a3+a=-16，贝卩a二 A. -1 B . -3 C . -5 D . -7 13. 已知等差数列｛a n ｝中，a10=-20 , a2°n=20,则这个数列的首 项a为 A. -56 B . -52 C . -48 D . -44 二、填空题 1. 等差数列7，11，15,…，195，共有____________ 项. 2. 已知等差数列5, 8, 11,…，它的第21项为____________ . 3. 已知等差数列-1 , -4 , -7, -10,…,则-301是这个数列的 第_____ .
2014年事业单位考试行测备考：等差数列
2014年事业单位考试行测备考：等差数列 链接：https://www.360docs.net/doc/7213818301.html,/anhui/ (一)等差数列 等差数列的特点是数列各项依次递增或递减，各项数字之间的变化幅度不大。 等差数列是数字推理题中最基本的规律，是解决数字推理题的“第一思维”。所谓“第一思维”是指在进行任何数字推理题的解答时，都要首先想到等差数列，即从数字与数字之间的差的关系上进行判断和推理。 【例1】19，23，27，31，()，39。 A.22 B.24 C.35 D.11 【解答】本题正确答案为C。这是一道典型的等差数列，相邻两数字之间的差相等，我们很容易发现这个差为4，所以可知答案为31+4=35。 (二)二级等差数列 如果一个数列的后项减去前项又得到一个新的等差数列，则原数列就是二级等差数列，也称二阶等差数列。 【例2】 147，151，157，165，() 。 A.167 B.171 C.175 D.177 【解答】本题正确答案为C。这是一个二级等差数列。该数列的后项减去前项得到一个新的等差数列：4，6，8，()。观察此新数列，可知其公差为2，故括号内应为10，则题干中的空缺项应为165+10=175，故选C。 【例3】32，27，23，20，18，() 。 A.14
B.15 C.16 D.17 【解答】本题正确答案为D。这是一个典型的二级等差数列。该数列的前一项减去后一项得一个新的等差数列：5、4、3、2。观察此新数列，其公差为-1，故空缺处应为18+(-1)=17。 (三)二级等差数列的变式 数列的后一项减前一项所得的差组成的新数列是一个呈某种规律变化的数列，这个数列可能是自然数列、平方数列、立方数列，或者与加、减“1”的形式有关。 【例4】10，18，33，()，92。 A.56 B.57 C.48 D.32 【解答】本题正确答案为B。这是一个二级等差数列的变式。由题目知： 18-10=8，33-18=15，其中8=32-1，15=42-1，可知后项减前项的差是n2-1，n 为首项是3的自然递增数列，那么下一项应为52-1=24，故空缺项应为33+24=57，以此来检验后面的数字，92-57=62-1，符合规律，所以答案应选B。 (四)三级等差数列及其变式 三级等差数列及其变式是指该数列的后项减去前项得一新的二级等差数列 及其变式。 【例5】1，10，31，70，133，()。 A.136 B.186 C.226 D.256 【解答】本题正确答案为C。该数列为三级等差数列。10-1=9，31-10=21，70-31=39，133-70=63;21-9=12，39-21=18，63-39=24。观察新数列：12，18，
等差数列及其性质典型例题及练习(学生)
等差数列及其性质 典型例题： 热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中， （1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S 变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知 102030,50a a ==. （1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n . 热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求证：在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有 1n n a a +>. （3 ）设n b n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练：已知数列{n a }中，13 5 a = ，数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 .0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3 a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得 T n
等差数列的性质、求和知识点及训练
等差数列的性质、求和知识点及训练 重点：掌握等差数列的通项公式、求和公式以及等差中项的求法 难点:对等差数列的综合考察 一知识梳理 1.定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法 （1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数 列．
（2）等差中项：数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、 n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便 可求出其余2个，即知3求2。 （2）通常把题中条件转化成只含1a 和d 的等式！ 8.等差数列的性质： （1）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差 0d =，则为常数列。 （2）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有 2m n p a a a +=. (3) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （公差为md ） 图示： m m m m m m S S S m m S S m m S m a a a a a a a a 323231221321-+-+++++++++++ （4）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =， 则 21 21 (21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. （5）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列 (6)求n S 的最值 法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。若S p = S q 则
