2021届湖南长沙市一中新高考原创预测试卷(三十)数学
2021届湖南长沙市一中新高考原创预测试卷（三十）
数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合{}
{}|28,0,1,2,3,4x
A x N
B =∈≤=，则A
B =（ ）
A. {}0,1,2,3
B. {}1,2,3
C. {}0,1,2
D.
{}0,1,2,3,4
【答案】A 【解析】
∵集合{
}
|28x
A x N =∈≤ ∴集合{}0,1,2,3A =
∵集合{}0,1,2,3,4B = ∴{}0,1,2,3A B ?= 故选A.
2. 下列函数中与函数y x =（0x >）相同的是（ ） A. y x = B. lg y x =
C. y x =
D. lg 10x y =
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数的定义对选项逐个进行分析即可得结果.
【详解】y x =的定义域为R ，与y x =（0x >）的定义域不同，两函数不相同；
lg y x =和y x =与y x =（0x >）解析式不同，两函数不相同；
lg 10x y x ==的定义域为()0+∞，
，与y x =（0x >）的解析式和定义域都相同，两函数相同． 故选：D .
【点睛】本题主要考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同，属于基础题.
3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A. 28 B. 14
C. 7
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得
1774()
772
a a S a +=
=，即可求出结果． 【详解】因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =， 所以17747()
7142
a a S a +===， 故选：B
【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题．
4. 函数1()cos 1x
x
e f x x e
-=+的图像大致是（ ） A.
B.
C. D.
【答案】A 【解析】
分析：利用函数的奇偶性排除选项，利用函数通过的特殊点，排除选项，即可推出结果.
详解：函数()1cos 1x
x
e f x x e
-=+， 可得()()()11
cos cos 11x x x
x e e f x x x f x e e -----=-==-++， ∴函数是奇函数，排除B ，
2
x π=
时，02f ??
=
???
π，排除D ， 6x π
=时，66
130621e f e π
π
π-??=?< ???
+，对应点在第四象限，排除C. 故选：A.
点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
5. 若,x y满足不等式组
250
20
5
x y
x y
x
+≥
?
?
-≥
?
?≤
?
，则z y x
=-的最小值是（）
A. 8
- B. 7
- C. 0 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意作出其平面区域，将z y x
=-化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，由几何意义可得结果.
【详解】由题意作出不等式组
250
20
5
x y
x y
x
+≥
?
?
-≥
?
?≤
?
所表示平面区域：
将z y x
=-化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，
则由
250
5
x y
x
+=
?
?
=
?
解得
5
2
x
y
=
?
?
=-
?
，
由图可知，当直线y=x+z过()
5,2
B-时，直线在y轴上的截距最小，
故z y x
=-的最小值是257
--=-，
故选：B.
【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，根据几何意义是解题的关键，属于基础题.
6. 执行如图所示的程序框图，则输出n的值是（）
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，利用程序框图循环结构计算求得n 的值，可得答案.
【详解】初始值n=0，执行程序依次为:2,2420?n
n ==>否；4,21620?n
n ==>否；
6,26420?n n ==>是，循环结束，输出n=6
故选D
【点睛】本题主要考查了程序框图的循环结构判断求值，属于基础题.
7. 如图，四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，SD⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ）
A. AC⊥SB
B. AB∥平面SCD
C. SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角
D. AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角
【答案】D 【解析】
试题分析：A 中由三垂线定理可知是正确的；B 中AB ，CD 平行，所以可得到线面平行；C 中设AC,BD 相交与O ，所以SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角分别为
,ASO CSO
∠∠
SA SC
=所以两角相等，D 中由异面直线
所成角的求法可知两角不等
考点：1．线面平行垂直的判定；2．线面角，异面直线所成角
8. 如图所示，ABC 中，BD 2DC =，点E 是线段AD 的中点，则AC (= )
A. 31
AC AD BE 42=+ B. 3
AC AD BE 4=
+ C. 51
AC AD BE 42
=+
D. 5
AC AD BE 4
=+
【答案】C 【解析】 【分析】
利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出．
【详解】如图所示，
AC AD DC =+，1DC BD 2=
，BD BE ED =+，1ED AD 2=，51
AC AD BE 42
∴=+． 故选C ．
【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9. 已知{}n a 是等比数列，22a =，51
4
a =
，则12231n n a a a a a a +++???+=（ ）
A. (
)1614
n
--
B. (
)1612
n
--
C.
()32
123
n -- D.
()32
143
n -- 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出3
1
()
2
n n a -=，再求出25
11()
2
n n n a a -+=，即得解.
