2017年高考三角函数试题

2017年高考三角函数试题

2017年三角函数、解三角形题型分析及其复习计划

本文主要研究近五年高考中出现的三角函数题，其目的是加深自身对高中三角函数这部分内容的认识和理解，并通过对试题的分类、整理、分析、总结出一些关于高考中对三角函数试题的解题方法、技巧和应对策略，希望这些解题方法、技巧和应对策略能够对执教老师和学生起到一定的帮助和启发.同时，选择研究高考三角函数这部分内容也是想为将来的教学工作做一个充分的知识储备.

三角函数在高中数学中有着较高的地位，尤其是在函数这一块，它属于基本初等函数，同时，它还是描述周期现象的重要数学模型.通过整理、统计可以看出，每年高考中三角函数试题分值所占比例基本都在10％～15％之间. 从近三年的课标卷、的高考三角函数题的分类、整理、分析知，高考三角函数这一知识点，主要还是考查学生的基础知识和基本技能，难度一般不大.但是，三角函数这部分内容考查的题型比较灵活，并且考查面较广.在选择题、填空题、解答题中均有考查，在前两类题型中多考查三角函数的基础知识，属于基础题；对于解答题则具有一定的综合性.

从总体上看，高考三角函数对文科学生能力的考查要求差异不大，但在考查题型上，文科方向的解三角形题量有所减少.从课改前后看，对三角函数考查的内容和范围没有明显变动，仍然是对三角函数的基础知识、三角函数与向量、与三角恒等变换等综合考查，但难度均不大.

考题分布

全国一卷全国二卷全国三卷

2012年（大纲卷）3、4、15、17（共25分）9、17题（共

17分）

2013年9、10、16（共

15分）

4、6、16（共

15分）

2014年2、7、16题（共

15分）

14、17题（共

17分）

20158、17题（共177、17题（共

年 分） 17分）

2016年 4、6、14题（共15分）

3、11、15题（共15分） 6、9、14题（共15分）

下面对近五近全国卷高考中三角函数的考题作一个归类分析，通过这个分析可以从中找到一些高三复习三角函数时的复习方向，能更好的、更精准的把握复习时应注意的方方面面。

近五年全国卷三角函数考题

角的概念及任意角的三角函数

1．(2014课标全国Ⅰ，文16)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α ＝( )

A.45

B.35 C ．－35 D ．－4

5

答案．D [解析] 根据题意，cos α＝－4（－4）2＋32

＝－45

. 三角函数的图象与性质

1：(2012大纲卷，文3)

若函数是偶函数，则( ) []()sin (0,2)3

x f x ?

?π+=∈?=

A ．

B ．

C ．

D ． 答案C

【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质，。

【解析】由为偶函数可知，轴是函数图像的对称轴，而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取

得，故，而，故时，，故选答案C 。

2：(2012大纲卷，文4)

已知为第二象限角，，则( )

A ．

B ．

C ．

D ． 答案A

【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用。

【解析】因为为第二象限角，故，而，故，所以，故选答案A 。 3：(2012大纲卷，文15)

当函数

取最大值时，

2

π23π32π53π

[]()sin (0,2)3

x f x ?

?π+=∈y ()f x 3(0)sin 13()3322

f k k k Z ??πππ?π==±?=+?=+∈[]0,2?π∈0k =32

π

?=

α3

sin 5α=sin 2α=2425-1225-12

25

2425αcos 0α<3

sin 5α=24

cos 1sin 5

αα=--=-

24sin 22sin cos 25

ααα==-sin 3(02)

y x x x π=≤<

．

答案：

【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用，求解值域的问题。首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点。 【解析】由

由可知 当且仅当即时取得最小值，时即取得最大值。

4：(2012课标全国2，文9)已知ω>0，0<φ<π，直线x =π

4和

x =5π

4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ= （ D ）

（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4

5：(2013课标全国Ⅰ，文16)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.

x =

56π

sin 32sin()

3

y x x x π

==-502333x x ππππ≤

x π-≤-≤332x ππ-=116x π=32

x ππ-=56x π=

5：

答案：25

解析：∵f (x )＝sin x －2cos x 5x －φ)， 其中sin φ＝55，cos φ＝

55

.

当x －φ＝2k π＋π2

(k ∈Z)时，f (x )取最大值． 即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)． ∴cos θ＝πcos 2

???

+ ?

?

?

＝－sin φ＝55-.

6：（2014·全国新课标卷Ⅰ，文7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos

x |，③y ＝cos ?

?

????2x ＋π6，④y ＝tan ?

?????2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )

A ．①②③

B ．①③④

C ．②④

D ．①③ 答案．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ?

??

???

2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y

＝tan ?

?

?

??

?2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．

7：（16年新课标3，文7）若tanθ=3

1，则cos2θ=( D ) （A ）

4

5

-（B ）1

5-

（C ）15（D ）45

8：(2013课标全国Ⅱ，文16)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝πsin 23x ?

?+ ?

?

?的图像重合，则φ＝__________.

8：答案：

5π

6

解析：y ＝cos(2x ＋φ)向右平移

π2个单位得，πcos 22y x ???

??=-+ ???????

＝cos(2x －π＋φ)＝ππsin 2π++=sin 222x x ??????-+- ? ?????，而它与函数πsin 23y x ?

?=+ ??

?的图像重合，令2x ＋φ－π2＝2x ＋π3＋

2k π，k ∈Z ， 得5π

+2π6

k ?=

，k ∈Z. 又－π≤φ＜π，∴5π6

?=

.

