导数求最值(含参)
含参导数求最值问题（1—2）
编制人：闵小梅审核人：王志刚
【使用说明及学法指导】
1．完成预习案中的相关问题；
2．尝试完成探究案中合作探究部分，注意书写规范；
3．找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂讨论质疑。
【学习目标】
1．掌握利用导数求函数最值的方法
2．会用导数解决含参函数的综合问题
【预习案】
一、知识梳理
函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
二、尝试练习
1．设函数f(x)＝x3－x2
2
－2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]，都有f(x)>a，则实
数a的取值范围是________ (－∞，7 2)
2．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0，1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________ [4，＋∞)
【探究案】
一、合作探究：
例1. 设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0)．
(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； 增(0，2)，减(2，2) (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值． a ＝1
2
二、拓展探究：
例2. 已知函数f(x)＝lg(x ＋a
x －2)，其中a ＞0且为常数．
(1)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；ln a
2
(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，试确定实数a 的取值范围．(2，＋∞)
三、深层探究：单调性的应用 例3．求f (x )＝ax
x e -? (a ＞0)在x ∈[1,2]上的最大值
【训练案】
1．设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，且在(a ，b )内可导，则下列结论中正确的是( )
A ．f (x )的极值点一定是最值点
B ．f (x )的最值点一定是极值点
C ．f (x )在此区间上可能没有极值点
D ．f (x )在此区间上可能没有最值点
2．若函数f (x )＝3239x x x a -+++在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )
A ．－5
B ．7
C ．10
D ．－19
3．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( )
A ．0
B ．b <1
C ．b >0
D ．b <1
2
4．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0，1)上单调，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≥0
B ．a <－4
C ．a ≥0或a ≤－4
D ．a >0或a <－4
5．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )
A ．0≤a ＜1
B ．0＜a ＜1
C ．－1＜a ＜1
D ．0＜a ＜1
2
6．已知函数f (x )＝sin x －2x －a ，若f (x )在[0，π]上的最大值为－1，则实数
a 的值是________ 1
7．若关于x 的不等式x 3－2x －a ＜0在[1,2]上恒成立，则a 的取值范围是_______(4，＋∞)
8．若不等式ln (kx )x ≤1
e 对任意的正实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为_ _ 0＜k ≤1
9．已知函数f (x )＝2ln x ＋a
x 2(a >0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，求实数a 的取值范围。 a ≥e
10．已知函数f (x )＝(x －k )2e x
k
.
(1)求f (x )的单调区间； 增(－∞，－k )，(k ，＋∞)；减(－k ，k )． (2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e ，求k 的取值范围．????
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－12，0
专题5 导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案)
〖专题5〗导数的应用—含参函数的单调性讨论 “含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解 [典例1]讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间． 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并． [变式练习1]讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间．
高中导数的概念与计算练习题带答案
导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ． ln 2 2 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()s i n f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x = 等于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1 ()2ln f x ax x x =-- （2）2 ()1x e f x ax =+ （3）21 ()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-
导数应用：含参函数的单调性讨论(二)
导数应用：含参函数的单调性讨论(二) 对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论，若有多个讨论点时，要注意讨论层次与顺序，一般先根据参数对导函数类型进行分类，从简单到复杂。 一、典型例题 例1、已知函数3 2 ()331,f x ax x x a R =+++∈,讨论函数)(x f 的单调性. 分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定0)('>x f 的解区间；确定函数的减区间就是确定0)('
