2020届河南省开封市高考一模试卷数学(文 )

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2020年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合A={x|x≤-2或x≥3}，B=N，则B∩（?R A）=（）

A. {-1，0，1，2}

B. {-1}

C. {-1，0}

D. {0，1，2}

2.复数的实部小于虚部，则实数a的取值范围是（）

A. （-∞，0）

B. （-∞，1）

C. （0，+∞）

D. （1，+∞）

3.设与都是非零向量，则“”是“向量与夹角为锐角”的（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

4.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点（1，-2），则

tan2α=（）

A. B. C. D.

5.已知定义在[m-5，1-2m]上的奇函数f（x），满足x＞0时，f（x）=2x-1，则f（m）

的值为（）

A. -15

B. -7

C. 3

D. 15

6.某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A，B，C，D，

E五个等级，A等级15%，B等级30%，C等级30%，D，E等级共25%．其中E 等级为不合格，原则上比例不超过5%．该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C级及以上级别的学生人数有（）

A. 45人

B. 660人

C. 880人

D. 900人

7.2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列

座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10米，则旗杆的高度为（）米．

A. 20

B. 30

C. 30

D. 35

8. 设函数f （x ）=a ln x +bx 3在点（1，-1）处的切线经过点（0，1），则实数a +b 的值

为（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1

9. 已知{F n }是斐波那契数列，则F 1=F 2=1，F n =F n -1+F n -2

（n ∈N *

且n ≥3），如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n 项的算法，则n =（ ） A. 10 B. 18 C. 20 D. 22 10. 已知双曲线C ：

的左、右焦点分别为F 1，F 2，圆O ：

x 2+y 2=a 2+b 2与C 在第一象限的交点为M ，若△MF 1F 2的面积为ab ，则双曲线C 的离心率为（ ）

A. B. C. 2 D. 11. 将函数f （x ）=a sin x +b cos x 的图象向右平移个单位长度得到g （x ）的图象，若g

（x ）的对称中心为坐标原点，则关于函数f （x ）有下述四个结论： ①f （x ）的最小正周期为2π

②若f （x ）的最大值为2，则a =1 ③f （x ）在[-π，π]有两个零点 ④f （x ）在区间[-，]上单调

其中所有正确结论的标号是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ②④ D. ①③

12. 已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线

所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是（ ）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知向量

，

，若

，则m =______．

14. 已知点A （0，2），动点P （x ，y ）的坐标满足条件

，则|PA |的最小值是______．

15.如图，两个同心圆的半径分别为1和2，点M在大圆上从

点M0出发逆时针匀速运动，点N在小圆上从点N0出发顺

时针匀速运动．图中的阴影是运动一秒钟后，OM，ON分

别扫过的扇形．假设动点M，N运动了两秒钟，在OM，

ON扫过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率

是______．

16.若数列{a n}满足，则称

数列{a n}为“差半递增”数列．若数列{a n}为“差半递增”数列，且其通项a n与前n项和S n满足，则实数t的取值范围是______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知等差数列{a n}满足a n+1+n=2a n+1．

（1）求{a n}的通项公式；

（2）记S n为{a n}的前n项和，求数列的前n项和T n．

18.在平面直角坐标系xOy中，已知点F（1，0），动点Q到点F的距离比到y轴的距

离大1个单位长度．

（1）求动点Q的轨迹方程E；

（2）若过点F的直线l与曲线E交于A，B两点，且，求直线l的方程．

19.底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如

图所示的几何体．若DA=DH=DB=4，AE=CG=3．

（1）求证：EG⊥DF；

（2）求三棱锥F-BEG的体积．

20.某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B

两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900．

（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001～090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；

（2）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层．已知该校高三学生有540人选做A题目，有360人选做B题目，选取的样本中，A题目的成绩平均数为5，方差为2，B题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25．

（i）用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；

（ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5．从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率．

