1 等离子体概述

′ 分别表示固体表面的离子、电子密度。 ni′ 和 ne
将 Boltzman 应用到电子密度：
′ = n∞ exp[eφ s /Te ] ne (1.26)
φs 是相对于无穷远处（ ∞ ）等离子体的固体电位。
由于电位的存在，离子被吸引流向负电位，假定 ni′ ~ n∞ ( Z i = 1) 。 [这 个假设仅仅近似正确。] 因此等离子体的整体电流密度为： 1 1 ′ve j = qi ni′vi + qe ne 4 4
(1.18)
这是因为每个电子（不考虑速度）具有一个电势能 −eφ 。结果导致了
一个相关性的自洽循环发生（图 1.5） 。 上述是等离子体一般理论的一个基本例子，需要关于电动力学的 Maxwell 方程组自洽解法和等离子体的质点动力学。
图 1.5 相关性的自洽循环
1.2.3 德拜屏蔽
与前面讨论的准中性稍稍有点不同，下面要介绍一个重要的物理特征 量：德拜长度。 假设我们将一个平板栅格放入等离子体，使它保持一个电位： φg 。
可知系统中总共有 g1 个微观状态，但是对应每个特定的能量 E1 ，我们要弄 清楚的是，对应于 S1 系统中的一个微观状态，复合系统中存在多少个微观 状态。 显然它等于系统 2 中的微观状态个数。因此，为了表示 S1 系统中两个 微观状态的能量值， 我们来比较能量值 E A 和 EB ， 作为复合系统 S1 A 和 S1B 中 微观状态个数的比例：
这是一个难解的非线性方程，但是在远离栅格处 | eφ /Te | << 1 ，因此 我们可以运用泰勒表达式： exp
eφ eφ 1 + 。所以： Te Te (1.23)
e 2 n∞ d 2φ en∞ e = φ = φ ε 0 Te ε 0Te dx 2
解得： φ = φ0 exp(− | x | /λD ) ；
n分子 ~ 3 × 1025 m −3 ） 。假定离子和电子密度有一很小差别 ∆n = ( ni − ne ) ，
则
ρ = ∆n e
(1.6)
在距离 x 处每单位体积受到的静电力为：
Fe = ρ E = ρ 2
x
ε0
= (∆n e )2
x
ε0
(1.7)
取 ∆n/ne = 1% ， x = 0.10m 。
1.2 等离子体屏蔽
1.2.1 玻尔兹曼分布的基本推导
统计力学基本原理： 热平衡 ↔ 最可几状态，即这种状态中分布着大量可能的微观状态。
图 1.4 热接触面中的统计制度 考虑两个弱联系系统 S1 ， S2 ，分别具有能量 E1 ， E2 。设 g1 ， g 2 分别 为每个系统的微观状态个数，用来产生各自的能量。因此复合系统中微观 状态的总个数为（假定各个状态相互独立） ：
(1.29)
=
(1.30)
例如氢气中
mi 1 m = 1800 ，则 ln e = − 3.75 。 me 2 mi
Te T 。 [注意： e 是以电子-伏特作 e e 单位的电子温度 r 除以 e ，用来表示电压。]
等离子体表面的电位可以近似等于 − 4
1.2.5 鞘层厚度
假设离子密度不变，则可以大致估算鞘层的厚度。电位求解方程如前 所述：
[这是一个 Boltzman 系数； 它假定电子是处于热力学平衡状态下的。 n∞
是远离栅格的密度（取电位 φ = 0 ） 。] 离子密度
ni = n∞
(1.21)
[为了运算直观性， 在远离栅格的地方， 我们假定等离子体为电准中性气体，
离子密度不受电位 φ 扰动的干扰。] 取代为：
eφ d 2φ en∞ = exp − 1 2 dx ε 0 Te (1.22)
mv 2 服从 Maxwell-Boltzman 速度分布 ∝ exp − 。 2T
1.2.2 静电势中的等离子体密度
当存在一个变化的电势 φ 时，电子（和离子）的密度会受到它的影响。 如果电子处于热力学平衡中，则可以采取密度服从 Boltzman 分布：
ne ∝ exp(
eφ ) Te
8T T ~ 。 m πm mi ，因此流出等离 me
因为质量不同，电子运动的速度比离子快得多 ~
子体流向固体的电子流大大超过离子流，从而使固壁负电荷过剩，得到一
个负电位，这个负电位反过来又会阻碍电子流的扩散，最终将整体电流减 小为零。 电压估算： 1 离子逃逸通量为： ni′vi ； 4 1 ′vi 。 电子逃逸通量为： ne 4
图 1.7 等离子体-固体分界面：鞘层 ⒉可见在等离子体分界面处有一层很薄的区域，是发生电位变化的主 要区域，我们称之为“鞘层（Sheath） ” 。 产生电压降的原因： 是因为电子和离子的运动速度不同引起的。 如果没有电压变化（ E = 0 ） ，则电子和离子以随机概率撞击固体表面： 1 (1.25) nv 每单位面积 4 [上式来自气体动动力学基本原理，如果不熟悉可以看问题部分。] 平均速度 v =
