教师资格证数学学科知识与教学能力(高中数学)
第一章课程知识
1.高中数学课程的地位和作用:
⑴高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程,它包含了数学中最基本的
内容,是培养公民素质的基础课程。
⑵高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系,提高提出问题、分析和解
决问题的能力,形成理性思维,发展智力和创新意识具有基础性的作用。
⑶高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值,增强应用意识。
⑷高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。
2.高中数学课程的基本理念:
⑴高中数学课程的定位:面向全体学生;不是培养数学专门人才的基础课。
⑵)
⑶高中数学增加了选择性(整个高中课程的基本理念):为学生发展、培养自己的兴趣、
特长提供空间。
⑷让学生成为学习的主人:倡导自主学习、合作学习;帮助学生养成良好的学习习惯。
⑸提高学生数学应用意识:是数学科学发展的要求;是培养创新能力的需要;是培养学
习兴趣的需要;是培养自信心的需要;数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。
⑹强调培养学生的创新意识:强调发现和提出问题;强调归纳、演绎并重;强调数学探
究、数学建模。
⑺重视“双基”的发展(数学基础知识和基本能力):理解基本的数学概念和结论的本
质;强调概念、结论产生的背景;强调体会其中所蕴含的数学思想方法。
⑻强调数学的文化价值:数学是人类文化的重要组成部分;《新课标》强调了数学文化的
重要作用。
⑼全面地认识评价:学习结果和学习过程;学习的水平和情感态度的变化;终结性评价
和过程性评价。
3.高中数学课程的目标:
⑴$
⑵总目标:使学生在九年义务教育数学课程的基础上,进一步提高作为未来公民所必要
的数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要。
⑶三维目标:知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观
⑷把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。
⑸五大基本能力:计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理
能力
4.高中数学课程的内容结构:
⑴必修课程(每模块2学分,36学时):数学1(集合、函数)、数学2(几何)、数学3
(算法、统计和概率)、数学4(三角函数、向量)、数学5(解三角形、数列、不等式)
⑵选修课程(每模块2学分,36学时;每专题1学分,18学时):
①选修系列1(文科系列,2模块):1-1(“或且非”、圆锥曲线、导数)、1-2(统
计、推理与证明、复数、框图)
②?
③选修系列2(理科系列,3模块):2-1(“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何)、
2-2(导数、推理与证明、复数)、2-3(技术原理、统计案例、概率)
④选修系列3(6个专题)
⑤选修系列4(10个专题)
5.高中数学课程的主线:
函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。
6.教学建议:
⑴以学生发展为本,指导学生合理选择课程、制定学习计划
⑵帮助学生打好基础,发展能力:
①《
②强调对基本概念和基本思想的理解和掌握
③重视基本技能的训练
④与时俱进地审视基础知识与基本能力
⑶注重联系,提高对数学整体的认知
⑷注重数学知识与实际的联系,发展学生的应用意识和能力
⑸关注数学的文化价值,促进学生科学观的形成
⑹改善教与学的方式,使学生主动地学习
⑺恰当运用现代信息技术,提高教学质量
7.¥
8.评价建议:
⑴重视对学生数学学习过程的评价
⑵正确评价学生的数学基础知识和基本能力
⑶重视对学生能力的评价(问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评)
⑷实施促进学生发展的多元化评价(尊重被评价对象)
⑸根据学生的不同选择进行评价
第二章教学知识
9.教学原则
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抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则(“循序渐进”)、理论与实际相结合原则(“学以致用”)、巩固与发展相结合原则(“温故而知新”)
10.教学过程
备课(备教材、备学生、备教法)、课堂教学(组织教学、复习提问、讲授新课、巩固新课、布置作业)、课外工作(作业批改、课外辅导、数学补课活动)、成绩的考核与评价(口头考察、书面考察)、教学评价(导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与决策调控作用)
11.教学方法
⑴讲授法:科学性、系统性(循序渐进)、启发性、量力性(因材施教)、艺术性(教学
语言)
⑵讨论法:体现“学生是学习的主体”的特点。
⑶自学辅导法:卢仲衡教授提出,要求学生肯自学、能自学、会自学、爱自学
⑷发现法:又称问题教学法(布鲁纳),步骤是创设问题情境;寻找问题答案,探讨问
题解法;完善问题解答,总结思路方法;知识综合,充实改善学生的知识结构。
12.)