高中数学含参导数问题
由参数引起的案—— 含参导数问题 一、已知两个函数k x x x f -+=168)(2 ，x x x x g 452)(2 3 ++=，按以下条件求k 的范围。 （1）对于任意的]3,3[-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立。 （构造新函数，恒成立问题） （2）若存在成立。，使得)()(]3,3[000x g x f x ≤-∈ （与恒成立问题区别看待） （3）若对于任意的).()(]3,3[2121x g x f x x ≤-∈，都有、 （注意21,x x 可以不是同一个x ） （4）对于任意的)()(],3,3[]3,3[1001x f x g x x =-∈-∈使得，总存在。 （注意：哪个函数的值域含于哪个函数的值域取决于：谁的x 是任意取的，谁的x 是总存在的。） （5）若对于任意0x []3,3∈-,总存在相应的[]12,3,3x x ∈-,使得102()()()g x f x g x ≤≤成立； （与（4）相同） 二、已知函数()2 1ln (1)2 f x a x x a x =+-+， a R ∈ (1)函数f (x )在区间(2,﹢∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ,
(2)函数f (x )在区间(2,3)上单调，则实数a 的取值范围是 . 三、设函数3()3f x x ax =- (a R ∈)，若对于任意的[]1,1-∈x 都有()1f x ≤成立，求实数a 的取值范围. 四、含参数导数问题的三个基本讨论点 一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。 二、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根 是否落在定义域内，从而引起讨论。 三、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落 在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 例1、设函数3221 ()23()3 f x x ax a x a a R =-+-+∈.求函数)(x f 的单调区间和极值； （可因式分解，比较两根大小，注意别丢两根相等情况) 解： 2 2 ()4-3()(3)f x x ax a x a x a '=-+=--- ……………………………5分 0a =时，()0f x '≤，(,)-∞∞是函数的单调减区间；无极值；……………6分 0a >时，在区间(,),(3,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(,3)a a 上，()0f x '>， 因此(,),(3,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(,3)a a 是函数的单调增区间， 函数的极大值是(3)f a a =；函数的极小值是3 4()3 f a a a =- ；………………8分 0a <时，在区间(,3),(,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(3,)a a 上，()0f x '>， 因此(,3),(,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(3,)a a 是函数的单调增区间 函数的极大值是3 4()3 f a a a =- ，函数的极小值是(3)f a a = ………………10分 例1变式．若2 '()(1)f x x a x a =-++，若(0,)x ∈+∞,讨论()f x 的单调性。（比较根大小，考虑定义域）
基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题(附答案)
基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答案） 选修2-21.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则 一、选择题 1 .函数y = (x+ 1)2(x—1)在x= 1处的导数等于() A．1B．2 C. 3 D. 4 答案］D 解析］y = (x+1)2］'—x1 )+(x+ 1)2(x—1)' =2(x + 1)?(x—1) + (x+ 1)2= 3x2 + 2x—1, y‘ =1= 4. 2.若对任意x€ R, f‘ =)4x3, f(1) = —1,则f(x)=() A. x4 B. x4— 2 C. 4x3—5 D. x4+ 2 答案］B 解析］丁f‘(=4x3.f(x) = x4+c,又f(1) = — 1 ? ? ? 1 + c= — 1 ,? ? ? c= —2,—f(x) = x4 — 2. 3 .设函数f(x) = xm + ax 的导数为f‘ =)2x+1,则数列{1f(n)}(n € N*) 的前n 项和是() A.nn+1 B.n+2n+1 C.nn—1 D.n+1n 答案］A 解析］T f(x) = xm+ ax 的导数为f‘(x)2x + 1,
/. m = 2, a= 1,二f(x) = x2+ x, 即f(n) = n2+n=n(n+ 1), 二数列{1f(n)}(n € N*)的前n项和为： Sn= 11 X2 12X3 13 x+…+ 1n(n+ 1) =1 —12+ 12—13+…+ 1n —1n + 1 =1 —1n+ 1= nn+ 1, 故选 A. 4.二次函数y = f(x)的图象过原点，且它的导函数y= f‘的)图象是过第 一、二、三象限的一条直线，贝卩函数y= f(x)的图象的顶点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案］C 解析］由题意可设f(x)= ax2 + bx, f' (=2ax + b,由于f‘(的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0, b>0,则f(x) = ax+ b2a2—b24a, 顶点—b2a,—b24a 在第三象限,故选 C. 5 .函数y = (2 + x3)2的导数为() A. 6x5+ 12x2 B. 4+ 2x3 C. 2(2+ x3)2 D. 2(2+ x3)?3x 答案］A 解析］t y= (2+ x3)2= 4+ 4x3+ x6, /. y = 6x5 + 12x2.
