数轴例题讲解基础提高练习
《数轴》例题讲解
为了学好有理数的概念，使思维适应数集的扩充，我们把现实生活中大量的有关模型，如直尺、杠杆、温度计、仪表上的刻度，所具有的本质属性抽象化，建立起数轴模型．数轴的建立，赋予了抽象的代数概念以直观表象．
数学一开始就是研究“数”和“形”的，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来．
数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想——数形结合思想．
利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在：
1．运用数轴直观地表示有理数；
2．运用数轴形象地解释相反数；
3．运用数轴准确地比较有理数的大小；
4．运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题．
例题讲解
【例1】(1)数轴上有A 、B 两点，如果点A 对应的数是2-，且A 、B 两点的距离为3，那么点B 对应的数是 ． (江苏省竞赛题) (2)在数轴上，点A 、B 分别表示31-和51，则线段AB 的中点所表示的数是 ． (江苏省竞赛题)
（3）点A 、B 分别是数3-，2
1-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动到B A ''，且线段B A ''的中点对应的数是3，则点A '对应的数是___，点A 移动的距离是____． (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 (1)确定B 点的位置；(2)在数轴上选择两个特殊点，探索它们的中点所表示的数与所选两点所表示的数的联系；（3）在平移的过程中，线段AB 的长度不变，即B A AB ''=．
【例2】 如图，在数轴上有六个点，且EF DE CD BC AB ====，则与点C 所表示的数最接近的整数是________．
思路点拨 利用数轴提供的信息，求出AF 的长度．
【例3】比较a 与a
1的大小． 思路点拨 因为a 表示的数有任意性，直接比较常会发生遗漏的现象，若把各个范围在数轴上表示出来，借助数轴讨论它们的大小，则形象直观，解题的关键是由a a a 11、=
无意义得出011，，-=a ，据此3个数把数轴分为6个部分．
【例4】阅读下面材料并回答问题．
(1)阅读下面材料：
点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ．
当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图1，b a b OB AB -=== 当A 、B 两点都不在原点时，
①如图2，点A 、B 都在原点的右边b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=；
②如图3，点A 、B 都在原点的左边，b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=； ③如图4，点A 、B 在原点的两边，b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=)(； 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=．
(2)回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是 ,如果2=AB 那么x 为________；
③当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是 ．(南京市中考题) 思路点拨 阅读理解从数轴上看，b a -的意义．
链接： 有效地从图形、图表获取信息是信息社会的基本要求．
从数轴上获取有关信息是解有理数问题的常用技巧，主要包括：
①数轴上诸点所表示的数的正负性；
②数轴上的点到原点的距离．
(1)字母表示数是代数的特点，但字母具有抽象性，所以在条件允许的范围内赋予字母以特殊值来计算、判断或探求解题思路，能化抽象为具体，这就是我们常说的“赋值法”，但这种方法不能作为解题的规范过程．
(2)纯粹的代数方法比较抽象，如能借助图形(利用数形结合的思想方法)，则可使许多抽象的概念和复杂的数量关系直观化、形象化，甚至简单化．
【例5】试求｜x -1｜十｜x －2｜+｜x －3｜+…｜x －1997｜的最小值． (天津市竞赛题)
思路点拨 由于x 的任意性、无限性，因此，通过逐个求出代数式的值解题明显困难，不妨从绝对值的几何意义，利用数轴入手，借助【例4】的结论解题．
【例6】 (1)工作流水线上顺次排列5个工作台A 、B 、C 、D 、E ，一只工具箱应该放在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短?
(2)如果工作台由5个改为6个，那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短?
(3)当流水线上有n 个工作台时，怎样放置工具箱最适宜?
思路点拨 把流水线看作数轴，工作台、工具箱看作数轴上的点，这样，就找到了解决本例的模型——数轴，将问题转化为【例4】的形式求解．
链接：设1a 、2a 、3a 、…n a 是数轴上依次排列的点表示的有理数．
①当n 为偶数时，若122+≤≤n n
a x a ，则n a x a x a x -++-+-Λ21的值最小；
②当n 为奇数时，若2
1+=n a x ，则n a x a x a x -++-+-Λ21的值最小．
基础训练
一、基础夯实：
1.在数轴上表示数a 的点到原点的距离为,则a-3=________.