1 dg1 1 dg 2 d d ln g1 = ln g 2 = 或 g1 dE g 2 dE dE dE (1.13)
所以，在平衡条件下，热接触面中的状态具有相同的 定义熵为 σ ≡ ln g ，温度为 [
d ln g 值。 dE
d ln g ]−1 = T 。 dE 现在假设我们想知道系统 1 中 2 个微观状态在平衡条件下的相对几率。
通常我们将“ λD << 等离子体系统特征长度”这一条件包含在等离子
体的定义中，这样就保持了等离子体的集体效应、电中性等特点，不然这 些特点是无法保持的。
1.2.4 等离子体 -固体分界面（基本原理）
当等离子体与固体接触时，固体就像一个“陷阱”使等离子体往里沉 陷，接触表面会发生电子和离子的复合。 ⒈相对于固体而言，等离子体相当于带正电荷。
1 o C 表示将水的熔解和沸腾之间的温度差除以 100 的值， 摄氏度 o C 为基准，
水是随机挑选的参照物。 等离子体物理基本上都用能量单位来表示温度， 因为焦耳量值太大了， 通常用电子-伏特（ eV ）表示：
1eV = 11600 K = 1.6 × 10−19 焦耳
(1.17)
1 Boltzman 系数的一个推论为：气体中运动粒子的动能为 mv 2 ，采用 2
g 2 ( Et − E A ) = exp[σ ( Et − E A ) − σ ( Et − EB )] g 2 ( Et − EB )
(1.14)
现在我们假设和系统 S1 相比起来系统 S2 非常大，因此 E A 和 EB 表示了 在系统 S2 能量中的很小变化，我们将上式泰勒展开为：
g 2 ( Et − E A ) dσ dσ + EB exp − E A g 2 ( Et − EB ) dE dE
图 1.6 一维栅格的屏蔽区域 可见， 与真空中不同， 这个电位的扰动很快就会跌落到等离子体电位。 我们可以用以下式子来表达。重要方程组为： 泊松方程 电子密度
∇ 2φ =
d 2φ e = − ( ni − ne ) 2 dx ε0
(1.19) (1.20)
ne = n∞ exp( eφ /Te )
eφ d 2φ en∞ = exp − 1 2 dx ε 0 Te
我们已知这个方程的解的粗略的长度尺度是：
1
(1.31)
ε T 2 λD = 20 e e n∞
德拜长度
(1.32)
实际上我们以前的解法仅在 | eφ /Te |<< 1 的条件下才正确， 当 −eφ /Te > 1 时（在鞘层中可能会是这样的情况） ，这种解法就不再正确了。如果忽略电 子密度，则解仅包含二次项。因此可以设想，鞘层厚度能够用电位梯度粗 略表示：
(1.15)
所以当与一个（大）的热储达到平衡的条件下，我们可以简单的将一 个系统（ S1 ）处于任意两个微观状态 A ， B 的比例概率表示为：
−( E A − EB ) exp T
(1.16)
这就是著名的“Boltzman 系数” 。 你可能注意到上面公式中不含有 Boltzman 常数，这是因为它的熵（无 量纲）和温度（能量）用的是热力学自然单位。Boltzman 常数只是温度的 自然单位（能量，如焦耳）和绝对温度之间简单的转换因子。开氏温度以
Fe = (1017 × 1.6 ×10−19 )2 0.1/8.8 × 10−12 = 3 × 106 N .m −3
与此相对每单位体积的压力 ~ p /x ： p ~ neTe (+ niTi )
Fp ~ 1019 ×1.6 × 10−19 /0.1 = 16 Nm −3
(1.8)
(1.9)
可见，静电力 >> 动力学压力。 上述只是等离子体特点的一个方面，因为是电离气体，等离子体呈现 出各种 “集体特点” ， 然而和中性气体不同， “集体特点” 由长程电磁强度 E 和 B 来调节。 另一个相关例子是纵波的传播不同。在普通气体中，声波是由分子间 的碰撞运动传播的；而在等离子体中，碰撞忽略不计时，声波由粒子间的 库仑作用力传播。
g = g1 g 2
(1.10)
如果复合系统总能量不变 E1 + E2 = Et ，则上式可表示为 E1 的函数：
g = g1 ( E1 ) g 2 ( Et − E1 )
和
(1.11) (1.12)
dg dg dg1 = g 2 − g1 2 dE1 dE dE
最可几状态为：
dg = 0 ，即： dE1
ε T 2 λD ≡ 20 e e n∞
1
(1.24)
λD 就称为德拜长度。
对于等离子体电荷密度及电位的扰动以特征长度为德拜长度 λD 趋于 下降。 在 聚 变 等 离 子 体 中 λD 的 值 非 常 小 。 [ 如 ： ne = 1020 m −3Te = 1keV ，