高等数学1B第一次作业答案 - 西南交通大学网络教育学院

一、问答题(将解答输入文本框中，共41道小题)

1.

求下列函数的定义域:

(1) y= x 2 ?4 , (2) y= 1 4? x 2 , (3) 设f(x) 的定义域是[0,1], 求f(ln?x) 的定义域.

[本题2分]

参考答案：

解: (1)

D=(?∞,?2]∪[2,?+∞) ,

(2)

D=(?2,?2) ,

(3) 由

ln?x∈[0,1] 可得其定义域为

[1,e] .

2. 若f(t)=2 t 2 + 2 t 2 + 5 t +5t , 证明f(t)=f( 1 t ) . [本题2分]

参考答案：

证明:

f( 1 t )=2 1 t 2 +2 t 2 +5t+5 1 t =f(t) .

3. 设f(x)=2 x 2 +6x?3 , 求?(x)= 1 2

[f(x)+f(?x)] 及ψ(x)= 1 2 [f(x)?f(?x)] , 并指出?(x)

及ψ(x) 中哪个是奇函数哪个是偶函数? [本题2分]

参考答案：

解:

?(x)= 1 2 [f(x)+f(?x)]=2 x 2 ?3 是偶函数,

ψ(x)= 1 2 [f(x)?f(?x)]=6x 是奇函数.

4.

求下列极限:

(1) lim?x→1 x 2 ?2x+1 x 2 ?1 ; (2) lim?h→0 (x+h) 2 ?x 2 h ; (3) lim?x→∞x 2 ?1 2 x 2

?x?1 ; (4) lim?x→∞x 2 +x x 4 ?3 x 2 +1 ; (5) lim?x→4 x 2 ?6x+8 x 2 ?5x+4 ; (6) lim?n→∞1+2+3+?+(n?1) n 2 ; (7) lim?n→∞(n+1)(n+2)(n+3) 5 n 3 ; (8) lim?x→1 ( 1 1?x ? 3 1? x 3 )

参考答案：

解:(1)

lim? x→1 x 2 ?2x+1 x 2 ?1 = lim? x→1 (x?1) 2 (x?1)(x+1) = lim? x→1 x?1 x+1 =0 .

(2)

lim? h→0 (x+h) 2 ? x 2 h = lim? h→0 (2x+h)=2x .

(3)

lim? x→∞x 2 ?1 2 x 2 ?x?1 = lim? x→∞1? 1 x 2 2? 1 x ? 1 x 2 = 1 2 .

(4)

lim? x→∞x 2 +x x 4 ?3 x 2 +1 = lim? x→∞1 x 2 + 1 x 3 1? 3 x 2 + 1 x 4 =0 .

(5)

lim? x→4 x 2 ?6x+8 x 2 ?5x+4 = lim? x→4 (x?2)(x?4) (x?1)(x?4) = lim? x→4 x?2 x?1 = 2 3 .

(6)

lim? n→∞1+2+3+?+(n?1) n 2 = lim? n→∞n(n?1) 2 n 2 = lim? n→∞1 2 (1? 1 n )= 1 2 .

(7)

lim? n→∞(n+1)(n+2)(n+3) 5 n 3 = lim? n→∞1 5 (1+ 1 n )(1+ 2 n )(1+ 3 n )= 1 5 .

(8)

lim? x→1 ( 1 1?x ? 3 1? x 3 )= lim? x→1 x 2 +x?2 (1?x)( x 2 +x+1) = lim? x→1 (x?1)(x+2) (1?x)( x 2 +x+1) =1

5.

计算下列极限:

(1) lim?x→0 sin?ωx x ; (2) lim?x→0 tan?3x x ; (3) lim?x→0 sin?2x sin?5x ; (4) lim?x→0 xcot?x ; (5) lim?x→0 1?cos?2x xsin?x ; (6) lim?x→+∞x( x 2 +1 ?x)

[本题2分]

参考答案：

解:(1)根据重要极限可得

lim? x→0 sin?ωx x =ω .

(2)

lim? x→0 tan?3x x = lim? x→0 sin?3x x 1 cos?3x =3 .

(3)

lim? x→0 sin?2x sin?5x = lim? x→0 sin?2x x x sin?5x = 2 5 .

(4)

lim? x→0 xcot?x= lim? x→0 x sin?x cos?x=1 .

