第10讲矢量场的环量及旋度2

2.梯度、散度和旋度

梯度、散度和旋度的定义及公式表达梯度、散度和旋度的定义及公式表达 一、梯度是个向量 或表示为 二、散度是个标量 设有一个向量场 通量可写为 则散度 并有运算关系式

三、旋度是个向量 rotA或curlA 或可以写成 例如求F沿路径r做的功 矢量的环流：矢量沿闭合回路的线积分称为环流

说明：哈密顿算符? ，只是个符号，直接作用函数表示梯度,?dotA 点乘函数（矢量）表示散度，?XA叉乘函数（矢量）表旋度。 散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。其计算也就是我们常说的“点乘”。散度是标量，物理意义为通量源密度。 散度物理意义：对流体来说，就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变。如下式 梯度物理意义：最大方向导数（速度） 散度物理意义：对流体来说，散度指流体运动时单位体积的改变率。就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变。 旋度物理意义：旋度是曲线，向量场旋转的程度。矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。 附：

散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源） 若你的场是一个流速场,则该场的散度是该流体在某一点单位时间流出单位体积的净流量. 如果在某点,某场的散度不为零,表示该场在该点有源,例如若电场在某点散度不为零,表示该点有电荷,若流速场不为零,表是在该点有流体源源不绝地产生或消失(若散度为负). 一个场在某处,沿着一无穷小的平面边界做环积分,平面法向量即由旋度向量给定,旋度向量的长度则是单位面积的环积分值.基本上旋度要衡量的是一向量场在某点是否有转弯. 欧拉定理 在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做 欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。 （1）分式里的欧拉公式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

§1.3 矢量场的通量及散度

§1.3 矢量场的通量及散度 1、矢量场定义及图示 对于空间区域V 内的任意一点r ，若有一个矢量F (r )与之对应，我们就称这个矢量函数F (r )是定义于V 的矢量场。恒稳矢量场F (r ) ，时变矢量场F (r ,t )。矢量场图--矢量线0 l F =?d 其方程为 矢量线的示意图 F 线 F d l

矢量线 F (x,y,z )=F x (x,y,z ) e x +F y (x,y,z )e y +F z (x,y,z )e z (F y d z -F z d y )e x +(F z d x -F x d z )e y +(F x d y -F y d x )e z =0F y d z -F z d y =0F z d x -F x d z =0 F x d y -F y d x =0 或 得直角坐标式的矢量线方程 z y x F z F y F x d d d ==矢量场的直角坐标式为 l F =?d

矢量F 沿有向曲面S 的面积分 S F d ??=S Ψ2、通量 矢量F 在面元d S 的面积分为d ψ= F n d s =F cos θd S =F ?d S 矢量场的通量

若S为闭合曲面，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质: ?? = s Ψs F d ψ> 0(有正源) ψ< 0(有负源)ψ= 0(无源) 矢量场的闭合面通量

在直角坐标系中，设 F (x,y,z ) =F x (x,y,z )e x + F y (x,y,z )e y + F z (x,y,z )e z d s =d y d z e x + d x d z e y + d x d y e z 则通量可写成 ? ?++=?=s z y x s y x F z x F z y F Ψd d d d d d d s F

(完整版)梯度、散度、旋度的关系

梯度 散度 散度（divergence）的概念： 在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S 所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F 由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。

div F =▽·F 气象学： 散度指流体运动时单位体积的改 变率。简单地说，流体在运动中集中的 区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。 用以表示的量称为散度，值为负时为辐 合，此时有利于天气系统的的发展和增 强，为正时表示辐散，有利于天气系统 的消散。表示辐合、辐散的物理量为散 度。 微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由 A (x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A ·n dS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A ，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz 。 上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。 散度（divergence ）的运算法则： div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数) div (u A ) =u div A+ A grad u (u 为数性函数) 旋度 设有向量场 A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 在坐标轴上的投影分别为 δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy 的向量叫做向量场A 的旋度，记作 rot A 或curl A ，即 rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k 式中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。 行列式记号 旋度rot A 的表达式可以用行列式记号形式表示： 若 A=Ax·i+Ay·j ， 则rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j 若A=Ax·i+Ay·j+Az·k 则rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k

