一元二次方程之特殊根问题

题型切片（两个）对应题目

题

型

目

标

整数根问题例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3；

公共根问题例5，例6，练习4，练习5．

解决整数根问题的思路：

1.先看方程二次项系数，确定二次项系数是否能为0；

2.确定是一元二次方程后，看能否因式分解求出根的取值；

3.不能因式分解的：⑴判别式是完全平方数；⑵b-±?是2a的整数倍．

以上两个条件需同时满足，缺一不可，如果只满足⑴，则只能保证方程有有理根．思路导航

题型切片

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一元二次方程的特殊根问题

题型一：整数根问题

【引例】 已知m 为整数，求证关于x 的一元二次方程2220x mx m +-=有根且都是整数．

【解析】 法1：将原方程直接因式分解求出两根

()()20x m x m -+=，即1x m =，22x m =-，故符合题意．

法2：不用因式分解，利用根的判别式是完全平方数

()()2

22242930m m m m ?=-?-==≥，且29m m -±是2的倍数，故符合题意.

【例1】 已知关于x 的方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-=．

⑴讨论此方程根的情况；

⑵若方程有两个整数根，求正整数k 的值．

【例2】 已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根．

⑴求k 的取值范围；

⑵若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．

【例3】 当m 为何整数时，关于x 的一元二次方程 2440mx x -+=与2244450

x mx m m -+--=的根都是整数．

【例4】 当整数m 取何值时，关于x 的方程()21(21)10m x m x --++=有整数根．

例题精讲

典题精练

若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题． 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：

⑴设公共根为a ，则a 同时满足这两个一元二次方程；

⑵用加减法消去a 2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；

⑶把公共根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．

【引例】 已知两方程20x mx n ++=，20x nx m ++=有且仅有一个公共根，求m ，n 关系．

【解析】 设a 为两方程公共根，则

2200a ma n a na m ?++=??++=??①②

①-②得()()0m n a n m -+-=

()()10m n a --=

∵有且只有一个公共根，则0m n -≠

∴1,a =即1x =

将1x =代入，1m n +=-且m n ≠．

【例5】 已知2a >，2b >，试判断关于x 的方程2()0x a b x ab -++=与2()0x abx a b -++=有

没有公共根，请说明理由．

典题精练

例题精讲

思路导航

题型二：公共根问题

【例6】 已知关于x 的一元二次方程()2200ax bx c a ++=>①．

⑴ 若方程①有一个正实根c ，且20ac b +<．求b 的取值范围； ⑵ 当1a =时，方程①与关于x 的方程2440x bx c ++=②有一个相同的非零实根，

求2288b c b c

-+的值．

题型一 整数根问题 巩固练习

【练习1】 已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根是整数，求符合条件的a 的整数值.

【练习2】 当k 为何正整数时，关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有两个非零整数根．

真题赏析

复习巩固

【练习3】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，

求m 的值及方程的根．

题型二 公共根问题 巩固练习

【练习4】 已知m 为非负实数，当m 取什么值时，关于x 的方程21=0x mx +-与22=0x x m ++-

仅有一个相同的实根？

【练习5】 设关于x 的方程24x ax +=只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.