2020年陕西师大附中中考数学七模试卷 解析版

2020年陕西师大附中中考数学七模试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）﹣的倒数是（）

A．B．C．D．

2．（3分）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体中写“英”的面相对面上的字是（）

A．“战”B．“疫”C．“情”D．“颂”

3．（3分）如图，直线AB∥CD，等腰直角三角形的直角顶点E在AB上，若∠1+∠2＝90°，则图中与∠1互余的角的个数是（）

A．5B．6C．7D．8

4．（3分）已知两点A（3a，b）和B（3b，a）均在第三象限，且均在正比例函数y＝kx的图象上，则k的值为（）

A．3B．﹣3C．D．﹣

5．（3分）下列计算正确的是（）

A．a2+a2＝a4B．（2a）2?a3＝2a5

C．（﹣a3）2＝a6D．（a+2）2＝a2+4

6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB角平分线交于点O，则AO的长度为（）

A．2.5B．3C．D．

7．（3分）两条直线l1，l2关于y轴对称，l1经过点（﹣1，0），l2经过点（﹣1，1），则这两条直线l1，l2的交点坐标为（）

A．（0，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，2）D．（0，）

8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD的中点，分别连接AF、BG、CH、DE得到一个新的四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积为（）

A．B．3C．D．2

9．（3分）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，弦AC＝8，点E、F分别为AB、AC的中点，则EF的长度为（）

A．3B．C．D．

10．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）

11．（3分）已知实数（3﹣）0，，，0.101001，，，其中为无理数的是．

12．（3分）若正多边形的一条边与过这条边顶点的半径夹角为72°，则此正多边形的边数为．

13．（3分）如图，△OAB是直角三角形，直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过OA的中点C，与AB相交于D，则的值

为．

14．（3分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝4，CD＝3，点P为直线BC左侧平面上一点，△BCP的面积为2，则|P A﹣PC|的最大值为．

三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程）

15．（5分）计算：+|﹣2|﹣（﹣）﹣3．

16．（5分）先化简，再求值：（﹣a﹣1）÷，其中a＝﹣2．

17．（5分）如图，已知，点P为∠AOB内一定点，请你用尺规作一条经过点P的直线MN，使得直线MN交射线OA于点M．交射线OB于点N，且OM＝ON．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）如图，点C，D均在线段AB上，且AD＝BC，分别过C、D作FC⊥AB，ED⊥AB，连接AE、BF，连接EF交AB于点G，若AE＝BF，求证：DG＝CG．

19．（7分）“疫情无情人有情，防控有界爱无界”，自新冠肺炎疫情发生以来，某杜区积极

响应政府号召，及时发出倡议，提醒群众提高意识，注意防范，呼吁爱心人士伸出援手为疫情严重地区捐款捐物．社区对此次捐款活动进行抽样调查，得到一些捐款数据，将数据整理成如图所示的统计图表（图中信息不完整）．

组别捐款额x/元人数

A1≤x＜100a

B100≤x＜200100

C200≤x＜300

D300≤x＜400

E x≥400

已知A、B两组捐款人数的比为1：5，请结合以上信息解答下列问题．

（1）a＝，本次调查的样本容量是；

（2）补全“捐款人数分组统计图1”；

（3）若记A组捐款的平均数为50，B组捐款的平均数为150，C组捐款的平均数为250，D组捐款的平均数为350，E组捐款的平均数为500，若一个社区共有2万人参加此次活动，请你估计此次活动可以筹得善款的金额大约为多少．

20．（7分）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．

（1）求AC的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．

21．（7分）刘医生在网上看到一款拉杆箱的原价为300元，买6个以内（包含6个）可享受8.5折优惠；超过6个时，超过部分可享受8折优惠，假设医院共有x名医护人员需要买拉杆箱，一起团购的总金额为y元．

（1）请写出y与x的函数关系式；

（2）若医院共有45名医护人员需要购买拉杆箱，请计算出每人需要支付的费用为多少？22．（7分）“诵读经典，传承文明”，为了弘扬中华传统文化，某校近期举办了“国学经典诵读大赛”，诵读的篇目分成四种类型：A．蒙学今诵；B．爱国传承；C．励志劝勉；D．秀山丽水，每种类型的篇目数相同，参赛者需从这四种类型中随机抽取一种诵读类型．（1）小颖参加了这次大赛，她从中随机抽取一个类型，恰好抽中“B．爱国传承”的概率是；

（2）小红和小明也参加了这次大赛，请用树状图或列表法求他们抽中同一种类型篇目的概率．

23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝CB，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且弧AD＝弧BD，直线l经过点C、D，连接AD，交BC于点E，若∠CAD＝∠CBA．