9：（16年新课标3，文科14）函数y =sin x –cos x 的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移___3

π___个单位长度得到. 9：答案：

5π

6

10：（16年新课标2，文科3）函数的部分图像如图所示，则 ( A )

=sin()y A x ω?+

（A ）

（B ） （C ） （D ） 11：(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x

在[－π，π]的图像大致为( )．

11： 答案：C

解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当

x ∈π0,2??

?

?

?

时，f (x )＞0，排除A. 当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2

x ＋cos x (1－cos x )＝－

2cos 2

x ＋cos x ＋

1.

2sin(2)6

y x π=-2sin(2)3y x π=-2sin(2+)6y x π=2sin(2+)3y x π

=

令f ′(x )＝0，得2π3

x =. 故极值点为2π3

x =，可排除D ，故选C. 12：（16年新课标1：文科6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像

向右平移1

4个周期后，所得图像对应的函数为( B )

（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π

4)

（D ）y =2sin(2x –π

3

)

两角和与差的正弦、余弦、正切

1：（2014·新课标2，文科14）函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．

[解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.

2：（2014·全国新课标卷Ⅰ，文科2） 若tan α＞0，则( )

A ．sin α＞0

B ．cos α＞0

C ．sin 2α＞0

D ．cos 2α＞0

答案：C [解析]

因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α

1＋tan 2α

>0，所以选C. 3：(2013课标全国Ⅱ，文6)已知sin 2α＝

23，则2πcos 4α?

?+ ??

?＝( )．

A ．16

B ．13

C ．12

D ．2

3

答案：A

解析：由半角公式可得，2πcos 4α??+

??

?

＝

π21cos 211sin 21232226

αα??++- ?-??===.

4：（16年新课标3，文科11）函数的最大值为( B )

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

5：(16年新课标1，文科14）已知θ是第四象限角，且

sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4

)=. 5： 答案：

5

4

-

解三角形

17．(2012课标全国1，文17) 中，内角A ．B ．C 成等差数列，其对边满足，求．

【命题意图】： 本试题主要考查了解三角形的运用。该试题

π

()cos 26cos()2

f x x x =+-ABC ?,,a b c 2

23b

ac

=A

从整体看保持了往年的解题风格，依然是通过边角的转换，结合了三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理求解三角形中的角的问题。试题整体上比较稳定，思路比较容易想，先利用等差数列得到角，然后利用正弦定理与三角求解运算得到答案。

【解析】由A ．B ．C 成等差数列可得，而，故

且 而由与正弦定理可得

所以可得

，由，故 或，于是可得到或。 （17）(2012课标全国2，文17) 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA

(1) 求A

(2) 若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c.

B 2B A

C =+A B C π++=33

B B π

π=?=

23C A π=-2

23b

ac

=22

22sin 3sin sin 2sin 3sin(

)sin 33

B A

C A A π

π

=??=-232223(sin cos cos sin )sin 3sin sin 1433

A A A A A A ππ?=-?+=?

31cos 21

21sin(2)2262

A A A π-+=?-=27023666

A A ππππ

<

6A π

π

-

=

5266A ππ-=6A π=2

A π

=

【解析】解：（1）由c = 3asinC －ccosA 及正弦定理得

sin cos sin sin sin 3=--C A C C A

有0sin ≠C ，所以21)6sin(=-πA ，所以3

π=A (2)

?

??=-+=4422bc bc c b ?2

==c b

3：(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．

A ．10

B ．9

C ．8

D ．5 答案：D

解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝

1

25

. ∵A ∈π0,2??

???

，∴cos A ＝15.

∵cos A ＝2364926b b +-?，∴b ＝5或13

5

b =-(舍)．

故选D.

4：(2013课标全国Ⅱ，文4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，π

6

B =，π4

C =，则

△ABC 的面积为( )．

A ．3+2

B 3+1

C ．232

D 31

答案：B

解析：A ＝π－(B ＋C )＝ππ7π

π6412??-+=

???

， 由正弦定理得

sin sin a b

A B

=，

则7π

2sin

sin 1262πsin sin 6

b A a B ==

= ∴S △ABC ＝

112sin 2(62)3122ab C =??=. 5：[2014·全国卷2，文科17] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.

(1)求C 和BD ； (2)求四边形ABCD 的面积． 解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，①

BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②

由①②得cos C ＝1

2，故C ＝60°，BD ＝7.

(2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12

BC ·CD sin C

＝?

??

???12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3.

6：（2014·全国新课标卷Ⅰ，文科16）如图1-3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.

图1-3

答案：150 [解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝

AC sin ∠AMC ，即AM ＝sin 60°

sin 45°

×100

2＝1003，于是在

Rt △AMN 中，有MN ＝sin 60°×1003＝150 .

7：（15年新课标2，文科17）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分BAC ,BD =2DC .

（I ）求 ； （II ）若,求.

∠sin sin B C

∠∠60BAC ∠=o

B ∠

【答案】（I ）；.

8：（16年新课标3，文科9）在ABC V 中，B==A BC BC sin ,3

1,4则边上的高等于π ( D )

(A)3

10

10 5 310

9：（16年新课标2，文科15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，

，a =1，则b =_____21

13_______.

10：（16年新课标1，文科4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =

2

c =，2cos 3

A =，则b=（ D ） （A 2 （

B 3 （

C ）2 （

D ）3

12

30

o

4cos 5

A =

5

cos 13

C =

针对近几年三角函数，解三角形的试题分析，我们可以看出，这一部分知识在高考中的分值为15分或17分，考题就是三个小题共15分，或是一个小题加一个大题共17分。考查学生的基础知识和基本技能，难度一般不大，所以我们在复习的时候，大胆取舍，尽量抓住关键得分点，讲练结合，熟记公式，定义，定理，并会加以应用。