极坐标及参数方程高考题练习含答案
极坐标系与参数方程高考题练习
2014年
一．选择题
1. (2014)曲线1cos 2sin x y θ
θ=-+??
=+?
（θ为参数）的对称中心（ B ）
.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上
2.(2014XX)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线l 的参数方程是?
??-=+=3,
1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的
弦长为（ D ）
（A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）22
3(2014XX) (2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=
≤≤+ B.1,0cos sin 4
π
ρθθθ=≤≤+
C.cos sin ,02
π
ρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04
π
ρθθθ=+≤≤
【答案】A 【解析】
1y x =-()01x ≤≤
∴sin 1cos ρθρθ=-()0cos 1ρθ≤≤
1
0sin cos 2πρθθθ
?
?∴=
≤≤ ?+?
? 所以选A 。
二．填空题
1. (2014XX)（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线1C 的参数方程是??
?
??=
=33t y t x ()为参数t ，
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2
C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______.
2. (2014XX)直角坐标系中，倾斜角为
4π
的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα
=+??=+?：，（α为参数）交于A 、B 两点，且
2
AB=，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________.
3 (2014XX)已知直线l的参数方程为?
?
?
+
=
+
=
t
y
t
x
3
2
（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)
2
0,0
(0
cos
4
sin2π
θ
ρ
θ
θ
ρ<
≤
≥
=
-，则直线l与曲线C的公共点的极经=
ρ____5____.
.
【答案】5
【解析】
.5
ρ,
.5
4
1
ρ
(1,2),
∴
2
4
4-
y
1
-
x4
y
.x4
y
θ
cos
ρ4
θ
sin
ρ
∴
θ
cos
4-θ
sin
ρ
1
-
,
3
,
2
2
2
2
2
2
2
=
=
+
=
=
?
=
+
=
=
=
?
=
=
=
+
=
+
=
所以
交点
得
与
联立y
y
x
y
x
y
t
y
t
x
4(2014XX)已知曲线C的极坐标方程为1
)
sin
4
cos
3(=
-θ
θ
p，则C与极轴的交点到极点的距离是。
【答案】3
1
【解析】
3
1
).0,31(14-3∴1)θsin 4-θcos 3(ρ所以，是交于点==y x
.C (2014XX)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16
π
ρθ-=的距离是
C
1
|1
32
3-3|023-1,3(∴,2-312
1
os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==??=d y x x y c 的距离）到直线点即对应
直线）对应直角坐标点极坐标点
5 (2014XX)在以O 为极点的极坐标系中，圆θρ4sin =和直线a =θρsin 相交于,A B 两点.若ΔAOB 是等边三角形，则a 的值为___________. 解：3 圆的方程为2
2
2
4x
y ，直线为y a .
因为AOB 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得3a .
6. (2014XX)（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2
sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿
221212:(1,1)
:(sin )cos ,,
:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为
三．解答题
1.(2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C ：22
149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?
（t 为参数）.
(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o
30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.
【解析】：.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θ
θ
=??
=? （θ为参数），
直线l 的普通方程为：260x y +-=………5分
（Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为
5
4cos 3sin 65
d θθ=
+-， 则()025
||5sin 6
sin 305
d PA θα=
=+-，其中α为锐角．且4
tan 3
α=
. 当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为
225
5
； 当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为
5
5
. …………10分
2. (2014新课标II)（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，
0,2πθ??∈??
??
. （Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的
坐标.
3.（2014XX ）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆2
2
1x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；
（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
【答案】 （1）π∈[0,θθsin 2,θcos ，==y x （2） 03θsin ρ4-cos θ 2ρ=+ 【解析】
（1）]π∈[0,θθsin 2,θcos ，的参数方程：曲线==y x C （2）
3θsin ρ4-cos θ 2ρ,23-4)2
1
-(211-∴).
1,2
1
(),2,0(),0,1(.2π0θ.1)4πθsin(20,
2-θsin 2θcos 2θ)sin 2θ,(cos =+====+=+是所求直线的极坐标方程所以即的中垂线方程是垂直中点所以，，或即解得在直线上，则上的点设曲线x y x y AB AB B A P C
4（2014XX ）（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程
已知直线l 的参数方程为???-=-=t y t a x 42，（t 为参数），圆C 的参数方程为
??