（1）求证：直线l是⊙O的切线；

（2）求的值．

24．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为A（﹣3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的顶点为D，连接AD，AC，CD，BC，将抛物线沿着y轴平移，点C的对应点为点M，是否存在点M使得以M，B，C为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出平移后的抛物线表达式；若不存在，请说明理由．

25．（12分）问题探究：

（1）如图1，线段AB＝4，点P为平面上一动点，且PB＝2，则线段P A的最小值为；

（2）如图2，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E、F分别在边AD、CD上滑动，EF＝2，点M是EF的中点，连接BM，求BM的最小值．

问题解决：

（3）如图3，四边形ABCD是一个边长为50米的菱形舞台，∠BAD＝60°，AB，AD是装饰墙，BC、CD是看台，为了提高声音效果，需要在装饰墙AB上找一点E，在AD上找一点F，搭一个长为30米的支架EF，在EF的中点M处放置收音设备，点A处有电源，求舞台最前端C与M的最短距离，并求此时需要电线AM的长．

2020年陕西师大附中中考数学七模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）﹣的倒数是（）

A．B．C．D．

【分析】求一个数的倒数，即1除以这个数即可．

【解答】解：﹣的倒数是．

故选：B．

2．（3分）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体中写“英”的面相对面上的字是（）

A．“战”B．“疫”C．“情”D．“颂”

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，

“战”与“情”是相对面，

“疫”与“英”是相对面，

“颂”与“雄”是相对面．

故选：B．

3．（3分）如图，直线AB∥CD，等腰直角三角形的直角顶点E在AB上，若∠1+∠2＝90°，则图中与∠1互余的角的个数是（）

A．5B．6C．7D．8

【分析】根据平行线和余角的性质即可得到结论．

【解答】解：∵△FEG是等腰直角三角形，

∴∠FEG＝90°，

∴∠1+∠3＝90°，

∵直线AB∥CD，

∴∠3＝∠7＝∠8，∠4＝∠2＝∠5＝∠6，

∵∠1+∠2＝90°，

∴∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6＝∠7＝∠8，

∴图中与∠1互余的角的个数是7个，

故选：C．

4．（3分）已知两点A（3a，b）和B（3b，a）均在第三象限，且均在正比例函数y＝kx的图象上，则k的值为（）

A．3B．﹣3C．D．﹣

【分析】由点A，B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，结合A，B 在第三象限，即可得出k＞0，进而可确定k的值．

【解答】解：∵两点A（3a，b）和B（3b，a）均在正比例函数y＝kx的图象上，

∴，

∴k＝±．

又∵两点A（3a，b）和B（3b，a）均在第三象限，

∴k＞0，

∴k＝．

故选：C．

5．（3分）下列计算正确的是（）

A．a2+a2＝a4B．（2a）2?a3＝2a5

C．（﹣a3）2＝a6D．（a+2）2＝a2+4

【分析】直接利用积的乘方运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则、整式乘法运

算法则分别计算得出答案．

【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故此选项错误；

B、（2a）2?a3＝4a5，故此选项错误；

C、（﹣a3）2＝a6，正确；

D、（a+2）2＝a2+4a+4，故此选项错误．

故选：C．

6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB角平分线交于点O，则AO的长度为（）

A．2.5B．3C．D．

【分析】延长AO交BC于H，根据等腰三角形的性质得到AH⊥BC，BH＝HC，根据勾股定理得到AH＝＝4，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OH，根据三角形的面积即可得到结论．

【解答】解：延长AO交BC于H，

∵AB＝AC，AO平分∠BAC，

∴AH⊥BC，BH＝HC，

∵BC＝6，

∴BH＝3，

∵AB＝5，

∴AH＝＝4，

过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵∠ABC和∠ACB角平分线交于点O，

∴OE＝OF＝OH，

∴S△ABC＝BC?AH＝（AB+AC+BC）?OH，

∴OH＝＝，

∴AO＝AH﹣OH＝4﹣＝，

故选：A．

7．（3分）两条直线l1，l2关于y轴对称，l1经过点（﹣1，0），l2经过点（﹣1，1），则这两条直线l1，l2的交点坐标为（）

A．（0，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，2）D．（0，）

【分析】根据题意得出直线l2经过点（1，0），两条直线的交点在y轴上，根据待定系数法求得直线l2的解析式，求得直线l2与y轴的交点坐标即可．

【解答】解：∵两条直线l1，l2关于y轴对称，l1经过点（﹣1，0），

∴直线l2经过点（1，0），两条直线的交点在y轴上，

设直线l2为y＝kx+b，

把点（1，0），（﹣1，1）代入得，

解得，

∴直线l2的解析式为y＝﹣x+，

把x＝0代入得，y＝，

∴两条直线l1，l2的交点坐标为（0，），

故选：D．

8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD的中点，分别连接AF、BG、CH、DE得到一个新的四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积为（）