2.a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则1a b -、1c b -、1a c
-中最大的是________. c a b 0c 1a B
（第2题） （第3题） （第4题）
3. (第12届“希望杯”邀请赛试题)有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,若m=│a+b │-│b-1│-│a-c │-│1-c │,则1000m=__________.
4.如图,工作流程线上A 、B 、C 、D 处各有1名工人,且AB=BC=CD=1,现在工作流程线上安放一个工具箱,使4个人到工具箱的距离之和为最短,?则工具箱的安放位置是__________.
5.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，化简│a+b │-│c-b │的结果为( ) A.a+c B.-a-2b+c C.a+2b-c D.-a-c
c a D C B A
O
（第5题） （第6题） （第8题）
6. (第15届江苏省竞赛题)如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A 、B 、
C 、
D 对应的数分别是整数a,b,c,d,且d-2a=10,那么数轴的原点应是( ).
A.A 点
B.B 点
C.C 点
D.D 点
7.│x+1│+│x-1│的最小值是( ).
A.2
B.0
C.1
D.-1
8. (第18届江苏省竞赛题)数a 、b 、c 、d 所对应的点A 、B 、C 、D 在数轴上的位置如图所示,那么a+c 与b+d 的大小关系是( ).
A.a+c B.a+c=b+d C.a+c>b+d D.不确定的 9. (北京市“迎春杯”竞赛题)已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1,点A 与原点O 的距离为3,求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和. 10.已知两数a 、b,如果a 比b 大,试判断│a │与│b │的大小. 二、能力拓展 11.有理数a 、b 满足a>0,b<0,│a │<│b │,用“〈”将a 、b 、-a 、-b?连接起来_________. 12.│x+1│+│x-2│+│x-3│的最小值是_________. 13.已知数轴上表示负有理数m 的点是点M,那么在数轴上与点M 相距│m │个单位的点中,与 原点距离较远的点对应的数是________. (2001年山东省竞赛题) 14.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是_________. (武汉市选拔赛题) 15.如图,A、B、C、D、E为数轴上的五个点,且AB=BC=CD=DE,则图中与P?点表示的数比较接近的一个数是( ). A.-1 B.1 C.3 D.5 16.设y=│x-1│+│x+1│,则下面四个结论中正确的是( ). A.y没有最小值 B.只有一个x使y取最小值 C.有限个x(不止一个)使y取最小值； D.有无穷多个x使y取最小值 17.不相等的有理数a、b、c在数轴上对应点分别为A、B、C,若│a-b│+│b-?c│=│a-c│,那么点B( ). A.在A、C点右边； B.在A、C点左边； C.在A、C点之间； D.以上均有可能 18.试求│x-2│+│x-4│+…+│x-6│+│x-2000│的最小值. 19.电子跳蚤落在数轴上的某点K0,第一步从K0向左跳1个单位到K1,第二步由K1向右跳2个单位到K2,第三步由K2向左跳3个单位到K3,第四步由K3向右跳4个单位到K4…,?按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是19.94,?试求电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数. 三、综合创新 20.如图,在数轴上(未标出原点及单位长度)点A为线段BC的中点,已知点A、B、C对应的三个数a、b、c之积是负数，这三个数之和与其中一数相等，设p为a、b、c三数中两数的比值，求p的最大值和最小值。 A 21. (湖北省荆州市竞赛题)某城镇沿环形路上依次排列有五所小学:A1、A2、A3、A4、A5,?它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台、14台,为使各校的电脑数相同,?允许一些小学向相邻小学调出电脑,问怎样调配才能使调出的电脑总台数最少?并求出电脑的最少总台数. 答案： 1.0或-6 2. 1 c b 3.-2000 4.放B、C(含B、C)之间任一处 5.A 6.B 7.A 8.?A 9.12 提示:点A表示的数为3或-3,满足条件的点B共有4个. 10.当点B在原点的右边时,0 当点A在原点的左边时,b 当点A、B分别在原点的右、左两侧时,b<0 当点A正好在原点位置时,b 当点B?正好在原点位置时,0=b 11.b<-a 18.500000 提示:当1000≤x≤1002时,原式有最小值,这个最小值为: (1002-2)+(1004-4)+…+(2000-1000)=500000. 19.-30.06 提示:设k0点表示的有理数为x, 则k1、k2…,k100点所表示的有理数分别为 x-1,x-1+2,x-1+2-3,…,x-1+2-3+4…-99+100, 由题意得:x-1+2-3+?4-?…-?99+100=19.94, 解得x=-30.06. 20.由图知abc<0,知b<0 又由a、b、c之和与其中之一相等, 可知有两数的和为0,即这两数互为相反数,? 故原点只能在点B、A之间且是线段AB的中点, 其中b=-a,c=3a,c a =3, c b =-3,?分别为比值的最大值与最小值. 21.提示:如图,用A、B、C、D、E顺时针排列依次表示一至五所小学且顺次向邻校调给 x1,x2,x3,x4,x5台电脑,依题意得 7+x1-x2=11+x2-x3=3+x3-x4=14+x4-x5=15+x5-x=10 得 x2=x1-3,x3=x1-2,x4=x1-9,x5=x1-5 本题要求 y=│x1│+│x2│+│x3│+│x4│+│x5│ =│x1│+│x1-3│+│x1-2│+│x1-9│+│x1-5│的最小值. 