高二数学 等差数列的定义及性质
等差数列的定义及性质 ?等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a n+1-a n=d。 ?等差数列的性质： （1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则a m＝a n+(m-n)d； （4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a s+a t=a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a s+a t=2a p； （5）若数列｛a n｝，｛b n｝均是等差数列，则数列｛ma n+kb n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。 （6） （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）仍为等差数列，公差为
?对等差数列定义的理解： ①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同 一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． ②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数 列；当d<0时，数列为递减数列； ④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据； ⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。 等差数列求解与证明的基本方法： (1)学会运用函数与方程思想解题； (2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键； (3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，a n，S n，知道其中任意三 个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
等差数列综合应用
第六课时 等差数列综合应用 【知识与技能】进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n 项和公式研究S n 的最值，初步体验函数思想在解决数列问题中的应用；掌握裂项相消法求数列的和． 【重点难点】 重点：等差数列前n 项和公式的掌握与应用，裂项相消法求数列的和． 难点：灵活运用求和公式解决问题． 【教学过程】 一、要点梳理 1．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 变形公式：d m n a a m n )(-+=；m n a a d m n --=； 2．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A B 、是常数，当0d ≠时，n S 是二次项系数为d 2 ，图象过原点的二次函数．） 3．等差数列的性质 （1）等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列； （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有 2m n p a a a +=； （4）等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差．． 数列； （5）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和. 若当项数为偶数n 2时， ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇，11 n n n n S na a S na a ++==奇偶 若当项数为奇数12+n 时， 21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +?=+=+=+?+????=?? -==???? n+1n+1 奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为21n +的等差数列的中间项）； （6）{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =，则()2121 =21n n n n a A f n b B --=-； （7）若m S n =()n S m m p =≠，则m n S += ；
高中数学《等差数列及其性质典型例题及练习》
《等差数列及其性质》练习题 热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中， （1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S 变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知 102030,50a a ==. （1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n . 热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求证：在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有 1n n a a +>. （3 ）设n b n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练：已知数列{n a }中，13 5 a = ，数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 .0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S Λ中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3 a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得 T n
等差数列的性质总结
等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，
高中数学总结归纳 等差数列通项、求和公式的几个变式及其应用