(5)

lim? x→0 1?cos?2x xsin?x = lim? x→0 1?cos?2x x 2 x sin?x = lim? x→0 [ sin?2x x 2 ] 2 1 1+cos?2x =2 .

(6)

lim? x→+∞x( x 2 +1 ?x)= lim? x→+∞x x 2 +1 +x = lim? x→+∞1 1+ 1 x 2 +1 = 1 2

6.

利用夹逼准则证明:

(1) lim?n→∞( n n 2 +π + n n 2 +2π +?+ n n 2 +nπ )=1 ;

(2) lim?x→∞( 1 n 2 +1 + 1 n 2 +2 +?+ 1 n 2 +n )=1

参考答案：

证明:(1)因为

n 2 n 2 +nπ ≤n n 2 +π + n n 2 +2π +?+ n n 2 +nπ ≤n 2 n 2 +π ,

而

lim? n→∞n 2 n 2 +π = lim? n→∞n 2 n 2 +nπ =1 ,

所以

lim? n→∞( n n 2 +π + n n 2 +2π +?+ n n 2 +nπ )=1 .

(2)因为

n n 2 +n ≤1 n 2 +1 + 1 n 2 +2 +?+ 1 n 2 +n ≤n n 2 +1 ,

而

lim? n→∞n n 2 +1 = lim? n→∞n n 2 +n =1 ,

所以

lim? x→∞( 1 n 2 +1 + 1 n 2 +2 +?+ 1 n 2 +n )=1 .

7.

研究下列函数的连续性:

(1) f(x)={ x 2 ,?0≤x≤1, 2?x,?1

(2) f(x)={ x, ?1≤x≤1, 1, x1.

[本题2分]

参考答案：

证明:(1)仅需要讨论在

x=1 点的连续性.因为

lim? x→1 ? f(x)= lim? x→1 ? x 2 =1 ,

lim? x→1 + f(x)= lim? x→1 ? (2?x)=1 ,

所以

f(x) 在

x=1 点连续. (2)仅需要讨论在

x=±1 点的连续性. 因为

lim? x→1 ? f(x)= lim? x→1 ? x=1 ,

lim? x→1 + f(x)= lim? x→1 ? 1=1 ,

所以

f(x) 在

x=1 点连续. 同理

lim? x→?1 ? f(x)= lim? x→1 ? 1=1 ,

lim? x→? 1 + f(x)= lim? x→1 ? x=?1 ,

所以

f(x) 在

x=?1 点不连续.

8.

证明方程x 5 ?3x=1 至少有一个根介于1和2之间.

[本题2分]

参考答案：

证明: 设

f(x)= x 5 ?3x?1 ,

显然是连续的, 又

f(1)=1?3?1=?3<0 ,

f(2)= 2 5 ?6?1=25>0 ,

由零点定理知存在

c∈(1,?2) ,

使得

f(c)= c 5 ?3c?1=0 ,

即方程

x 5 ?3x=1 至少有一个根介于1和2之间.

9.

求下列函数的导数:

(1) y= x 4 ; (2) y= x 2 3 ; (3) y= x 1.6 ; (4) y= 1 x ; (5) y= 1 x 2 ; (6) y= x 3 x 5

[本题2分]

参考答案：

解:(1)

y ′=4 x 3 ,

(2)

y ′= 2 3 x ?1/3 ,

(3)

y ′=1.6 x 0.6 ,

(4)

y ′=? 1 2x x ,

(5)

y ′=? 2 x 3 ,

(6)

y ′= 16 5 x 11/5

10.

求曲线y=cos?x 上点( π 3 , 1 2 ) 处的切线方程和法线方程.

[本题2分]

参考答案：

解:

k=?sin?x | x=π/3 =? 3 2 ,

所以切线方程和法线方程分别为:

y? 1 2 = 3 2 (x? π 2 ) ,

y? 1 2 =? 2 3 (x? π 2 )

11. 求曲线y= e x 在点(0,1)处的切线方程. [本题2分]

参考答案：

解:

k= e x | x=0 =1 ,

所以切线方程和法线方程分别为:

y?1=x ,

y?1=?x .

12.

设函数f(x)={ x 2 , x≤1, ax+b, x>1.