由绝对值几何意义知,当x1=3时,y有最小值12, 此时有x2=0,x3=1,x4=-6,x5=-2,? 即一小向二小调出3台,三小向四小调出1台,五小向四小调出6台,一小向五小调出2台,这样调动的电脑总台数最小数目为12台. 提高训练 1．在数轴上表示数a 的点到原点的距离为5，则3-a =__________． 2．已知a 、b 为有理数，且a >0，0 3．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上的数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． （1）圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =______； （2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周为正整数）n n (圈后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是______（用含n 的代数式表示）． （江西省中考题） 4．在数轴上任取一条长度为9 11999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）． A ．1998 B ．1999 C ．2000 D ．2001 (重庆市竞赛题) 5．在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：①0 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 （“希望杯”邀请赛试题） 6．在数轴上，若点N 与点O 距离是点N 与30所对应点之间距 离的4倍，则点N 表示的数是_________． （河南省竞赛题） 7．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人 在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论：①33=x ；②15=x ；③104103x x <；④20082007x x <．其中，正确的结论的序号是（ ） 10b A．①、③ B．②、③ C．①、②、③ D．①、②、④（镇江市中考题） 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f 第二讲 数轴 1、 相关知识链接 （1） 有理数分为正有理数、0、负有理数。 （2） 观察温度计时发现：直线上的点可以表示有理数。 请读出下面各个温度计所表示的温度： 2、 知识详解 【知识点1】数轴的概念 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 注：（1）规定直线上向右的方向为正方向。 (2)数轴三要素：原点、正方向、单位长度。 【例1】下列五个选项中，是数轴的是（ ） A. B. C. D. E. 【知识点2】数轴上的点与有理数的关系 0 1 2 -1 -2 3 0 1 -1 2 1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 2 -2 -1 3 所有有理数都可以用数轴上的点来表示，0表示原点，正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示。但反过来，不能说数轴上的所有点都表示有理数。 【例2】如图，数轴上的点A 、B 、C 、D 分别表示什么数？ 【知识点3】相反数的概念 （1） 几何定义：在数轴上，原点两旁离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；如图 所示1和-1 （2） 代数定义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 特别地，0的相反数为0。 【例3】（1）2 1的相反数是 ；一个数的相反数是7 ，则这个数是 。 （2）分别写出下列A 、B 、C 、D 、E 各点对应有理数的相反数 【知识点4】利用数轴比较有理数的大小 在数轴上表示的数，右边的数总是比左边大； 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 【例4】a 、b 为两个有理数，在数轴上的位置如图所示，把a 、b 、-a 、-b 、0按从小到大的顺序排列出来。 变式：已知a>b>0，比较a ，-a ，b ，-b 的大小。 0 1 -1 0 a b 考研高数基础练习题及答案解析 一、选择题： 1、首先讨论间断点： 1°当分母2?e?0时，x? 2x 2 ，且limf??，此为无穷间断点； 2ln2x? ln2x?0? 2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。 x?0? 再讨论渐近线： 1°如上面所讨论的，limf??，则x? x? 2 ln2 2 为垂直渐近线； ln2 2°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。 x??? x??? 当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。 2、f?|x4?x|sgn?|x| sgn?|x|。可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。 2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文： f???|??|，当xi?yj时 为可导点，否则为不可导点。注意不可导点只与绝对值内的点有关。 ?x ,x?0? 