导数与函数、方程、不等式综合含参问题处理方法归纳总结学生版
含参问题归纳总结 一、与函数零点（或者方程的根）有关的参数范围问题 函数的零点，即的根，亦即函数的图象与轴交点横坐标，与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系（或者转化为两个熟悉函数交点问题），进而确定参数的取值范围． 题型1.有关()x f 型 1．已知函数f(x)= e x x ?a ，g(x)= 3(e x ?ax) e x ，若方程f(x)=g(x)有4个不同的 实数解，则实数a 的取值范围是 A ． (?∞,e ) B ． (e,3)∪(3,+∞) C ． (?∞,0)∪(e,+∞) D ． (e,+∞) 2．若函数f(x)={e x ,?x ≥0?x 2+2x +1,?x <0 （其中e 是自然对数的底数），且函数y = |f(x)|?mx 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ． (0,1) B ． (0,e) C ． (?∞,0)∪(1,+∞) D ． (?∞,0)∪(e,+∞) 3．设函数f (x )是定义在R 上周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒f (x )? f (?x )=0，当x ∈[?1,0]时，f (x )=x 2．若 g (x )=f (x )?log a x 在x ∈(0,+∞)上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ） A ． [3,5] B ． [4,6] C ． (3,5) D ． (4,6) ()f x ()0f x =()f x x x
4．已知函数f(x)={xlnx?2x,x>0 x2+3 2 x,x≤0，若方程f(x)?mx+1=0恰有四个不 同的实数根，则实数m的取值范围是（ （ A．(?1,?1 3)B．(?1,?1 2 )C．(?3 4 ,?1 2 )D．(?2,?1 2 ) 5．设f(x)=lnx+1 x ，若函数y=|f(x)|?ax2恰有3个零点，则实数a的取值范围为（） A．(0,e2 3)B．(e2 3 ,e)C．(1 e ,1)D．(0,1 e )∪{e2 3 } 6．已知函数f(x)={x+1 x?1 ,x>1 2?e x,x≤1 ，若函数g(x)=f(x)?m(x?1)有两个零点，则实数m的取值范围是 7．若函数f(x)={ 2x+2?a,x≤0 x3?ax+2,x>0 有三个不同的零点，则实数a的取值范围 是_____.
运用导数解决含参问题
运用导数解决含参问题 运用导数解决含参函数问题的策略 以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围。 解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，通过不断地转化，把不熟悉、不规范、 复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。 解决的主要途径：是将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特 征，恰当地构造函数，等价转化为：含参函数的最值讨论。 一、含参函数中的存在性问题 利用题设条件能沟通所求参数之间的联系，建立方程或不等式（组）求解。这是求存在性范围问题最显然的一个方法。 例题讲解 例1：已知函数x x x f ln 2 1)(2+= ，若存在],1[0e x ∈使不等式 m x f ≤)(0，求实数m 的取值范围 二、含参函数中的恒成立问题 可先利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，从而使这种具有函数背景的范围问题迎 刃而解，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围。类型有：(1)双参数
中知道其中一个参数的范围；(2)双参数中的范围均未知。 一、选择题 1 ．（2013年课标Ⅱ）已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ） A ．0x ?∈R,0()0 f x = B.函数()y f x =的图像是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减 D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0 f x = 2 ．（2013年大纲）已知曲线()4 2 1-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（） A ．9 B ．6 C ．-9 D ．-6 3 ．（2013年湖北）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．1 (0,)2 C ．(0,1) D ．(0,)+∞ 4.若函数3 2 ()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是: （ ）
利用导数解决函数零点问题
利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下，找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注： ①求导分解定义域，这1分必拿， )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ，构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ，重复上面步骤， 042)(22>+='x x xe e x g ， )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(， +∞→+∞→)(x g x 时。 一定要用零点判定定理确定零点个数 ④综上所述送1分. )(x f ' )(x f