为了使函数f(x) 在x=1 处连续且可导, a、b应取什么值?

[本题2分]

参考答案：

解: 由连续性可知

1= lim? x→1 + f(x)=a+b ,

由可导知

2=(ax+b ) ′| x=1 =a 所以

a=2, b=?1 .

13.

求下列函数的导数:

(1) y=5 x 2 ? 2 x +3 e x ; (2) y=2tan?x+sec?x?1 ; (3) y=sin?x?cos?x ; (4) y= x 2 ln?x

[本题2分]

参考答案：

解:(1)

y ′=10x? 2 x ln?2+3 e x ,

(2)

y ′=2 sec? 2 x+sec?xtan?x ,

(3)

y ′= cos? 2 x? sin? 2 x=cos?2x ,

(4)

y ′=2xln?x+x

14. 写出曲线y=x? 1 x 与x轴交点处的切线方程. [本题2分]

参考答案：

解: 交点为

(±1,?0) ,

斜率为

k= y ′=(1+ 1 x 2 ) | x=±1 =2 ,

所以切线方程为:

y=2(x±1)

15.

求下列函数的导数:

(1) y= (2x+5) 4 ; (2) y=cos?(4?3x) ;

(3) y=ln?(1+ x 2 ) ; (4) y= sin? 2 x ; (5) y= sin?2x x ; (6) y=ln?(x+ a 2 + x 2 )

[本题2分]

参考答案：

解:(1)

y ′=8 (2x+5) 3 ,

(2)

y ′=3sin?(4?3x) ,

(3)

y ′=2x/(1+ x 2 ) ,

(4)

y ′=sin?2x ,

(5)

y ′= 2xcos?2x?sin?2x x 2 ,

(6)

y ′= (x+ a 2 + x 2 ) ?1 (1+ x a 2 + x 2 )= 1 a 2 + x 2

16.

求下列函数的二阶导数:

(1) y=2 x 2 +ln?x ; (2) y= e 2x?1 ; (3) y=xcos?x

[本题2分]

参考答案：

解:(1)

y ′=4x+ 1 x ,

y ″=4? 1 x 2 ,

(2)

y ′=2 e 2x?1 ,

y ′′=4 e 2x?1 ,

(3)

y ′=cos?x?xsin?x ,

y ′′=?2sin?x?xcos?x

17. 设f(x)= (x+10) 6 , 求 f ?(2)=? [本题2分]

参考答案：

解:

f ′(x)=6 (x+10) 5 ,

f ′′(x)=30 (x+10) 4 , f ?(x)=120 (x+10) 3 ,

所以

f ?(2)=120?(12) 3

18.

验证函数y= e x sin?x 满足关系式: y ″?2 y ′+2y=0 .

[本题2分]

参考答案：

解:

y ′= e x (sin?x+cos?x) ,

y ′′=2 e x cos?x ,

所以

y ″?2 y ′+2y=0 .

19.

用对数求导数法求下列函数的导数:

(1) y= ( x 1+x ) x ; (2) y= x?5 x 2 +2 5 5

[本题2分]

参考答案：

解:(1)

ln?y=xln?x?xln?(1+x) ,

所以

y ′=y[ln?x?ln?(1+x)+ 1 1+x ] .

(2)

ln?y= 1 5 [ln?(x?5)? 1 5 ln?( x 2 +2)] ,

所以

y ′= y 25 ( 5 x?5 ? 2x x 2 +2 )

20. 不用求函数f(x)=(x?1)(x?2)(x?3)(x?4) 的导数, 说明方程 f ′(x)=0 有几个实根, 并指出它们所在区间. [本题2分]

参考答案：

解: 由罗尔定理知

f ′(x)=0 有三个不同的实根, 分布在(1,2), (2,3), (3,4).

21. 设a>b>0 , n>1 , 证明: n b n?1 (a?b)< a n ? b n

证明: 设

f(x)= x n ,

在

[b,a] 区间上使用中值定理得:

a n ?

b n =n ξ n?1 (a?b) ,

其中

a>ξ>b>0 ,

所以

a n?1 > ξ n?1 >

b n?1 ,

故不等式

n b n?1 (a?b)< a n ? b n

22.

证明方程x 5 +x?1=0 只有一个正根.

