第3讲线性变换及其矩阵

第三讲 线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的V y ∈与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为=Tx y称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。

若变化T 还满足()()()+=+T kx ly k Tx l Ty ,,,∀∈∈x y V k l K称T 为线性变换。

[例1] 二维实向量空间12i 2R R ξξξ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭，将其绕原点旋转θ角的操作就是一个线性变换。

[证明] 12x ξξ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 12y Tx ηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦112212cos sin sin cos ηξθξθηξθξθ=-⎧⎨=+⎩ 1122cos sin sin cos ηξθθηξθθ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2R ∈θ1η2η1ξ2ξxyo可见该操作为变换，下面证明其为线性变换12x x x ⎡⎤∀=⎢⎥⎣⎦ 12z z z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2R ∈，,R k l ∈11112222=kx lz kx lz kx lz kx lz kx lz +⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦11221122cos sin ()sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos ()()kx lz T kx lz kx lz x z k l x z k Tx l Tz θθθθθθθθθθθθ+-⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+ ∴ T 是线性变换。

[例2] 次数不超过n 的全体实多项式n P 构成实数域上的一个1n +维的线性空间，其基可选为{}n x x x ,,,,12 ，微分算子dD dx=是n P 上的一个线性变换。

[证明] 显然D 对n P 而言是变换，要证明D 满足线性变换的条件n ,P f g ∀∈，,R k l ∈()()()D kf lg k Df l Dg +=+∴ D 是n P 上的线性变换。

2. 性质（1） 线性变换把零元素仍变为零元素 （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素（3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明] 线性变换()()()+=+T kx ly k Tx l Ty（1）()()()===00T O T x Tx O（2）()()()()-=-=-1T x Tx Tx（3）元素组m x x x ,,,21 线性相关，即存在一组不全为零的数m k k k ,,,21 使10mi ii k x==∑则 11()()(0)0m mi i i i i i T k x k Tx T =====∑∑∴{}i Tx 线性相关。

[得证]应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关。

若线性变换T 将所有的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性变换，其变换矩阵为满秩矩阵。

3. 线性变换的运算（1） 恒等变换e T ：,e x V T x x ∀∈= （2） 零变换0T ：0,0x V T x ∀∈=（3） 变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ∀∈，均有12T x T x =，则称12T T =（4） 线性变换的和12T T +：x V ∀∈，1212()T T x T x Tx +=+ （5） 线性变换的数乘kT ：x V ∀∈，()()kT x k Tx =负变换：()()T x Tx -=-（6） 线性变换的乘积12T T ：x V ∀∈，1212()()T T x T T x =（7） 逆变换1T -：x V ∀∈，若存在线性变换S 使得()ST x x ≡，则称S 为T 的逆变换1S T -= （8） 线性变换的多项式：个n n T TT T =，并规定0e T T = 0()Nnn n f T a T ==∑ →()Nn n n f T x a T x ==∑需要说明的是：1）e T 也称为单位变换，它的矩阵表示为单位矩阵I ； 2）0T 对应的矩阵表示为零矩阵；3）和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律；4）不是所有的变换都具有逆变换，只有满秩变换才有逆变换，e ST T =；5）恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积多项式及逆变换（若存在）均为线性变换。

二、线性变换的矩阵表示线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。

设T 是线性空间n V 的一个线性变换，且{}n x x x ,,,21 是n V 的一个基，n V x ∀∈，存在唯一的坐标表示[]n x x x x x x x n n n ξξξξξξ+++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 22112121,,,)(2211n x x x T Tx n ξξξ+++=[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n Tx Tx Tx ξξξ 2121,,,[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x x x T ξξξ 2121),,,(因此，要确定线性变换T ，只需确定基元素在该变换下的象就可以了。

[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=in i i n i a a a x x x Tx 2121,,,[][][]A x x x a a a a a a a a a x x x x x x T n nn n n n n n n ,,, ,,,,,,212122212121112121 =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 对于任意元素x ，在该基下，变换后Tx 的坐标表示为[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x x x Tx ηηη 2121,,,同时[][]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n A x x x x x x T Tx ξξξξξξ 21212121,,,),,,(对比可知：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n A ξξξηηη 2121 即： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡↔n x ξξξ 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡↔n A Tx ξξξ 21 1. 定义：把A 称为T 在基{}n x x x ,,,21 下的矩阵。

2. 定理：设{}n x x x ,,,21 是n V 的一个基，1T 、2T 在该基下的矩阵分别为A 、B 。

则有（1）[][])(,,,,,,)(212121B A x x x x x x T T n n +=+ （2）[][])(,,,,,,21211kA x x x x x x kT n n = （3）[][])(,,,,,,)(212121AB x x x x x x T T n n = （4）[][]121211,,,,,,--=A x x x x x x T n n推论1. 设0()mi i i f t a t ==∑为纯量t 的m 次多项式，T 为线性空间nV 的一个线性变换，且在n V 的基{}n x x x ,,,21 下的矩阵为A ，则[][])(,,,,,,)(2121A f x x x x x x T f n n = 其中n n e T a T a T a T a T f ++++= 2210)( ()=++++2012n n f A a I a A a A a A推论2. 设线性变换T 在n V 的基{}n x x x ,,,21 下的矩阵为A ，元素x 在该基下的坐标为),,,(21n ξξξ ，则Tx 在该基下的坐标),,,(21n ηηη 满足⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n A ξξξηηη 2121 3.相似矩阵设T 在n V 的两个基{}n x x x ,,,21 及{}''2'1,,,n x x x 的矩阵分别为A 和B ，且[][]C x x x x x x n n ,,,,,,21''2'1 =，则 1B C AC -=即A 和B 为相似矩阵。

[证明] [][]A x x x x x x T n n ,,,,,,2121 =[][]B x x x x x x T n n ''2'1''2'1,,,,,, =[][]CB x x x C x x x T n n ,,,,,,2121 =[][]CB x x x AC x x x n n ,,,,,,2121 =AC CB ⇒= 即1B C AC -=定理：n 阶方阵A 和B 相似的充要条件是A 和B 为同一线性变换在不同基下的矩阵。

[证明] 必要性：已知A 和B 相似，即存在可逆矩阵P 使1B P AP -= 选取一个基{}n x x x ,,,21 ，定义[][]A x x x x x x T n n ,,,,,,2121 =考虑[][]P x x x x x x n n ,,,,,,21''2'1 =可作为基，且 [][]P x x x T x x x T n n ,,,,,,21''2'1 =[]AP x x x n ,,,21 =[]AP P x x x n 1''2'1,,,-= []B x x x n ''2'1,,, = ∴A 和B 为同一线性变换在不同基下的矩阵。

充分性的证明由相似矩阵定义的证明给出。

三、线性变换及矩阵的值域和核1. 定义：设T 是线性空间n V 的线性变换，称 {}n ()|V R T Tx x =∈为T 的值域； {}n ()|V ,0N T x x Tx =∈=称为T 的核。

()R T 和()N T 均为n V 的子空间。

设A 为m n ⨯阶矩阵，称{}n n ()|R or C R A Ax x x =∈∈为矩阵A 的值域； {}n n ()|R orC ,0N A x x x Ax =∈∈=为A 的核。

dim R(T)、dim N(T)称为T 的秩和零度；dim R(A)、dim N(A)称为A 的秩和零度。

2. 定理：（1）n dim dim dimV R(T)N(T)+= （2）dim ()rank()R A A =（3）dim ()dim ()R A N A n +=，n 为A 的列数。

若A 是线性变换T 的矩阵，则dim ()dim ()R T R A =，dim ()dim ()N T N A =。