(三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2 --=存在唯一 的极大值点0x ,且202 2)(--< 导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（） （A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（） （A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的 高二理数期中专题复习卷----导数专题(二) 【知识点5:含参数的单调性问题】 1.若3 2 ()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值围是（ ） A ．12a -<< B ．2a >或1a <- C ．2a ≥或1a ≤- D ．12a a ><-或 2.已知函数3 2 ()1f x x ax x =-+--在(),-∞+∞上单调递减,则实数a 的取值围是( ) A.( ),33,?-∞-+∞ ? U B.3,3?- ? C.(),33,-∞-+∞ U D.(3,3 3.若函数2 ()2ln f x x x =-在定义域的一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数,则实数k 的取值围是 . 4.已知函数2 ()ln (2)f x x ax a x =-+-,讨论()f x 的单调性. 5.设函数1 ()(2)ln 2.f x a x ax x =-+ + (1)当0a =时,求()f x 的极值; (2)设1 ()()g x f x x =-在[)1,+∞上单调递增,求a 的取值围; (3)当0a ≠时,求()f x 的单调区间. 【知识点6:含参数的零点个数问题】 1.设a 为实数, 函数3 ()3f x x x a =-++ (1)求()f x 的极值; (2)若方程()0f x =有3个实数根,求a 的取值围; (3)若()0f x =恰有两个实数根,求a 的值. 2.已知函数32 11(),,32 a f x x x ax a x R -= +--∈其中0a >. (1)求函数()f x 的单调区间; (2)若函数()f x 在区间(2,0)-恰有两个零点,求a 的取值围. 3.已知函数()1x a f x x e =-+ (,a R e ∈为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴, 求a 的值. (2)求函数()f x 的极值; (3)当1a =时,,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值. 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a =+2（）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 222()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线3 2153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为 导数应用：含参函数的单调性讨论(一) 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈?Y Y Y Y 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例1 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 小结： 导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间的符号。一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解 0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 围扩 大而出现有根，但根实际上不在定义域的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。 变式练习2. 讨论x ax x f ln 2 1)(2 += 的单调性 小结： 一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。 对于二次型函数（如1)(2 +=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。 例3． 求1)(232--+=x ax x a x f 的单调区间 1．设函数． （1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值； （2）若函数在定义域不单调，求的取值围； （3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由． 2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性； （2）当时，证明：； （3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由． 3．已知函数（其中，）. （1）当时，若在其定义域为单调函数，求的取值围； （2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 5．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数. （1）求的值； （2）若在及所在的取值围上恒成立，求的取值围； 6．已知函数()()ln ,x f x ax x F x e ax =-=+，其中0,0x a ><. （1）若()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性，数a 的取值围； （2）若21,a e ??∈-∞- ??? ，且函数()()12ax g x xe ax f x -=-+的最小值为M ，求M 的最小值. 7．已知函数()ln x m f x e x +=-. （1）如1x =是函数()f x 的极值点，数m 的值并讨论的单调性()f x ； （2）若0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，数m 的取值围（注：已知常数a 满足ln 1a a =）. 8．已知函数()()2 ln 12 x f x mx mx =++-，其中01m <≤． （1）当1m =时，求证：10x -<≤时，()3 3 x f x ≤； （2）试讨论函数()y f x =的零点个数． 9．已知e 是自然对数的底数,()()()12ln ,13x F x e x x f x a x -=++=-+. （1）设()()()T x F x f x =-,当112a e -=+时, 求证：()T x 在()0,+∞上单调递增； （2）若()()1,x F x f x ?≥≥,数a 的取值围. 10．已知函数()2x f x e ax =+- （1）若1a =-，求函数()f x 在区间[1,1]-的最小值； （2）若,a R ∈讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性； （3）若对于任意的1212,(0,),,x x x x ∈+∞<且 [][]2112()()x f x a x f x a +<+都有成立，求a 的取值围。 例说导数含参问题的处理策略详解 (完美终结篇) 张成 壹叁捌叁捌伍叁捌贰肆贰 一、 和单调性有关的含参问题 1. 求单调区间：本质是解含参不等式 例1：求2 ()()x a f x x -= 的单调区间 【解】2 ()() ()x a a x f x x -+'= 12x a x a ==- 当0a =时，()10f x '=>，故只有增区间：(,0),(0,)-∞+∞不能并哦 当0a >时，由2 ()() ()0x a x x f a x -+'= >即()(x a)0x a -+>得,x a x a <->， 由()(x a)0x a -+<得a x a -<< 当0a <时，由()0f x '>得,x a x a <>- 由()0f x '<得a x a <<- 综上所述：当0a =时函数增区间为(,0),(0,)-∞+∞ 当0a >时函数增区间为：(,),(,)a a -∞-+∞减区间为：(,)a a - 当0a <时函数增区间为：(,),(,)a a -∞-+∞减区间为：(,)a a - 例2：求函数f (x )＝x 2e ax 的单调区间． 【解】 函数f (x )的导数f ′(x )＝2x e ax ＋ax 2e ax ＝(2x ＋ax 2)e ax . 1220x x a ==- (1)当a ＝0时，由f ′(x )＜0得 x ＜0；由f ′(x )＞0，得x ＞0 所以当a ＝0时，函数f (x )在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数． 当a ≠0时，1220 x x a ==- (2)当a ＞0时，由2x ＋ax 2＞0，得x ＜－2a 或x ＞0；由2x ＋ax 2＜0，得－2 a ＜x ＜0. 所以当a ＞0时，函数f (x )在(－∞，－2a )和(0，＋∞)上为增函数，在区间(－2 a ，0)上为减函数． (3)当a ＜0时，由2x ＋ax 2＞0，得0＜x ＜－2a ；由2x ＋ax 2＜0，得x ＜0或x ＞－2 a ， 所以当a ＜0时，函数f (x )在区间(－∞，0)和(－2a ，＋∞)上为减函数，在区间(0，－2 a )上为增函数 总结：两个根大小不定时要讨论 2. 逆向问题：已知函数在某区间上单调性，求参数取值范围 （1） 解析式含参时：本质是恒成立问题: ()0f x '≥（()0f x '≤）恒成立 思路1：转化为求非含参一段函数的最值（范围） 思路2：数形结合 注意事项：端点能否取等号要注意 【巩固练习】 一、选择题 1．设函数 f (x) (1 2x 3 )10 ，则 f '(1) （ ） A ．0 B ．―1 C ．― 60 D ． 60 2．（ 2014 江西校级一模）若 f (x) 2ln x x 2 ，则 f ' ( x) 0 的解集为（ ） A.(0,1) B. , 1 U 0,1 C. 1,0 U 1, D. 1, 3．（ 2014 春 永寿县校级期中）下列式子不正确的是（ ） A. 3x 2 ' 6x sin x B. ln x 2 x ' 1 x ln 2 cos x 2 x ' sin x ' x cos x sin x C. 2sin 2x 2cos2x D. x x 2 4．函数 y x 4 5 的导数是（ ） 3x 8 A ． 5 B ．0 C ． 5(4 x 3 3) D ． 5(4 x 3 3) 4x 3 3 ( x 4 3x 8) 2 (x 4 3x 8) 2 5 ．（ 2015 安 徽 四 模 ） 已 知 函 数 f ( x) 的 导 函 数 为 f ' ( x) ， 且 满 足 关 系 式 f ( x) x 2 3xf ' (2) ln x ，则 f '(2) 的值等于（ ） A. 2 C. 9 D. 9 4 4 x 1 ( x 6．设曲线 y 1) 在点（ 3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a=（ ） x 1 A ．2 B ． 1 C ．―1 D ．―2 2 2 7． y log 3 cos 2 x (cos x 0) 的导数是（ ） A ． 2log 3 e tan x B ． 2log 3 e cot x C ． 2log 3 e cos x D ． log 2 e cos 2 x 二、填空题 8．曲线 y=sin x 在点 ,1 处的切线方程为 ________。 2 9．设 y=(2x+a) 2，且 y ' |x 2 20 ，则 a=________。 ． x 3 1 ____________， 2x sin 2x 5 ____________。 10 sin x 11．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C ：y=x 3― 10x+3 上，且在第二象限内，已知曲 A 3,?+∞?( 3,+∞ 2 )2ln x x =-1)上不是单调函数 【知识点7:含参数的恒成立问题】 1.若函数32 1()(1)132 a f x x x a x = -+-+在区间(1,4)上是减函数,在区间(6,)+∞上是增函数,则实数a 的取值范围为 . 2.已知函数()3 2 3()1,2 f x ax x x R =-+∈其中0a >. (1)若1a =,求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程; (2)若在区间11,22?? -???? 上,()0f x >恒成立,求a 的取值范围. 3.已知2 ()2ln .f x x x =- (1)求()f x 的最小值; (2)若21 ()2f x tx x ≥-在(]0,1x ∈内恒成立,求t 的取值范围. 4.已知函数3 ()3f x x ax b =-+(,)a b R ∈在2x =处的切线方程914y x =-. (1)求()f x 的单调区间; (2)令2 ()2g x x x k =-++,若对任意[]10,2x ∈,均存在[]20,2x ∈,使得()()12f x g x <,求实数k 的取值范围. 5.已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈. (1)讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数. (2)若函数()f x 在1x =处取得极值,对(0,)x ?∈+∞,()2f x bx ≥-恒成立,求实数b 的取值范围. (3)当1x y e >>-时,证明ln(1) ln(1) x y x e y -+> +. 高二理数期中专题复习卷----导数专题(二) (答案) 【知识点5】 1. B 2.B 3. 3 1, 2?? ???? 4. . 5. 导数高考试题精选 一．选择题(共16小题） 1．(20１3?河东区二模)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为（） Ａ. 3 B．2 C. １Ｄ. ２．（2０12?汕头一模）设曲线ｙ＝aｘ２在点(1，a）处的切线与直线2x﹣ｙ﹣6=０平行,则a=（） A．１B．Ｃ. D．﹣1 ３．（201１?烟台一模)设曲线在点(３,2)处的切线与直线ax+y+1=０垂直,则a=() A. ２Ｂ．Ｃ．Ｄ．﹣２ ４．(２01０?泸州二模)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（) A. B. Ｃ．D． 5．（２01０?辽宁）已知点Ｐ在曲线y=上,α为曲线在点Ｐ处的切线的倾斜角，则α的取值范围是() A. [０,） B．Ｃ. D. 6.(201０?江西模拟)曲线ｙ=x3﹣2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(） A. 30° B. 4５°C．60°D．1２０°７．(2009?辽宁)曲线ｙ＝在点(1,﹣１）处的切线方程为（) A. y=x﹣２ B. ｙ=﹣3x＋２Ｃ. y=２x﹣３ D. ｙ=﹣2ｘ＋１ 8.（2００9?江西）若存在过点（1,0）的直线与曲线y＝x３和都相切，则a等于（) A． ﹣1或B. ﹣１或 Ｃ． 或 D. 或7 ９．（２006?四川)曲线y=4ｘ﹣x3在点(﹣1,﹣3)处的切线方程是（) A．y=7ｘ+4 B. ｙ=7x+2 C．y=x﹣4 D．y＝x﹣2 10.（2012?海口模拟）已知f（ｘ)＝alｎｘ＋x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2，都有 ＞2恒成立，则a的取值范围是（） A. (0,1]B．（１,+∞） C. (0，１) D．[1,+∞) 导数练习题 班级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2 －1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4 ＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3 时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2 ＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝ －x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切 线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的 切线倾斜角为 π 4 的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(1 4 ，116) D ．(1 2 ，1 4 ) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线 方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－3)＝( ) A ．4 B.19 C ．－1 4 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( ) A.x 2＋6x x ＋32 B.x 2＋6x x ＋3 C.－2x x ＋32 D.3x 2 ＋6x x ＋32 14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 15．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) 导数应用：含参函数的单调性讨论(一) 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例1 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立， 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，导数及其应用高考题精选含答案
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