§1.4 矢量场的环量及旋

§1.4 矢量场的环量及旋度 1、环量 先从变力作功问题引入矢量场环量的概念。 i i i i i i l F A l F ??=?≈?θcos ? ∑ ?=??==→?∞ →l N i i i l N A l F l F d )( lim 1 0一段积分路径及其细分 θi Δl i F i b a ‘‘‘‘ ‘ ‘‘l

若将F (r )看成是任意的矢量场，上述积分则代表矢量场F (r )沿路径l 的标量线积分。矢量场的环量是上述矢量场线积分概念推广应用于闭合路径的结果，因此，F (r )的环量为 ? ?=l C l F d 环量不为零的矢量场叫做旋涡场，其场源称为旋涡源，矢量场的环量有检源作用。 F n F t F 环量的计算

水流沿平行于水管轴线方向流动C=0，无涡旋运动 流体做涡旋运动C ≠0，有产生涡旋的源 例：流速场 在直角坐标系中，设 F (x,y,z )=F x (x,y,z )e x +F y (x,y,z )e y +F z (x,y,z )e z d l =d x e x +d y e y +d z e z 则环量可写成 ? ?++=?=l z y x l z F y F x F C ) d d d (d l F

过P 点作一微小有向曲面?S ,它的边界曲线记为l ,曲面的法线方向与曲线绕向成右手螺旋关系。当?S →点P 时,存在极限 S S C l S ??=? →?l F d lim d d 0 上式称为环量密度 过点P 的有向曲面?S 取不同的方向，其环量密度将会不同。 2、旋度（1）环量密度 面元法向矢量与周界循行方向的右手关系。 P l ?S n ' e

梯度、散度和旋度

梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。这里假设读者已经了解了三者的定义。它们的符号分别记作如下： 从符号中可以获得这样的信息： ①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。这里φ称为势函数； ②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下 的； ③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。 这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式 (1) 其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先给出梯度、散度和旋度的计算式： (2) ( 3) (4) 旋度公式略显复杂。这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。 I.梯度的散度： 根据麦克斯韦方程有：

而 (5) 则电势的梯度的散度为 这是一个三维空间上的标量函数，常记作 (6) 称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。事实上因为定义 所以有 当然，这只是一种记忆方式。 当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程 当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即 这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。 II.散度的梯度：

梯度旋度散度Word版

梯度、散度和旋度 梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。这里假设读者已经了解了三者的定义。它们的符号分别记作如下： 从符号中可以获得这样的信息： ①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。这里φ称为势函数； ②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一 下的； ③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。 这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式 (1) 其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先给出梯度、散度和旋度的计算式： (2) ( 3) (4) 旋度公式略显复杂。这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X 度”。 I.梯度的散度：

根据麦克斯韦方程有： 而

(5) 则电势的梯度的散度为 这是一个三维空间上的标量函数，常记作 (6) 称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。事实上因为定义 所以有 当然，这只是一种记忆方式。 当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程 当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即 这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。 II.散度的梯度： 散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。在半导体中，载流子分布的不均匀会导致扩散电流。

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面∑的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系. 一、斯托克斯公式★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、三元函数的全微分求积 四、环流量与旋度★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 五、斯托克斯公式的向量形式， 向量微分算子 内容要点 一、斯托克斯公式 定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ???? ????-??+??? ????-??+???? ? ???-????∑.?++=L Rdz Qdy Pdx (7.1) 公式(7.1)称为斯托克斯公式. 为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式： ??? Γ∑ ++=?? ????Rdz Qdy Pdx R Q P z y x dxdy dzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成 .c o s c o s c o s ??? Γ∑ ++=?? ????Rdz Qdy Pdx dS R Q P z y x γβα 二、环流量与旋度 设向量场,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ++= 则沿场A 中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分?++=ΓC Rdz Qdy Pdx 称为向量场A 沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数 ? ?? ?????-????-????-??y P x Q x R z P z Q y R ,,称为向量场A 的旋度，记为A rot ，即