【详解】由题得3
5211,82a q q a ==∴=. 所以2
23211
2()()22
n n n n a a q
---==?=，
所以3225
1111()()()222
n n n n n a a ---+=?=.
所以
111
4
n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++???+=18[1()]
4114
n --=()32143n --. 故选：D
【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10. 关于函数()(1cos )cos tan
2
x
x x f x =+，有下述四个结论： ①函数()f x 在,44ππ??
-????
上是增函数
②()f x 最小正周期为π ③()f x 是奇函数
④()f x 的定义域|()2x x R x k k Z ππ?
?∈≠+∈???
?,
其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②③ B. ②④
C. ①④
D. ①③
【答案】D 【解析】 【分析】
直接根据正切型函数的定义域可判断④，利用切化弦思想以及二倍角公式可将()f x 化简为
()1
sin 22
f x x =，根据正弦型函数的性质可判断①②③.
【详解】要使()(1cos )cos tan
2
x x x f x =+有意义，需满足,22x k k Z π
π≠+∈，
解得2,x k k z ππ≠+∈，即函数的定义域为{}|2()x x R x k k Z ππ∈≠+∈,，故④错误； ∵()21
(1cos )cos tan 2cos cos tan 2sin cos cos sin 2222222
x x x f x x x x x x x x =+===， ∵,44x ππ??∈-
????，∴2,22x ππ??
∈-????
， 则可得()f x 在,44ππ??-????
上是增函数，故①正确；
∴结合函数的定义域可得()f x 最小正周期为2T π=，故②错误； 又∵定义域关于原点对称，()()()1
sin 22
x x x f f =-=--， ∴()f x 是奇函数，故③正确； 故选：D .
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.
11. 已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，
2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为（ ）
A.
3
C.
D. 16π
【答案】A 【解析】
根据已知中的平行关系和长度关系可确定BC 中点E 为底面梯形的外接圆圆心，根据球的性质可知OE ⊥平面ABCD ，利用勾股定理构造出关于OE 和球的半径R 的方程，解方程求得
R ，代入球的体积公式可求得结果.
【详解】取BC 中点E ，连接,,AE DE BD
//AD BC 且1
2AD BC EC =
= ∴四边形ADCE 为平行四边形 AE DC ∴=，又12
DC BC = 1
2DE BC ∴=
AE DE BE EC ∴===
E ∴为四边形ABCD 的外接圆圆心
设O 为外接球的球心，由球的性质可知OE ⊥平面ABCD 作OF PA ⊥，垂足
F ∴四边形AEOF 为矩形，2OF AE ==
设AF x =，OP OA R ==
则()2
2444x x +-=+，解得：2x = 4422R ∴=
+=∴球O 的体积：3464233
V R π==
本题正确选项：A
【点睛】本题考查棱锥外接球体积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，主要是根据球心与底面外接圆圆心连线垂直于底面的性质，通过勾股定理构造方程求得结果. 12. 甲乙二队进行篮球比赛，若有一队胜4场，比赛就结束，假设甲，乙二队在每场比赛中获胜的概率都是0.5，则所需比赛的场数的数学期望为（ ） A. 4 B. 5.8125 C. 6.8125 D. 7
【答案】B 【解析】
先确定比赛需要的场数ξ的可能取值为4、5、6、7，求出相应的概率，即可求得数学期望.. 【详解】由题意可知，比赛需要的场数ξ的可能取值为4、5、6、7，
()441114228p ξ????==+= ? ?????；()3
341111522224p C ξ??==????= ???；
()3
2
3511156222216p C ξ????==???= ? ?????；
()3
3
36
1115
7222216
p C ξ????==???= ? ?????
∴1155934567 5.812584161616
E ξ=?+?+?+?==， 故选：B .
【点睛】本题考查独立重复试验，理解n 次独立重复试验的模型与二项分布的区别， 能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关概率的计算，属于中档题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在复平面内，复数65i +与34i -+对应的向量分别是OA 与OB ，其中O 是原点，则向量AB 对应的复数为__________. 【答案】9i -- 【解析】 【分析】
根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出AB ，得到向量的代数形式的表示式即可.
【详解】∵复数65i +与34i -+对应的向量分别是OA 与OB ， ∴ 34659OB OA i i AB i =-=-+--=--， 故答案为：9i --.