设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是 ? ,x?0?0 x?0 1 2 3 limf?f?0，故f在x?0处连续。 f’?lim x?0 f?f ?0，故f在x?0处一阶可导。 x?0 当x?0时，f’?? ? ?x12x’ ‘????223 ?ln?lnlnxsgnx ? 12 ，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。?23x?0ln|x|ln|x|f’’?lim x?0 f’?f’ ??，故f在x?0处不二阶可导。 x?0 a b x?0 对?a,b?0，limxln|x|?0。这是我们反复强调的重要结论。 3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内 七年级数轴经典题型总结(含答案)【1、数轴与实际问题】 例1 5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如下，那么北京时间2006年6月17日上午9时应是（ ） A 、伦敦时间2006年6月17日凌晨1时 B 、纽约时间2006年6月17日晚上22时 C 、多伦多时间2006年6月16日晚上20时 D 、首尔时间2006年6月17日上午8时 解：观察数轴很容易看出各城市与北京的时差 国际标准时间（时） 首尔 北京伦敦多伦多纽约 例2在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所。已知青少年宫在学校东300米处，商场在学校西200米处，医院在学校东500米处。将马路近似地看成一条直线，以学校为原点，以正东方向为正方向，用1个单位长度表示100米。 ①在数轴上表示出四家公共场所的位置。 ② 计算青少年宫与商场之间的距离。 解： x （1） （2）青少年宫与商场相距：3－(－2)=5 个单位长度 所以：青少年宫与商场之间的距离=5×100=500(米) 练习 1、如图，数轴上的点P、O、Q、R、S表示某城市一条大街上的五个公交车站点，有一辆公 交车距P站点3km，距Q站点0.7km，则这辆公交车的位置在（） A、R站点与S站点之间 B、P站点与O站点之间 C、O站点与Q站点之间 D、Q站点与R站点之间 解：判断公交车在P点右侧，距离P：(－1.3)+3=1.7(km)，即在原点O右侧1.7处，位于Q、R间 而公交车距Q站点0.7km，距离Q：0.7+1=1.7(km)，验证了，这辆公交车的位置在Q、R间 2、如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站P，使这5 台机床到供应站P的距离总和最小，点P建在哪？最小值为多少？ 解：（此题是实际问题，涉及绝对值表示距离，后面会有更深入的理解） A 此题揭示了，问题过于复杂时，要“以退为进”，回到问题 的起点，找出规律。后面你还会遇到这种处理问题的办法。 （1）假设数轴上只有A、B二台机床时，很明显，供应站P应该是设在A和B之间的任何地方都行， 反正P到A和P到B的距离之和就是A到B的距离，值为：1－(－1)=2； 中考数学经典题例（一）及解答 1、（2010年北京市）24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = - 4 1-m x 2+45m x +m 2-3m +2 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条抛物线上。 (1) 求点B 的坐标； (2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的 垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求 OP 的长； 若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1 点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒 2个单位(当Q 点到达O 点时停止 运动，P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。 【解答】 24. 解：(1) ∵拋物线y = -4 1-m x 2+45m x +m 2-3m +2经过原点，∴m 2-3m +2=0，解得m 1=1，m 2=2， 由题意知m ≠1，∴m =2，∴拋物线的解析式为y = -41x 2+2 5 x ，∵点B (2，n )在拋物线 y = -41x 2+2 5 x 上，∴n =4，∴B 点的坐标为(2，4)。 (2) 设直线OB 的解析式为y =k 1x ，求得直线OB 的解析式为 y =2x ，∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的 坐标为(10，0)，设P 点的坐标为(a ，0)，则E 点的坐标为 (a ，2a )，根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1。可求 得点C 的坐标为(3a ，2a )，由C 点在拋物线上，得 2a = -41?(3a )2+25?3a ，即49a 2-211a =0，解得a 1=9 22，a 2=0 (舍去)，∴OP =9 22 。 依题意作等腰直角三角形QMN ，设直线AB 的解析式为y =k 2x +b ，由点A (10，0)， 点B (2，4)，求得直线AB 的解析式为y = -2 1 x +5，当P 点运动到t 秒时，两个等腰 直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况： 第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ 为等腰直角三 角形。此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位。∴PQ =DP =4t ， ∴t +4t +2t =10，∴t =7 10 。 第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM 为等腰直角三 角形。