矢量场标量场散度梯度旋度的理解

矢量场标量场散度梯度 旋度的理解 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

1.梯度 gradient 设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。 在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。 梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。 在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量 (δf/x)*i+(δf/y)*j 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)] 2.散度 气象学中指：

散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。 微积分学→多元微积分→多元函数积分中： 设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A 的散度，记作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。上述式子中的δ为偏微分（partial derivative）符号。 3旋度 表示曲线、流体等旋转程度的量 4.矢量和标量场 假设有一个三维空间，显然空间的每一个点都能用坐标（x, y, z）唯一地标识出来。假如给空间的每一个点都赋予一个数字，那么整个空间就充满了数字。此时，这个充满数字的三维空间在数学上就叫做“场”。上述的场叫做标量场，因为单纯的一个数字叫做“标量(scalar)”。如果我们给空间的每一个点都赋予一个矢量(vector)，即一个既有大小，又有方向的东西，那么整个空间就变成充满了矢量，这个空间就叫做矢量场。

散度和旋度

§ 2.4 稳恒磁场的散度和旋度DIVERGENCE AND CURL OF THE STEADY MAGNETIC FIELDS 我们已经得到稳恒磁场两个积分方程： 磁场“高斯定理” (2.4-1) 安培环路定理 (2.4-2) 由高斯积分变换定理 于是从磁场的“高斯定理” (2.4-1)可知，对任意体积V上式右方均为零.将 V缩小成包含着任意一点的无限小邻域，我们便得到磁场的散度方程： ▽.B = 0 （2.4-3） （比较：电场的散度方程▽.E = ρ / ε0） 再由斯托克斯积分变换定理 由面积S的任意性，我们可得到安培环路定理(2.4-2)的微分形式——稳恒磁场的旋度方程：▽×B = μ0J （2.4-4） （比较：静电场的旋度方程▽×E = 0 ） (2.4-3）和（2.4-4）是稳恒磁场的两个基本微分方程,它们反映了稳恒磁场的基本性质. 方程（2.4-3）表示稳恒电流的磁场是“无散场”.虽然它是从毕奥—萨伐尔定律导出的，但是由于迄今为止没有发现自由磁荷，人们认为，这方程对于非稳恒磁场也成立. （2.4-4）则表示，，在J≠0处，▽×B ≠ 0，稳恒磁场的B 线在电流分布点周围形成涡旋，而在J = 0的地方， ▽×B = 0，涡旋不是在此处形成.

5.关于磁单极子 ( Magnetic Monopole) 按照狄拉克(Dirac)1931年的理论，磁单极子————或者说自由磁荷应当取值 n = 0 , ±1，±2 ···（2.4-5） 其中，普郎克常数 h = 6.626196(50) ×10-34焦耳秒， e为基本电荷的绝对值. 上式表示，磁荷与电荷一样是量子化的，n =±1给出磁荷的基本值.如果狄拉克的预言最终被证实，那么在有净磁荷存在的地方，就应当有B 线发出或终止. 假定磁荷的磁场也如同电荷的电场一样遵从距离平方反比率，即离开q m为 r 处 （2.4-6） 那么，对于包围着q m的任意闭合曲面S，磁场“高斯定理”（2.4-1）就应当修改成 （2.4-7） 若以rm表示净磁荷的体密度，则从（2.4-7）可以得到磁场的散度方程 （2.4-8） 我们看到，如果自然界果真存在自由磁荷，那么磁场的高斯定理与电场的高斯定理就是对称的. 此外，由于狄拉克的磁荷是量子化的，必然导致磁通量也是量子化的.将（2.4-6）代入（2.4-7），我们马上得到 （2.4-9）