?==θ
θ
sin 4cos 4y x ，（θ为常数）. （I ）求直线l 和圆C 的普通方程；
（II ）若直线l 与圆C 有公共点，XX 数a 的取值X 围.
解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，
圆C 的普通方程为x 2
＋y 2
＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，
故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝
5
2a -≤4，
解得－25≤a ≤2 5.
2007--2013年高考 极坐标与参数方程
（2013XX 数学（理））在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ B ）
A ．=0()cos=2R θρρ∈和
B ．=
()cos=22
R π
θρρ∈和
C ．=()cos=12
R π
θρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和
（2013XX 数学（理））已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π??
??
?
,
则|CP | = 23.
1（2013XX 卷（理））在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为
_____
15
2
+_____ 解析：
2（2013卷（理））在极坐标系中,点(2,6
π
)到直线ρsin θ=2的距离等于____1_____.
3（2013XX 数学（理））在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线2
3
x t
y t
?=??=??(为参数)相交于,A B 两点,则______AB =
【答案】16
4（2013XX （理））(坐标系与参数方程选讲选做题)
已知曲线C
的参数方程为x t
y t ?=??
=?
?(为参数),C 在点()1,1处的切线为， 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则切线的极坐标方程为.
【答案】x+y=2 ；
sin 4πρθ?
?
+
= ??
?
5（2013XX （理））C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆
220y x x +-=的参数方程为______ .
x
【答案】R y x ∈????==θθ
θθ
,sin cos cos 2
6（2013XX （理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2
x t
y t
=??=?(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________ 【答案】2cos sin 0ρθθ-=
7（2013XX 卷（理））在平面直角坐标系xoy 中,若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ??==????
=-=??为参数过椭圆
()?为参数的右顶点,则常数a 的值为________. 【答案】3
8（2013XX （理））在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=??=?
()0a b ?>>为参数，.在极
坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线
与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ?
?+= ???()m 为非零常数与b ρ=.若直线经过椭圆C 的
焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为___________.
（2013新课标（理））已知动点,P Q都在曲线
2cos
:
2sin
x
C
y
β
β
=
?
?
=
?
(β为参数上,对应参数分别为βα=与)
2
0(
2π
α
α
β<
<
=,M为PQ的中点.
(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
【答案】
9（2013XX（理））在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆
1
C,直线
2
C的极
坐标方程分别为4sin,cos 2.
4
π
ρθρθ??
==-=
?
??
.
(I)求
1
C与
2
C交点的极坐标;
(II)设P为
1
C的圆心,Q为
1
C与
2
C交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为
()
3
31
2
x t a
t R
b
y t
?=+
?
∈
?
=+
??
为参数,求,a b的值
【答案】
10（2013XX （理））坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极
轴建立坐标系.已知点A 的极坐标为(2,)4π,直线的极坐标方程为cos()4a π
ρθ-=,且点A 在直
线上.
(1)求a 的值及直线的直角坐标方程;
(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y α
α
=+??=?,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.
【答案】解:(Ⅰ)由点(2,)4A π在直线cos()4a π
ρθ-=上,可得2a =
所以直线的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线的直角坐标方程为20x y +-=
(Ⅱ)由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0),半径1r =
以为圆心到直线的距离1d =<,所以直线与圆相交
11（2013XX ）在平面直角坐标系xoy 中,直线的参数方程为?
??=+=t y t x 21
(为参数),曲线C 的参数方程为
??
?==θ
θ
tan 2tan 22y x (θ为参数),试求直线与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标. 【答案】C 解:∵直线的参数方程为?
??=+=t y t x 21
∴消去参数后得直线的普通方程为022=--y x ①
同理得曲线C 的普通方程为x y 22=②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为)2,2(,)1,2
1
(-
12（2013新课标1（理））选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t =+??=+?
(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
【答案】将45cos 55sin x t
y t =+??=+?消去参数,化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=,
即1C :22810160x y x y +--+=,将cos sin x y ρθ
ρθ
=??