[本题2分]

参考答案：

证明: 设

f(x)= x 5 +x?1 ,

则

f(0)=?1<0,?f(1)=1>0 ,

由零点定理知方程

x 5 +x?1=0 在0和1之间有一个(正)根. 若方程

x 5 +x?1=0 有两个正根

a,b,a>b>0 ,

则由罗尔定理知存在

ξ:?a>ξ>b>0 ,

使得

5 ξ 4 +1=0 ,

但这显然是不可能的, 所以方程

x 5 +x?1=0 只有一个正根.

23.

用洛必达法则求下列极限:

(1) lim?x→0 ln?(1+x) x ; (2) lim?x→0 e x ? e ?x sin?x ; (3) lim?x→πsin?3x tan?5x ; (4) lim?x→0 xcot?2x

[本题2分]

参考答案：

lim? x→0 ln?(1+x) x = lim? x→0 1 1+x =1 ,

(2)

lim? x→0 e x ? e ?x sin?x = lim? x→0 e x + e ?x cos?x =2 ,

(3)

lim? x→πsin?3x tan?5x =? lim? x→πsin?3x sin?5x =? lim? x→π3cos?3x 5cos?5x =? 3 5 ,

(4)

lim? x→0 xcot?2x= lim? x→0 x tan?2x = 1 2

24.

确定下列函数的单调区间:

(1) y=2 x 3 ?6 x 2 ?18x?7 ; (2) y=2x+ 8 x (x>0) ; (3) y= x n e ?x (n>0,x≥0)

[本题2分]

参考答案：

解:(1)

y ′=6 x 2 ?12x?18=6(x?1)(x?2) ,

所以单增区间:

(?∞,1),?(2,+∞) ,

单减区间:

(1,2) .

(2)

y ′=2? 8 x 2 =2 (x-2)(x+2) x 2 ,

所以单增区间:

?(2,+∞) ,

单减区间:

(0,2) .

(3)

y ′= x n?1 (n-x )e ?x ,

所以单增区间:

[0,n] ,

单减区间:

(n,+∞)

25.

证明不等式: 当x>0 时, 1+ 1 2 x> 1+x

[本题2分]

参考答案：

证明: 设

f(x)=1+ 1 2 x? 1+x ,

则

f ′(x)= 1 2 ? 1 2 1+x >0,(??x>0) ,

所以

f(x) 在

[0,+∞) 上单增, 从而当

x>0 时, 有

f(x)=1+ 1 2 x? 1+x >f(0)=0 ,

即

1+ 1 2 x> 1+x .

26.

试证方程sin?x=x 只有一个实根.

[本题2分]

参考答案：

证明: 设

f(x)=x?sin?x ,

显然0是一个根, 下证唯一性.

f ′(x)=1?cos?x>0 ,

(

?π 2

, 而在区间

?π 2

f(x) 在

?π 2

27.

求下列函数的极值:

(1) y= x 2 ?2x+3 ; (2) y=2 x 3 ?3 x

2 ; (3) y=2 x

3 ?6 x 2 ?18x+7 ; (4) y=x?ln?(1+x)

[本题2分]

参考答案：

解:(1)由

y ′=2x?2=0 得

x=1 ,

且

y ′′=2>0 ,

所以

x=1 是极小值点, 极小值为: 2. (2)由

y ′=6( x 2 ?x)=0 得

x=0,?1 ,

且

y ′′=12x?6 ,

所以

x=0 是极大值点, 极大值为: 0,

x=1 是极小值点, 极小值为:

?1 .

(3)由

y ′=6( x 2 ?2x?3)=6(x+1)(x?3)=0 得

x=??1,?3 ,

容易从单调性可知:

x=?1 是极大值点, 极大值为: 17,

x=3 是极小值点, 极小值为:

?47 .

(4)由

y ′=1? 1 1+x =0 得

x=0 ,

且

y ′′= 1 (1+x) 2 >0 ,

所以

x=0 是极小值点, 极小值为: 0

28.

试问a何值时, 函数f(x)=asin?x+ 1 3 sin?3x 在x= π 3 处取得极值? 它是极大值还是极小值?

[本题2分]

参考答案：

解: 由极值的必要条件知

f ′(π/3)=(acos?x+cos?3x) | π/3 =0 得

a=2 .

又

f ′′(π/3)=(?2sin?x?3sin?3x) | π/3 =? 3 <0 ,

此为极大值.