矢量场散度和旋度的物理意义

矢量场散度和旋度的物理意义 1993年第1期 击安矿业学院学孩 JOURNALOFXl，ANMININGINSTITUTE 矢量场散度和旋度的物理意义 黄国良王瑞平 (基础部) 舒秦 摘要本文首先从流速场矿(二，，，:)出发，详细地说明了任一矢量场育(二，，，:) 散度和旋度的物理意义。以电学和力学中的简单例子，说明了散度和旋度的计算方 法。 关键词矢量场，散度，旋度 在一定的条件下，利用磁力仪能够发现埋藏在地下几百米深的磁性盲矿体。这是因为在 矿体周围存在着磁场。 物探工作者经常要测定、分析各种场(如电场、磁场等)的分布、变化规律，从而找到 场源(如带电体、磁性体等)。矢量场的散度和旋度是研究各种场时必须的数学工具。本文 着重说明它们的物理意义。 矢量场的散度 矢量函数 A=A(x，百，之) 所确定的场称为矢量场。如电场E(x，，，幼和流速场V(x，万，幻都是矢量场。通t 以不可压缩流体的稳定流速场V(x，百，幻为例，来说明任一矢量场通量的物理意义”’。 如图1所示。S为流速场V(x，刀，幻中的任意曲面，在面积元dS内的流速场可以看成均匀 流速场。因此，在1秒钟内通过ds的流体的流量，即体积流量 dQ二V韶eo:8=V·ds 通过曲面S哟体积流量 。=J:节.d亨二J:vdscoso 可见，通过任意曲面s\的体积流量口在数值上等于通过曲面s的流线的数量。本文1991年3月23日收到西安矿业学院学报1993年 由特殊到一般，任一矢量场A(x，y，z)通过任意曲面S 的场线的数量，称为该矢量场通过曲面S的通量，用价A表 示，即 ，

仁牙·。犷·{。，ascos“J舀沙。 如图2所示。若S为封闭曲面，则矢量场A通过封闭曲面 的通量 图1体积流量的计算 卜少:分·d亨=J:: 因为在S:面上，0总是大于90“，在污 万·d犷+JsZ万·d言 面上，8总是小于90 所以通过S:的通量为负，通过S:的通量为正。 。2通.是矢t场在空间△丫内玻散性的皿度 由上可知，流逮场节(二，，，:)通过封闭曲面s钓体积流量 价、有下列三种情况: 1)，一弧六 一 d八b 从S内有流量价、发散出来， 的发散源，如泉源。 图2通过封闭曲面S的通量 如图3(a)所示。既然有流量流出，说明s内一定有涌出流体 (a)价、>0(b)功<O 图3通过封闭曲面S的体积流量 (e)动、 2)，、=币。护.礴<。 J0 有流量功、汇聚到S内，如图3(b)所示。既然有流量叻，流进s内，说明s内一定有吸进流 体的汇聚源，如渗洞。 源， 3)币、二币。矿.d亨二。JS 流进S内的流量等于流出S钓流量， 也没有吸进流体的汇聚源。 如图3(c)所示。亦说明S内既没有涌出流体的发散 由特殊到一般，如果矢量场A通过封闭曲面S的通量 娇 手:升‘外O第1期黄国良等矢圣场嵌度和旋度的 物理意义宁台 到矢量场A在空间△v(△v是s包围的空间)内是发散的，如果 人·乡:了·d六。 则矢量场A在空间△V内是汇聚的;如果 ，、=币。了.d亨=。

