2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷(二十)数学

2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷（二十）

数学

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。 1. 设i 为虚数单位,

,“复数m(m-1)+i 是纯虚数”是“m=1”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

2.若向量a 与b 满足()

a b a +⊥，且12a b ==，，则向量a 在b 方向上的投影为（）

A 3

B ．1

C ．1-

D 3 3.已知集合A ＝{x∈R |x 2

－x －2＜0}，B ＝{x∈Z |x ＝2t ＋1，t∈A}，则A∩B 等于( )

A.{－1，0，1}

B.{－1，0}

C.{0，1}

D.{0}

4.在锐角ABC ?中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若

cos cos 33sin B C A

b c C

+=，

cos 2B B +=，则+a c 的取值范围（）

B. 32（

D. 3

[ 5. 若()5

23450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=（）

A. 0

B. 1

C. 32

D. 1-

6．若实数x ，y 满足20

x y y x y x b -≥≥≥-+??

???

且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为（）

A ．1

C ．

D ．

7.已知函数f(x)＝???

log 2()2－x ，0≤x＜k ，

x 3

－3x 2＋3，k≤x≤a，

若存在实数k ，使得函数f(x)的值域为[－

1，1]，则实数a 的取值范围是( )

A.????

??32，1＋3 B.[]2，1＋3 C.[]1，3 D.[]2，3 8．对于数列{}n a ,定义1122......2n n

n a a a H n

-++=为{}n a 的“优值”，现已知某数列的“优

值”=2n

n H ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则

2019

=2019

S （） A ．2022 B ．1011 C ．2020 D ．1010

二、多选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全对得5分，选对但不全得2.5分，有选错的得0分。

9.设,A B 是抛物线2

y x =上的两点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，则以下结论恒成立的结论是（）

A. ||||2OA OB ?≥

B.直线AB 过定点（1，0）

C. O 到直线AB 的距离不大于1.

D.(-1,2)在抛物线上

10．气象意义上从春季入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22C ?”.现有

甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：

①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；

②乙地：5个数据的中位数为27,总体均值为24；

③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8. 则肯定进入夏季的地区有（） A ．①②③

B ．②

C ．③

D ．①

11.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为

，且

，定义X 的信息熵

.（）

A. 若n=1，则H(X)=0

B. 若n=2，则H(X)随着的增大而增大

C. 若，则H(X)随着n 的增大而增大

若

n=2m ，随机变量

所有可能的取值为

，且

，则H(X)≤H(Y)

12.若存在m,使得f(x) ≥m 对任意x ∈ D 恒成立，则函数f(x)在D 上有下界，其中m 为函数f(x)

的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈ D 恒成立，则函数f(x)在D 上有上界，其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列四个结论中所有正确结论的编号为

A.1不是函数

()(0)f x x x x

=+>的一个下界;

B.函数f(x)= xlnx 有下界，无上界;

C.函数2()x

e f x x

=有上界,无下界;

D.函数

sin ()1

f x x =

+有界. 三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知函数()sin(2)3

f x x π

ω=-(,0)x R ω∈>图像的相邻两条对称轴之间的距离为

π，则ω= .

14.已知函数21(10)

()1(01)

x x f x x x +-≤≤?=-<≤, 则11

()f x dx -?的值为

15.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，过x 轴上点P 的直线与双曲线的右支

交于M ，N 两点（M 在第一象限），直线MO 交双曲线左支于点Q （O 为坐标原点），连接QN ．若∠MPO=120°，∠MNQ=150°，则该双曲线的渐近线方程为______ ． 16．某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为32的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为__________．

四、简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，设S 为△ABC 的面积，

满足.

（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若

，设

，，求函数的解析式和最大值.

18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4422S a =-，3322S a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）记()2-1log n n n b a a =?，数列n n b a ??????

的前n 项和为n T ，求使177-260n n

T >成立的正整数n 的

最小值.