此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴OQ =10-2t ，∵F 点在 第三讲绝对值 内容概述 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质 绝对值简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用 绝对值的定义及性质 绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质： （1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a＞0） （2）|a|= 0 （a=0）（代数意义） -a (a＜0) （3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0； （4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a， 且|a|≥-a； （5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义） （6）|ab|=|a|·|b|；||=（b≠0）； （7）|a|=|a|=a； （8）|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b| [例1] （1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（） A.a＜0，b＜0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.ab＜0 （3）下列各组判断中，正确的是（） A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞b C. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b，则一定有a=(-b) （4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析： （1）结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。 （3）选择D。 （4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ <分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。 [巩固] 有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（） A.a＞b B.a=b C.a 第1章 函数的极限与连续 例1．求 lim x x x →． 解：当0>x 时，0 00lim lim lim 11x x x x x x x + ++ →→→===， 当0 1.2.2数轴试卷 1．在数轴上表示的两个数中，的数总比的数大。2．在数轴上，表示－5的数在原点的侧，它到原点的距离是个单位长度。 3．在数轴上，表示+2的点在原点的侧， 距原点个单位；表示－7的点在原点的 侧，距原点个单位；两点之间的距离为个单位长度。 4．在数轴上，把表示3的点沿着数轴向负方向移动5个单位，则与此位置相对应的数是。 5．与原点距离为2.5个单位长度的点有个，它们表示的有理数是。 6．到原点的距离不大于3的整数有个，它们是：。 7．下列说法错误的是：（） A 没有最大的正数，却有最大的负数 B 数轴上离原点越远，表示数越大 C 0大于一切非负数 D 在原点左边离原点越远，数就越小 8．下列结论正确的有（）个： ①规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴②最小的整数是 0 ③正数，负数和零统称有理数④数轴上的点都表示有理数 A 0 B 1 C 2 D 3 9．在数轴上，A点和B点所表示的数分别为－2和1，若使A点表示的数是B点表示的数的3倍，应把A点（） A向左移动5个单位 B向右移动5个单位 C向右移动4个单位 D向左移动1个单位或向右移动5个单位 10．在数轴上画出下列各点，它们分别表示：+3，0，－３1 4，1 1 2 ， －３，－1.25 并把它们用“＜”连接起来。 11．小明的家（记为A）与他上学的学校（记为B），书店（记为C）依次座落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边100米处，小明从学校沿这条街向东走40米，接着又向西走了70米到达D处，试用数轴表示上述A、、B、C、D的位置。 12．在数轴上，老师不小心把一滴墨水滴在画好的数轴上，如图所示，试根据图中标出的数值判断被墨水盖住的整数，并把它写出来。 一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示 函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理： 一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且 注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据 数轴典型例题 例题1 选择题：如图，下面是一些同学在作业中所画的数轴． 其中，画图正确的是（） A．①②③④ B．①②③ C．② D．②③ 分析图①中表示相邻两整数的点之间的距离不一致；图③中负有理数的标记不对了；困④中漏画了表示方向的箭头和长度单位． 解选C． 说明书写与画图的规范性对于学者来说是非常重要的，读者要自觉地培养良好的学习习惯．为了分析某个具体问题，在草稿纸上画图④那样的图未尝不可，但完成画数轴的作业，则切切不可． 例题2 利用数轴，比较－2.9，－3.8和－2.1的大小，用“＜”把它们连结起来． 