中考复习分析——解直角三角形

中考复习分析——解直角三角形

黄金洞民族中小学罗建华

第一部分地位与作用

一．复习定位

解直角三角形这一部分知识是数学中的基本工具之一．解直角三角形不仅在实际问题中有着广泛的应用，而且更为重要的是，它在数学本身也有着极为广泛的应用，凡是有关图形中量的计算问题，以及坐标系里点的坐标的计算，大多数的情况都需借助于构造与解直角三角形．因此解直角三角形的知识是近年各地中考命题的热点之一.

（一）试题类型与考法分析

1.考察内容以基础知识与基本技能为主，应用意识进一步增强，联系实际，综合运用知识，技能的要求越来越明显，不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还要求学生根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.

2.本章知识是中考常考的内容，尤其是特殊角的三角函数值的有关的计算时必考内容，试题以填空题、计算题为主.

3. 应用解直角三角形的知识解决实际问题是中考的热点，试题以填空题和解答题为主.

4.2013-2015年我州中考试题中“解直角三角形”部分的权重：10~12%左右.

二、中考卷研究

(一)中考对知识点的考查：

2013-2015年我州中考涉及的知识点如下表:

关于锐角三角函数的考纲要求

1.基本要求：通过实例认识锐角的正弦、余弦、正切；知道30°、45°、60°角的三角函数值．

2.略高要求：由某个角的一个三角函数值,会求其余两个三角函数值；会计算含有特殊角的三角函数式的值．

3.较高要求：能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题．。

关于解直角三角形的考纲要求

1.基本要求：知道解直角三角形的含义．

2.略高要求：会解直角三角形；能根据问题的需要合理作出垂线,构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题．

3.较高要求：会解有特殊条件的四边形中的计算问题；会设计简单的测量方案；能综合运用直角三角形的性质解决简单的实际问题．

(三)中考热点：

新课标对解直角三角形的要求略有减弱，从前几年各省、市的中考命题来看，运用解直角三角形的知识解决与生活、生产相关联的应用题是中考的热点．

三、中考命题趋势及复习对策

解直角三角形在实际生活中的应用题，是中考的重点内容，其次是特殊角的三角函数值，锐角三角函数包含三部分内容，一是解直角三角形及特殊锐角函数值的考查，以填空，选择题的形式出现；二是解决实际问题，以解答题的形式出现；三是渗透在中高档解答证明题中，一般占10分左右．在复习时，要正确了解三角函数概念把握其本质，才能正确理解解直角三角形中边角之间关系，才能利用这些关系解题，另外还要注意数形结合，解题时通过画图来找出函数关系，帮助解题．

第二部分 考点突破 一、考点讲解：

考点1．锐角三角函数的概念：

锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图1－1－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ．

∠A 的正弦=A a

sin A=

c ∠的对边，即斜边

； ∠A 的余弦=A b

cos A=

c ∠的邻边，即斜边

, ∠A 的正切=A a

tan=

A b ∠的对边，即∠的邻边

注：三角函数值是一个比值．

二、经典考题剖析：

【考题1－1】在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=15，BC=9，则sinA 的值是( )

A ．34

B ．45

C ．35

D ． 4

3

点拨： （基本）通过实例认识锐角的正弦、余弦、正切

【考题1－2】在Rt △ABC 中，∠C=90°，则sinA=3

5 ，则cosA=____．

点拨： （略高）由某个角的一个三角函数值,会求其余两个三角函数值

【考题1－3】（2009温州）△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA=43

，则AC 的长是 ；

点拨： （略高）由某个角的一个三角函数值,结合已知条件，会求其余的 边或角。

【考题1－4】如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5， BC ＝3．则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ．

点拨： （略高）理解三角函数的定义，角度一定时三角函数值不变。会 通过相关的几何知识转化相等的角，在直角三角形中求相等角的三角函数。 考点2：特殊角三角函数值的计算 一、考点讲解：