散度,旋度,涡度

假设有一个三维空间，显然空间的每一个点都能用坐标（x, y, z）唯一地标识出来。假如给空间的每一个点都赋予一个数字，那么整个空间就充满了数字。此时，这个充满数字的三维空间在数学上就叫做“场”。 上述的场叫做标量场，因为单纯的一个数字叫做“标量(scalar)”。如果我们给空间的每一个点都赋予一个矢量(vector)，即一个既有大小，又有方向的东西，那么整个空间就变成充满了矢量，这个空间就叫做矢量场。 矢量场中的每一点都对应于一个矢量，而矢量能够根据规则进行各种运算，例如加、减和乘等（数学上没有矢量的除法）。 显然，我们可以对整个矢量场中的每一个矢量同时进行某种运算，例如同时将它们乘以一个数，或加上一个数等。但是我们可以对整个矢量场进行一些更复杂的运算，其中散度就是其中一种。 三维空间中的一个矢量可以沿x、y和z方向分解，现假设空间的某一点被赋予的矢量能够沿着这3个方向分解为大小为P、Q和R的三个分量，表示为（P，Q，R）。注意，由于空间中每个点被赋予的矢量一般来说是不同的，所以P、Q和R的大小在空间的不同的点一般有不同的值，也就是说P、Q和R中每一个都是x、y和z的函数。 对三维矢量场来说，我们可以对其中一个点的矢量，假设为（P，Q，R）进行以下操作： 1、求出dP/dx＋dQ/dy＋dR/dz的值，其中dP/dx表示求P对x的一阶偏导数，其余雷同； 2、将这个值赋予这个点 对整个矢量场的每个点均进行以上运算，就等于给整个三维空间的每个点都赋予了一个值，于是我们就得出了一个新的标量场，这个标量场就叫做原来的矢量场的散度(divergence)，这种运算就叫做“对矢量场取散度”。 除了散度运算以外，我们还可以对矢量场进行其它的运算，例如旋度运算(curl)。 跟散度运算不同，旋度运算的结果不是标量场，而是另一个矢量场。旋度运算的规则比较繁复，但是网上很多地方都有解释，这里就不讲了。 而涡度就是一个速度场的旋度，显然涡度是一个矢量场，而散度是一个标量场，这就是两者的本质区别了。 对电场散度和旋度的理解 首先在说明散度和旋度之前，先说说对于曲面积分和曲线积分的理解。 对曲面的积分有两类（第一类曲面积分和第二类曲面积分），这个差别主要在于矢量性，第一类曲面积分并不带矢量性，比如知道面密度和面积的微元，对密度求积分得到整个面积的质量，而第二类曲面积分带有矢量性，比如知道流速V=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k和小微元面积的单位法向量n=(cosA,cosB,cosC)，对流速求积分得到单位时间的流量，但是后者的流速和小微元面积带有方向。因此可以说第二类曲面积分就是对于向量点积的积分，第一

1.3 矢量场的通量及散度

1.3 矢量场的通量及散度 1.3.1 矢量场的概念 定义：空间区域V 内的某一物理系统的状态，可以用一个矢量函数F (r ，t )来描述。对于V 中任意一点r ，若F (r ，t )有确定的值与之对应，则称F (r ，t )是定义于V 区域上的矢量场。 矢量场也有两个特点：①F (r ，t )为空间坐标的函数（点函数），显示单值性； ②F (r ，t )要占有一个空间。 矢量场也分恒稳矢量场F (r )和时变矢量场F (r , t )。 矢量场F (r ，t )可用矢量线（简称F 线）来形象地描述。F 线是带有箭头的空间曲线，其上任一点的切线方向即为该处矢量场的方向，F 线的疏密反映矢量场分布的弱或强，矢量线互不相交。 直角坐标系下矢量场可表为： ()()()()z z y y x x z y x F z y x F z y x F z y x e ,,e ,,e ,,,,F ++= (1.3.1) F 线上的任一线元矢量d l 总是与该处的F 共线，有 0d =?l F 即 ()()()0d d d d d d =-+-+-z y x y x z x z y x F y F z F x F y F z F e e e 则F 线的微分方程 z y x F z F y F x d d d == (1.3.2) 1.3.2. 矢量场的通量 （1）恒稳液流场v (r ) 液体流动形成液流场，其中每一点的流动特点用流速v （r ）表示，反映单位时间内流过与该处液流方向垂直的单位面积的液体体积的多少。恒稳之意是指与时间无关

恒稳液流场 ?恒稳流速矢量场v （r ）。 2）流量概念 面元矢量：对于S 面上的任意面元d S ，指定其正法向方向，设置正法向单位矢量e n ，确定了正法向方向的面元称为面元矢量，表示为d S =d S e n 。 流量：设面元矢量d S 与该处v 间的夹角为θ，则穿过该面元d S 的元流量为 ψd = v n d S = v cos θ d S = v ?d S (1.3.3) 累加S 面上所有面元的元流量，得穿过S 面的流量 ???==s S v d d ψψ （1.3.4） 推广流量的概念，对于任意闭合面，有v （r ）在闭面S 上的闭合面积分 ??=s d s v ψ （1.3.5） 规定闭面上各d S 的方向为外法线方向，上式就表示流出闭面S 的净流量。 净流量实际上是流出闭面S 与流入闭面S 的流量之差，若 0>ψ ：表示流出多于流入，说明S 内有产生液体的“正源”； 0<ψ ：说明S 内有“吞食”液体的转换器或“负源”； 0=ψ ：表示流出与流入S 的液体相等，S 内无“源”。 即v 的闭合面积分起到检源作用。 （3）矢量场的通量与闭合面通量 将流量和闭合面流量概念推广到一般矢量场F (r )，有通量??s s F d 和闭合面通量 ??s d s F 概念。分析??s d s F 内有负源 闭面内有正源闭面内无源闭面S S S ? ??=????0 d 0d 0d s s s s F s F s F 显示了它的检源作用。