29.

求下列函数的最大值、最小值:

(1) y=2 x 3 ?3 x 2 , ?1≤x≤4 ; (2) y= x 4 ?8 x 2 +2 , ?1≤x≤3

[本题2分]

参考答案：

解:(1) 由

y ′=6( x 2 ?x)=0 ,

得

x=0,?1 ,

且

y(?1)=?5 ,

y(0)=0 ,

y(1)=?1 ,

y(4)=80 .

所以函数

y=2 x 3 ?3 x 2 在区间

?1≤x≤4 上的最大值为: 80, 最大值为:

?5 .

(2) 由

y ′=4( x 3 ?4x)=0 得

x=0,?±2 ,

且

y(?1)=?5 ,

y(0)=2 ,

y(±2)=?14 ,

y(3)=11 ,

所以函数

y= x 4 ?8 x 2 +2 在区间

?1≤x≤3 上的最大值为: 11, 最大值为:

?14

30.

判定下列曲线的凹凸性:

(1) y=4x? x 2 ; (2) y=x+ 1 x (x>0) [本题2分]

参考答案：

解:(1)由

y ′=4?2x,?y ″=?2<0 ,

所以函数

y=4x? x 2 在定义域内是凸的. (2) 由

y ′=1? 1 x 2 ,?y ″= 1 x 3 >0, (x>0) ,

所以函数

y=x+ 1 x 在

(0,+∞) 上是凹的.

31.

求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:

(1) y= x 3 ?5 x 2 +3x+5 ; (2) y=x e ?x

[本题2分]

参考答案：

解:(1)由

y ′=3 x 2 ?10x+3,?y ″=6x?10 知函数

y= x 3 ?5 x 2 +3x+5 在

(?∞,?5 3 ) 上是凸的, 在

( 5 3 ,+∞) 上是凹的. (2)由

y ′=(1?x) e ?x , y ″=(x?2) e ?x 知函数

y=x e ?x 在

(?∞,?2) 上是凸的, 在

(2,+∞) 上是凹的.

32.

求下列不定积分:

(1) ∫dx x

2 ; (2) ∫x x dx ; (3) ∫(x?2) 2 dx ; (4) ∫dx x 2 x ; (5) ∫( x 2 ?3x+2)dx ; (6) ∫cos? 2 x 2 dx ; (7) ∫( 2 e x +

3 x )dx

[本题2分]

参考答案：

解:(1)

∫dx x 2 =? 1 x +C ,

(2)

∫x x dx = 2 5 x 2 x +C ,

(3)

∫(x?2) 2 dx = 1 3 (x?2) 2 +C ,

(4)

∫dx x 2 x =? 2 3 1 x x +C ,

(5)

∫( x 2 ?3x+2)dx = 1 3 x 3 ? 3 2 x 2 +2x+C ,

(6)

∫cos? 2 x 2 dx = ∫1 2 (1+cos?x)dx= 1 2 (x+sin?x)+C ,

∫( 2 e x + 3 x )dx =2 e x +3ln?|x|+C

33.

求下列不定积分(其中a、b、ω、?均为常数):

(1) ∫ e 5t dt ; (2) ∫dx 2?3x

3 ; (3) ∫sin?t t dt ; (4) ∫x e ? x 2 dx ; (5) ∫sin?x cos?3 x dx ; (6) ∫dx (x+1)(x?2) ; (7) ∫dx 1+ 2x [本题2分]

参考答案：

解:(1)

∫e 5t dt = 1 5 e 5t +C ;

(2)

∫dx 2?3x 3 =? 1 2 (2?3x) 2 3 +C ;

(3)

∫sin? t t dt =?2cos? t +C ;

(4)

∫x e ? x 2 dx =? 1 2 e ? x 2 +C ;

(5)

∫sin?x cos? 3 x dx = ∫tan?x sec? 2 x?dx= 1 2 tan? 2 x+C ;

(6)

∫dx (x+1)(x?2) = 1 3 ∫( 1 x?2 ? 1 x+1 )?dx= 1 3 (ln?|x?2|?ln?|x+1|+C ;

(7)

∫dx 1+ 2x = ∫t 1+t dt=t?ln?(1+t)+C= 2x ?ln?(1+ 2x )+C

34.