分析（l）办法是在数轴上把这三个数表示出来，并且接从左到右的顺序排列三个数． （2）表示－2.9和－2.l的点在表示－2与－3的两个点之间，表示－3.8的点在表示－3与－4的两个点之间． （3）－2.9与－2.1互相比较，－2.9更接近于－3，－2.1更接近于－2，这是画图时可以参考，以免画错位置的． （4）所给的三个有理数都是精确到十分位的，所以画数轴时，单位长度的选取不宜过小． 解这三个数在数轴上的位置如下： 所以，－3.8＜－2.9＜－2.1． 说明初学者在数轴上表示负数时必须小心谨慎．比如在数轴上表示－2.35与－2.38，就容易把它们的位置弄颠倒．本例题“分析”中提供的办法是很有使用价值的．这里的办法实质是利用了数轴的方向性．比如，从原点向左，先是－l，然后是－2，－3，…；同样， 从原点向左，先是－0.l，再是－0.2，－0.3…；从－2向左，先是－2.1，再是－2.2，－2.3，…，－2.9；先是－2.35，再是－2.38．这样考虑，就不容易出错了． 例3 指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示什么数． 分析：表示正数的点都在原点的右侧，表示负数的点都在原点的左侧．要特别注意相邻 两个负整数点之间的等分点所表示的数，例如：－2，－3之间的A点是表示，而不 是． 解：O表示0，A表示，B表示1，C表示，D表示－4，E表示－0.5． 例4 下面说法中错误的是 [ ]． A．数轴上原点的位置是任意取的，不一定要居中； B．数轴上单位长度的大小要根据实际需要选取．1厘米长的线段可以代表1个单位长度，也可以代表2个、5个、10个、100个、…单位长度，但一经取定，就不可改动； C．如果a＜b，那么在数轴上表示a的点比表示b的点距离原点更近； D．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但不能说数轴上所有的点都表示有理数． 解：当a，b都是正数时，C的结论成立； 当a，b不都是正数时，例如a＝-10，b＝2，此时-10＜2，也满足条件a＜b，但表示a 的点与原点的距离(10)比表示b的点与原点的距离(2)远，C的结论不成立． ∴C错． 说明：因为有理数包含正数、负数和0，所以用字母表示数时，这个字母就可以代表正数、负数或0．在分析问题时，忘记字母代表的数可能是负数或0经常是造成错误的原因． 例5 比较下列各组数的大小： 分析：依据“正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数．”和“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．”比较两个数的大小． 第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。 例4：设 解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 例5： f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定 解：因为f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知f(0)=0。在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y = -x，得0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x)所以有f(-x) = - f(x)，即f(x)为奇函数，故应选 A 。 例 8：函数的反函数是（）。 A． B． C． D． 解： 于是，是所给函数的反函数，即应选C。 例 9：下列函数能复合成一个函数的是（）。 A．B． C．D． 解：在(A)、(B)中，均有u=g(x)≤0，不在f (u)的定义域，不能复合。在(D)中，u=g(x)=3也不满足f(u)的定义域，也不能复合。只有(C)中的定义域，可以复合成一个函数，故应选C。 例 10：函数可以看成哪些简单函数复合而成： 《数轴》典型例题 知识点：数轴 例1下列各图中，表示数轴的是( )． 分析：画数轴时，数轴的三要素——原点、正方向、单位长度是缺一不可的，所以应当用这三要素检查每个图形，判断是否画的正确． 解：A图没有指明正方向； B图中，1和-1表示的一个单位长度不相等，在同一数轴上，单位长度必须一致； C图中没有原点； D图中三要素齐全． ∴A、B、C三个图画的都不是数轴，只有D图画的是数轴．变式练习： 下面说法中错误的是( )． A．数轴上原点的位置是任意取的，不一定要居中； B．数轴上单位长度的大小要根据实际需要选取．1厘米长的线段可以代表1个单位长度，也可以代表2个、5个、10个、100个、…单位长度，但一经取定，就不可改动； C．如果a＜b，那么在数轴上表示a的点比表示b的点距离原点更近； D．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但不能说数轴上所有的点都表示有理数． 参考答案：C. 例2在所给的数轴上画出表示下列各数的点： 分析：第一步画数轴，第二步在数轴上找出相对应的点，每个正有理数都可用数轴上原点右边的一个点来表示，例如2、3.5，可用数轴上分别位于原点右边2个单位，3.5个单位的点表示．每一个负有理数都可用数轴上原点左边的一个点来表示， 解： 说明：数轴上表示数的点可用大写字母标出，写在数轴上方所对应数的上面，原点用O 标出，它表示数0．数轴上原点的位置要根据需要来确定，不一定要居中．单位长度应根据需要来确定，1 cm 的长度可以表示1个单位长度，也可以表示2个，5个，10个…单位长度，但在同一数轴上，单位长度必须一致，不可随意改变． 例3 画一条数轴，并把－6，1，0，2 12-，215表示在数轴上。 分析 由于要表示的最左边的数是－6，最右边的数是2 15，所以在画数轴时在原点的两侧各画六个单位即可。 解 如图所示 说明： 在画数轴时选取单位长度应因表示的数而定。 变式练习： 指出数轴上A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数． 参考答案： O 表示0，A 表示3 22-，B 表示1，C 表示413，D 表示－4，E 表示－0.5． 