【点睛】本题主要考查复数的几何意义，向量的线性运算，属于基础题. 14. 在ABC ?中，5a =，8b =，60C =?，则BC CA ?的值为________． 【答案】-20
【
分析】
在ABC ?中，5a =，8b =，60C =?则,120BC CA ?<>=然后用数量积求值即可． 【详解】解：||||cos ,58cos12020BC CA BC CA BC CA ??=?<>=??=-. 故答案为：20-．
【点睛】本题考查平面向量的数量积，多数同学错误认为,60BC CA C <>=∠=?，从而出错． 15. 测量某一目标的距离时，所产生的随机误差X 服从正态分布(
)2
20,10N ，如果独立测量
3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是__________.
附参考数据：()0.68P X μδμδ-<≤+=，()220.95P X μδμδ-<≤+=，
()330.99P X μδμδ-<≤+=，20.1850.03=，30.1850.006=，20.8150.66=，
30.8150.541=.
【答案】0.994 【解析】 【分析】 根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在()0,30内的概率，再求出测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率，根据对立事件的性质可得结果.
【详解】由题意可知在一次测量中误差在()0,30内满足2X μδμδ-<<+，
其概率为
()()()111
220.950.680.815222
p p X p X μδμδμδμδ=
-<≤++-<≤+=?+=， 测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率为：()3
310.8150.1850.006-==， ∴独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是10.0060.994-=， 故答案为：0.994.
【点睛】本题主要考查正态分布概率的求法，n 次独立重复试验的模型，利用对立事件解决问题是解题的关键，属于中档题.
16. 已知F 是椭圆2
212x y +=的右焦点，P 是椭圆上一动点，10,2A ?? ???
，则APF 周长的最
大值为__________. 【答案】522+ 【解析】 【分析】
根据椭圆的定义可将周长转化为|2AP a PF AF +-'+，当AP PF -'最大时，A 、P 、F '
三点共线，即求出最大值. 【详解】∵APF 的周长为AP PF AF ++，而2PF a PF =-'，
∴APF 的周长为2AP a PF AF +-'+，
当
A P PF F A '-='最大时，A 、P 、F '三点共线，如图所示，
由题意得2a =
1c =，F 点坐标为()10
，，F '坐标为()10-，， 则APF 的周长最大为：
||2AF AF a '++22
22
11(10)0(10)02222????=--+--+- ? ?????
522【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分.
17. 在ABC ?中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且满足5()cos cos 4
c a B b A -=. （1）若2
sin ,105
A a b =
+=，求a ；
（2）若5b a ==，求ABC ?的面积S . 【答案】（1）4a =；（2）15. 【解析】
试题分析：本题是典型角正余弦定理解三角形问题，由于5c a cosB bcosA 4??
-=
???
是关于边的
这里面次式，所以先统一角做．由（1）中知道a b 10+=，所以可以选择正弦定理，从而解
出此三角形．由（2）b 5==及4
cosB 5
=.两边及一对角的题型，所以可以选择余弦定理． 试题解析： 因为5c a cosB bcosA 4??
-= ???
，所以由正弦定理得5sinC sinA cosB sinBcosA 4??-= ???，
即有5
sinCcosB sinAcosB cosAsinB 4
=+ ， 则
5sinCcosB sinC 4=，因为sinC 0>，所以4cosB 5
=. （1）由4cosB 5=，得3sinB 5=，因为2sinA 5=，所以a sinA 2
b sinB 3
=
=， 又a b 10+=，解得a 4=.
（2）因为222b a c 2accosB,b 5=+-==，所以24525c 8c =+-， 即2c 8c 200--=，解得c 10=或c 2=-（舍去）， 所以1
S acsinB 152
=
= 18. 如图，四棱锥P ?ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 【
答
案
】
（
Ⅰ
）
详
见
解
析
；（
Ⅱ
）
8
525
．
【解析】 【详解】 【分析】 试题分析：（Ⅰ）取
的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形 AMNT 为平行四边形，
从而得到MN AT ∥，由此结合线面平行的判定定理可证；（Ⅱ）以 A 为坐标原点，AE 的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN 的方向向量与平面 PMN 的法向量的夹角的余弦值来求解AN 与平面 PMN 所成角的正弦值． 试题解析：（Ⅰ）由已知得. 取的中点T ，连接
，由
为
中点知
，
.
又，故=TN AM ∥，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥.
因为平面，平面，所以
平面. （Ⅱ）取
的中点
，连结
.由
得，从而
，且
.