梯度、散度、旋度的关系

麦克斯韦方程组 向量场数量场 有源场无源场保守场（无旋场）有旋场（非保守场） 保守场=有势场=无旋场------环流等于零! 有源场-------闭合曲面的通量不等于零!------这些是指场的宏观特性! 3.含时磁场可以感生出电场 4.含时电场可以感生处磁场 上面四个方程可逐一说明如下：在电磁场中任一点处 （1）电位移的散度 == 该点处自由电荷的体密度； （2）磁感应强度的散度 --- 处处等于零。 （3）电场强度的旋度 == 该点处磁感强度变化率的负值； （4）磁场强度的旋度 == 该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和\ 把不明白的字母列举一下： E 是电场强度矢量 D 是电位移矢量（也叫电感应强度）应该还有一个电传导向量 E=D+? B 是磁感应强度矢量 H 是磁场强度矢量 H=B+? 其中内在的联系是： D=εE B=μH

注意上面这些大写字母都是矢量 物理都是循序渐进的，你看看懂麦克斯韦方程组，必须学过微积分和数学物理方程。∮是环路积分，求是对闭合的回路求积分 ▽是哈密顿算符，就是对XYZ三个方向求全导数（偏导数就是如果有几个变量，其他的不变，只求一个的导数，全导数就是把不同变量的偏导数全求出来，再加起来） ·是点乘，×是叉乘，不一样的，这是微积分里的 第一个说的是，电场的源是电荷。＜你看它的微分形式，是不是：电场三个方向都求散度后的结果是电荷的密度，（散度通俗理解就是对三个空间方向求微分）这样就说明了电场不能凭空产生，它是有一个源头的，源头就是电荷。这与我们通常的理解也是一样的，到目前为止我们也没有发现，单独的正电荷或负电荷，电场线都是从正电荷出发负电荷截止。 第二个方程，知道第一个方程的含义第二个就很好理解了，他就是说磁场是无源的，也就是说磁场是没有源头的，即磁场线是一条连续的曲线。它不像电场线一样，必须从一个东西发出到一个东西结束。 第三个公式，也是看微分形式。这里对电场取了旋度，＜旋度就相当于在电场线的垂直方向上求导＞我们看到最后它等于磁场对时间的求导。负号是方向。这是什么意思呢？它是说变化的磁场（含时磁场）能产生电场。这一个在日常生活中用的最多，发电厂就是用的这个发电的。 第四个公式，和上一个方程类似不过又有不同，这里除了变化的电场（含时电场）能产生磁外，还说恒定的电流也能产生磁场。＜j是电流的意思＞这一个也好理解，你想我们高中学的右手螺旋定则，其实就是用了这个。右手螺旋定则是由电流方向判断磁场方向，那么也就是说有电流就有磁场了。这个是帮助理解，其实是先有，麦克斯维再有右手螺旋定则的。 、 倒三角什么意思啊？我们一般把空间看成 X,Y,Z,的三维空间，这里的倒三角是对这，三个维度分别求导再相加的意思 梯度 1.坡度。 2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。 3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西～推进。 4.依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有～。 向量场A，数量场u ▽称为汉密尔顿算子，▽·▽=▽2=△，

关于梯度旋度和散度的直观理解 (1)