21.已知函数，a∈R，e为自然对数的底数．

（1）当a=1时，证明：?x∈（-∞，0]，f（x）≥1；

（2）若函数f（x）在上存在极值点，求实数a的取值范围．

22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原

点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=

（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；

（2）设P是曲线C1上一点，此时参数φ=，将射线OP绕原点O逆时针旋转交曲线C2于点Q，记曲线C1的上顶点为点T，求△OTQ的面积．

23.已知a，b，c为一个三角形的三边长．证明：

（1）++≥3；

（2）＞2．

答案

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】A

11.【答案】D

12.【答案】B

13.【答案】1

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】解：（1）由已知{a n}为等差数列，记其公差为d．

①当n≥2时，，两式相减可得d+1=2d，

所以d=1，

②当n=1时，a2+1=2a1+1，所以a1=1．

所以a n=1+n-1=n；

（2），，

所以=．

【解析】（1）设等差数列的公差为d，将已知等式中的n换为n-1，相减可得公差d=1，再令n=1，可得首项，进而得到所求通项公式；

（2）由等差数列的求和公式可得S n，求得，再由数列的裂项相

消求和，化简可得所求和．

本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．

18.【答案】解：（1）根据抛物线的定义，知动点Q的轨迹是以F为焦点，以x=-1为准线的抛物线，

所以动点Q的轨迹方程E为：y2=4x．

（2）①当l的斜率不存在时，可知，不符合条件；

②当l的斜率存在且不为0时，设l：y=k（x-1），

则，联立可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1?x2=1．

因为向量，方向相反，所以=

，

所以k2=1，即k=±1，

所以直线l的方程为y=x-1或y=-x+1．

【解析】（1）由抛物线的定义可知求出Q的轨迹方程；

（2）设直线方程与抛物线联立，根与系数的关系及数量积可得直线l的方程．

考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．

19.【答案】（1）证明：连接AC，由AE∥CG，AE=CG，可知四边形AEGC为平行四边形，∴EG∥AC，

由题意知AC⊥BD，AC⊥BF，∴EG⊥BD，EG⊥BF，

∵BD∩BF=B，∴EG⊥平面BDHF，

又DF?平面BDHF，∴EG⊥DF；

（2）解：设AC∩BD=O，EG∩HF=P，

由已知可得：平面ADHE∥平面BCGF，

∴EH∥FG，同理可得：EF∥HG，

∴四边形EFGH为平行四边形，得P为EG的中点，

又O为AC的中点，∴OP∥AE且OP=AE，

由OP=3，DH=4，由梯形中位线定理得BF=2．

∴．

∵EA∥FB，FB?平面BCGF，EA?平面BCGF，∴EA∥平面BCGF，

∴点A到平面BCGF的距离等于点E到平面BCGF的距离，为．

∴=．

【解析】（1）连接AC，由题意可知四边形AEGC为平行四边形，得到EG∥AC，再由已知证明EG⊥BF，可得EG⊥平面BDHF，进一步得到EG⊥DF；

（2）设AC∩BD=O，EG∩HF=P，由已知证明EH∥FG，EF∥HG，得到四边形EFGH 为平行四边形，则P为EG的中点，由OP=3，DH=4，由梯形中位线定理得BF=2．求出三角形BFG的面积，再证明EA∥平面BCGF，可得点A到平面BCGF的距离等于点E到平面BCGF的距离．然后利用等积法求三棱锥F-BEG的体积．

本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．

20.【答案】解：（1）由题意知，若按照系统抽样的方法，抽出的编号可以组成以25为首项，以90为公差的等差数列，

所以样本编号之和即为该数列的前10项之和，

所以；

（2）（i）由题意知，若按分层抽样的方法，抽出的样本中A题目的成绩有6个，按分值降序分别记为x1，x2， (x6)

B题目的成绩有4个，按分值降序分别记为y1，y2，y3，y4；

记样本的平均数为，样本的方差为s2；

由题意可知，=，

，i=1，2， (6)

，i=1，2， (4)

=；

所以估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2，方差为1.36．

（ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5，

易知样本中A题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个，分别为x1，x2，x3；

B题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个，分别为y1，y2；

从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种10方法，为：

（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2），（x1，y1），

（x2，y1），（x3，y1），（x1，y2），（x2，y2），（x3，y2），

其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种，为：

（x1，y1），（x2，y1），（x3，y1），（x1，y2），（x2，y2），（x3，y2）；

记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据，取到的两个成绩来自不同题目”为事件A，

所以．

【解析】（1）按照系统抽样方法抽出的编号组成等差数列，计算编号之和即为该数列的前10项和，求出即可；

（2）（i）由题意分别计算样本的平均数和方差，由此估计所求的平均数和方差；（ii）由题意知样本中A、B题目的成绩大于样本平均值的成绩个数，用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值．

本题考查了统计数据分析与古典概型的概率计算问题，也考查了分析问题与解答问题的能力，是中档题．

21.【答案】解：（1）当a=1时，，则，

当x∈（-∞，0]时，0＜e x≤1，则，又因为cos x≤1，

所以当x∈（-∞，0]时，，仅x=0时，f'（x）=0，

所以f（x）在（-∞，0]上是单调递减，所以f（x）≥f（0）=1，即f（x）≥1．

（2），因为，所以cos x＞0，e x＞0，

①当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在上单调递增，没有极值点．

②当a＞0时，在区间上单调递增，

因为，f'（0）=-a+1．

当a≥1时，时，f'（x）≤f'（0）=-a+1≤0，

所以f（x）在上单调递减，没有极值点．

当0＜a＜1时，f'（0）=-a+1＞0，所以存在，使f'（x0）=0，

当时，f'（x）＜0，x∈（x0，0）时，f'（x）＞0，

所以f（x）在x=x0处取得极小值，x0为极小值点．

综上可知，若函数f（x）在上存在极值点，则实数a∈（0，1）．

【解析】（1）把a=1代入，直接用导数法证明即可；（2）对f（x）求导，，

对a进行讨论，判断函数f（x）的极值，确定a的范围．

本题考查了导数的综合应用及极值点引出的含参问题，综合性高，难度较大．

22.【答案】解：（1）由（φ为参数），消去参数φ，

可得曲线C1的普通方程为，

由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0．

由ρ=，得ρ2=2，则C2的直角坐标方程为x2+y2=2；

（2）当φ=时，P（1，），sin∠xOP=，cos，

将射线OP绕原点O逆时针旋转，交曲线C2于点Q，又曲线C1的上顶点为点T，

∴|OQ|=，|OT|=1，

则=．

【解析】（1）由（φ为参数），消去参数φ，可得曲线C1的普通方程，结

合x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C1的极坐标方程．由ρ=，得ρ2=2，则C2的直角坐标方程可求；

（2）当φ=时，P（1，），sin∠xOP=，cos，将射线OP绕原点O逆时针旋转，交曲线C2于点Q，又曲线C1的上顶点为点T，求出|OQ|=，|OT|=1，再求出

∠QOT的正弦值，代入三角形面积公式求解．

本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．

23.【答案】解：（1）a，b，c＞0，++≥3?；当且仅当a=b=c取等号，

故原命题成立；

（2）已知a，b，c为一个三角形的三边长，要证

＞2，只需证明，

即证2，

则有，即，

所以，

同理，，

三式左右相加得2，

故命题得证．

【解析】（1）利用三元的均值不等式直接证明即可；（2）要证＞2，只需

证明，即证2，

由，即得，累加即可证明．

考查了基本不等式的应用，中档题．