=?代入22810160x y x y +--+=得,
28cos 10sin 160ρρθρθ--+=,
∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=; (Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=,
由2222
810160
20
x y x y x y y ?+--+=??+-=??解得11x y =??=?或02x y =??=?,∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为(2,4π),(2,)2π. 【2012新课标文23】已知曲线C 1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2．正三角形ABC 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）（Ⅰ）求点A 、B 、C 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|PA|2
+|PB|2
+|PC|2
的取值X 围． 解析：
【2012XX 文23】在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=。
(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出
圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求圆12C C 与的公共弦的参数方程。
【2012XX23】在极坐标中，已知圆C经过点()
2
4
P
π
，，圆心为直线
3
sin
32
ρθ
π
??
-=-
?
??
与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
【2012XX文15】直线2cos1
ρθ=与圆2cos
ρθ
=相交的弦长为3
【2012XX文14】在平面直角坐标系xOy中，曲线
1
C和
2
C的参数方程分别为
5cos
5sin
x
y
θ
θ
?=
?
?
=
??
（θ为参
数，0
2
π
θ
≤≤）和
2
1
2
2
x t
y t
?
=-
??
?
?=-
??
（t为参数），则曲线
1
C和
2
C的交点坐标为（2，1）
（2011XX 文15)直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分
别在曲线13cos :sin x C y θ
θ=+??=? （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为____1____.
(2011XX 卷文14)已知两曲线参数方程分别为??
?==θθ
sin cos 5y x ）
（πθ<≤0和?
????==t y t x 245（t ∈R ），它们的交点坐标为)5
5
2,1(．
(2011XX21)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ?
?=??=?（?为参数）的右焦点且与直线
423x t
y t =-??
=-?
（t 为参数）平行的直线的普通方程。
（2010XX 卷文科8）若直线y x b =-与曲线2cos ,
sin x y θθ=+??=?（[0,2)θπ∈）有两个不同的公共点，则
实数b 的取值X 围为 （ D ）
（A ）(2 （B ）[2 （C ）
(,2(22,)-∞++∞ （D ）(2
（2010XX 卷文科4）极坐标cos p θ=和参数方程12x t
y t ?=--?
=+?
（t 为参数）所表示的图形分别是（ D ）
A. 直线、直线
B. 直线、圆
C. 圆、圆
D. 圆、直线
（2010XX 卷文15）在极坐标系),(θρ)20(πθ≤≤中，曲线1)sin (cos =+θθρ与1)sin (cos =-θθρ的交点的极坐标为 （1，0） .
（2010XX 卷文15）（坐标系与参数方程选做题）参数方程cos ,
1sin x y αα=??=+?
（α为参数）化成普通方程
为1)1(2
2=-+y x .
（2010XX 卷文23）已知P 为半圆C ：cos sin x y θ
θ=??=?（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A 的坐标为（1，
0），O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3
. （Ⅰ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标; （Ⅱ）求直线AM 的参数方程.
（2010XX 、）已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+??=+? （t 为参数）， C 2：8cos ,
3sin ,x y θθ=??=?（θ为参数）。
（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C 1上的点P 对应的参数为2t π
=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线332,
:2x t C y t =+??=-+?
（t
(极坐标与参数方程)教学案( 4 )
高二数学 (极坐标与参数方程)教学案( 4 ) 常见曲线的极坐标方程 一、课前自主预习 1.将下列极坐标方程化为直角坐标方程 ⑴5=ρ, ⑵sin 2ρθ=, ⑶πθ4 3 =, 2.写出下列特殊图形的直线方程 图3 图1 _________________ _________________ ____________________ 图5 图4 ______________ ________________ 3.写出下列特殊图形圆的极坐标方程 . 图3 图2 图1 O ____________________ ________________ ________________________ 图5 图4 _____________________ ____________________
4. 若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：_____________ 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为：__________________________________ 二、课堂合作探究 例1：按下列条件写出它的极坐标方程: ⑴求过极点，倾角为π/4的射线的极坐标方程.⑵求过极点, 倾角为π/4的直线的极坐标方程.⑶求过极点及??? ??6, 6πA 的直线方程.⑷求过点?? ? ??6,6πA 平行于极轴的直线⑸求过点?? ? ??6,6πA 且倾斜角为32π的直线方程.. 例2、:按下列条件写出圆的极坐标方程: (1)以()0,3A 为圆心,且过极点的圆(2)以?? ? ??2, 8πB 为圆心,且过极点的圆 (3)以极点O 与点()0,4-C 连接的线段为直径的圆(4)圆心在极轴上,且过极点与点??? ? ? 6,32πD 的圆 例3、自极点O 作射线与直线4=θρsos 相交于点M,在OM 上取一点P,使得OM ·OP=12,求点P 的轨迹方程.