关于梯度、旋度和散度的直观理解 散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源） 若你的场是一个流速场,则该场的散度是该流体在某一点单位时间流出单位体积的净流量. 如果在某点,某场的散度不为零,表示该场在该点有源,例如若电场在某点散度不为零,表示该点有电荷,若流速场不为零,表是在该点有流体源源不绝地产生或消失(若散度为负). 一个场在某处,沿着一无穷小的平面边界做环积分,平面法向量即由旋度向量给定,旋度向量的长度则是单位面积的环积分值.基本上旋度要衡量的是一向量场在某点是否有转弯. 梯度: 运算的对像是纯量,运算出来的结果会是向量在一个纯量场中,梯度的计算结果会是" 在每个位置都算出一个向量,而这个向量的方向会是在任何一点上从其周围(极接近的周围, 学过微积分该知道甚么叫极限吧?) 纯量值最小处指向周围纯量值最大处. 而这个向量的大小会是上面所说的那个最小与最大的差距程度" 举例子来讲会比较简单,如果现在的纯量场用一座山来表示, 纯量值越大的地方越高,反之则越低.经过梯度这个运操作数的运算以后, 会在这座山的每一个点上都算出一个向量,这个向量会指向每个点最陡的那个方向,而向量的大小则代表了这个最陡的方向到底有多陡. 散度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是纯量散度的作用对像是向量场, 如果现在我们考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域), 在这个点上,向量场的发散程度, 如果是正的,代表这些向量场是往外散出的. 如果是负的,代表这些向量场是往内集中的. 一样,举例子: 因为散度的作用对像是向量场,所以就不能用上面所讲的山来想象, 这

07 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面∑的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系. 分布图示 ★ 斯托克斯公式 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 空间曲线积分与路径无关的条件 ★ 三元函数的全微分求积 ★ 环流量与旋度 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 斯托克斯公式的向量形式 ★ 向量微分算子 ★ 内容小结 ★课堂练习 ★ 习题11-7 ★返回 内容要点 一、斯托克斯公式 定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ???? ????-??+??? ????-??+???? ? ???-????∑.?++=L Rdz Qdy Pdx (7.1) 公式(7.1)称为斯托克斯公式. 为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式： ??? Γ∑ ++=?? ????Rdz Qdy Pdx R Q P z y x dxdy dzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成 .c o s c o s c o s ???Γ∑ ++=?? ???? Rdz Qdy Pdx dS R Q P z y x γβα 二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、环流量与旋度 设向量场 ,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ++=

矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解

1.梯度gradient 设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。 在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量 (δf/x)*i+(δf/y)*j 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)] 2.散度 气象学中指： 散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。 微积分学→多元微积分→多元函数积分中： 设某量场由A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点(x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A 的散度，记作div A，即div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。 上述式子中的δ为偏微分（partial derivative）符号。 3旋度 表示曲线、流体等旋转程度的量 4.矢量和标量场 假设有一个三维空间，显然空间的每一个点都能用坐标（x, y, z）唯一地标识出来。假如给空间的每一个点都赋予一个数字，那么整个空间就充满了数字。此时，这个充满数字的三维空间在数学上就叫做“场”。 上述的场叫做标量场，因为单纯的一个数字叫做“标量(scalar)”。如果我们给空间的每一个点都赋予一个矢量(vector)，即一个既有大小，又有方向的东西，那么整个空间就变成充满了矢量，这个空间就叫做矢量场。 矢量场中的每一点都对应于一个矢量，而矢量能够根据规则进行各种运算，例如加、减和乘等（数学上没有矢量的除法）。

斯托克斯公式 环流量与旋度

斯托克斯公式 环流量与旋度 一、斯托克斯公式 斯托克斯公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而斯托克斯公式则把曲面∑上的曲面积与沿着∑的边界曲线Γ的曲线积分联系起来。 我们首先介绍有向曲面∑的边界曲线Γ的正向的规定，然后陈述并证明斯托克斯公式。 【定理】设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在包含曲面∑在内的一个空间区域具有一阶连续偏导数，则有 ???Γ∑++=??-??+??-??+??-??Rdz Qdy Pdx dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()( (1) 公式(1)叫做斯托克斯公式。 证：先假定∑与平行于z 轴的直线相不多于一点，并设∑为曲面),(y x f z =的上侧，∑的正向边界曲线Γ在xoy 面上的投影为平面有向曲线C ，C 所围成的闭区 域为xy D 。 我们设法把曲面积分 ??∑??-??dxdy y P dzdx z P