19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的菱形，60DAB ∠=?，

90ADP ∠=?，面ADP ⊥面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．

（1）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥面PCE ，并说明理由；（2）当二面角D FC B --的余弦值为

时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角．

20．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别

第一阶梯水量

第二阶梯水量

第三阶梯水量

月用水量范围（单位：立方米）

[0,10) [10,15) [15,)+∞

从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：

（1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数X 的分布列与数学期望；

（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，

若抽到k 户月用水量为一阶的可能性最大，求k 的值．

21．已知点F 是椭圆)0(1122

>=++a y a

x 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=?NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2．

(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；

(Ⅱ)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断以线段S T 为直径的圆是否经过点F ？请说

明理由．

22．已知函数()(1)f x a x =-，()(1),x

g x ax e a R =-∈

（Ⅰ）若直线()y f x =与曲线()y g x =相切于点00(,)P x y ，证明：001x <<；（Ⅱ）若不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解，求a 的取值范围.

数学参考答案

二、单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。 2. 设i 为虚数单位,,“复数m(m-1)+i 是纯虚数”是“m=1”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

【答案】B

解：复数m(m-1)+i 是纯虚数,则m=0或m=1,

所以“复数m(m-1)+i 是纯虚数”不是“m=1”的充分条件；

当m=1时,复数为i ,是纯虚数,“复数m(m-1)+i 是纯虚数”是“m=1”的必要条件, 所以“复数m(m-1)+i 是纯虚数”是“m=1”的必要不充分条件．故选B ．

2.若向量a 与b 满足()

a b a +⊥，且12a b ==，，则向量a 在b 方向上的投影为（）

A 3．1

- C ．1- D ．33

【答案】B

【解析】利用向量垂直的充要条件有： ()

=+=0,1a b a a a b a b +??∴?=-,向量a 在b 方

向上的投影为

12b

a b

?=-.

3.已知集合A ＝{x∈R |x 2

－x －2＜0}，B ＝{x∈Z |x ＝2t ＋1，t∈A}，则A∩B 等于( ) A.{－1，0，1} B.{－1，0} C.{0，1} D.{0} 【答案】 C

【解析】 A ＝{x ∈R |x 2

－x －2＜0}＝{x|－1＜x ＜2}，则x ＝2t ＋1∈(－1，5)，所以B ＝{0，1，2，3，4}，所以A∩B＝{0，1}，故选C.

4.在锐角ABC ?中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若

cos cos 23sin 3sin B C A

b c C

+=，cos 3sin 2B B +=，则+a c 的取值范围（）

33]2（， B. 33]2（， C. 33]2[， D. 3

3]2

[，【答案】B 【解析】由题意

cos cos 23sin 3sin B C A

b c C

+=可得：

2032C A ππ<=

-<,0,262

A A πππ<<∴<< ,

23,3)36

326

A A A π

ππ

∴

∴<+≤ 故答案选B

5. 若()5

23450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=

（）

A. 0

B. 1

C. 32

D. 1

【答案】A

【解析】由二项展开式的通项公式

155

()(1)

r r r r r

T C x C x

=-=-，可知

135

a a a都小于0，

则

012345

a a a a a a

-+-+-=

012345

+++++

a a a a a a，在原二项展开式中令1

x=，可

得

012345

+++++=0

a a a a a a.故选A

6．若实数x，y满足

x y

y x

y x b

-≥

≥

≥-+

且2

z x y

=+的最小值为3，则实数b的值为（）A．1B．2C．

D．

【答案】C

【解析】画出可行域，

当目标函数2

z x y

=+过点B时取得最小值，由

y x b

x y

=-+

得

b b

，则

b b

?+=，解得

b=．故选C

7.已知函数f(x)＝

?log2()

2－x，0≤x＜k，

x3－3x2＋3，k≤x≤a，

若存在实数k，使得函数f(x)的值域为[－1，1]，则实数a的取值范围是( )

，1＋3 B.[]

2，1＋3 C.[]

1，3 D.[]

2，3

【答案】 B

【解析】由于y＝log2(2－x)在[0，k)上是单调递减函数，

当x＝0时，y＝1，

当x＝

时，y＝－1，所以0＜k≤

令g(x)＝x 3－3x 2＋3，则g′(x)＝3x 2

－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝2，当x ＝2时，函数取得极小值－1，

当x 3

－3x 2

＋3＝1时，解得x 1＝1，x 2＝1＋3，x 3＝1－3＜0(舍)，所以2≤a≤1＋3，故选B.