13.概念教学
⑴概念的内涵与外延:当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩小;当概念的内涵缩
小时,则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。
⑵概念间的逻辑关系:相容关系(同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、交叉
关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包含关系如“菱形”和“四边形”)、不
相容关系(对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”)
⑶概念下定义的常见方式:属加种差定义法(被定义的概念=最邻近的属概念+种差,
如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”)、解释外延定义法(不易揭示其内涵,如“有理数和无理数统称实数”)、描述性定义法(用简明清晰的语言描述,如“f(f)=f f”)
⑷数学概念获得的主要方式:概念形成(由学生发现)、概念同化(教师直接展示定义)
14.命题教学:整体性策略(旨在加强命题知识的横、纵向联系)、准备性策略(教学实施之
前)、问题性策略(激发学生的积极性)、情境化教学、过程性策略(暴露命题产生于证明的“所以然”过程)、产生式策略(变式练习)
15.推理教学
⑴推理的结构:任何推理都是由前提和结论两部分组成的
⑵¥
⑶推理的形式:演绎推理(由一般到特殊;前提真,结论真;三段论:大前提、小前
提,得推理)、归纳推理(由特殊到一般)、类比推理(由特殊到特殊)
16.问题解决教学
⑴数学问题的设计原则:可行性原则、渐进性原则、应用性原则
⑵纯粹数学问题解决:波利亚怎样解题表(分析题意;拟定计划;执行计划;验算所
得到的解)
⑶非常规问题解决:建模分析(分析问题背景,寻找数学联系;建立数学模型;求解
数学模型;检验;交流和评价;推广)
17.学习方式:自主学习、探究学习、合作学习
第三章教学技能
18.教学设计
⑴]
⑵课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前,以现代教育理论为基础,应用系统科
学方法分析研究课堂教学的问题,确定解决问题的方法和步骤,并对课堂教学活动进行系统安排的过程。
⑶教学设计与教案的关系:
①内容不同:
教学设计的基本组成既包括教学过程,也包括指导思想与理论依据、教学背景分
析、对学生需要的分析、学习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源的设
计与使用以及学习效果评价等。侧重运用现代教学理论进行分析,不仅说明教什
么、如何教,而且说明为什么这样教;教案的基本组成是教学过程,侧重教什么、
如何教。
②核心目的不同:
教学设计不仅重视教师的教,更重视学生的学,以及怎样使学生学得更好。达到
更好的教学效果是教学设计的核心目的;教案的核心目的就是教师怎样讲好教
学内容。
③范围不同:
从研究范围上讲,教案只是教学设计的一个重要内容。
⑷%
⑸数学课堂教学设计的意义:
①使课堂教学更规范、操作性更强
②使课堂教学更科学
③使课堂教学过程更优化
⑹数学课堂教学设计的基本要求:
①充分体现数学课程标准的基本理念,努力体现以学生发展为本
②适应学生的学习心理和年龄特征
③重视课程资源的开发和利用
④~
⑤注重预设与生成的辩证统一
⑥辩证认识和处理教学中的多种关系
⑦整体把握教学活动的结构
⑺数学教学设计的准备:
①认真学习新课标,了解当前我国数学课程的目标要求
②全面关注学生需求
③认真研读数学教材和参考书,领悟编写意图
④广泛涉猎数学教育的其他优秀资源,吸取他人精华,丰富自己的教学设计
⑤】
⑥制定学期教学计划、单元教学计划
⑻教材分析
①分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务
②整体系统的观念用教材
③理解教材的编排意图
④突出教材的重点和难点
⑼学情分析
①分析学生原有的认知基础
②、
③分析学生的个体差异
④了解学生的生理、心理
⑤了解学生对本学科学习方法的掌握情况
⑥分析学习知识时可能要遇到的困难
⑽制定合理教学目标的要求
①反映学科特点,体现内容本质
②要有计划性,可评价性
③格式要规范,用词要考究
④、
⑤要全面,不能“重知轻思”、“重知轻情”等
⑥注意教学目标的层次性(记忆、理解、探究)
⑦要实在具体,不浮华
⑾教学反思
①教学反思的内容:对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思
②教学反思的步骤:截取课堂教学片段及其相关的教学设计;提炼反思的问题;个
人撰写反思材料;集体讨论;个人再反思,并撰写反思论文
⑿教学设计的撰写:
①教学目标:知识与技能(了解、掌握、应用);过程与方法(提高能力);情感态
度与价值观(体验规律、培养看问题的方法)
②<
③学情分析
④教材分析:本节课的作用和地位;本节课的主要内容;重难点分析
⑤教学理念
⑥教学策略
⑦教学环境
⑧教学过程
⑨教学反思
19.教学实施
⑴$
⑵课堂导入:直接导入法、复习导入法、事例导入法(情境导入法)、趣味导入法、悬
念导入法
⑶课堂提问的原则:目的性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进