以A 为坐标原点， AE 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题
意知，
，，，
，
(0,2,4)PM =-， 5(
,1,2)2PN =-，5(,1,2)2
AN =. 设(,,)x y z =n 为平面 PMN 的一个法向量，则
0,{0,
n PM n PN ?=?=即 240,
{520,2
y z x y z -=+-=
可取(0,2,1)n =. 于是85
cos ,25
n AN n AN n AN
???=
=
.
【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．
【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．
19. 如图，已知直线l 与抛物线2
2y px =（0p >）交于,A B 点，且OA OB ⊥，
（1）若⊥OD AB 交AB 于点D ，求点D 的轨迹方程； （2）求AOB 面积的最小值.
【答案】（1）2
2
20(0)x y px x +-=≠；（2）2
4p . 【解析】 【分析】
（1）设点A 的坐标()11,x y ，点B 的坐标()22,x y ，点D 的坐标为()()000,0x y x ≠，由
OA OB ⊥，得12120x x y y +=，由此入手能求出点D 的轨迹方程；
（2）设出AO 的方程代入抛物线求得x 的值，进而表示出A 的坐标，同理可表示出B 的坐标，进而可表示出2
22||1p OA k k =+，221
||12OB pk k
=+，利用面积公式求解即可. 【详解】（1）设点A 的坐标()11,x y ，点B 的坐标()22,x y ，点D 的坐标为()()000,0x y x ≠， 由OA OB ⊥，得12120x x y y +=，
由已知，得直线l 的方程为22
0000y y x x x y =-++，
又有21
12y px =，22
22y px =，()()2212
1222y y px px =，2212
122
4y y x x p =，
由12120x x y y +=得2
1240y y p +=，
把220000y y x x x y =-++代入2
2y px =并消去x 得(
)
2
22
0000220x y py y p x y +-+=，
得(
)22
00
120
2p x y y y x -+=
，
代入2
1240y y p +=，得()2
2
0000200x y px x +-=≠，
故所求点D 的轨迹方程为22
20(0)x y px x +-=≠. （2）设:OA y kx =，代入2
2y px =，得0x =，22p x k
=
，
22||p OA k =
，2
||2OB pk =， AOB 面积2
221241412k S OA OB p p k
+==
≥，当且仅当1k =±时，取等号， 所以AOB 面积的最小值为2
4p .
【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查了面积的最值计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题.
20. 甲乙二人轮流抛一枚均匀的骰子，甲先掷，一直到掷了1点，交给乙掷，而到乙掷出1点，再交给甲掷，井如此一直下去，若第n 次由甲掷骰子的概率为n P . （1）求12,P P ；
（2）写出n P 与1n P -的递推关系式，并判断数列12n P ?
-????
?是什么数列，并求n P ；
（3）当n 足够大时，n P 趋近什么数，它的
统计意义是什么？ 【答案】（1）11p =，216p =
；（2）()112263n n n p p -=+≥，12n P ?
-????
?是等比数列，
1
121
232
n n P -??
=+ ?
??
；
（3）12，意义见解析. 【解析】 【分析】
（1）直接根据规则，可求1p ，2p ，的值；（2））第1n -()2n ≥次由甲投掷而第n 次仍由甲
投掷的概率是1 5
6
n p -，第1n -次由乙投掷而第n 次由甲投掷的概率是()11 16
n p --，两者相加可得n P 与1n P -的递推关系式，构造即可得12n P ?-????
?
为等比数列；（3）通过极限的思想可得n
P 趋近
1
2
，其意义在于当n 足够大时，甲掷骰子和乙掷骰子的可能性基本相同
【详解】（1）由题意，11p =，25
6
p =
； （2）第1n -()2n ≥次由甲投掷而第n 次仍由甲投掷的概率是1 56
n p -， 第1n -次由乙投掷而第n 次由甲投掷的概率是()11 16
n p --
于是()111112
1+63566n n n n p p p p ----==+，()2n ≥
所以121
323
1n n p p --=-，()2n ≥
即1211232n n p p -??
=- ???-
，()2n ≥， 故数列12n P ?-????
?
是以
1
2为首项，23
为公比的等比数列； 所以1
112223n n P -??
-= ?
??，
故1
121232
n n P -??=+ ?
??
. （3）当n 足够大时，1
1223n -??
?
??趋于0，则1
121
232
n n P -??
=+ ?
??
趋于12，
它的统计意义在于当n 足够大时，甲掷骰子和乙掷骰子的可能性基本相同.
【点睛】本题考查概率知识的运用，考查数列通项的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.
21. 已知函数()ln a
f x x ax x
=-+
，其中a 为常数. (1)若f (x )的图象在x =1处的切线经过点(3，4)，求实数a 的值；