8．对于数列{}n a ,定义1122......2n n

n a a a H n

-++=为{}n a 的“优值”，现已知某数列的“优

值”=2n

n H ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则

2019

=2019

S （） A ．2022 B ．1011 C ．2020 D ．1010 【答案】B

【解析】由1122......2=2n n

n n a a a H n -++=

，得1122......2=2n n n a a a n -++?……①, 2-112-12......2=-12n n n a a a n -++?（）……②,

①-②得1

112

=2-1)2=1)2n n n n n a n n n ---?-+（（，即=1n a n +，(3)

n n n S +，所以 2019

=10112019

S .故选B.

二、多选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全对得5分，选对但不全得2.5分，有选错的得0分。

9.设,A B 是抛物线2

y x =上的两点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，则以下结论恒成立的结论是（）

B. ||||2OA OB ?≥ B.直线AB 过定点（1，0）

C. O 到直线AB 的距离不大于1.

D.(-1,2)在抛物线上

【解析】设A(211,x x ),B(2

22,x x ),OA OB ?=1212(1)x x x x +=0?21

1x x =-

，222

111222111

111||||(1)

(1)112OA OB x x x x x x ?=++=+++≥，A 正确；直线AB 的斜222121

x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-2

1x =(111x x -)(x-1x ),过定点（0，1），B 错误；原

点到直线AB ：(111

x x -)x-y+1=0的距离d=211

1()1

x x -+≤1，C 正确.故选：ABC ．

10．气象意义上从春季入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22C ?”.现有

甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27,总体均值为24；

③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8. 则肯定进入夏季的地区有（） A ．①②③

B ．②

C ．③

D ．①

【答案】CD

【解析】由统计知识，①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，有可能某一天的气温低于22℃，所以不符合题意；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.若有某一天的气温低于22℃，则总体方差就大于10.8，所以满足题意，故选CD. 11.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为

，且

，定义X 的信息熵

.（）

A. 若n=1，则H(X)=0

B. 若n=2，则H(X)随着

的增大而增大

C. 若，则H(X)随着n的增大而增大

D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且

，则H(X)≤H(Y)

【答案】 AC

【解析】

对于A选项，求得，由此判断出A选项的正确性.对于B选项，利用特殊值进行排除.对于C选项，计算出，由此判断出C选项的正确性.对于D选项，计算出，由此判断出D选项的正确性.

【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A 选项正确.

对于B选项，若，则，，所以

，

当时，，

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若，则

，

则随着的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且

（）.

由于，所以，所以，

所以，

所以，所以D 选项错误.

故选：AC

【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，属于难题.

12.若存在m,使得f(x) ≥m 对任意x ∈ D 恒成立，则函数f(x)在D 上有下界，其中m 为函数f(x)

A.1不是函数

()(0)f x x x x

=+>的一个下界;

B.函数f(x)= xlnx 有下界，无上界;

C.函数2()x

e f x x

=有上界,无下界;

D.函数

2sin ()1

f x x =

+有界. 【答案】ABD

三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知函数()sin(2)3

f x x π

ω=-

(,0)x R ω∈>图像的相邻两条对称轴之间的距离为

π，

则ω= . 【答案】1 【解析】由

22T π=，22T π

得1ω=. 14.已知函数21(10)

()1(01)

x x f x x x +-≤≤?=-<≤, 则11

()f x dx -?的值为

【答案】4

21π

+ 【解析】

0220

1-110

11()(1)1()|2424f x dx x dx x dx x x ππ--=++-=++=+??? 15.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，过x 轴上点P 的直线与双曲线的右支