A．B．3C．D．2

【分析】根据题意，采取割补法，将图中梯形补成与中间的平行四边形一样大小的平行四边形，并找到矩形ABCD与5个小平行四边形的面积关系，即可得出结论．

【解答】解：如图所示，过A作AK∥DE，交CH的延长线于K，过B作BR∥AF，交DE的延长线于R，过C作CS∥BG，交AF的延长线于S，过D作DT∥CH，交BG的延长线于T，

∵H是AD的中点，

∴AH＝DH，

∵AK∥DP，

∴∠K＝∠DPH，

又∵∠AHK＝∠DHP，

∴△AKH≌△DPH（AAS），

∴S△AKH＝S△DPH，

同理可得，S△BRE＝S△AQE，S△CSF＝S△BMF，S△DTG＝S△CNG，

∵AH∥CF，AH＝CF，

∴四边形AFCH是平行四边形，

同理可得，四边形BGDE是平行四边形，

∴QM∥PN，QP∥MN，

∴四边形MNPQ是平行四边形，

∵AK∥QP，AQ∥KP，

∴四边形AQPK是平行四边形，

又∵E是AB的中点，EQ∥BM，

∴Q是AM的中点，

∴AQ＝MQ，

∴S四边形AQPK＝S四边形MNPQ，

同理可得，S四边形BMQR＝S四边形MNPQ，S四边形MNCS＝S四边形MNPQ，S四边形DTNP＝S四边形MNPQ，∴S四边形BMQR＝S四边形MNCS＝S四边形DTNP＝S四边形AQPK＝S四边形MNPQ，

∴S四边形MNPQ＝S四边形ABCD＝×3×4＝，

故选：A．

9．（3分）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，弦AC＝8，点E、F分别为AB、AC的中点，则EF的长度为（）

A．3B．C．D．

【分析】如图，连接EF，BC，作直径AT，连接CT，过点B作BN⊥AT于N，过点C作CM⊥AT于M．解直角三角形求出BC，再利用三角形中位线定理即可解决问题．

【解答】解：如图，连接EF，BC，作直径AT，连接CT，过点B作BN⊥AT于N，过点C作CM⊥AT于M．

∵AT是直径，

∴∠ACT＝90°，

∴CT＝＝＝6，

∴AB＝CT，

∴＝，

∴∠ACB＝∠CAT，

∴BC∥AT，

∵BN⊥AT，CM⊥AT，

∴BN＝CM，∠ANB＝∠TMC＝90°，

∴Rt△ABN≌Rt△TCM（HL），

∴AN＝TM，

∵CM＝BN＝＝，

∴AN＝TM＝＝，

∵MN＝AT＝AN＝TM＝10﹣＝，

∵四边形BNMC是矩形，

∴BC＝MN＝，

∵AE＝EB，AF＝FC，

∴EF＝BC＝．

故选：B．

10．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【分析】根据题意和二次函数的性质，可以求得m的取值范围，从而可以得到该抛物线顶点所在的象限，本题得以解决．

【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+mx+2m＝﹣（x﹣）2++2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，

∴该抛物线的对称轴是直线x＝，开口向下，

∴≥1，

即m≥2，

∴+2m＞0，

∴该抛物线的顶点（，+2m）在第一象限，

故选：A．

二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）

11．（3分）已知实数（3﹣）0，，，0.101001，，，其中为无理数的是，．

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此进行解答即可．

【解答】解：（3﹣）0＝1，是整数，属于有理数；

0.101001是有限小数，属于有理数；

是分数，属于有理数；

，是整数，属于有理数；

无理数有：，．

故答案为：，．

12．（3分）若正多边形的一条边与过这条边顶点的半径夹角为72°，则此正多边形的边数为10．

【分析】根据等腰三角形的性质和根据正多边形的中心角＝，求出n即可．【解答】解：∵正多边形的一条边与过这条边顶点的半径夹角为72°，

∴正多边形的中心角＝180°﹣72°﹣72°＝36°，

∴正多边形的边数＝＝10，

故答案为：10．

13．（3分）如图，△OAB是直角三角形，直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过OA的中点C，与AB相交于D，则的值为3．

【分析】利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE＝S△OBD＝k，根据OA的中点C，利

用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，即可求得＝3，根据三角形面积公式可得

结论．

【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，

∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，

∴S△COE＝S△BOD＝k，

∵CE∥AB，

∴△OCE∽△OAB，

∴＝，

∴＝3，

∵＝＝，

∴＝3，

故答案为：3．

14．（3分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝4，CD＝3，点P为直线BC左侧平面上一点，△BCP的面积为2，则|P A﹣PC|的最大值为5．

【分析】如图，过点P作PH⊥BC于H．过点P作直线l∥BC，作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P′，此时|P′A﹣P′C′|的值最大，即|P′A﹣P′C|的值最大，最大值为线段AC′的长．