求下列不定积分:

(1) ∫xsin?xdx ; (2) ∫ln?xdx ; (3) ∫x e ?x dx ; (4) ∫x 2 ln?xdx ; (5) ∫xcos?x 2 dx ; (6) ∫e x 3

[本题2分]

参考答案：

解:(1)

∫xsin?xdx =?xcos?x+ ∫cos?xdx=?xcos?x+sin?x+C ;

(2)

∫ln?xdx =xln?x?x+C ;

(3)

∫x e ?x dx =?x e ?x ? e ?x +C ;

(4)

∫x 2 ln?xdx = 1 3 x 3 ln?x? 1 9 x 3 +C ;

(5)

∫xcos? x 2 dx =2xsin? x 2 +4cos? x 2 +C ;

(6)

∫e x 3 dx= ∫ 3 t 2 e t dt= e t (3 t 2 ?6t+6)+C

35.

试求函数y= ∫0 x sin?tdt 当x= π 4 时的导数.

[本题2分]

参考答案：

解:

y ′=sin?x | x=π/4 = 2 2

36.

计算下列各定积分:

(1) ∫0 a (3 x 2 ?x+1)dx ; (2) ∫ 4 9 x (1+ x )dx ; (3) ∫0 π 4 tan? 2 θdθ ; (4) ∫0 2π |sin?x|dx

[本题2分]

参考答案：

解:(1)

∫0 a (3 x 2 ?x+1)dx =( x 3 ? 1 2 x 2 +x) | 0 1 = 3 2 ;

(2)

∫4 9 x (1+ x )dx =( 2 3 x x + 1 2 x 2 ) | 4 9 =55+ 1 6 ;

(3)

∫0 π 4 tan? 2 θdθ =(tan?θ?θ) | 0 π 4 =1? π 4 ;

(4)

∫0 2π |sin?x|dx =2 ∫0 π sin?xdx =2(?cos?x) | 0 π =4

37. 求极限: lim?x→0 ∫0 x cos?t 2 dt x [本题2分]

参考答案：

解: 用洛必达法则可得:

lim? x→0 ∫0 x cos? t 2 dt x = lim? x→0 (cos? x 2 )=1

38.

计算下列定积分:

(1) ∫0 π 2 sin??cos? 3 ?d?;

(2) ∫0 π (1? sin?

3 θ)dθ ; (3) ∫ 1

4 dx 1+ x ; (4) ∫0 π 1+c os?2x dx [本题2分]

参考答案：

解:(1)

∫0 π 2 sin?? cos? 3 ?d?=? 1 4 cos? 4 ?| 0 π 2 = 1 4 ;

(2)

∫0 π (1? sin? 3 θ)dθ =π+(cos?θ? 1 3 cos? 3 θ) | 0 π =π? 4 3 ;

(3)

∫1 4 dx 1+ x = ∫?1 2 2t 1+t dt=2?2ln?3+2ln?2 ;

(4)

∫0 π 1+cos?2x dx = ∫?0 π 2 |cos?x|dx=2 2

39.

利用函数的奇偶性计算下列积分:

(1) ∫?π π x 4 sin?xdx ; (2) ∫?π 2 π 2 4 cos? 4 θdθ

[本题2分]

参考答案：

解:(1) 因为

x 4 sin?x 是奇函数, 所以

∫?π π x 4 sin?xdx .

(2)

∫? π 2 π 2 4 co s? 4 θdθ=8 ∫?0 π 2 cos? 4 θ?dθ= 3 2 π

40.

计算下列积分:

(1) ∫0 1 x e ?x dx ; (2) ∫1 e xln?xdx

[本题2分]

参考答案：

解:(1)

∫0 1 x e ?x dx =(?x e ?x ? e ?x ) | 0 1 =1? 2 e ;

(2)

∫1 e xln?xdx =(xln?x?x) | 1 e =1

41.

求下列图形的面积:

(1) 由y= x 和y=x 围成的图形;

(2) 由y=2x 和y=3? x 2 围成的图形.

[本题2分]

参考答案：

解:(1) 所求面积

A= ∫0 1 ( x ?x)dx= 2 3 ? 1 2 = 1 6 .

(2) 所求面积

A= ∫?3 1 (3? x 2 ?2x)dx=12? 28 3 +8= 32 3