交于M ，N 两点（M 在第一象限），直线MO 交双曲线左支于点Q （O 为坐标原点），连接QN ．若∠MPO=120°，∠MNQ=150°，则该双曲线的渐近线方程为______ ．【答案】

y x =±

【解析】由题意可知：M ，Q 关于原点对称，∴k MN ? k QN

2b a

，

∵k MN 3，k

33，∴22

1b a =，渐近线方程为y x =±． 16．某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为3236π，则该几何体的体积为__________．

【答案】9 【解析】

根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为36π，即

=363

R ππ，3R =，则球心O 到底面等边ABC ?的中心O '的距离223

(

32)33

OO R '=-?=223h OO '==

213(32)23934

V =???=．即答案为9．

五、简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，设S 为△ABC 的面积，

满足.

（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若

，设

，，求函数的解析式和最大值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（），．

【解析】

试题分析：（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得，化简后可

得；（2）由正弦定理得，，

所以，最大值为.

试题解析：

（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得

，又

所以

（2）由（1）知，△ABC 的内角和，又得

由正弦定理，知，

所以

当

，即

时，取得最大值

考点：解三角形．

18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4422S a =-，3322S a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）记()2-1log n n n b a a =?，数列n n b a ??????

的前n 项和为n T ，求使177-260n n

T >成立的正整数n 的

最小值.

【解析】（Ⅰ）设n a 的公比为q ，由434S S a 得，43422a a a ,所以

2a a ，所

以2q

. …………………2分

又因为33

22S a ，所以1

2482a a a a ，所以1

2a .

所以2n n

a . ………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知12-12log ()log (22)21n n

n n n b a a n -=?=?=-，所以

n n n b n a -，…6分 12313521=

.......+2222n n n T -+++ ，则234+111352321

=......++222222

n n n n T --+++ 123-11-111111111121112132+3-==+.......-(1)=-2222222222222

n n n n n n n n n n n T T T +++--+++=+--（）所以2+3

=3-2n n n T ，………………………………………..10分

由2+3177-2=3-

260n n n n T >，得2+3177-223

3-=26060

n n n +<，即260,n >则6n ≥，所以n 的最小值是6…………………………………………..12分

19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的菱形，60DAB ∠=?，

90ADP ∠=?，面ADP ⊥面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．

（1）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥面PCE，并说明理由；

（2）当二面角D FC B

--的余弦值为

时，求直线PB与平面ABCD所成的角．

【解析】（1）在棱AB上存在点E，使得AF∥面PCE，点E为棱AB的中点．

理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，

由题意，FQ DC

∥且

FQ CD

=，

AE CD

∥且

AE CD

=，

故AE FQ

∥且AE FQ

=．

所以，四边形AEQF为平行四边形．…………3分

所以，AF EQ

∥，又EQ?平面PEC，AF?平面PEC，

所以，AF∥平面PEC．…………5分

（2）由题意知ABD

△为正三角形，所以ED AB

⊥，亦即ED CD

⊥，

又90

ADP

∠=?，所以PD AD

⊥，且面ADP⊥面ABCD，面ADP面ABCD AD

=，所以PD⊥面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间坐标系，…………7分

设FD a

=，则由题意知()

0,0,0

D，()

0,0,

F a，()

0,2,0

C，)

3,1,0

B，()

0,2,

FC a

=-，()

3,1,0

CB=-，

设平面FBC的法向量为()

x y z

m，

则由

得

y az

x y

，令1

x=，则3

所以取

，，

m，显然可取平面DFC的法向量()

1,0,0

n，

由题意：

cos,

412

=<>=

m n，所以3

a=．…………10分

由于PD⊥面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，

所以PBD

∠为直线PB与平面ABCD所成的角，

易知在Rt PBD

△中tan3

PBD a

∠===，从而60

PBD

∠=?，

所以直线PB与平面ABCD所成的角为60?．…………12分

20．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：

阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围（单位：立方米）[0,10)[10,15)[15,)

+∞

从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：

（1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；

（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k户月用水量为一阶的可能性最大，求k的值．

【解析】（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数X的可能取值为0,1,2,3，

(0)

C C

P X

===，

(1)

C C

P X

===，

(2)

C C

P X

===，

(3)

C C

P X

===，…………4分

所以X 的分布列为

X 0 1 2 3

112 512 512 112

X 的数学期望()0123121212122

E X =?