中考数学典型试题及解析 常见几何模型 两个有公共边的三角形ABD 和ABC ，ABC 与DC 交于点M ，则三角形ABC 的面积与三角形ABD 的面积之比等于CM 与DM 的比。（定理描述对下图所示四种图形都成立） M D C B A M D C B A M D C B A M D C B A 例题讲解 1.右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 。 【分析】 整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的 条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解. 我们回顾下共边定理，发现右图三角形中存在一个比例关系： ()2:13:4S =+阴影，解得2S =阴影. 2.三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面积。 C B 【分析】 设CD 交BE 于O CD 交EF 于M ::1:1S ABO S BCO AE EC == ::1:1S ACO S BCO AD DB == 1535S BCO =÷= 1527.5S BDC =÷= 17.5 1.8754 S FCM =?=， 阴影面积5 1.875 3.125=-=平方厘米。 2、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且 BE=1 3 AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. 【解】根据定理： ABC BED ??=3211??=6 1 ，所以四边形ACDE 的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42。 3、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图) 第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。 培优专题：借助方程求解数轴上的动点问题(压轴题常考题型) 数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题： 1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。 2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。 3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 一、相关知识准备 1.数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____________。 -，则A与B两点之间的距离用式子2.若数轴上点A表示的数为x,点B表示的数为1 可以表示为_____________，若在数轴上点A在点B的右边，则式子可以化简为_____________。 3.A点在数轴上以2个单位长度/秒的速度向右运动，若运动时间为t，则A点运动的路程可以用式子表示为______________。 -,A点在数轴上以2个单位长度/秒的速度向右运动，4.若数轴上点A表示的数为1 若运动时间为t，则A点运动t秒后到达的位置所表示的数可以用式子表示为______________。 答案：1、3； 2、1 x+，x+1； 3、2t； 4、12t -+ 二、已做题再解： 1、半期考卷的第25题：如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a，B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足 - 2 ++8= a16(b)0 （1）点A表示的数为_________，点B表示的数为________。 （2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度，P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数。 2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案7) 高 等 数 学 基 础 学 习 辅 导（7） 导数的应用例题讲解（二） （一）计算题 1. 解： 2. x x x 2tan ) 3sin 1ln(lim 0+→ 解：x x x 2tan )3sin 1ln(lim 0+→＝x x x x 22sec 3sin 13cos 3lim 20+→ ＝2 3 2cos )3sin 1(23cos 3lim 20=?+→x x x x 3. 解： 4. x x e x x 2sin 1 cos lim 0-→ 解： x x e x x 2sin 1cos lim 0-→ ＝x x e x e x x x 22cos sin cos lim 0-→＝21 5. 求函数)1ln(x x y +-=的单调区间。 解：函数)1ln(x x y +-=的定义区间为),1(+∞-， 由于 x x x y +=+- ='1111 令0='y ，解得0=x ，这样可以将定义区间分成)0,1(-和),0(+∞两个区间来讨论。 当01<<-x 时，0<'y ；当+∞< 7. 求y＝x2e－x的极值 解：函数y的定义域是（－∞，＋∞） ，得驻点：x1＝0，x2＝2。列表如下： 令 即极小值为：y(0)＝0，极大值为：y(2)＝4e－2 8. 求曲线y＝2x3＋3x2－12x＋1的凹凸区间及拐点解：函数y的定义域是（－∞，＋∞） 令。