1．特殊角是指，30°，45°，60°的角．（注：0°、90°角的三角函数值现已不做要求） 2．特殊角的三角函数值．

二、经典考题剖析：

【考题2－1】（2007山东济宁 4分）计算：

45tan 30cos 60sin -的值是 。

点拨：特殊角的三角函数值要记熟 【考题2－2】（2009湖州）（1）计算：

()0

2cos602009π--+°点拨：特殊角的三角函数值要记熟，除0外，任何数的零次幂都等于1

【考题2－3】（2007湖北省天门 4分）化简2

)130(tan - ＝（ ）。

A 、

3

31-

B 、13-

C 、1

33

- D 、13-

【考题2－4】（2009荆门）10

4cos30sin 60(2)2008)-??+--=______．

【考题2－5】（2004、哈尔滨）先化简，再求其值，2

13

(2)

22x x x x x +÷-++-+其中x=tan45

－cos30°

解：原式=2

121

(2)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x ++?=+-+--

当x=tan45－cos30°时，原式=4

3=

点拨：化简求值时，一定要写当……时．

考点3：解直角三角形 一．考点讲解：

1．直角三角形边角关系．

（1）三边关系：勾股定理：222

a b c +=

（2）三角关系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B =∠C=90°． (3)边角关系tanA= a b ，sinA=a c cosA= b

c

2．解法分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解

直角三角形；（3）已知两边解直角三角形．

注：对解直角三角形相关的知识要做到心中有数，熟悉基本模型的求法 （1）.如图1，CD ⊥AB 于D,则有ab=ch ；a2=nc ；b2=mc ；h2=mn.

（2）.如图2，若CO 是Rt △ABC 中斜边的中线，则① CO=OA=OB=1

2AB ；②点D 是Rt △ABC 的外心，外接圆的半径R=1

2AB;

（3）.Rt △ABC 的面积=12ab=12ch=1

2bcsinA.

（4）.如图3，若r 是Rt △ABC 内切圆的半径，则

2a b c r +-=

.Rt △ABC 的面积=1

2r(a+b+c).

.

图1 图2 图3

二、经典考题剖析：

【考题3－1】已知：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果b=12，∠A=60°, 解这个直角三角形． 点拨：此题难度属基本要求.

【考题3－2】在四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，AB=BC ，AD=7，tanA=2， 求CD 的长． 点拨：此题属略高要求

已 知 元 素

解 法

两边

① 两条直角边a 、b

② 一直角边a 和斜边c 一边和一锐角

③

一直角边a 和锐角A

④

斜边c 和锐角A

c

【考题3－3】例1：如图，在四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝

2，CD＝3，则AB＝？

点拨：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。

答案：

3

3

8

例1图

3

2

E

D

C

B

A

例2图

Q

P C

B

A

【例2】如图，P为△ABC边BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB 的度数。

点拨：本题不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，而应综合运用条件PC＝2PB及∠APC ＝600来构造出含300角的直角三角形。这是解本题的关键。

注：例1、例2属较高要求.

考点4：解直角三角形的实际应用

一、考点讲解：

解直角三角形的实际应用：涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。

【化斜为直】，【善于转化】

(1) 解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。

(2) 一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。

四个解直角三角形的典型变式图形

二、经典考题剖析：

【考题4－1】(2009成都)某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计

A

算过程和结果均不取近似值)

【考题4－2】如图，在凯里市某广场上空飘着一只汽球P，A、B是地面上相距90米的两点，

它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角∠PAB=45o，仰角∠PBA=30o，求汽球P的高度（精

确到0.1米，3=1.732）

【考题4－3】如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有

一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆

BC的高度．

【考题4－4】如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的

A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏

东45°方向上的B处．求此时轮船所在的B处与灯塔P的距

离（结果保留根号）．

【考题4－5】腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕

塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底

部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°（如

图②）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据

3173

.

）．

【考题4－6】如图所示，A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间

A

B

C

D

D

C

B

A

②

①

修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么？（参考数据：732.13≈，

414.12≈）

以上例题可以通过了解几何模型之间图形变换关系，则有助于更有效的理解题意从而建立模型。

翻折

平移 旋

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