+?+?+?=．…………6分

（2）设Y 为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得3

~(10,

)10

Y B ， ()1010371010k

k P X k C -????== ? ?????

， ()0,1,2,3,10k =………9分

由1019110101011111010373710101010373710101010k k k k

k k k k k k

k k C C C C -+-+----?????????≥? ? ? ? ????????????????????≥ ? ? ? ??????

?????,

解得23331010

k ≤≤

，又*

k N ∈，所以当3k =时概率最大. 即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大. ………12分

21．已知点F 是椭圆)0(112

2>=++a y a

x 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=?NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2．

(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；

明理由．

【解析】(Ⅰ) 椭圆)0(1122

>=++a y a x 右焦点F 的坐标为(,0)a ， ………(1分) (,)NF a n ∴=-．(,)MN m n =-，

∴由0=?NF MN ，得02=+am n ． ………… (3分)

设点P 的坐标为),(y x ，由PO ON OM +=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--，

???=-=.2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=．即点P 的轨迹C 的方程为ax y 42

= ……… (5分)

（Ⅱ）解法一：设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、2

22(,)4y B y a

，则x y a y l OA 14:=

，x y a

y l OB 2

4:=． ………… (6分) 由??

??-==a

x x y a y ,41，得214(,)a S a y --，同理得224(,)a T a y --． ………… (8分)

214(2,)a FS a y ∴=--，224(2,)a FT a y =--，则42

164a FS FT a y y ?=+

． ……(9分) 由???=+=ax

y a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2

124y y a ∴=-． ……… (10分) 则044)

4(1642

=-=-+=?a a a a a FT FS ．因此，以线段S T 为直径的圆经过点

F ． ……… (12分)

解法二：①当AB x ⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =， :2OB l y x =-．由2,

y x x a

=??

=-? 得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =--．

由2,

y x x a

=-??

=-? 得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =-．

(2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴?=-?-+-?=． …………… (7分)

②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(12

1y a

A 、

),4(22

2y a y B ，同解法一，得42

164a FS FT a y y ?=+． … (8分) 由2(),4y k x a y ax

=-??=?，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-． …………(9分)

则044)

4(164222

=-=-+=?a a a a a FT FS ． ………… (11分) 因此，以线段S T 为直径的圆经过点F ………… (12分)

22．已知函数()(1)f x a x =-，()(1),x

g x ax e a R =-∈

（Ⅰ）若直线()y f x =与曲线()y g x =相切于点00(,)P x y ，证明：001x <<；（Ⅱ）若不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解，求a 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）()(1)x

g x ax a e '=+-，由导数的几何意义可知，0

0(1)x ax a e

a +-= ①……………1分

又直线()y f x =的图像过定点（1，0），因此0

00(1)1

x ax e a x -=-，

即0

00(1)(1)x ax e

a x -=- ②……………2分

联立①②消去a 有0020x

e x +-=.……………3分

设()2x

x e x ?=+-，则()10x

x e ?'=+>，所以()h x 在R 上单调递增. 而(0)10,(1)10x

e ??=-<=+>，(0)(1)0??<，由函数零点存在性定理知 001x <<. ……………5分（Ⅱ）由()()

f x

g x >得1

()1x x a x e

<，令1

()x x h x x e

-=-，则22()1x x x

x e x h x e e -+-'=+=……………6分由（Ⅰ）知()2x

x e x ?=+-在R 上单调递增，

且0(,)x x ∈-∞时，0()0x ?<；在0(,)x x ∈+∞，0()0x ?> 故()h x 在0(,)x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增.

000

000min

0011

()()x x x x x e x h x h x x e e --+∴==-=.