高考数学复习总结归纳点拨 1 等差数列通项、求和公式的几个变式及其应用 我们知道,首项然而元素是等差数列的两个基本及公差,1d a 在实际问题中未必给出d a 或1,有时也根本不需要考虑d a 或1.此时,若还是从最原始的公式出发,就有可能遇到许多麻烦,做些无用功,甚至劳而无获;相反,若能灵活运用公式的变式,问题便可迎刃而解.因此,在熟练掌握原公式的基础上,引导学生研讨公式的各种变形,不仅有利于加深对公式的理解,而且有利于培养学生的应变能力和思维的灵活性.下面给出等差数列通项公式及求和公式的几个变式及其应用. 1、 变式一:n m n S m S d n m a a d n m n m --=--=2或. Θ:证明等差数列通项公式和前n 项和公式可分别写成)(1d a nd a n -+=和)2 (21d a nd n S n -+=. )2 (2)(),(),(11d a dx y d a dx y n S n a n n n -+=-+=∴和分别在直线和点. ∴ 由直线的斜率公式可得: n m n S m S d n m a a d n m n m --=--=2或. 例1一个等差数列的第3项是9,第9项是3,求它的第12项. 解:根据变式一,有3 123931239--=--a a a a 把0,3,91293===a a a 即得代入. 类似地,可以证明本题的推广:{} 0,,===+q p q p n a p a q a a 则的设等差数列. 例2{}n a 等差数列的前项和为则它的前项和为前项和为m m m 3,1002,30( ). 130)(A 170)(B 210)(C 260)(D 解: 根据变式一,有
等差数列的应用
五年级奥数试题（1） 等差数列的应用姓名 1，下图中有多少三角形。 分析：从图上看，独立的三角形有A、B、C、D四个；两两组合的有3个，即AB、BC、CD；三个三个组阁的有ABC、BCD两个；四个组合的有一个即ABCD。那么一共就有4＋3＋2＋1＝10（个） A B C D 解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：共有10个三角形。 2，在一个平面上，两条直线相交，只有一个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交最多有6个交点；那么20条直线在一个平面上相交最多有多少个交点？ 2条 1个交点 3条 3个交点 4条 6个交点 5条 10个交点
1 1＋（3－1） 1＋2＋（4－1） 1＋2＋3＋（5－1）…… 这一组数是一组等差“1”的数列，计算时可以应用求等差数列和的公式进行计算。 解： 1＋2＋3＋……＋（20－1）答：20条直线在一个平面上相交最多有190个交点。 3，下图中共有多少个长方形。 分析：按例1的分析方法，用阴影表示沿长和宽，沿长边有4＋3＋2＋1＝10（个）长方形，宽边有5＋4＋3＋2＋1＝15（个）长方形，那么这个图里共有 15×10＝150（个）长方形。 解：（4＋3＋2＋1）×（5＋4＋3＋2＋1）＝150（个） 答：这个图中一共有150个长方形。 4，若干名小学生进行体操训练，排成一个中空方阵，最外层每边12人，共4层，求组成这个方阵的小学生一共有多少人？ 分析：方阵问题中每层人数是一个等差为8的数列，也就是外面一层人数比紧邻内层的人数多8。根据题意，求出最外层人数为（12－1）×4＝44（人），再根据首项＝末项－（项数－1）×公差得最里面层共有：44－（4－1）×8＝20（人），继而求出四层总人数为（44＋20）×4÷2＝128(人) 解：最外层：（12－1）×4＝44（人）最里层：44－（4－1）×8＝20（人）
等差数列求和的应用
等差数列求和的应用 等差数列计算公式 通项公式： 第n项=首项+（n－1）×公差项数公式： 项数=（末项－首项）÷公差＋1 （1）末项公式：第几项(末项)＝首项＋（项数－1）×公差 （2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 （3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 （4）前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)= n2 （5）前n个偶数的和：2+4+6+…+2n= n2+n 1、有一列数:5,8,11,14,……。①求它的第100项；②求前100项的和。 2、有一串数：1,4,7,10,……,298。求这串数的和。 3、1998+1997-1996-1995+1994+1993-1992-1991+……198+197-196-195 4、1+2+3-4-5-6+7+8+9-10-11-12+……+182+183 5、1+3+5+7+…+99 6、2+4+6+8+…+100 7、21+23+25+27+…+99 8、已知一串数1,5,9,13,17,…,问这串数中第100个数是多少?
9、1971,1981,1991,2001,2011,…,2091,这几个数的和是多少? 10、98+97-96-95+94+93-92-91+…-4-3+2+1 11、1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99 12、在小于100的自然数中,被7除余3的数的和是多少? 13、已知一列数：1,3,6,10,15,21,…,问第59个数是多少？ 14、在一个八层的宝塔上安装节日彩灯共888盏。已知从第二层开始，每一层比下边一层少安装6盏。问最上边一层安装多少盏？ 15、能不能把44颗花生分给10只猴子，使每只猴子分的花生颗数都不同？ 16、红光电影院有22排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排42个座位。那么这个电影院一共有多少个座位？
八种数列及其变式
八种数列及其变式 1、等差数列 例题：12，17，22，27，()，37 解析：12 17 22 27 () 37 ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ 5 5 5 5 5 公差为0，形成一个常数数列 答案：后一项与前一项的差为5，括号内应填32 (1)二级等差数列 例题：-2，1，7，16，()，43 解析：-2 1 7 16 () 43 ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ 3 6 9 12 15 新的公差为3的等差数列 答案：16+12=28 (2)二级等差数列的变式 例题：1，2，5，14，() 解析：1 2 5 14 () ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ 1 3 9 27 公比为3的等比数列 答案：17+27=41 练习：20，22，25，30，37，() 解析：20 22 25 30 37 () ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ 2 3 5 7 11 二级为质数列 答案：37+11=48 (3)三级等差数列及其变式 例题：1，10，31，70，133，() 解析：1 10 31 70 133 () ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ 9 21 39 63 93 二级特征不明显 ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘ ↙ 12 18 24 30 三级为公差为6的等差数列 答案：63+30=93，93+133=226 练习：0，1，3，8，22，63，() 解析：0 1 3 8 22 63 () ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ 1 2 5 14 41 (122)二级特征不明显
↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ 1 3 9 27 (81) 三级为等比数列答案：41+81=122，122+63=185 2、等比数列 例题：3，9，()，81，243 解析：后一项与前一项的比为3 答案：27 (1)二级等比数列 例题：1，2，8，()，1024 解析：后一项与前一项的比得到2，4，8，16 答案：8x8=64 (2)二级等比数列的变式 例题：2，4，12，48，() 解析：2 4 12 48 () ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ 2 3 4 (5) 二级为自然数列 答案：48x5=240 练习：10，9，17，50，() 解析：9=1x10-1， 17=9x2-1， 50=17x3-1， 由此类推( )=77x2+9 答案：163 3、和数列 (1)两项和数列 例题：1，1，2，3，5，8，() 解析：前两项相加得到第三项，括号内应填13 练习：17，10，()，3，4，-1 解析：17-10=7（第3项）， 10-7=3（第4项）， 7-3=4（第5项）， 3-4=-1（第6项） 答案：17-10=7
等差数列及其变式(可编辑修改word版)
一、基本等差数列 等差数列及其变式 【例】1，4，7，10，l 3，l 6，19，22，25，… 1、二级等差数列 一般地，一个数列相邻的两项作差，得到的新数列为等差数列，则称原数列为二级等差数列。 解题模式：（1）观察数列特征。大部分多级等差数列为递增或递减的形式。 （2） 尝试作差，一般为相邻两项之间作差，注意作差时相减的顺序保持不变、 （3） 测测规律 （4） 检验。 （5） 重复步骤（2）~（4）直至规律吻合。 【例 1】(2007 黑龙江，第 8 题)11，12，15，20，27，( ) A ．32 B ．34 C ．36 D ．38 【解题关键点】原数列：11 12 15 20 27 （36） 做一次差： 1 3 5 7 （9）等差数列 【答案】C 【例 2】(2002 国家，B 类，第 3 题)32，27，23，20，18，( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．1 7 【解题关键点】原数列：32 27 23 20 18 （17） 做一次差：5 4 3 2 1 等差数列 【答案】D 【例 3】(2002 国家，B 类，第 5 题)－2，1，7，16，( )，43 A ．25 B ．28 C ．31 D ．35 【解题关键点】原 数 列：-2 1 7 16 （z ） 43 做一次差： 3 6 9 x y 猜 测：一个公差为 3 的等差数列。尝 试：x=9+3=12，（ z ）=16+12=28 检 验：y=12+3=15, ( z )=43-15=28 【答案】B 【例】3，6，11，( )，27 A ．15 B ．18 C ．19 D ．24 【解题关键点】二级等差数列。 3 6 11 (18) 27 3 5 7 9 【答案】 B 3、二级等差数列变式 （1） 相邻两项之差是等比数列 【例】0，3，9，21，( )，93 A ．40 B ．45 C. 36 D ．38 【解题关键点】二级等差数列变式 0 3 9 21 (45) 93
和数列及其变式
和数列及其变式 【例】-3，3，0，（），3 ，6 A.2 B.1 C.4 D. 3 【答案】D 【解题关键点】两项求和数列 典型的和数列。前两项和等于第三项，往后一次类推。-3+3=0.3+0=3. 验证：0+（3）=3.(3)+3=6.所以选D项。 【例】1，3，4，8，15 ，27，（） A.53 B.38 C.50 D. 42 【答案】 C【解题关键点】三项求和数列
（1）相邻两项之和是等比数列 【例】1，-5，13，-29，（） A.-61 B.-39 C.39 D. 61 【答案】D 【解题关键点】第一类和数列变式 （2）相邻两项之和是等差数列 （3）相邻两项之和是平方数列、立方数列 【例】44，77，67，102，（） A.80 B.94 C.100 D. 112 【答案】B【解题关键点】相邻两项之和是平方数列、立方数列 （4）相邻两项之和是连续质数 （1）前两项之和加固定常数等于第三项 【例】3，6，8，13，20，（），51 A.31 B.28 C.42 D.32 【答案】D 【解题关键点】前两项之和加固定常数等于第三项 和数列变式。第一项+第二项-1=第三项，依次类推，13+20-1=（32），20+（32）-1=51. （2）前两项之和加基本数列等于第三项
（3）前两项之和的固定倍数等于第三项 【例】5，7，24，62，（），468 A.94 B.145 C.172 D.236 【答案】C 【解题关键点】前两项之和的固定倍数等于第三项 从第三项开始，每一项等于它前面两项之和的2倍. （4）前两项之和的倍数（按基本数列变化）等于第三项 （1）第一项加上第二项的固定倍数等于第三项 【例】13，9，31，71，173，（） A.235 B.315 C.367 D.417 【答案】D 【解题关键点】第一项加上第二项的固定倍数等于第三项 第一项加第二项的2倍等于第三项，所以71+173×2=（417） （2）第一项的倍数（按基本数列变化）加第二项等于第三项 （3）第一项的固定倍数加第二项的固定倍数等于第三项 【例】2，8，28，100，（） A.196 B.248 C.324 D.356 【答案】D【解题关键点】第一项的固定倍数加第二项的固定倍数等于第三项 第一项的2倍加第二项的3倍等于第三项，往后一次类推，28×2+100×3=（356）（4）第一项的倍数（按基本数列变化）加第二项的倍数（按基本数列变化）等于第三项
行测等差数列及其变式