化为闭区域xy D 上的二重积分，然后通过格林公式使它与曲线积分联系。 根据对面积的和对坐标的曲面积分间的关系，有 ????∑∑γ??-β??=??-??dS y P z P dxdy y P dzdx z P )cos cos ( (2) 由第8.6节知道，有向曲面∑的法向量的方向余弦为 221cos y x x f f f ++-= α，221cos y x y f f f ++-=β，2 211 cos y x f f ++=γ 因此γβcos cos y f -=，把它代入(2)式得 ????∑∑γ???? ????-???-=??-??dS y P f z P dxdy y P dzdx z P y cos 即 ????∑∑γ???? ????+??-=??-??dS y P f z P dxdy y P dzdx z P y cos (3) 上式右端的曲面积分化为二重积分时，应把),,(z y x P 中的z 用),(y x f 来代替，因为由复合函数的微分法，有 y f z P y P y x f y x P y ???+??=??)],(,,[ 所以，(3)式可写成 ????∑??-=??-??xy D dxdy y x f y x P y dxdy y P dzdx z P )],(,,[ 根据格林公式，上式右端的二重积分可化为沿闭区域xy D 的边界C 的曲线积分 ???=?? -xy D c dx y x f y x P dxdy y x f y x P y )],(,,[)],(,,[ 于是 ???∑=??-??c dx y x f y x P dxdy y P dzdx z P )],(,,[ 因为函数)],(,,[y x f y x P 在曲线C 上点),(y x 处的值与函数),,(z y x P 在曲线Γ上 对应点),,(z y x 处的值是一样的，并且两曲线上的对应小弧段在x 轴上的投影也是一样，根据曲线积分的定义，上式右端的曲线积分等于曲线Γ上的曲线积分 ? Γ dx z y x P ),,(,因此，我们证得 ???∑Γ=??-??dx z y x p dxdy y P dzdx z P ),,( (4) 如果∑取下侧，Γ也相应地改成相反的方向，那末(4)式两端同时改变符号，因此(4)式仍成立。 其次，如果曲面与平行于z 轴的直线的交点多于一个，则可作辅助曲线把曲面分成几部分，然后应用公式(4)并相加。因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲

梯度、散度和旋度

梯度、散度和旋度 (2011-09-12 20:36:08) 转载▼ 标签： 旋度 散度 梯度 矢量场 拉普拉斯算子 波动方程 分类：电子技术 梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。这里假设读者已经了解了三者的定义。它们的符号分别记作如下： 从符号中可以获得这样的信息： ①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。这里φ称为势函数； ②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的； ③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。 这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式 (1 )其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先给出梯度、散度和旋度的计算式： (2)

(3) (4 )旋度公式略显复杂。这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。 I.梯度的散度： 根据麦克斯韦方程有： 而 (5)则电势的梯度的散度为 这是一个三维空间上的标量函数，常记作 ( 6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。事实上因为定义 所以有 当然，这只是一种记忆方式。 当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程

当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即 这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。 II.散度的梯度： 散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。在半导体中，载流子分布的不均匀会导致扩散电流。 散度的梯度这个概念其实不常用，因为计算复杂，但在后面讲用它来推导一个矢量恒等式。 III.梯度的旋度： 对于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有 由于势函数在空间一点的领域内往往是有二阶连续混合偏导数的，因此上式的结果为0.所以说梯度的旋度为零，它的物理意义也是很明确的。 比如一个人从海平面爬到一座山上，无论它是从山的陡坡爬上去还是从缓坡爬上去，亦或者坐直升机上去，重力对他所做的功总是相等的，即力场的做工只与位移有关，而与路径无关，这样的场称为保守场，而保守场是无旋场。再比如绘有等高线的地图，如果某点只有一个一根等高线穿过，那么该点有一个确定的相对高度。如果该点有两条或以上的等高线穿过，则这个点处在悬崖边上，这个点处是不可微，也就没有求梯度的意义。 IV.旋度的散度： 求旋度的散度也是将(4)式代入(3)式即可。若令 (7) 则