性原则、全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则
⑷课堂提问的类型:复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分
析综合提问、评价提问
⑸学生活动:
①学生活动体现了学生在学习中的主体地位
②作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分
③学生活动的目的是促进学生的理解
④从总体上说,学生活动必须是思维活动
⑹@
⑺课堂结束技能的实施方法:练习法、比较法与归纳法、提问法和答疑法、呈上法和
启下法、发散法和拓展法
⑻结束技能实施时应注意的问题:自然贴切,水到渠成;语言精练,紧扣中心;内外
沟通,立疑开拓
20.教学评价
⑴数学教育评价的要素:教学目标、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、
学生行为、教学效果
⑵数学教育评价的功能:管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能
第四章常用数学公式
一、函数、导数
1.函数的单调性
⑴—
⑵设f1、f2∈[f,f]且f1 f(f1)?f(f2)<0?f(f)在[f,f]上是增函数; f(f1)?f(f2)>0?f(f)在[f,f]上是减函数。 ⑶设函数y=f(f)在某个区间内可导,若f′(f)>0,则在该区间内f(f)为增函 数;若f′(f)<0,则在该区间内f(f)为减函数 2.函数的奇偶性(该函数的定义域关于原点对称) 对于定义域内任意的f,都有f(?f)=f(f),则f(f)是偶函数; 对于定义域内任意的f,都有f(?f)=?f(f),则f(f)是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。 3.( 4.函数在点f0处的导数的几何意义 函数f=f(f)在点f0处的导数f′(f0)是曲线f=f(f)在P(f0,f(f0))处的切线的斜率,相应的切线方程是f?f(f0)=f′(f0)(f?f0)。 5.几种常见函数的导数 C′=0(C为常数);(f f)′=f f ln f; (f f)′=ff f?1(n∈Q);(f f)′=f f; (sin f)′=cos f;(cos f)′=?sin f; (arc sin f)′=?(arc cos f)′=; (arc tan f)′=?(arc cot f)′=1 1+f2 ; 、 (ln f)′=1 f ;(lo g f f) ′=1 f ln f ; 6.导数的运算法则 (f±f)′=f′±f′;(ff)′=f′f+ff′;f=f(f),v=f(f),f′=f′(f)f′ 7.f 增函数增函数 8.求函数=()的极值的方法:解方程0 ⑴如果在f0附近的左侧f′(f0)>0,右侧f′(f0)<0,则f(f0)是极大值; ⑵如果在f0附近的左侧f′(f0)<0,右侧f′(f0)>0,则f(f0)是极小值; 9.凹凸函数:设f(f)在开区间I上存在二阶导数: ⑴. ⑵若对任意f∈I,有f “(f)>0,则f(f)在I上为下凸函数; ⑶ 若对任意f ∈I,有f “(f )<0,则f (f )在I上为上凸函数; 二、 三角函数、三角变换、解三角形、向量 10. 同角三角函数的基本关系式 sin 2f +cos 2f =1,tan θ= sin θ cos θ ,tan f ?cot f =1 11. 正弦、余弦的诱导公式 sin (f π 2±α)={(?1)f 2sin f (?1)f ?1 2cos f (f 为偶数)(f 为奇数) cos (f π2 ±α)= {(?1)f 2cos f (?1)f +1 2sin f (f 为偶数)(f 为奇数) 12. — 13. 和角与差角公式 sin (α±β)=sin f cos f ±cos f sin f ; cos (α±β)=cos f cos f ?sin f sin f ; tan (α±β)= tan f ±tan f 1?tan f tan f αsin f +f cos f =√f 2+f 2sin (α±φ)(辅助角φ所在象限由点(f ,f )的象限决定, tan θ=b f ) 14. 二倍角公式 sin 2f =2sin f cos f ; cos 2α=cos 2f ?sin 2f =2cos 2f ?1=1?2sin 2f ; / tan 2f = 2tan f 1?tan 2f 15. 三角函数的周期 函数f =f sin (ωα+φ),f ∈R及函数f =f cos (ωα+φ),f ∈R (f ,ω,φ为常数,且A ≠0,ω>0)的周期T = 2f f ;函数f =f tan (ωα+φ),f ≠ff + f 2 ,f ∈Z(f ,ω,φ为常数,且A ≠0,ω>0)的周期T =f f 。 16. 三角函数的图像变换: ⑴ 函数f =f sin (ωα+φ),f ∈R即f =sin f 横坐标伸长(0<ω<1)或缩短 (ω>1)到原来的1ω 倍,再向左(f ω >0)或向右(f ω <0)平移|f ω |个单位,最后纵 坐标伸长(A >1)或缩短(0 ⑵ 函数f =f sin (ωα+φ),f ∈R即f =sin f 向左(φ>0)或向右(φ<0) 平移|φ|个单位,再横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的1 ω倍,再,