【解答】解：如图，过点P作PH⊥BC于H．

∵?BC?PH＝2，BC＝4，

∴PH＝1，

过点P作直线l∥BC，作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P′，此时|P′A﹣P′C′|的值最大，即|P′A﹣P′C|的值最大，最大值为线段AC′的长，过点C′作C′K⊥AB于K．

∵∠C′KB＝∠KBC＝∠BCC′＝90°，

∴四边形CBKC′是矩形，

∴CC′＝BK＝2，BC＝KC′＝4，

∵AB＝5，

∴AK＝AB﹣BK＝5﹣2＝3，

∴AC′＝＝＝5，

∴|P A﹣PC|的最大值为5．

故答案为：5．

三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程）

15．（5分）计算：+|﹣2|﹣（﹣）﹣3．

【分析】直接利用负整数指数幂的性质和二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝2+2﹣+8

＝+10．

16．（5分）先化简，再求值：（﹣a﹣1）÷，其中a＝﹣2．【分析】首先计算小括号里面的分式的减法，然后再计算括号外分式的除法，化简后，

再代入a的值可得答案．

【解答】解：原式＝[﹣]

＝?

＝?

＝﹣a（a﹣2）

＝﹣a2+2a．

当a＝﹣2时，原式＝﹣4﹣4＝﹣8．

17．（5分）如图，已知，点P为∠AOB内一定点，请你用尺规作一条经过点P的直线MN，使得直线MN交射线OA于点M．交射线OB于点N，且OM＝ON．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】先作∠AOB的平分线OC，然后过点P作OC的垂线MN交射线OA于点M．交射线OB于点N．

【解答】解：如图，直线MN为所作．

18．（5分）如图，点C，D均在线段AB上，且AD＝BC，分别过C、D作FC⊥AB，ED⊥AB，连接AE、BF，连接EF交AB于点G，若AE＝BF，求证：DG＝CG．

【分析】由“HL”可证Rt△ADE≌Rt△BCF，可得DE＝CF，由“AAS”可证△EDG≌

△FCG，可得结论．

【解答】证明：∵FC⊥AB，ED⊥AB，

∴∠EDA＝∠FCB＝90°，

在Rt△ADE和Rt△BCF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），

∴DE＝CF，

∵∠EGD＝∠FGC，∠EDG＝∠FCG＝90°，

∴△EDG≌△FCG（AAS）

∴DG＝CG．

19．（7分）“疫情无情人有情，防控有界爱无界”，自新冠肺炎疫情发生以来，某杜区积极响应政府号召，及时发出倡议，提醒群众提高意识，注意防范，呼吁爱心人士伸出援手为疫情严重地区捐款捐物．社区对此次捐款活动进行抽样调查，得到一些捐款数据，将数据整理成如图所示的统计图表（图中信息不完整）．

组别捐款额x/元人数

A1≤x＜100a

B100≤x＜200100

C200≤x＜300

D300≤x＜400

E x≥400

已知A、B两组捐款人数的比为1：5，请结合以上信息解答下列问题．

（1）a＝20，本次调查的样本容量是500；

（2）补全“捐款人数分组统计图1”；

（3）若记A组捐款的平均数为50，B组捐款的平均数为150，C组捐款的平均数为250，D组捐款的平均数为350，E组捐款的平均数为500，若一个社区共有2万人参加此次活动，请你估计此次活动可以筹得善款的金额大约为多少．

【分析】（1）由B组人数为100且A、B两组捐款人数的比为1：5可得a的值，用A、B组人数和除以其所占百分比可得总人数；

（2）先求出C组人数，继而可补全图形；

（3）先求出抽查的500名学生的平均捐款数，再乘以总人数可得．

【解答】解：（1）a＝100×＝20，

本次调查样本的容量是：（100+20）÷（1﹣40%﹣28%﹣8%）＝500，

故答案为：20，500；

（2）∵500×40%＝200，

∴C组的人数为200人，

补全统计图如下：

（3）∵A组对应百分比为×100%＝4%，B组对应的百分比为×100%＝20%，

∴抽查的500名学生的平均捐款数为50×4%+150×20%+250×40%+350×28%+500×8%＝270（元），

则估计此次活动可以筹得善款的金额大约为20000×270＝5400000（元）．

20．（7分）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．

（1）求AC的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．

【分析】（1）过F作FH⊥DE于H，解直角三角形即可得到结论；

（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）过F作FH⊥DE于H，

∴∠FHC＝∠FHD＝90°，

∵∠FDC＝30°，DF＝30，

∴FH＝DF＝15，DH＝DF＝15，

∵∠FCH＝45°，

∴CH＝FH＝15，

∴，

∵CE：CD＝1：3，

∴DE＝CD＝20+20，

∵AB＝BC＝DE，

∴AC＝（40+40）cm；