列表如下： 即凹区间为：，凸区间为： 拐点为： 《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例1】下列各式 其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） ~ A 2______个 【例2 有意义，则x 的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 举一反三： 1、使代数式 4 3--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 } 3、如果代数式mn m 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置 在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 举一反三： 1 2()x y =+，则 x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y= 4x 233x 2+-+-，求xy 的值 ^ 3、当a 1取值最小，并求出这个最小值。 已知a b 是1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 若 17 的整数部分为x ，小数部分为y ，求 y x 12+ 的值. } 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则=+-c b a ． 举一反三： 1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 / 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三 2009年全国中考数学压轴题精选精析 37.（09年黑龙江牡丹江）28．（本小题满分8分） 如图，ABCD 在平面直角坐标系中，6AD =，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二 次方程2 7120x x -+=的两个根，且OA OB >． （1）求sin ABC ∠的值． （2）若E 为x 轴上的点，且16 3 AOE S = △，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断AOE △与DAO △是否相似？ （3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由． （09年黑龙江牡丹江28题解析）解：（1）解2 7120x x -+=得1243x x ==， OA OB > 43OA OB ∴==， · ············································································· 1分 在Rt AOB △ 中，由勾股定理有5AB = 4 sin 5 OA ABC AB ∴∠= = · ······································································· 1分 （2）∵点E 在x 轴上，16 3 AOE S =△ 11623 AO OE ∴?= 8 3OE ∴= 880033E E ????∴- ? ????? ，或， ········································································ 1分 由已知可知D （6，4） 设DE y kx b =+，当8 03E ?? ??? ， 时有 28题图 2014电大《高等数学基础》期末复习资料（例题附答案1） 高等数学基础学习辅导（1） 函数部分例题讲解 例1 若函数 ，则 ＝( C ). A. 0 B. 1 C. D. 解: 2 2 )4sin()4(= -=- ππ f 故选项C 正确。 例2 下列函数对中，哪一对函数表示的是同一个函数？C A ．2ln )(,ln 2)(x x g x x f == B ．12 ln )(+-=x x x f ，)1ln()2ln()(+--=x x x g C ．x e x x g x e x x x f x x -=-=)(,)()(2 D ．1)(,1 1 )(2-=+-= x x g x x x f 解: A,B,D 中两个函数的定义域都不相同，故它们不是同一函数， C 中函数2 ) ()(x e x x x f x -=的定义域是0≠x ，对应关系可化为 )()()(2 x g x e x x e x x x f x x =-=-=故这两个函数是相同的函数。 例3 下列各对函数中，（C ）是相同的。 A.x x g x x f == )(,)(2； B.f x x g x x ()ln ,()ln ==22； C.f x x g x x ()ln ,()ln ==3 3； D.f x x x g x x (),()= -+=-2111 解： A 中两函数的对应关系不同, x x x ≠=2， B, D 三个选项中的每对函数 的定义域都不同，所以A B, D 都不是正确的选项；而选项C 中的函数定义域 相等，且对应关系相同，故选项C 正确。 例4 下列函数中，哪个函数是奇函数？ A ．)12sin()(++=x x x f高等数学求极限的常用方法附例题和详解
数轴知识讲解及经典例题
考研高数基础练习题及答案解析
七年级数轴经典题型总结含答案
中考数学经典题例(一)及解答
初一数学绝对值典型例题精 讲
高等数学基础例题讲解
新课标-最新人教版七年级数学上学期《数轴》综合测试题及答案-经典试题
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
数轴典型例题
高等数学典型例题
《数轴》典型例题
中考数学典型试题及解析答案---常见几何模型
高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)
高等数学习题集[附答案及解析]
初一培优专题：数轴上动点问题(有答案)
2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案7)
《二次根式》典型例题和练习题
九年级数学中考压轴题典型题型解析
2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案1)