极坐标与参数方程题型三：最值问题
极坐标与参数方程题型二：最值问题 13.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. (1) 求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； (2) 设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标. 14、已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：? ????x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值． 15、以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （2）若点()y x P ,在该圆上，求y x +的最大值和最小值．
16、已知曲线C 的极坐标方程θρsin 2=，直线l 的参数方程)(22223为参数t t y t x ??? ????=+=， 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系； （1）求曲线l C 与直线的直角坐标方程. （2）若M 、N 分别为曲线l C 与直线上的两个动点，求||MN 的最小值. 17、已知直线l 的参数方程为1212 x t y ?=????=+??（t 为参数），曲线C 的参数方程为 2cos sin x y θθ =+??=?（θ为参数）。（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4, )3π，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值。 18、以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为???=+=α αsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
极坐标与参数方程 经典练习题含答案详解
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ=-+??=? 的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与? ??==θθ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7 ．与参数方程为)x t y ?=?? =??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14 y x + = B ．22 1(01)4y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．22 1(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤
高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型
一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题
极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)
高考极坐标参数方程(经典39题) 1．在极坐标系中，以点(2,)2 C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:() 3 l R π θρ= ∈交于,A B 两点. （1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2 :sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α） （α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4 R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直 角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2 , 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以 极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(24222 2 是参数t t y t x ??? ??? ?+== ，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3?? ?=+=.在极坐标 系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为 (2, ) 3π ，半径r=1，P 在圆C 上运 动。 （I ）求圆C 的极坐标方程； （II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 ) 4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(= θ+πρ. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线? ? ?==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变， 横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题
极坐标与参数方程高考精练（经典39题） 1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3 l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标 系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4 sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ???????+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3???=+=.在极坐标系（与直角 坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方 程为θρcos 4=.
（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π ，半径r=1，P 在圆C 上运动。 （I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极 点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方 程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 )4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(=θ+πρ.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若圆C 和直线l 相交 于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线???==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变 为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍 得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方 程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度． 9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是??? ????=+-=. 21, 233t y t x （t 为参数）。求极点在直线l 上的射影点P 的极坐标；若M 、N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值。
极坐标与参数方程题型和方法归纳
极坐标与参数方程题型和方法归纳
极坐标与参数方程题型和方法归纳 题型一：极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。方法如下： {22222 cos sin tan (0x y x y x y y x x ραρα ρρθ==?=++??=≠+?? ???????→ ←???????或(1)极坐标方程直角坐标方程 2 2 1θθ=????????????→←????????????消参（代入法、加减法、sin +cos 等）圆、椭圆、直线的参数方程 (2)参数方程直角坐标方程 ??→??→←??←?? (3)参数方程直角坐标方程(普通方程)极坐标方程 1、已知直线l 的参数方程为 11233x t y t ? =+? ? ?=? （t 为参数） 以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的方程为2sin 3cos 0 θρθ=. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线 l 与曲线C 交点的一个极坐标. 题型二：三个常用的参数方程及其应用 （1）圆 222 ()()x a y b r -+-=的参数方程是：
cos sin ()x a r y b r θ θθ =+?? =+?为参数 （2）椭圆 22 221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是： cos ,()sin x a y b θ θθ=?? =? 为参数 （3）过定点0 (,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为： 00cos ,()sin x x t t y y t α α =+?? =+?为参数 对（3）注意： P 点所对应的参数为0 t =，记直线 l 上任意两点,A B 所对应的参数分别为1 2 ,t t ，则① 12 AB t t =-,② 1212121212,0 ,0 t t t t PA PA t t t t t t ?+?>?+=+=? -? ）以坐标原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 24 πρθ??+=- ?? ? （Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值；
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）
（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.
最新极坐标参数方程题型归纳--7种
极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 1.(2015·广东理，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ????θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ????22，7π 4，则点A 到直线l 的距离为________． [立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离． 二、参数方程与直角坐标方程的互化 【解析】椭圆方程为：14622=+y x ，因为1cos sin 2 2=+x x ，令???==α αcos 2sin 6y x ，则有 X+2y=αsin 6+αcos 4=()?α++sin 166,最大值22，最小值22- 三、根据条件求直线和圆的极坐标方程 四、求曲线的交点及交点距离 4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为? ??x ＝t －1t ， y ＝t ＋ 1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 【解析】 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参 数方程? ??x ＝t －1t ，y ＝t ＋ 1t 两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立? ??? ?3x －y ＝0，y 2－x 2＝4 解得???x ＝－22，y ＝－322或? ??x ＝2 2， y ＝32 2 . 所以点A ????－22，－322，B ???? 22，322. 所以|AB |＝ ????－22－222＋??? ?－322－3222＝2 5.
高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
极坐标与参数方程真题
1.（2019江苏）在极坐标系中，已知两 点3, ,42A B ππ??? ????? ，直线l 的方程为sin 34 ρθπ?? += ?? ? . （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离. 2．(2018江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为π sin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=， 求直线l 被曲线C 截得的弦长． 3．（2017江苏）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82 x t t y =-+?? ?=??（t 为参数），曲线C 的参数方程为2 2x s y ?=??=??（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直 线l 的距离的最小值． （Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标． 4．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()11,2,x t t y ? =+?? ??=??为参数， 椭圆C 的参数方程为()cos , 2sin ,x y θθθ=??=? 为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线 段AB 的长． 5．（2015江苏）已知圆C 的极坐标方程为2sin()404 π ρθ+--=，求圆C 的半径.
答案部分 1、解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3， 4π），B ，2 π ）， 由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为 34 π． 又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin( )242 ππ ?-=. 2、因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为(2,0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过(4,0)A ，倾斜角为π 6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π 6 ． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA = π2 ， O l 所以π 4cos 6 AB ==l 被曲线C 截得的弦长为 3．直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C 上，设2(2,)P s ， 从而点P 到直线l 的的距离22d = =， 当 s = min 5 d = . 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值 5 .
极坐标与参数方程习题
！ 极坐标与参数方程习题 一、选择题 1.直线12+=x y 的参数方程是（ ） A 、???+==1 22 2 t y t x （t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数） C 、 ???-=-=121 t y t x （t 为参数） D 、?? ?+==1 sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ） A ．0 B ．1 C ．-2 D ．8 3.已知??? ? ? -3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) . A 、?? ? ? ?- 3,5π B 、?? ? ? ?3 4, 5π C 、?? ? ? ?- 3 2,5π D 、?? ? ? ?- -35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线 对称的是（ ） A ．（-ρ，θ） B ．（-ρ，-θ） C ．（ρ，2π-θ） D ．（ρ，2π+θ） 5.点() 3,1-P ，则它的极坐标是 ( ) A 、?? ? ? ? 3, 2π B 、?? ? ? ?34, 2π C 、?? ? ? ?- 3,2π D 、?? ? ? ?- 34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θ θ =+?? =? （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ). 】 7.参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）
极坐标与参数方程题型及解题方法
Ⅰ复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、 参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就 确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？
Ⅱ 题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()() 2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-， 即有22 4y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B
极坐标与参数方程高考题含答案
极坐标与参数方程高考题 1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2 2 2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()π R 4 θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ? 的面积. 解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. （Ⅱ）将= 4 π θ代入2 2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得 240 ρ-+=，解得1ρ=， 2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN V 的面积o 1 1sin 452 ?=12 . 2.已知曲线194:2 2=+y x C ，直线???-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 |4cos θ+3sin θ-6|,
则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α= 43 . 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小 值,. 3.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐 标方程为ρ=2cos θ02πθ?? ∈???? ，, (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标. 解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为: x 1cos sin y θ θ=+??=? (0≤θ ≤π). (2)设D(1+cos θ,sin θ).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan θ,θ= 3 π .故D 的 直角坐标为32（. 4.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程; (2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
典型极坐标参数方程练习题带答案
极坐标参数方程练习题 1在直角坐标系xOy 中，直线Ci ： x = — 2，圆C 2： (x -1)2 + (y — 2)2= 1,以坐标原点为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1) 求 C i , C 的极坐标方程； n (2) 若直线C 3的极坐标方程为 归~4(p€ R),设C 2与C 3的交点为M , ”，求厶C 2MN 的面 积. 解：(1)因为x = pcos 0 ， y = pin 0，所以C i 的极坐标方程为pcos B= — 2， C 2 的极坐标方程为 p 2— 2 pcos 0 — 4 psin 0 + 4 = 0. n (2)将 0= ~4代入 p 2— 2 p cos 0 — 4 pin 0 + 4= 0，得 p 2 — 3 2 p + 4= 0，解得 p i = 2 2，p 2= 2故 p — p= 2,即 |MN| = 2. 1 由于C 2的半径为1,所以△ C 2MN 的面积为 4. (2014辽宁，23, 10分，中)将圆x 2 + y 2= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为 原来的2倍，得曲线C. (1) 写出C 的参数方程； (2) 设直线I : 2x + y — 2 = 0与C 的交点为P 1,巨，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P 1P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程. x = X 1, 解：(1)设(X 1, y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x , y),依题意，得 c y = 2y 1, 由 X 1 + y 2= 1 得 x 2 + 2y 2 = 1. 即曲线C 的方程为x 2 +y 4 = 1. x = cos t , 故C 的参数方程为 (t 为参数). y =2sin t 不妨设P 1(1, 0), P 2(0, 2),则线段P 1P 2的中点坐标为 2 1，所求直线斜率为k =?, ⑵由 y 2 x 2+4 = 1, 4 解得 2x + y — 2 = 0 x = 1, y = 0 x = 0, y = 2.
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、极坐标系 在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角. 二、极坐标与直角坐标的互化 设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: cos sin x y ρθρθ=??=?或222 tan (0) x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? （对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义 r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆； 0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线； 2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆. (可化直角坐标: 2 2cos a ρρθ=2 2 2x y ax ?+=2 2 2 ()x a y a ?-+=.) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: 00sin ()()cos 2 y y x x απ αα-= -≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα =+??=+?,2π α=也成立，故直线的参数方程为
极坐标与参数方程习题
、选择题1.直线y A 、 C 、极坐标与参数方程习题 2x 1的参数方程是（ 2 X t ( t为参数) y 2t2 1 爲11（t为参数） 2.已知实数x,y满足x3cosx 2 0, 8y3 A. 0 C . 3.已知M A、5, x 2t y 4t cos2y -2 1 （t为参 数） sin 2si n 笃，下列所给出的不能表示点的坐标的是 B 、 4 5込 C 5,- 3 4.极坐标系中，下列各点与点P （p, 0 ) (0^k n, 在直线 对称的是（） A. (- p,B) B. (- p, -0) C . (p, 2 n- 0) 0) 5?点P1, 3，则它的极坐标是（ A、2,3 B 、 4 2,13 6.直角坐标系xoy中，以原点为极点, （t为参 数） 1 2y D . k€Z）关于极轴所 D . (p, 2 n + x轴的正半轴为极轴建极坐标 系，设点A,B分别在曲线G：x 3 cos（为参数）和曲线C2： 1 y sin
上，则 AB的最小值为 （）. A.1 B.2 C.3 D.4 1 7.参数方程为x t t （t为参数）表示的曲线是（） y 2 A. —条直线B .两条直线C .一条射线 D .两条射线 x 1 2t 8.若直线X ' t为参数与直线4x ky 1垂直，则常数k （） y 2 3t A.-6 B. 1 6 C.6 D. 1 6 9.极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是() A. (x 2)2 y2 4 B. x2y2 4 C. x2 (y 2)2 4 D. 2 2 (x 1) (y 1) 4 10.柱坐标(2, 2, 3 1）对应的点的直角坐标是（）. A.( 1, 3,1) B.( 1, 3,1) C.( .3, 1,,1) D.( .3,1,1) 11.已知二面角 1 的平面角为，P为空间一点，作PA PB ,AB为垂足，且PA 4 , PB 5，设点A、B到二面角I 的棱I的距离为别为x, y .则当变化时，点（x, y）的轨迹是下列图形中的