等差数列及其变式一、基本等差数列 【例】1，4，7，10，l 3，l 6，19，22，25，… 【例1】(2007黑龙江，第8题)11，12，15，20，27，( ) A．32 B．34 C．36 D．38 【答案】C 【解题关键点】 【例2】(2002国家，B类，第3题)32，27，23，20，18，( ) A．14 B．15 C．16 D．1 7
【答案】D 【解题关键点】 【例3】(2002国家，B类，第5题)－2，1，7，16，( )，43 A．25 B．28 C．31 D．35 【答案】B 【解题关键点】 【例】3，6，11，( )，27 A．15 B．18 C．19 D．24 【答案】B 【解题关键点】二级等差数列。 （1）相邻两项之差是等比数列 【例】0，3，9，21，( )，93 A．40 B．45 C. 36 D．38 【答案】B
【解题关键点】二级等差数列变式 （2）相邻两项之差是连续质数 【例】11，13，16，21，28，( ) A．37 B．39 C.41 D.47 【答案】B 【解题关键点】二级等差数列变式 （3）相邻两项之差是平方数列、立方数列 【例】1，2，6，15，（） A．19B．24C．31D．27 【答案】C 【解题关键点】数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先做差。 得到平方数列。如图所示，因此，选C （4）相邻两项之差是和数列 【例】2, 1, 5, 8, 15, 25, ( ) A.41 B.42 C.43 D.44 【答案】Ｂ 【解题关键点】相邻两项之差是和数列
（5）相邻两项之差是循环数列 【例】1,4,8,13,16,20,( ) A. 20 B. 25 C. 27 D. 28 【答案】B 【解题关键点】该数列相邻两数的差成3，4，5一组循环的规律，所以空缺项应为20+5=25，故选B。 【结束】 【例】（2009年中央机关及其直属机构公务员录用考试行测真题）1，9，35，91，189，( ) A．361 B．341 C．321 D．301 【答案】B 【解题关键点】原数列后项减前项构成数列8，26，56，98，( )，新数列后项减前项构 成数列18，30，42，(54)，该数列是公差为12的等差数列，接下来一项为54，反推回去， 可得原数列的空缺项为54+98+189=341，故选B。如图所示：
2015等差数列及其性质典型例题
热点考向一：等差数列的基本量 1.已知 {}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ A.－2 B.－12 C.1 2 D.2 2. 已知{}n a 是等差数列，且满足)(,n m m a n a n m ≠==，则n m a +等于________。 3、设 {}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= 4．若a ≠b,数列a,x 1,x 2 ,b 和数列a,y 1 ,y 2 ,b 都是等差数列，则 =--1 212y y x x （） A ． 43 B ． 3 2 C ．1 D ． 3 4 5、首相为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围 6、己知}{n a 为等差数列，1 22,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求： （1）原数列的第12项是新数列的第几项？ （2）新数列的第29项是原数列的第几项？ 热点考向二：等差数列的判定与证明. 1.已知c b a ,,依次成等差数列，求证：ab c ac b bc a ---222 ,,依次成等差数列. 2：在数列{}n a 中，11a =，11 14n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求证：在数 列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有1n n a a +>. 3.已知数列{n a }中，1 35a = ，数列112,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足1 ()1 n n b n N a *=∈-（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数性质的应用 1.在等差数列{}n a 中， 40135=+a a ，则 =++1098a a a （ ）A ．72 B ．60 C ．48 D ．36 2.在等方程0)2)(2(22 =+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为 4 1 的等差数列，则|m －n|= 3．在等差数列 {}n a 中，公差d ＝1，174a a +＝8，则20642a a a a ++++ = 4．在等差数列}{n a 中，若4 681012120a a a a a ++++=，则10122a a -= . 热点考向四：等差数列前n 项和重的基本运算 1．n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，542,30n a a -==(n ≥5，* n N ∈)，n S =336，则n 的值是 . 2.已知{}n a 是等差数列，12 4a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S ＝________. 3、已知等差数列{}n a 的公差1 2 d =，8010042=+++a a a ，那么=100S ) A ．80 B ．120 C ．135D ．160． 4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S ( ) A ．390 B ．195 C ．180 D ．120 5.设等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则 9 5 S S = 6.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 7．等差数列}{n a 中，110052515021,2700,200a a a a a a a 则=+++=+++ ＝________. 8. 已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T .等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和， 9. 1 2008a =-， 20072005220072005 S S -=，则2008S 的值为______________ 热点考向五：等差数列前n 项和中的最值问题 1、已知等差数列 {}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ）