三角函数练习卷
高中数学必修第一册5.2三角函数的概念练习题
，cos sin
．
18. 已知角 的终边在直线
上，则 th
的值为________．
1 . 已知 t 4 ，且 sin 1，则 的值为________．
. h sin
， cos
， tan
是________．
三、解答题（本大题共 2 小题，共 24.0 分）
，则 a，b，c 按从小到大的顺序排列
1. 已知角 的终边经过点 h
sin 4.6 。
因为 sin 4.6 t cos 4.6 ，因而 sin 114.6 t cos 114.6 ，
因此，h t t
21.【答案】解： 1 由三角函数定义可知 sin
，
h8
解得 h 1，
为第一象限角，
则 h 1；
由 1 知 tan
，
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sin cos
cos
cos
sin
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的的基本概念和诱导公式，只需要确定 所对应的角度所在的范围，
然后运用诱导公式确定具体函数值的范围即可求解。
【解答】
解：
114.6 ，即 为第三象限角，所以 h t ， t ， 。
又因为 sin 114.6 sin
4.6
cos 4.6 ，
且 cos 114.6 sin
4.6
A. sin1 tan1 cos1
C. tan1 sin1 cos1
1 . th1 的值等于
A. 1
B. 1
B. sin1 tan1 cos1 D. tan1 cos1 sin1
C.
D.
14. 如果 sin t 且 tan t ，那么角 的终边位于
三角函数练习题及答案
三角函数练习题及答案一、填空题1．设函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()|cos |()g x x f x π=-在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为___________.2．在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________. 3．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，2BC a =，点E 为AD 的中点，将△ABE 沿BE 翻折到△A BE '的位置，在翻折过程中，A '不在平面BCDE 内时，记二面角A DC B '--的平面角为α，则当α最大时，cos α的值为______．4．如图，某城市准备在由ABC 和以C 为直角顶点的等腰直角三角形ACD 区域内修建公园，其中BD 是一条观赏道路，已知1AB =，3BC =，则观赏道路BD 长度的最大值为______．5．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若3FD =，则DE =___________. 6．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos cos 1C B c b a+=，则A 的取值范围是___________.7．已知函数()[)[]243,0,3,92sin ,3,156x x y f x x x π⎧⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭==⎨⎪∈⎪⎩若存在实数a 、b 、c 、d 满足()()()()f a f b f c f d ===（其中a b c d <<<），则()()a b cd +⋅的取值范围是______.8．已知函数()sin 2sin 23f x x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭同时满足下述性质：①若对于任意的()()()123123,0,,4,x x x f x f x f x π⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立；②236f a π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a 的值为_________.9．意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为()e e cos 2x xh x -+=，并称其为双曲余弦函数．若()()cos sin cos cos sin cos h h m θθθθ+≥-对0,2πθ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围为______．10．已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>，若函数()f x 的图象在区间[]0,2π上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是___________. ①()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点； ②()f x 在[]0,2π上有且仅有3个极大值点； ③ω的取值范围是3137,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭；④()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单递增函数.二、单选题11．已知向量a 与b 的夹角为120︒，且2a b ⋅=-，向量c 满足()()101c a b λλλ=+-<<，且a c b c ⋅=⋅，记向量c 在向量a 与b 方向上的投影分别为x ､y .现有两个结论：①若13λ=，则2a b =；②22x y xy ++的最大值为34.则正确的判断是（ ） A ．①成立，②成立 B ．①成立，②不成立 C ．①不成立，②成立 D ．①不成立，②不成立12．已知,a b Z ∈，满足)98sin 50sin 50a b -︒︒=，则a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．413．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34B ．78C ．1D ．5414．在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（ ） AB ．2 C1 D．15．已知三棱锥A BCD -中，4AB BC BD CD AD =====，二面角A BD C --的余弦值为13，点E 在棱AB 上，且3BE AE =，过E 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（ ） A ．103πB ．3πC ．3π D16．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0B ．4C ．12D ．1617．已知函数2log ,0,(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．918．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ） A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]5519．在锐角ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．820．若函数()()11,0sin ,0133,1x x x f x x x x ππ⎧-++≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩，满足()()()()()f a f b f c f d f e ====且a 、b 、c 、d 、e 互不相等，则a b c d e ++++的取值范围是（ ）A ．340,log 9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．390,log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．340,log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．330,log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题21．将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()f x 的图象． （1）写出函数()f x 的解析式；（2）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22()2()()1g x f x mf x m =-+-，求()g x 的最小值min ()g x ．22．如图，一幅壁画的最高点A 处离地面4米，最低点B 处离地面2米.正对壁画的是一条坡度为1:2的甬道（坡度指斜坡与水平面所成角α的正切值），若从离斜坡地面1.5米的C 处观赏它.（1）若C 对墙的投影（即过C 作AB 的垂线垂足为投影）恰在线段AB （包括端点）上，求点C 离墙的水平距离的范围；（2）在（1）的条件下，当点C 离墙的水平距离为多少时，视角θ（ACB ∠）最大？ 23．设函数()f x a b =⋅，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos ,3sin 2)=+b x x m ； 求：（1）函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求实数m 的值，使函数()f x 的值域恰为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.24．已知向量33cos ,sin 22x a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫- ⎪⎝=⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）用含x 的式子表示a b ⋅及a b +； （2）求函数的()f x a b a b =⋅-+值域. 25．在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .26．已知向量a ，b 满足2sin 64a x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 24b x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()()f x a b x R =⋅∈.（1）求()f x 的单调区间；（2）已知数列()2*11224n n a n f n N ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求{}n a 的前2n 项和2n S . 27．已知向量()cos sin ,sin a m x m x x ωωω=-，()cos sin ,2cos b x x n x ωωω=--，设函数()()2n f x a b x R =⋅+∈的图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()1,2ω∈ （I ）若1m =，求函数()f x 的最小值；（II ）若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切实数恒成立，求()y f x =的单调递增区间．28．已知在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A,B,C 的对应边，点D 为BC 边的中点，ABC ∆的面积为23sin AD B. (1)求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值； (2)若6,22BC AB AD ==，求b ．29．函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式；（2）设π(0,)2α∈，则()22f α=，求α的值30．函数f （x ）=A sin （2ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示 （1）求A ，ω，φ的值；（2）求图中a ，b 的值及函数f （x ）的递增区间； （3）若α∈[0，π]，且f （α）=2，求α的值．【参考答案】一、填空题1．7 2．⎛ ⎝⎭341 56．(0,]3π7．()135,2168．0 9．1⎡⎤⎣⎦10．②③二、单选题 11．C 12．B 13．B 14．C 15．B 16．C 17．A 18．B 19．D 20．C 三、解答题21．（1）2()2sin 233f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩ 【解析】(1)根据函数图象的变换规律即可求得()f x 的解析式;(2)令()t f x =可求得则()[1,3f x ∈+,设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈，通过定区间讨论对称轴4mt =的三种情况()M t 的单调性,进而可确定最小值的情况. 【详解】（1）将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，可得2sin 23y x =+得图象，再向右平移3π个单位长度得2()2sin 232sin 2333f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）∵,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，242,333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则()[1,3f x ∈+， 令()t f x =，则设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈+， ①当14m≤，即4m ≤时，函数()M t在[1,3上单调递增， ∴22min ()(1)211M t M m m m m ==-+-=-+；②当134m<<412m <<+ 函数()M t 在1,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,34m ⎛ ⎝上单调递增，∴2min 7()148m M t M m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；③当34m≥+12m ≥+()M t在[1,3+上单调递减，∴2min ()(3(323M t M m m ==-++∴综上有22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩． 【点睛】本题考查三角函数图象的变换,考查二次函数在三角函数中的应用,考查定区间动轴的最值取值情况,难度较难.22．（1）点C 离墙的水平距离的范围为：1~5m m ；（2）当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【解析】 【分析】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，利用平行线成比例定理，结合锐角三角函数正切的定义进行求解即可；（2）利用两角和的正切公式、结合正切的定义，求出tan θ的表达式，利用换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，显然有1tan tan 2FGD α∠==，因此有2(2)tan DFFG x FGD==+∠，由//GE DF ,可得： 1.52(2)22(2)CE CG x y DF GF x x +-=⇒=++，化简得：21y x =+，因为02x ≤≤，所以15y ≤≤，即点C 离墙的水平距离的范围为：1~5m m ；（2）222tan tan 2tan tan()21tan tan 21x xBCF ACF y y yBCF ACF x x BCF ACF y x x y yθ-+∠+∠=∠+∠===--∠⋅∠-+-⋅,因为21y x =+，所以有12y x -=，代入上式化简得： 2222228tan 11522()5622y y y y y x x y y yθ===---+-⋅++-， 因为15y ≤≤，所以有55562564y y y y+-≥⋅=（当且仅当55y y =时取等号，即1y =时，取等号），因此有0tan 2θ<≤，因此当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，考查了基本不等式的应用，考查了平行线成比例定理，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力.23．（1）T π=，,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈；（2）12.【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标运算可得2()2cos 32f x x x m =+，然后将其化为基本型，即可求出周期和单调递增区间 （2）由02x π≤≤，可得()3m f x m ≤≤+，和题目条件对应即可求出m【详解】（1）∵2()2cos 32f x a b x x m =⋅=+1cos22x x m =++2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期T π=， 可知，当222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈时，函数单调递增，解得：36k x k ππππ-≤≤+，故函数的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈.（2）∵02x π≤≤，∴72666x πππ≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴()3m f x m ≤≤+， 又17()22f x ≤≤， 故12m =. 【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，解决这类问题时首先应把函数化成三角函数基本型.24．（1）cos 2x a b ⋅=；2cos a b x +=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）()3,12f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示以及三角恒等变换公式可得a b ⋅，根据a b +=2||a b +可求得结果；（2）利用二倍角的余弦公式化为关于cos x 的二次函数可求得结果. 【详解】（1）因为向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以23||cos 1a =，2||cos 12x b ==， 所以333coscos sin sin cos()cos 2222222x a x x b x x xx -=+==⋅， ()2222212cos 2121cos 24cos a a b b x a b x x =+⋅+=++++==，2cos a b x +=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）()2cos22cos 2cos 2cos 1x x x f x x =-=--，又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]cos 0,1x ∈，()3,12f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了求平面向量的模，考查了二倍角的余弦公式，考查了整体换元化为二次函数求值域，属于基础题. 25．见解析 【解析】选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出AC 的长；选择②：在ABC ∆，ACD ∆中，分别运用正弦定理，可以求接求出AC 的长； 【详解】 解：选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC = 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠482220⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭所以AC == 选择②设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以sin 4AC θ=- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即4sin sin 6AC πθ=所以2sin AC θ=.所以2sin sin 4θθ=- ⎪⎝⎭2sin cos θθ=， 又04πθ<<，所以sin θ=，所以2sin AC θ==【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.26．（1）单调增区间为7,1212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，单调减区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）)22n n +【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算可得()2sin 222sin 23f x a b x x x π⎛⎫=⋅=-=+ ⎪⎝⎭， 再利用三角函数单调区间的求法即可得解；（2）由题意可得()()22222221234212n S n n ⎤=-+-+⋅⋅⋅+--⎦，又()()2221241n n n --=-+，则)2442434n S n n =--⨯-⨯-⋅⋅⋅-+，再利用等差数列求和公式即可得解.【详解】解：（1）向量a ，b 满足2sin 4a x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 4b x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()2sin 222sin 23f x a b x x x π⎛⎫=⋅=-=+ ⎪⎝⎭， 由2222232k x k πππππ-≤+≤+，可得71212k x k ππππ-≤≤-，k Z ∈， 解得()f x 的单调增区间为7,1212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈； 单调减区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（2）因为22112sin 2244n n a n f n n ππππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222221234212n S n n ⎤=-+-+⋅⋅⋅+--⎦， 又()()2221241n n n --=-+，)2442434n S n n --⨯-⨯-⋅⋅⋅-+，所以())2234122n n n S n n --+==+．【点睛】本题考查了三角函数单调区间的求法及数列中捆绑求和，属中档题.27．（Ⅰ）1()22,31234k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】化简()f x 解析式可得()()22n f x x ωϕ=-+；根据图象关于,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭可求得n ；（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+，从而可得函数最小值；（Ⅱ）利用4x π=为对称轴，,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭为对称中心可得()*642T T k k N π=+⋅∈，根据周期和ω的范围可求得ω；将,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式可求得()314f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，将34x π-整体放入正弦函数的单调递增区间中，解出x 的范围即可. 【详解】由题意得：()()22cos sin 2sin cos 2n f x m x x n x x ωωωω=--++()sin 2cos 2222n n n x m x x ωωωϕ=-+=-+ 其中cos ϕ=sin ϕ=图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称 12n ∴=，解得：2n =()()21f x x ωϕ∴=-+（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+()min 1f x ∴=（Ⅱ）()4f x f π⎛⎪≤⎫ ⎝⎭对一切实数恒成立 ()max 4f x f π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭()*412642T T k k N πππ∴-==+⋅∈，即：()()*223212T k N k ππω==∈+ ()3212k ω∴=+，又()1,2ω∈ 32ω∴=()2sin3cos31f x x m x ∴=-+，又图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称2sin cos 111244f m πππ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，解得：2m =()2sin 32cos31314f x x x x π⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭令232242k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，解得：2212343k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：()22,31234k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合应用问题，涉及到根据三角函数的性质求解函数解析式的求解、三角函数最值的求解、单调区间的求解问题.28．（1）13； （2【解析】 【分析】(1)先由ABC ∆的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点，得到ABD ∆的面积；再由三角形的面积公式和正弦定理即可求出结果；(2)根据(1)的结果和6BC AB =，可求出sin BDA ∠和sin BAD ∠；再由余弦定理，即可求出结果. 【详解】(1)由ABC ∆的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点可知:ABD ∆的面积为26sin AD B , 由三角形的面积公式可知:21sin 26sin AD AB BD B B ⋅⋅=, 由正弦定理可得:3sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=, 所以1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=,(2)6BC AB = ,又因为D 为中点，所以BC 2BD 6AB ==,即BD 3AB =, 在ABD ∆中由正弦定理可得sin sin BD ABBAD BDA=∠∠,所以sin 3sin BAD BDA ∠=∠由（1）可知1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=所以1sin ,sin 13BDA BAD ∠=∠=,()0,BAD π∠∈ ∴ ,2BAD π∠=在直角ABD ∆中13AD BDA =∠=,所以1,3AB BD ==.BC 2BD =,BC 6∴=在ABC ∆中用余弦定理，可得22212cos 13621633,3b ac ac B b =+-=+-⨯⨯⨯=∴=【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.29．（1）()2sin(2) 1.6f x x π=-+；（2）3π.【解析】 【详解】（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2， 周期2222πππωω⨯==⇒=，∴f （x ）=2sin （2x-6π）+1（2）π(0,)2α∈，f （2α）=2∴2sin （22α⨯-6π）+1=2,得sin （α-6π）=12，α=3π30．（1）π2,1,6A ωϕ===；（2）7π,112a b =-=，递增区间为()πππ,π36k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）π24或7π24. 【解析】 【分析】（1）利用函数图像可直接得出周期T 和A ，再利用=2Tπω，求出ω，然后利用待定系数法直接得出ϕ的值．（2）通过第一问求得的值可得到()f x 的函数解析式，令()=0f x ，再根据a 的位置确定出a 的值；令0x =得到的函数值即为b 的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间．（3）令()f α=0απ，即可求得α的取值．【详解】解：（1）由图象知A =2，34T =512π-（-3π）=912π， 得T =π， 即22πω=2，得ω=1， 又f （-3π）=2sin[2×（-3π）+φ]=-2， 得sin （-23π+φ）=-1，即-23π+φ=-2π+2k π， 即ω=6π+2k π，k ∈Z ， ∵|φ|＜2π，∴当k =0时，φ=6π，即A =2，ω=1，φ=6π；（2）a =-3π-4T =-3π-4π=-712π，b =f （0）=2sin 6π=2×12=1，∵f （x ）=2sin （2x +6π）， ∴由2k π-2π≤2x +6π≤2k π+2π，k ∈Z ，得k π-3π≤x ≤k π+6π，k ∈Z ，即函数f （x ）的递增区间为[k π-3π，k π+6π]，k ∈Z ；（3）∵f （α）=2sin （2α+6π）即sin （2α+6π） ∵α∈[0，π]，∴2α+6π∈[6π，136π]， ∴2α+6π=4π或34π，∴α=24π或α=724π．【点睛】关于三角函数图像需记住： 两对称轴之间的距离为半个周期； 相邻对称轴心之间的距离为半个周期；相邻对称轴和对称中心之间的距离为14个周期．关于正弦函数单调区间要掌握：当2,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增；当32+,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减．。
三角函数练习题附答案
三角函数练习题附答案一、填空题1．在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________. 2．设函数()sin f x x π=，()21g x x x =-+，有以下四个结论.①函数()()y f x g x =+是周期函数： ②函数()()y f x g x =-的图像是轴对称图形： ③函数()() y f x g x =⋅的图像关于坐标原点对称： ④函数()()f x yg x =存在最大值 其中，所有正确结论的序号是___________.3．法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC 中，角60A =，以,,AB BC AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为123,,O O O ，若三角形123O O O ABC 的周长最小值为___________4．已知四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD 是正方形，AB =120APB ∠=︒，当AD AP ⊥时，球O 的表面积为______.5．在ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，记ABC 的面积为S ，且sin 2sin 4sin b B c C a A +=，则2Sa 的最大值为________.6．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，若函数()f x 的图象在区间[]0,2π上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是___________. ①()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点； ②()f x 在[]0,2π上有且仅有3个极大值点； ③ω的取值范围是3137,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭；④()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单递增函数.7．已知函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0>ω，若()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点，则ω的取值范围是____________.8．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．9．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边PMN ，使得点A ，P 位于直线MN 的两侧，则PN PB ⋅的最小值为______．10．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=->><<的部分图像如图所示，设函数()266g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的值域为___________.二、单选题11．已知函数()()2212sin 2,2212,x a x af x x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥=⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[)0,∞+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．75,2,342⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-1213．已知函数()|sin |(0)f x x ωω=>在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（ ） A ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．8,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦14．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ）A ．若12θθ=，则AC BC =B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ=15．《九章算术》卷五“商功”：今有刍甍，下广3丈，袤4丈；上袤2丈，无广；高1丈.其描述的是下图的一个五面体，底面ABCD 是矩形，4AB =，3BC =，2EF =，//EF 底面ABCD 且EF 到底面ABCD 的距离为1.若DE AE BF CF ===，则该刍甍中点F 到平面EBC 的距离为（ ）A ．15B ．35C 10D 2516．已知函数()()()sin 010f x x ωϕω=+<<，若存在实数1x 、2x ，使得()()122f x f x -=，且12x x π-=，则ω的最大值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．517．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，N 为BC 的中点.当点M 在平面11DCC D 内运动时，有//MN 平面1A BD ，则线段MN 的最小值为（ ） A ．1B 6C 2D 318．已知函数()2sin 1,022sin 1,02x x f x x x ππ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩，()11x g x x -=+，则关于x 的方程()()f x g x =在区间[]8,6-上的所有实根之和为（ ） A ．10-B ．8-C ．6-D ．4-19．已知函数2log ,0,(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．920．已知函数()()sin 302f x x πϕϕ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，现有如下三个结论：①ϕ的最小值为3π； ②当ϕ取得最大值时，将函数()f x 的图像向左平移18π个单位后，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图像，则132g π⎛⎫= ⎪⎝⎭；③函数()f x 在[]0,2π上有6个零点． 则上述结论正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题21．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.22．已知函数()()()()2cos +2cos 02f x x x x πϕϕϕϕ⎛⎫=+++<< ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求当()2f x =时自变量x 的取值集合.23．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值是2，函数()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，且与该对称轴相邻的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知DBC △是锐角三角形，向量,,,2124233B B m f f n f f B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3,sin 5m n C ⊥=，求cos D . 24．已知函数22cos 3sin 2f x xx a 的最小值为0.(1)求a 的值及函数()y f x =图象的对称中心；(2)若关于x 的方程()0f x m -=在区间70,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，求m的取值范围及()123tan 2x x x ++的值. 25．已知函数()sin 2coscos 2sin33f x x x ππ=+.（1）若对任意,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有4f x m π⎛⎫- ⎪⎝⎭成立，求实数m 的取值范围；（2）设函数()1226g x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x 在区间[],3ππ-内的所有零点之和.26．如图，半圆的直径2AB =，O 为圆心，C ，D 为半圆上的点.（Ⅰ）请你为C 点确定位置,使ABC ∆的周长最大，并说明理由； （Ⅱ）已知AD DC =，设ABD θ∠=，当θ为何值时， （ⅰ）四边形ABCD 的周长最大，最大值是多少 （ⅱ）四边形ABCD 的面积最大，最大值是多少?27．已知函数()sin cos cos 63f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求常数a 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）求使()0f x <成立的实数x 的取值集合. 28．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．29．为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m ，圆心角为0120的扇形地上建造市民广场，规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧PQ 上，CD //AB ；上，CD //AB ；OAB ∆区域为文化展区，AB 长为3域，且CD 长不得超过200m.(1)试确定A ，B 的位置，使OAB ∆的周长最大？(2)当OAB ∆的周长最长时，设2DOC θ∠=，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值.30．已知函数()()()2331?0f x cos x sin x cos x ωωωω=>，()12 1()3f x f x ==-，，且12min 2x x π-=.（1）求()f x 的单调递减区间； （2）若()237,,,sin 33235,25f ππβπαβαβ⎛⎫⎛⎫∈-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f α⎛⎫⎪⎝⎭的值.【参考答案】一、填空题1．⎛ ⎝⎭2．②④ 3．64．28π56．②③7．742ω<<或91322ω<≤.8．139．14- 10．9[,4]4-二、单选题 11．D 12．A 13．A 14．C 15．C 16．A 17．B 18．B 19．A 20．C 三、解答题21．（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max f x =，()min 12f x =- 【解析】【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-11()cos 2sin 222f x x x ∴=+()24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 令222242k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）由（1）知n ()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 520,44x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=，即8x π=时，()max f x =当5244x ππ+=，即2x π=时，()min 12f x =- 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．22．（1）π；（2）12x x k ππ⎧=-+⎨⎩或()4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭【解析】 【分析】（1）由辅助角公式可得()f x 2sin 2216x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，再求周期即可；（2）由13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出12πϕ=，再解方程2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭即可.【详解】解：（1）()()()()2cos 2cos f x x x x ϕϕϕ=++++()()2cos21x x ϕϕ=++++2sin 2216x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为2T ππω==.（2）因为13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2sin 221136ππϕ⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭，即()526k k Z πϕπ+=∈， 解得()5212k k Z ππϕ=-∈. 因为02πϕ<<，所以12πϕ=.因为()2f x =，所以2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2236x k πππ+=+或()52236x k k Z πππ+=+∈， 解得12x k ππ=-+或()4x k k Z ππ=+∈.故当()2f x =时，自变量x 的取值集合为12x x k ππ⎧=-+⎨⎩或()4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭.【点睛】本题考查了三角恒等变换，重点考查了解三角方程，属中档题.23．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）根据函数的最值、周期、对称轴待定系数即可求解；（2）由（1）所求，可化简向量坐标，根据向量垂直得到角B ，再利用()cos cosD A B =-+求解. 【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T ， 依题意得71234T ππ-=，∴T π=，∴22πωπ==. ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=，∴2,32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴,6k k Z πϕπ=-+∈.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-. 又∵()f x 的最大值是2，∴2A =，从而()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）∵()(),2sin ,3,2cos ,2cos 2m n m B n B B ⊥==，∴4sin cos 22sin 22m n B B B B B ⋅=⋅+=+4sin 203B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴2,3B k k Z ππ+=∈，∴:,62kB k Z ππ=-+∈， 又∵B 是锐角，∴3B π=.∵3sin 5C =，∴4cos 5C =，∴cos cos()(cos cos sin sin )D B C B C B C =-+=--=.即cosD =. 【点睛】本题考查三角函数解析式的求解，涉及向量垂直的转换，余弦函数的和角公式.属综合基础题.24．(1)1，,2212k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈；(2)[)3,4， 【解析】（1）由题得()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，求出a 的值即得函数()y f x =图象的对称中心；（2）作出函数()y f x =在70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的大致图象，求出123523x x x π++=即得解.【详解】(1)()cos 2212sin 216x x a x a f x π⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭，由已知可得()2110a ⨯-++=，∴1a =，()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令26x k ππ+=可得()y f x =图象的对称中心为,2212k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈. (2)()y f x =在70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示，由图可得[)3,4m ∈，所以123x x π+=，2343x x π+=，所以123523x x x π++=，所以()1235tan 2tan3x x x π++==【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查三角函数图象的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 25．（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）2π【解析】（1）首先根据两角和的正弦公式得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而得到4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的解析式，根据正弦函数的性质求出其值域，从而得到参数的取值范围； （2）首先求出()g x 的解析式，根据正弦函数的对称性即可解答. 【详解】解：（1）因为()sin 2coscos 2sin33f x x x ππ=+()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， 所以sin 2sin 24436f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.又,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,662x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 故1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即min 142f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，12m， 所以实数m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）由（1）得()1313322sin 22sin 26263g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令()0g x =，得3sin x =3sin x =[],3ππ-上有4个零点 这4个零点从小到大不妨设为1x ，2x ，3x ，4x ，则由对称性得1222x x π+=-，34322x x π+=， 从而所有零点和为12342x x x x π+++=. 【点睛】本题考查两角和的正弦公式的应用，三角函数的性质的应用，属于基础题.26．（Ⅰ）点C 是半圆的中点，理由见解析； （Ⅱ）（ⅰ）6πθ=时，最大值5（ⅱ）6πθ=时，最大面积是334【解析】(Ⅰ)设BC a =,AC b =,AB c =,法一:依题意有222+=a b c ,再利用基本不等式求得2a b c +,从而得出结论;法二:由点C 在半圆上,AB 是直径,利用三角函数求出cos a c α=⋅,sin b c α=⋅,再利用三角函数的性质求出结论;(Ⅱ)(ⅰ)利用三角函数值表示四边形ABCD 的周长p ,再求p 的最大值;(ⅱ)利用三角函数值表示出四边形ABCD 的面积s ,再结合基本不等式求s 的最大值. 【详解】(Ⅰ)点C 在半圆中点位置时,ABC ∆周长最大.理由如下: 法一:因为点C 在半圆上,且AB 是圆的直径, 所以2ACB π∠=,即ABC ∆是直角三角形,设BC a =,AC b =,AB c =,显然a ,b ,c 均为正数,则222+=a b c , 因为222a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立,所以()()2222222a b a b ab a b +≥++=+,所以()2222a b a b c +≤+=, 所以ABC ∆的周长为()21222a b c c ++≤+=+,当且仅当a b =时等号成立,即ABC ∆为等腰直角三角形时,周长取得最大值,此时点C 是半圆的中点. 法二:因为点C 在半圆上,且AB 是圆的直径, 所以2ACB π∠=,即ABC ∆是直角三角形,设BC a =,AC b =,AB c =,02ABC παα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭,则cos a c α=⋅,sin b c α=⋅,a b c ++cos sin c c c αα=⋅+⋅+()2cos sin 2αα=++22sin 24πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为02πα<<,所以3444πππα<+<, 所以当42ππα+=,即4πα=时, ABC ∆周长取得最大值222+,此时点C 是半圆的中点.(Ⅱ)(ⅰ)因为AD DC =,所以ABD DBC θ∠=∠=, 所以sin AD DC AB θ==⋅,cos2CB AB θ=⋅, 设四边形ABCD 的周长为p , 则p AD DC CB AB =+++2sin cos22AB AB θθ=++()2214sin 212sin 254sin 2θθθ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝⎭,显然0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以当6πθ=时,p 取得最大值5;(ⅱ)过O 作OE BC ⊥于E ,设四边形ABCD 的面积为s ,四边形AOCD 的面积为1s ,BOC ∆的面积为2s ,则 121122s s s AC OD BC OE =+=⋅+⋅ 11sin 21cos 2sin 222AB AB θθθ=⋅+⋅ sin 2cos2sin 2θθθ=+⋅()sin 21cos2θθ=+, 所以()222sin 21cos2s θθ=+()()221cos 21cos 2θθ=-+()()31cos21cos2θθ=-+()()331cos 21cos 23θθ=-+()()()2231cos 21cos 211cos 232θθθ-++⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦()()()231cos 21cos 211cos 232θθθ-++⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦()()()2231cos 21cos 21cos 21232θθθ⨯-++⎡⎤++⎢⎥≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()431cos 21cos 221cos 2134θθθ-++++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 413273216⎛⎫==⎪⎝⎭; 当且仅当()31cos21cos2θθ-=+,即1cos 22θ=时,等号成立, 显然04πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,所以202πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,所以此时6πθ=,所以当6πθ=时,s =,即四边形ABCD 【点睛】本题考查解三角形的应用问题,考查三角函数与基本不等式的应用,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题.27．（1）1a =-（2）22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（3）422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】（1）化简()f x ，求最大值，即可求解；（2）应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论； （3）运用正弦函数图像，即可求解. 【详解】 解：()sin cos cos sincoscos sinsin cos 6633f x x x x x x a ππππ=-++++11cos cos cos 22x x x x x a =-+++cos x x a =++12cos 2x x a ⎫=++⎪⎪⎝⎭2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）函数()f x 的最大值为21a +=，所以1a =-. （2）由22,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得222,33k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （3）由（1）知()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.因为()0f x <，即2sin 106x π⎛⎫+-< ⎪⎝⎭.所以1sin 62x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以722,666k x k k Z πππππ-+<+<+∈. 所以422,3k x k k Z πππ-+<<∈， 所以使()0f x <成立的x 的取值集合为422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换，化简解析式，考查三角函数的性质以及三角不等式，属于中档题.28．（1）π；（2）()()min max ππ,0,,148x f x x f x =-===.【解析】(1) 函数()f x 解析式去括号后利用二倍角的正弦、余弦公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出w 的值，代入周期公式即可求出最小正周期;(2)根据x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出()f x 的值域，进而求出()f x 的最小值与最大值.. 【详解】（1）()()π2cos sin cos sin2cos21214f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因此，函数()f x 的最小正周期πT =． （2） 因为ππ44x -≤≤ 所以ππ3π2444x -≤+≤,sin 24x π⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即()1f x ⎡⎤∈⎣⎦， 所以当244x ππ+=-，即4x π=-时，()min 0f x =，当242x ππ+=，即8x π=时，()max 1f x =.所以4x π=-时，()min 0f x =，8x π=时，()max 1f x .【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题.29．（1）OA 、OB 都为50m ；（2）8sin 64sin cos S θθθθ=-+；0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；最大值为2625(8m +. 【解析】 【分析】对于（1），设OA m =，OB n =，m ，n (0,200)∈，在△OAB 中，利用余弦定理可得22222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅，整理得222m n mn =++，结合基本不等式即可得出结论；对于（2），当△AOB 的周长最大时，梯形ACBD 为等腰梯形，过O 作OF ⊥CD 交CD 于F ，交AB 于E ，则E 、F 分别为AB ，CD 的中点，利用已知可表示出相关线段；然后利用梯形的面积公式可知，625(83cos 8sin 64sin cos 3)S θθθθ=-+- ，0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()83cos 8sin 64sin cos 3f θθθθθ=-+-，0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S 的最大值． 【详解】解：（1）设OA m =，OB n =，m ，n (0,200)∈，在OAB ∆中，22222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅， 即222(503)m n mn =++.所以22222()3(503)()()()44m n m n mn m n m n +=+-+-=+.所以m n 100+，当且仅当m n 50==时，m n +取得最大值， 此时OAB ∆周长取得最大值.答：当OA 、OB 都为50m 时，OAB ∆的周长最大. （2）当AOB ∆的周长最大时，梯形ABCD 为等腰梯形.如上图所示，过O 作OF CD ⊥交CD 于F ，交AB 于E ，则E 、F 分别为AB 、CD 的中点， 所以DOE θ∠=.由CD 200，得0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.在ODF ∆中，DF 200sin θ=，OF 200cos θ=. 又在AOE ∆中，OE OAcos253π==，故EF 200cos 25θ=-.所以1(503400sin )(200cos 25)2S θθ=-625(38sin )(8cos 1)θθ=-625(838sin 64sin cos 3)θθθθ=-+，0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.令()838sin 64sin cos 3f θθθθθ=-+0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()838cos 64cos 216sin 64cos 26f πθθθθθθ'⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.又16sin 6y πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭及cos 2y θ=在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上均为单调递减函数，故()f θ'在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递减函数.因1()164062f π⎫'=-⨯>⎪⎪⎝⎭，故()0f θ'>在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立， 于是，()f θ在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递增函数.所以当6πθ=时，()f θ有最大值，此时S 有最大值为625(8+.答：当6πθ=时，梯形ABCD 面积有最大值，且最大值为2625(8m +.【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式以及导数的应用，在（2）中得到()8sin 64sin cos f θθθθθ=-+()16sin 64cos 26f πθθθ'⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合函数在公共区间上，减函数+减函数等于减函数，从而确定()f θ'在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递减函数.属于难题.30．(1) 单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2) 15. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出函数()f x 的解析式，然后可求出它的单调递减区间．（2）结合条件求出()424sin ,cos 3525πβαβ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，然后由()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦可得结果．【详解】（1）()2()1f x cos x sin x x ωωω=221sin xcos x x ωωω=+221)1sin x cos x ωω=--221sin x x ωω=-2(2)13sin x πω=+-． ∵1(2)13sin x πω-≤+≤，∴32(2)113sin x πω-≤+-≤，∴()f x 的最大值为1，最小值为3-． 又()()121,3f x f x ==-，且12min 2x x π-=，∴函数()f x 的最小正周期为22ππ⨯=，∴1ω=，∴()2(2)13f x sin x π=+-．由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()f x 的单调递减区间为7[,],1212k k k Z ππππ++∈． （2）由（1）得3212335f sin βππβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴4sin 35πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∵2,33ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴0,33ππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 35πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭．∵()7sin 25αβ+=-且2,,33ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴24,33ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴()24cos 25αβ+==-． ∴()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()2sin cos cos sin 133ππαββαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦7324421255255⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯--⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦15=． 【点睛】（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为(x)Asin(x )f ωϕ=+的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数,A ω对结果的影响．（2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解．。
三角函数练习题及答案
三角函数练习题及答案一、填空题1．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,4ACB AB π∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．3．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE =+，1()2CE CA CD =+的点，若2CD CE c λ⋅=，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是______________4．通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km h （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为O ，半径为km r ），地球上一点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个仰角为θ的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A 的纬度为北纬30，则tan θ________．5．在ABC 中，sin 2sin B C =，2BC =.则CA CB ⋅的取值范围为___________.（结果用区间表示）6．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．7．关于函数())cos sin f x x x x =+①其表达式可写成()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②直线12x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴；③()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；④存在0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()()3f x f x αα+=+恒成立.其中正确的是______（填写正确的番号）.8．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边PMN ，使得点A ，P 位于直线MN 的两侧，则PN PB ⋅的最小值为______．9．已知直线y m =与函数3()sin (0)42f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象相交，若自左至右的三个相．邻交点．．．A ，B ，C 满足2AB BC =，则实数m =______. 10．已知1OB →=，,A C 是以O 为圆心，220BA BC →→⋅=，设平面向量OA →与OB →的夹角为θ(π04θ≤≤)，则平面向量OA →在BC →方向上的投影的取值范围是_____.二、单选题11．已知函数()|sin |(0)f x x ωω=>在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（ ） A ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．8,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ） A ．33⎝ B ．332⎛ ⎝C ．33⎡⎤⎢⎥⎣ D ．332⎡⎢⎣13．已知O 是三角形ABC 的外心，若()22AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin 3B C +=，则实数m 的最大值为（ ）A ．3B ．35C ．75D ．3214．已知函数()()sin f x x ωφ=+π0,02ωφ⎛⎫><< ⎪⎝⎭在π5π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且π3π088f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A 22B ．1C ．1-D ．22-15．已知F 是椭圆2221(1)x y a a+=>的左焦点，A 是该椭圆的右顶点，过点F 的直线l （不与x 轴重合）与该椭圆相交于点M ，N ．记MAN α∠=，设该椭圆的离心率为e ，下列结论正确的是（ ） A ．当01e <<时，2πα<B ．当202e <<时，2πα>C ．当1222e <<时，23πα>D ．当212e <<时，34πα> 16．如图，长方形ABCD 中，152AB =，1AD =，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE 沿DE 折起为A DE '．设ADE α∠=，二面角A DE C '--的大小为β，若π2αβ+=，则四棱锥A BCDE '-体积的最大值为（ ）A ．14B ．23C 151-D 51-17．在ABC 中，若22sin cos 1A B +=，则8cos AB BCBC A AC+的取值范围为（ ）A ．)43,8⎡⎣B ．)43,7⎡⎣C ．()7,8D ．(0,4318．设函数242,0()sin ,60x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-≤<⎩，对于非负实数t ，函数()y f x t =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ．若1234x x x x <<<，则1234x x x x ++的取值范围中的整数个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．319．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(21,)+∞B ．(12,)+∞C ．(1,12)D ．(31,)+∞20．在锐角ABC 中，若cos cos sin sin 3sin A C B C a c A+=3cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ） A ．(6,23⎤⎦B ．(0,43C ．(23,43D ．(6,43三、解答题21．若函数()y f x =的图像上存在两个不同的点关于y 轴对称，则称函数()y f x =图像上存在一对“偶点”．（1）写出函数()sin f x x =图像上一对“偶点”的坐标；（不需写出过程） （2）证明：函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”；（3）若函数()2()x h x e mx m =--∈R 图像上有且只有一对“偶点”，求m 的取值范围．22．已知函数()()()()2cos +2cos 02f x x x x πϕϕϕϕ⎛⎫=+++<< ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求当()2f x =时自变量x 的取值集合.23．已知函数2()2sin cos ()f x x x x a a R =-++∈，且(0)f = （1）求a 的值；（2）若()f x ω在[0,]π上有且只有一个零点，0>ω，求ω的取值范围.24．已知(3cos ,sin ),(sin ,0),0a x x b x ωωωω==>，设()(),f x a b b k k R =+⋅+∈. （1）若()f x 图象中相邻两条对称轴间的距离不小于2π，求ω的取值范围； （2）若()f x 的最小正周期为π，且当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值是12，求()f x 的解析式，并说明如何由sin y x =的图象变换得到()y f x =的图象.25．已知函数()2sin 2cos 3f x x a x =+-.（1）当1a =时，求该函数的最大值；（2）是否存在实数a ，使得该函数在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1？若存在，求出对应a的值；若不存在，试说明理由. 26．已知函数()sin 2coscos 2sin33f x x x ππ=+.（1）若对任意,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有4f x m π⎛⎫- ⎪⎝⎭成立，求实数m 的取值范围；（2）设函数()1226g x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x 在区间[],3ππ-内的所有零点之和.27．已知函数 2()sin 2cos 1f x x m x =--- [0,]2x π∈()1若()f x 的最小值为 - 3，求m 的值；()2当2m =时，若对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立，求实数a 的取值范围.28．已知函数())2sin cos 0f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象.（1）求ω的值及函数()g x 的解析式； （2）求()g x 的单调递增区间及对称中心29．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象如图所示：（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴的方程；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()23f x a =-有两个不等的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并求此时12x x +的值.30．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x π⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值.【参考答案】一、填空题1．3(21)22．22⎝ 3．12(,)369- 4．2rr h-+ 5．8,83⎛⎫ ⎪⎝⎭6．137．②③8．14-9．1或2##2或110．⎡⎢⎣⎦二、单选题 11．A 12．A 13．D 14．D 15．A 16．A 17．A 18．B 19．B 20．D 三、解答题21．（1）()(),0,0ππ-（2）见解析（3）()1,+∞ 【解析】（1）根据题意即正弦函数的性质即可直接求解；（2）要证：函数数()2x h x e mx =--图象上有且只有一对“偶点”，只需证：())()()y Q x g x g x ==--=在(0,2)上有且只有一个零点，结合导数及函数的性质即可证明；（3）由题意，问题可转化为函数()()y h x h x =--只有一个零点，结合函数的性质及导数可求． 【详解】（1）函数()sin f x x =图像上一对“偶点”的坐标为()(),0,0ππ-， （2）设()()()()()ln 2ln 22Q x g x g x x x x =--=+--+-， 因为()y Q x =的定义域为()2,2-，且()()Q x Q x -=-， 所以函数()y Q x =为奇函数，要证：函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”， 只需证：()y Q x =在()0,2上有且只有一个零点， 令()()222204x Q x x -'==-，得x =所以，函数()Q x 在(上为单调减函数，在)2上为单调增函数，(ln 30Q=+-<，4441122ln 40Q e e e ⎛⎫⎛⎫-=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()Q x 在41e ⎫-⎪⎭上有且只有一个零点，所以函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”，（3）设()()()2x xF x h x h x e e mx -=--=--，()00F =，因为()y F x =的定义域为R ，且()()F x F x -=-， 所以函数()y F x =为奇函数，因为函数()2()x h x e mx m =--∈R 图像上有且只有一对“偶点”， 所以函数()y F x =在()0,∞+有且只有一个零点， ()12x xF x e m e '=+-，()0,x ∈+∞， ①当1m 时，因为()220F x m '>-≥，所以函数()y F x =在()0,∞+上为单调增函数，所以()()00F x F >=， 所以函数()F x 在()0,∞+无零点，②当1m 时，由()212120x x xx xe me F x e m e e -+'=+-==，得：(0ln x m =，所以函数()y F x =在()00,x 上单调减函数，在()0,x +∞上单调增函数， 所以()()000F x F <=， 设()ln H x x x =-，()1xH x x-'=， 所以函数()H x 在()0,1上单调增函数，在()1,+∞上单调减函数， 所以()()110H x H ≤=-<，所以ln x x <，所以(ln ln 22m m m +<<，设()()211x m x e x x =-->，设()()2xM x m x e x '==-， 因为()220xM x e e '=->->，所以函数()M x 在()1,+∞单调增函数，所以()()120M x M e >=->，所以函数()m x 在()1,+∞单调增函数， 所以()()120m x m e >=->，所以当1x >时，21x e x >+， ()22222124140m m m F m e m e m e=-->-->， 因为函数()y F x =在()0,x +∞上单调增函数，所以函数()F x 在()0,2x m 上有且仅有一个1x ，使得()10F x =， 综上：m 的取值范围为()1,+∞. 【点睛】本题中综合考查了函数的性质及导数的综合应用，体现了分类讨论思想的应用，试题具有一定的综合性．22．（1）π；（2）12x x k ππ⎧=-+⎨⎩或()4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭【解析】 【分析】（1）由辅助角公式可得()f x 2sin 2216x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，再求周期即可；（2）由13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出12πϕ=，再解方程2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭即可.【详解】解：（1）()()()()2cos 2cos f x x x x ϕϕϕ=++++()()2cos21x x ϕϕ=++++2sin 2216x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为2T ππω==.（2）因为13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2sin 221136ππϕ⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭，即()526k k Z πϕπ+=∈， 解得()5212k k Z ππϕ=-∈. 因为02πϕ<<，所以12πϕ=.因为()2f x =，所以2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2236x k πππ+=+或()52236x k k Z πππ+=+∈， 解得12x k ππ=-+或()4x k k Z ππ=+∈.故当()2f x =时，自变量x 的取值集合为12x x k ππ⎧=-+⎨⎩或()4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭.【点睛】本题考查了三角恒等变换，重点考查了解三角方程，属中档题.23．（1）a =（2）15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）利用降次公式、辅助角公式化简()f x 表达式，利用(0)f =a 的值.（2）令()0f x ω=，结合x 的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得ω的取值范围. 【详解】（1）2()2sin cos f x x x x a =-++sin 2x x a =+2sin 23x a π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭(0)f =(0)2sin3f a π∴=+=即a =（2）令()0f x ω=，则sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,]x π∈，2,2333πππωπω⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，()f x 在[0,]π上有且只有一个零点，223πππωπ∴+<，1536ω∴<， ω∴的取值范围为15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.24．（1）01ω<≤；（2）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;平移变换过程见解析.【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算,表示出()f x 的解析式,结合辅助角公式化简三角函数式.结合相邻两条对称轴间的距离不小于2π及周期公式,即可求得ω的取值范围; （2）根据最小正周期,求得ω的值.代入解析式,结合正弦函数的图象、性质与()f x 的最大值是12,即可求得()f x 的解析式.再根据三角函数图象平移变换,即可描述变换过程.【详解】∵(3cos ,sin ),(sin ,0)a x x b x ωωω== ∴(3cos sin ,sin )a b x x x ωωω+=+∴2()()3sin cos sin f x a b b k x x x k ωωω=+⋅+=++1cos21122cos2222x x k x x k ωωωω-=++=-++ 1sin 262x k πω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（1）由题意可知222T ππω=≥, ∴1ω≤ 又0>ω, ∴01ω<≤ （2）∵T πω=, ∴1ω=∴1()sin 262f x x k π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴当266x ππ-=即6x π=时max 11()sin 16622f x f k k ππ⎛⎫==++=+= ⎪⎝⎭∴12k =-∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将sin y x =图象上所有点向右平移6π个单位,得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（或将sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 2y x =的图象；再将得到的图象上所有点向右平移12π个单位,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象） 【点睛】本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,根据最值求三角函数解析式,三角函数图象平移变换过程,属于中档题.25．（1）1-；（2）存在，且2a =. 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，得出()()2cos 11f x x =---，由1cos 1x -≤≤结合二次函数的基本性质可得出该函数的最大值；（2）换元[]cos 0,1t x =∈，将问题转化为二次函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上的最大值为1，然后分0a ≤、01a <<和1a ≥三种情况讨论，利用二次函数的基本性质求出函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上最大值，进而求得实数a 的值.【详解】（1）当1a =时，()()22sin 2cos 3cos 11f x x x x =+-=---，1cos 1x -≤≤，当cos 1x =时，该函数取得最大值，即()max 1f x =-；（2）()22sin 2cos 3cos 2cos 2x a x x a x f x =+-=-+-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设[]cos 0,1t x =∈，设()222t at g t -+-=，[]0,1t ∈，二次函数()y g t =的图象开口向下，对称轴为直线t a =.当0a ≤时，函数()y g t =在[]0,1上单调递减，所以0=t 时，()()max 021g t g ==-≠，0a ∴≤不符合题意；当1a ≥时，函数()y g t =在[]0,1上单调递增，所以1t =时，()()max 1231g t g a ==-=，2a ∴=满足1a ≥；当01a <<时，函数()y g t =在[]0,a 上单调递增，在(],1a 上单调递减， ∴当t a =时，()()2max 21g t g a a ==-=，a ∴=01a <<.综上，存在2a =符合题意. 【点睛】本题考查二次型余弦函数的最值，将问题转化为二次函数的最值来求解是解题的关键，第二问要对二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的单调性求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 26．（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）2π【解析】（1）首先根据两角和的正弦公式得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而得到4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的解析式，根据正弦函数的性质求出其值域，从而得到参数的取值范围； （2）首先求出()g x 的解析式，根据正弦函数的对称性即可解答. 【详解】解：（1）因为()sin 2coscos 2sin33f x x x ππ=+()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， 所以sin 2sin 24436f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.又,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,662x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 故1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即min 142f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，12m， 所以实数m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）由（1）得()1122sin 22sin 26263g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令()0g x =，得sin x =sin x =[],3ππ-上有4个零点 这4个零点从小到大不妨设为1x ，2x ，3x ，4x ，则由对称性得1222x x π+=-，34322x x π+=， 从而所有零点和为12342x x x x π+++=. 【点睛】本题考查两角和的正弦公式的应用，三角函数的性质的应用，属于基础题. 27．（1）1m =；（2）13[,)8a ∈+∞【解析】 【分析】(1)将函数化为2()cos 2cos 2f x x m x =--，设cos [0,1]t x =∈，将函数转化为二次函数，利用二次函数在给定的闭区间上的最值问题的解法求解.(2) 对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立, 等价于12max1()()24f x f x a -≤-,然后求出函数()f x 的最值即可解决.【详解】（1）2()cos 2cos 2f x x m x =--，[0,]2x π∈令 cos [0,1]t x =∈， 设222()22()2g t t mt t m m =--=---， ①0m <，则min g(0)2()3g t ==-≠-，②01m ≤≤，则2min )3(2t m g =--=-，∴1m =± ∴1m =③1m ，则min g(1)21()3g m t ==--=-，∴1m =.（舍） 综上所述：1m =.（2）对任意12,[0,]2x x π∈都有()()12124f x f x a -≤-恒成立，等价于12max1()()24f x f x a -≤-，2m =，∴2g()(2)6t t =--，[0,1]t ∈max ()g(0)2f x ==-，min ()g(1)5f x ==-12max ()(25)()3f x f x =---=- ∴ 1234a -≥，∴ 138a ≥， 综上所述：13[,)8a ∈+∞.本题考查三角函数中的二次“型”的最值问题，和双参恒成立问题，属于中档题.28．（1）1ω=，()2sin()23x g x π=+；（2）单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【解析】 【分析】（1）整理()f x 可得：()sin(2)3f x x πω=+，利用其最小正周期为π即可求得：1ω=，即可求得：()sin(2)3f x x π=+，再利用函数图象平移规律可得：()2sin()23x g x π=+，问题得解. （2）令222232x k k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解不等式即可求得()g x 的单调递增区间；令23x k ππ+=，k Z ∈，解方程即可求得()g x 的对称中心的横坐标，问题得解. 【详解】解：（1）1()2sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=+=+， 由22ππω=,得1ω=. 所以()sin(2)3f x x π=+.于是()y g x =图象对应的解析式为()2sin()23x g x π=+.（2）由222232x k k πππππ-≤+≤+,k Z ∈得 54433k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()g x 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 由23x k ππ+=，解得22()3x k k ππ=-∈Z . 所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【点睛】本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题．29．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()62k x k Z ππ=+∈；（2）522a ≤<，3π.【解析】（1）根据图像得A=2,利用412562T πππω=-=，求ω值，再利用6x π=时取到最大值可求φ，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，方程f （x ）＝2a ﹣3有两个不等实根转为f （x ）的图象与直线y ＝2a ﹣3有两个不同的交点，从而可求得a 的取值范围，利用图像的性质可得12x x +的值. 【详解】（1）由图知，2,A =4156242=T ππππω=-=,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ), 当6x π=时，函数取得最大值，可得2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈ ，又(0,)2πϕ∈所以6π=ϕ， 故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令262x k πππ+=+则()62k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴方程为()62k x k Z ππ=+∈； （2）70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以方程()23f x a =-有两个不等实根时，()y f x =的图象与直线23y a =-有两个不同的交点，可得1232,a ≤-<522a ∴≤<, 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x =，有122266x x πππ+++=，故123x x π+=.【点睛】本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题． 30．(1) 2T π=；(2)2a =-或6a = 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式进行整理化简可得()2sin f x x =，从而可得最小正周期；（2）将()g x通过换元的方式变为21112y t at a =-+--，1t ≤；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得a 的值. 【详解】（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--= ∴最小正周期2T π=（2）()1sin2sin cos 12g x a x a x x a =+---令sin cos x x t -=，则()22sin 21sin cos 1x x x t =--=-22221111122242a a y t at a t at a t a ⎛⎫∴=-+--=-+-=--+- ⎪⎝⎭sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤1t ≤①当2a<a <-当t =max 122y a ⎫=--⎪⎭由1222a ⎫--=⎪⎭，解得()817a ==->-)②当12a≤，即2a -≤时 当2a t =时，2max 142a y a =- 由21242a a -=得2280a a --=，解得2a =-或4a =（舍去） ③当12a>，即2a >时 当1t =时，max 12a y =-，由122a-=，解得6a = 综上，2a =-或6a = 【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围.。
三角函数最新模拟练习题(含解析)
三角函数最新模拟练习题一、选择题1．(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin2x 在[0,2π]的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．(2019·吉林市第一次调研测试)将函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－1的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为( )A.13B.23C.76D.563．(2019·广东茂名综合测试)函数f (x )＝sin2x ＋sin x 在[－π，π]的图象大致是( )4．(2019·天河区一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.325．(2019·平顶山质量检测)已知函数f (x )＝23cos 2x ＋sin2x －a 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上有最大值2，则a＝( )A ．23－2 B.3－2 C. 3 D.3－16．(2019·四川省绵阳市一诊)已知点A ，B ，C 在函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象上，如图，若AB ⊥BC ，则ω＝( )A ．1B ．π C.12 D.π27．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α＝( ) A.15 B.55 C.33 D.2558．(2019·黄冈二模)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称C ．关于直线x ＝π12对称D ．关于直线x ＝π3对称9．(2019·拉萨中学月考)若sin(π－α)＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin2α－cos 2α2的值等于( )A.425B.254C.2516D.162510．(2019·潍坊期末)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－33，则cos2α＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.2311．(2019·厦门质检)已知锐角α满足cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝( )A.1225 B ．±1225 C.2425 D ．±242512．(2019·曲靖一中质量监测)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 具有的性质是( )A ．最大值为3，图象关于直线x ＝π6对称 B ．最大值为1，图象关于直线x ＝π6对称C ．最大值为3，图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称D ．最大值为1，图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称二、填空题13．(2019·广西百色调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若f (4)＝－f (6)＝－1，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则f (2019)＝________.14．(2019·江苏高考)已知tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，则sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值是________． 15．(2019·山西二模)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的值域为________．16．(2019·上海二模)已知函数f (x )＝sin[2(x ＋φ)](φ>0)是偶函数，则φ的最小值是________． 三、解答题17．(本小题满分10分)(2019·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．18．(本小题满分12分)(2019·宜宾二诊)设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，且图象上最高点与相邻最低点的距离为π24＋12.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π12＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．19．(本小题满分12分)(2019·北京四中调研)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，11π12.将y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．20．(本小题满分12分)(2019·重庆模拟)已知函数f (x )＝43sin x cos x ＋sin 2x －3cos 2x ＋1.(1)求函数f (x )的对称中心及最小正周期；(2)△ABC 的外接圆直径为33，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝23a ，且a cos B＋b sin B ＝c ，求sin B 的值．21．(本小题满分12分)(2019·福建惠安惠南中学月考)已知cos α－sin α＝5213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.(1)求sin αcos α的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值．22．(本小题满分12分)(2019·常州二模)如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，其中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，2是图象的一个最高点，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是图象与x 轴的一个交点，且与点P 相邻．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的14(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间．三角函数最新模拟练习题答案解析一、选择题1．(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin2x 在[0,2π]的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 令f (x )＝0，得2sin x －sin2x ＝0，即2sin x －2sin x cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1.又x ∈[0,2π]，∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π.故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个．故选B.2．(2019·吉林市第一次调研测试)将函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－1的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为( )A.13B.23C.76D.56 答案 D解析 将函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的图象；再把所得函数的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －πφ＋π3的图象．最后得到图象对应的函数为奇函数，则－πφ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z .故当k ＝－1时，φ取得最小值为56.故选D.3．(2019·广东茂名综合测试)函数f (x )＝sin2x ＋sin x 在[－π，π]的图象大致是( )答案 A解析 显然f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除D ；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，sin2x ＞0，sin x＞0，即f (x )＞0，∴排除B 和C.故选A.4．(2019·天河区一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.32 答案 D解析 由图象可得A ＝1，2π2ω＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，解得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π，∴φ＝k π－2π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝1，∴f (x )的图象过⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，∴x 1＋x 2＝π12×2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.5．(2019·平顶山质量检测)已知函数f (x )＝23cos 2x ＋sin2x －a 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上有最大值2，则a＝( )A ．23－2 B.3－2 C. 3 D.3－1 答案 C解析 f (x )＝23×1＋cos2x 2＋sin2x －a ＝3cos2x ＋sin2x ＋3－a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3－a ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，则当2x ＋π3＝π2时，即x ＝π12时，f (x )有最大值2＋3－a ，由23－a ＝2，解得a ＝ 3.故选C.6．(2019·四川省绵阳市一诊)已知点A ，B ，C 在函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象上，如图，若AB ⊥BC ，则ω＝( )A ．1B ．π C.12 D.π2 答案 D解析 在Rt △ABC 中，设AO ＝x ，则AC ＝4x ，由射影定理可得AB 2＝AO ·AC ，即AO 2＋OB 2＝AO ·AC ，可得x 2＋(3)2＝x ·4x ，解得x ＝1或－1(舍去)，可得AC ＝4，由函数图象可得T ＝4＝2πω，解得ω＝π2.故选D.7．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α＝( ) A.15 B.55 C.33 D.255 答案 B解析 由2sin2α＝cos2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos 2α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2sin α＝cos α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝15.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝55.故选B.8．(2019·黄冈二模)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 C ．关于直线x ＝π12对称 D ．关于直线x ＝π3对称 答案 C解析 ∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝1≠0，故A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3≠0，故B 错误；又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝1，故C 正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3≠±1，故D 错误．故选C.9．(2019·拉萨中学月考)若sin(π－α)＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin2α－cos 2α2的值等于( )A.425B.254C.2516D.1625 答案 A解析 由sin(π－α)＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝45，cos α＝35，则sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝2425－45＝425.故选A.10．(2019·潍坊期末)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－33，则cos2α＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.23 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝－33，得到sin α＝33，所以cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×13＝13.故选C.11．(2019·厦门质检)已知锐角α满足cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝( )A.1225 B ．±1225 C.2425 D ．±2425 答案 C解析 ∵锐角α满足cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，∴α＋π6也是锐角，由三角函数的基本关系式可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425.故选C. 12．(2019·曲靖一中质量监测)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 具有的性质是( )A ．最大值为3，图象关于直线x ＝π6对称 B ．最大值为1，图象关于直线x ＝π6对称 C ．最大值为3，图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称D ．最大值为1，图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称答案 C解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－sin x ＋32cos x －12sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴函数的最大值3，排除B ，D ；令π6－x ＝0，求得x ＝π6，所以函数图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．故选C.二、填空题13．(2019·广西百色调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若f (4)＝－f (6)＝－1，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则f (2019)＝________.答案 －1解析 由f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，f (4)＝－f (6)＝－1，得周期T ＝2×(6－4)＝4，所以ω＝2π4＝π2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，又|φ|<π2，所以φ＝－π4，又f (4)＝－1，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4＝－1，解得A ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π4，所以f (2019)＝f (504×4＋3)＝f (3)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1.14．(2019·江苏高考)已知tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，则sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值是________． 答案 210解析 解法一：由tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α(1－tan α)tan α＋1＝－23，解得tan α＝2或－13.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin2α＋cos2α) ＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1)＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22 ＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22 ＝2·tan α＋1tan 2α＋1－22，将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210.解法二：∵tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，∴sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.①又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝22，②由①②，解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25，cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210.15．(2019·山西二模)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －2π3－12.可求得值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0. 16．(2019·上海二模)已知函数f (x )＝sin[2(x ＋φ)](φ>0)是偶函数，则φ的最小值是________．答案 π4解析 正余弦函数在对称轴处取得最值，由题意得，f (0)＝sin2φ＝±1，即2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π2＋π4(k ∈Z )，又φ>0，∴φ的最小值是π4. 三、解答题17．(本小题满分10分)(2019·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．解 (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数， 所以对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)， 即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ， 故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0. 又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2. (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos2x －32sin2x＝1－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因此，所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.18．(本小题满分12分)(2019·宜宾二诊)设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，且图象上最高点与相邻最低点的距离为π24＋12.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π12＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解 (1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为π24＋12，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π|ω|2＋12＝12＋π24，∴ω＝2.∵函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，∴2×π12＋φ＝k π，k ∈Z .∵－π2<φ<π2，∴φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π12－π6 ＝3sin α＝34， ∴sin α＝14，∵0<α<π2，∴cos α＝154， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(cos α－sin α)＝22×15－14＝30－28.19．(本小题满分12分)(2019·北京四中调研)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，11π12.将y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．解 (1)由题意知，T 2＝11π12－5π12＝π2，所以T ＝π， ω＝2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝1，所以φ＝－π3， f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，则g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.(2)g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数，在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4上为减函数，所以g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1，g (x )min＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－12，故函数g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12.20．(本小题满分12分)(2019·重庆模拟)已知函数f (x )＝43sin x cos x ＋sin 2x －3cos 2x ＋1.(1)求函数f (x )的对称中心及最小正周期；(2)△ABC 的外接圆直径为33，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝23a ，且a cos B＋b sin B ＝c ，求sin B 的值．解 (1)f (x )＝43sin x cos x ＋sin 2x －3cos 2x ＋1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋k π2，0(k ∈Z )，最小正周期为π.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2＝23a ，∴a ＝3.∵a sin A ＝2R,2R ＝33，∴sin A ＝33，∵a cos B ＋b sin B ＝c ，∴sin A cos B ＋sin 2B ＝sin C ， 又∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A cos B ＋sin 2B ＝sin(A ＋B )，即sin A cos B ＋sin 2B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin 2B ＝cos A sin B ，∵B ∈(0，π)，∴sin B ≠0.∴sin B ＝cos A ， ∵sin B >0，∴cos A >0，∴cos A ＝63. ∴sin B ＝63.21．(本小题满分12分)(2019·福建惠安惠南中学月考)已知cos α－sin α＝5213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.(1)求sin αcos α的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值．解 (1)∵cos α－sin α＝5213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，平方可得1－2sin αcos α＝50169，∴sin αcos α＝119338. (2)sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)2 ＝1＋2sin αcos α＝12213，∴原式＝cos2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)22(cos α－sin α)＝2(cos α＋sin α)＝2413.22．(本小题满分12分)(2019·常州二模)如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，其中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，2是图象的一个最高点，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是图象与x 轴的一个交点，且与点P 相邻．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的14(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间．解 (1)由函数f (x )的图象可知A ＝2， 最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－π3＝4π，∴ω＝2πT ＝12，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，2是函数图象的一个最高点，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4π3＋φ＝2，∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )． ∵|φ|<π，∴φ＝－π6， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.(2)由(1)得，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的14(纵坐标不变)，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．由题意，得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．。
三角函数测试题及答案
三角函数测试题及答案一、选择题1. 已知角A的正弦值为\( \sin A = \frac{1}{2} \)，则角A的余弦值\( \cos A \)是：A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)C. \( -\frac{1}{2} \)D. \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)2. 函数\( y = \sin x + \cos x \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \pi/2 \)D. \( 4\pi \)3. 已知\( \cos x = \frac{1}{3} \)，且\( x \)在第一象限，求\( \sin x \)的值：A. \( \frac{2\sqrt{2}}{3} \)B. \( \frac{2\sqrt{5}}{3} \)C. \( \frac{4\sqrt{2}}{9} \)D. \( \frac{4\sqrt{5}}{9} \)二、填空题4. 根据正弦定理，如果三角形ABC的边a和角A相对，且\( a = 5 \)，\( \sin A = \frac{3}{5} \)，则边b的长度为______（假设\( \sin B = \frac{4}{5} \)）。
5. 已知\( \tan x = -1 \)，求\( \sin 2x \)的值。
三、解答题6. 求以下列三角方程的解：\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)7. 证明：\( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \)。
四、应用题8. 在直角三角形ABC中，角C为直角，已知AB = 10，AC = 6，求BC 的长度。
答案：一、选择题1. C2. B3. B二、填空题4. 45. 1 或 -1三、解答题6. 该方程对所有\( x \)都成立，因为它是三角恒等式。
(完整版)九年级数学下学期三角函数练习题
九年级数学下学期三角函数测试卷班级： 姓名： 座号： 成绩：一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC = 1，AB = 4 ， 则sinA 的值是 A ．1515 B ．41 C ．31 D ．4152．当锐角α>30°时，则cosα的值是 A ．大于12 B ．小于12C 3D 33．如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，现在从AC 上取一点B ，使得∠ABD ＝145°，BD ＝500米，∠D ＝55°，要使A 、C 、E 在一条直线上，那么开挖点E 离点D 的距离是A ．500sin55°米B ．500cos55°米C ．500tan55°米；D ．o55tan 500米4. 如图1，在Rt △ABC 中，ACB ∠90=o，CD ⊥AB 于D ，若3BC =，4AC =，则tan BCD ∠的值为 （ ）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．455. 在△ABC 中，90C ∠=o，2B A ∠=∠，则cos A 等于（）Ａ．32Ｂ．123Ｄ．336. 如图2所示，旗杆AB 在C 处测得旗杆顶的仰角为30o， 向旗杆前进12m 到达D ，在D 处测得A 仰角为45o， 则旗杆的高AB 等于（ ）m ． Ａ．12 Ｂ．14Ｃ．16Ｄ．187. 在△ABC 中，90C ∠=o，12sin 13A =，周长为45，CD 是斜边AB 上的高，则CD 的长是（ ） Ａ．5613Ｂ．12613Ｃ．7613Ｄ．17128.△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2|tan 32sin 30B A +=（），则△ABC 是（ ）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形ＡＣＤＢ图1ＡＣＤＢ图2CE二、填空题：（每小题3分，共30分）1. 如图3，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD AB ∥．则α∠的余弦值为 2．已知：∠α是锐角，︒=36cos sin α，则α的度数是 。
三角函数练习题(含答案)
三角函数练习题及答案（一）选择题1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定12、在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，sinA=45，则AC=（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若∠A 是锐角，且sinA=13，则（ ）A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=13，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ） A 、47B 、 13C 、 12D 、0 5、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ）A 、1：1：2B 、1：1：√2C 、1：1：√3D 、1：1：√226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）A ．sinB= 23B ．cosB= 23C ．tanB= 23D ．tanB=32 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（32，12） B ．（-32，12） C ．（-32，-12） D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C地，此时王英同学离A 地 （ ）（A ）350m （B ）100 m （C ）150m （D ）3100m11、如图1，在高楼前D点测得楼顶的仰角为300，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为450，则该高楼的高度大约为（）A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）．（A）30海里（B）40海里（C）50海里（D）60海里（二）填空题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．2．在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________．3．在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是______．4．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=624+)5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为___________结果保留根号）．7．求值：sin260°+cos260°=___________．8．在直角三角形ABC中，∠A=090，BC=13，AB=12，那么tan B=___________．9．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）10．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为___________米（结果用含α的三角比表示）．11．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（保留两个有效数字，2≈1.41，3≈1.73）三、简答题：1，计算：sin cos cot tan tan 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；2计算：22459044211(cos sin )()()︒-︒+-︒+--π分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。
高中数学三角函数专项练习题(含答案)
高中数学三角函数专项练习题(含答案)一、填空题1．在ABC中，AB =BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．2．在ABC中，AB =BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．3．已知函数23tan ,,,2332()2,33x x f x x ππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 4．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为(,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值,,r r xx y y分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①3cot14π=； ②sin csc 1αα⋅=；③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈； ④22sec csc 4αα+；⑤2cot 1cot22cot ααα-=.5．若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.6．在直角平面坐标系xOy 中，12,F F 分别是双曲线()22210yx b b-=>的左、右焦点，过点1F 作圆221x y +=的切线，与双曲线左、右两支分别交于点,A B ，若2||||F B AB =，则b 的值是_________．7．关于函数())cos sin f x x x x =+①其表达式可写成()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②直线12x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴；③()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；④存在0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()()3f x f x αα+=+恒成立.其中正确的是______（填写正确的番号）. 8．若向量x y ，满足2212x y +=，则21||2x x y ++的最大值是___________. 9．函数ππ5sin (1510)55y x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象与函数25(1)22x y x x +=++图象的所有交点的横坐标之和为___________.10．已知1OB →=，,A C 是以O 为圆心，0BA BC →→⋅=，设平面向量OA →与OB →的夹角为θ(π04θ≤≤)，则平面向量OA →在BC →方向上的投影的取值范围是_____.二、单选题11．把函数()sin y x x =∈R 的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈RB ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈RC ．2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R D ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R12．已知双曲线2221(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点.若11||::3:3:2AB AF BF =，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．113D ．1113．已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >14．已知函数()sin 22cos f x x x =-，下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 是周期函数 B ．6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 的增区间为()72,266k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZD ．函数()f x 15．已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点M 在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．13B ．12C D 16．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)⎡+∞⎣17．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0B ．4C ．12D ．1618．设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值是（ ）A．1B C ．1D ．219．已知函数()2sin cos f x x x x =，给出下列结论：①()f x 的图象关于直线π12x =对称；②()f x 的值域为[]22-,；③()f x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④0是()f x 的极大值点．其中正确的结论有（ ） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①②④20．设函数()xf x mπ，函数()f x 的对称轴为0x x =，若存在0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围为（ ）A ．(,6)(6,)-∞-+∞B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞三、解答题21．已知函数()cos f x x =.（1）若,αβ为锐角，()f αβ+= 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；（3）已知3()()()=2f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值.22．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．（1）当4PAQ π∠=时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．23．已知函数()cos f x x x =，()sin g x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求证:()()f x g x ≤；（2）若()ax g x bx <<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.24．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值是2，函数()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，且与该对称轴相邻的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知DBC △是锐角三角形，向量,,,2124233B B m f f n f f B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3,sin 5m n C ⊥=，求cos D . 25．已知函数 2()sin 2cos 1f x x m x =--- [0,]2x π∈()1若()f x 的最小值为 - 3，求m 的值；()2当2m =时，若对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知函数()223sin 2cos 2f x x x x =++. (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间;(2)求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.27．已知函数()f x a b =⋅，其中()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，x ∈R .（1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.28．已知函数()()233cos sin cos 02f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象.（1）求ω的值及函数()g x 的解析式； （2）求()g x 的单调递增区间及对称中心29．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域 （2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值30．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值【参考答案】一、填空题1．①③ 2．①③3．47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 4．②④⑤5．[6．11 7．②③8 9．-710．⎡⎢⎣⎦二、单选题 11．D 12．A 13．A 14．B 15．C 16．C 17．C 18．D 19．B 20．C 三、解答题21．（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3παβ== 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得1a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则可得265a ≤-，从而求得a 的最大值； （3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.【详解】 解：（1）4tan 3α=，且α为锐角， 4sin 5α∴=，3cos 5α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==--则227cos 2cos sin 25ααα=-=-，又()cos()f αβαβ+=+=,αβ为锐角，sin()αβ∴+=，tan()2αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-242()tan()tan 227241tan()tan 2111(2)()7αβααβα---+-===+++-⨯-； （2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立， 令()1[5,3]t g x =-∈--，211t a t t t+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，又函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，∴当5t =-时，min 126()5t t +=-，265a ∴≤-，则a 的最大值为265-； （3）3()()()2f f f αβαβ+-+=， 即3cos cos cos()2αβαβ+-+= ， cos cos()22αβαβα+-=+coscossinsin2222αβαβαβαβ+-+-=-，cos cos()22αβαββ+-=-coscos+sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，cos cos 2coscos22αβαβαβ+-∴+=，又2cos()2cos12αβαβ++=-，232coscos2cos 12222αβαβαβ+-+∴-+=， 则24cos 4coscos10222αβαβαβ++--+=， 22(2coscos)1cos 0222αβαβαβ+---+-=， 即22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩，又0απ<<，0βπ<<， 3παβ∴==.【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题. 22．（1）S =⎝⎭花卉种植面积0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦]；最小值为)100001 （2）PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义及4PAQ π∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α表示出S 花卉种植面积，（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4PAQ π∠=，∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积1122AB BP AD DQ =⋅+⋅ 11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭()5000cos sin cos ααα==+⎝⎭，其中0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即8πα=时，S)100001=．（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，， 则100100BP x DQ y =-=-，， 在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100yβ-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xyαβαβαβ-+++==-⋅+-，∵PB DQ PQ +=，∴100100x y -+-=100200xyx y +=+， ∴()20000100100100002002tan 1100001001002200xy xyxy xy xy αβ⎛⎫-⨯+-⎪⎝⎭+===⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭， ∴4παβ+=，∴PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【点睛】本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题.23．（1）答案见解析；（2）a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【解析】 【分析】（1）构建函数()cos sin h x x x x =-，通过导数研究函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性并计算最值，可得结果.（2）构造函数()sin M x x cx =-，通过分类讨论的方法，0c ≤，1c ≥和01c <<，利用导数判断函数()M x 的单调性，并计算最值比较，可得结果.【详解】（1）由()()()cos sin h x f x g x x x x =-=- 所以()'cos sin cos sin h x x x x x x x =--=-. 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()'sin 0h x x x =-≤,所以()h x 在区间上0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减.从而()()00h x h ≤=,()()f x g x ≤. （2）当0x >时,“()ax g x <”等价于“sin 0x ax ->” “()g x bx <”等价于“sin 0x bx -<”.令()sin M x x cx =-,则()'cos M x x c =-,当0c ≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时,因为对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()'cos 0M x x c =-<,所以()M x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()()00M x M <=对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当01c <<时,存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'cos 0M x x c =-=.()M x 与()'M x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下:因为在区间0上是增函数, 所以()()000M x M >=.进一步,“()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当1022M c ππ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,即20c π<≤, 综上所述： 当且仅当2c π≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立; 当且仅当1c ≥时,()0M x <对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立. 所以，若()ax g x bx <<对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立, 则a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【点睛】 本题考查导数的综合应用，关键在于构建函数，化繁为简，同时掌握分类讨论的思想，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.24．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2 【解析】（1）根据函数的最值、周期、对称轴待定系数即可求解；（2）由（1）所求，可化简向量坐标，根据向量垂直得到角B ，再利用()cos cosD A B =-+求解.【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T ， 依题意得71234T ππ-=，∴T π=，∴22πωπ==. ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=，∴2,32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴,6k k Z πϕπ=-+∈.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-. 又∵()f x 的最大值是2，∴2A =， 从而()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）∵()(),2sin ,3,2cos ,2cos 2m n m B n B B ⊥==，∴4sin cos 22sin 22m n B B B B B ⋅=⋅+=+ 4sin 203B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ∴2,3B k k Z ππ+=∈，∴:,62k B k Z ππ=-+∈， 又∵B 是锐角，∴3B π=.∵3sin 5C =，∴4cos 5C =，∴cos cos()(cos cos sin sin )D B C B C B C =-+=--=.即cosD =. 【点睛】 本题考查三角函数解析式的求解，涉及向量垂直的转换，余弦函数的和角公式.属综合基础题.25．（1）1m =；（2）13[,)8a ∈+∞ 【解析】【分析】(1)将函数化为2()cos 2cos 2f x x m x =--，设cos [0,1]t x =∈，将函数转化为二次函数，利用二次函数在给定的闭区间上的最值问题的解法求解.(2) 对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立, 等价于12max 1()()24f x f x a -≤-,然后求出函数()f x 的最值即可解决. 【详解】（1）2()cos 2cos 2f x x m x =--，[0,]2x π∈ 令 cos [0,1]t x =∈， 设222()22()2g t t mt t m m =--=---，①0m <，则min g(0)2()3g t ==-≠-，②01m ≤≤，则2min )3(2t m g =--=-，∴1m =± ∴1m =③1m ，则min g(1)21()3g m t ==--=-，∴1m =.（舍）综上所述：1m =.（2）对任意12,[0,]2x x π∈都有()()12124f x f x a -≤-恒成立， 等价于12max 1()()24f x f x a -≤-， 2m =，∴2g()(2)6t t =--，[0,1]t ∈max ()g(0)2f x ==-，min ()g(1)5f x ==-12max ()(25)()3f x f x =---=-∴ 1234a -≥，∴ 138a ≥， 综上所述：13[,)8a ∈+∞. 【点睛】本题考查三角函数中的二次“型”的最值问题，和双参恒成立问题，属于中档题.26．（1）T π=；2,63k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ππππ（2）5； -2【解析】【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简即可（2）由02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π求出26x π+的范围，再根据函数图像求最值即可 【详解】（1）()2sin 2cos 22cos 232sin 236f x x x x x x x ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭π， 22T ππ==，令3222,2,62263x k k x k k ⎛⎫⎛⎫+∈++⇒∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππππππππ， 即单减区间为2,,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭； （2）由702,2666x t x ⎡⎤⎡⎤∈⇒=+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，ππππ，当76πt =时，()f x 的最小值为：-2； 当2t π=时，()f x 的最大值为：5【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，函数基本性质的求解（周期、单调性、在给定区间的最值），属于中档题27．（1）2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈；（2）最小值为1- 【解析】【分析】 （1）先利用平面向量数量积的坐标运算律以及辅助角公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后解不等式()22262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈可得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出6x π-的取值范围，然后再利用正弦函数的性质得出函数()y f x =的最大值和最小值．【详解】（1）()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，()1cos 2cos 2sin cos cos sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫∴=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 解不等式()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，得()22233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈；（2）02x π≤≤，663x πππ∴-≤-≤，所以，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()max 2sin 2sin 263f x πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1- 【点睛】本题考查三角函数的单调性与最值，考查平面数量积的坐标运算，解这类问题首先要利用三角三角恒等变换公式将三角函数解析式化简，并将角视为一个整体，利用正弦函数或余弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解题问题的能力，属于中等题．28．（1）1ω=，()2sin()23x g x π=+；（2）单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【解析】【分析】 （1）整理()f x 可得：()sin(2)3f x x πω=+，利用其最小正周期为π即可求得：1ω=，即可求得：()sin(2)3f x x π=+，再利用函数图象平移规律可得：()2sin()23x g x π=+，问题得解. （2）令222232x k k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解不等式即可求得()g x 的单调递增区间；令23x k ππ+=，k Z ∈，解方程即可求得()g x 的对称中心的横坐标，问题得解. 【详解】解：（1）1()2sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=+=+， 由22ππω=,得1ω=. 所以()sin(2)3f x x π=+. 于是()yg x =图象对应的解析式为()2sin()23x g x π=+. （2）由222232x k k πππππ-≤+≤+,k Z ∈得 54433k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()g x 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 由23x k ππ+=，解得22()3x k k ππ=-∈Z .所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【点睛】 本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题．29．（1）1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）265- 【解析】【分析】（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由此求得17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值.【详解】（1）根据图象可知171,4123A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x Tππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈ ⎪⎝⎭， ||,0,23k ππϕϕ<∴==()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以值域为1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ()()3[4,2]F x f x =-∈--对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上则max ()0h t ≤恒成立而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩， 解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m ≤-，则m 的最大值为265-. 【点睛】 本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.30．（1）见解析；（2）178-. 【解析】【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ；运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅= cosa b⎛+= ⎝=∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x += （2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==- 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．。
三角函数基础题39题
三角函数练习题一、单选题(共0分)1．已知角=563°，那么的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知角的终边经过点(8,6)，则cos的值为（）A．34B．43C．45D．−35 3．已知扇形的周长为12，半径为4，则该扇形的面积是（）A．8πB．16πC．8D．16 4．已知扇形的面积为1，扇形的圆心角的弧度数为2，则扇形的周长为（）A．1B．2C．3D．4 5．已知角在第二象限，则（）A．sin>0，cos>0B．sin>0，cos<0C．sin<0，cos>0D．sin<0，cos<06．下列四个命题中，可能成立的是（）A．sin=12，且cos=12；B．sin=0，且cos=−1；C．tan=1，且cos=−1；D．tan=−1，且sin=12．7．若sin=−为第四象限角，则cos的值为（）A B．−12C．−D．12 8．已知cos=−513，且为第二象限角，则tan=（）A．−125B．−512C．−1213D．−1312 9．已知cos=35，∈0,π，则tan=（）A．34B．−34C．43D．−43 10．已知tan=−2，则sinrcos sin=（）A．-1B．-3C．−12D．1211．已知tan=2,则cosKsinsinrcos的值为（）A．−13B．13C．−3D．3 12．若tan (π+p=3，则cos2+sin vos =（）A．−25B．−35C．35D．2513）．A．−cos B．−cotC．−tan D．−sin 14．若sinπ−=−45,cos>0，则tan=（）A．34B．−34C．43D．−43 15．cos198°cos132°+cos42°sin18°=（）A．−B．−12C D．1 16．cos15∘cos45∘−sin15∘等于（）A．−B C．12D．−12 17．sin10°cos50°+cos40°cos10°=（）A．12B C D．18．若0<I2，0<I2，cosJ13，sin r=（）A B C D19．若sinvos+cosLin=cos+的值等于（）A．−B C．±D．±1220．已知∈0,,∈,π,sin=+=79，则sin的值为（）A．2327B．−2327C．13D．−1321．已知2,p则tan(4+p=（）A．13B．3C．−3D．−1322．若3sinr2cos2sinKcos=83,则tan+=（）A．3B．13C．-3D．−1323．已知∈0,π，且3cos2−8cos=5，则sin2=（）A．−459B．52C．−49D．−452724．若∈,sinπ+=45，则cos2=（）A．−35B．−725C D．−2425 25．已知tan=2，则tan2=（）A．−34B．3C．43D．−4326．已知sin=45，∈，则cos2的值为（）A．725B．2425C．−2425D．−725 27．若sin(−p=35，则cos2=（）A．1825B．−1825C．−725D．72528．函数=sin−3cos的值域是（）A．0,1B．−1+3,1+3C．−2,2D．−1−3,1+3 29．23sin75∘cos75∘的值是（）A B．12C D．3 30．该函数=sin+3cos的最大值是（）A．1B．6C．2D．−231．为了得到函数=sin(+4)的图象，只需要=sin将的图象（）A．向上平移4个单位B．向左平移4个单位C．向下平移4个单位D．向右平移4个单位32．为得到函数=14cos的图像，只需把余弦曲线上的所有的点（）A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的14，横坐标不变33．为了得到函数=sin2−只要将=sin∈R的图象上所有的点（）A．向右平移π3个单位长度，再把所得图像各点的横坐标缩短到原来的12倍.B．向右平移π3个单位长度，再把所得图像各点的横坐标伸长到原来的2倍.C．向右平移π6个单位长度，再把所得图像各点的横坐标缩短到原来的12倍.D．向右平移π6个单位长度，再把所得图像各点的横坐标伸长到原来的2倍.34．函数=2sin2+）A．2，1，4B．2，12，4C．2，1，8D．2，12，−8二、解答题(共0分)35．已知函数op=cos(2+p(0<<p是奇函数.(1)求的值；(2)若将函数op的图象向右平移6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到函数op的图象，求op.36．已知函数op=2sin2+(1)求函数op的单调递减区间及其图象的对称中心；(2)已知函数op的图象经过先平移后伸缩得到=sin的图象，试写出其变换过程．37．求函数=sin+cos，∈−5π12x的值．38．已知函数op=Lin(B+p>0,>0,|U<.(1)求函数op的解析式；(2)将函数op的图象向右平移3个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数op的图象，当∈op的值域.39．(1)利用“五点法”画出函数op==sin(12+6)在长度为一个周期的闭区间的简图.列表:12+6xy作图:(2)并说明该函数图象可由=sino∈R)的图象经过怎么变换得到的.(3)求函数op图象的对称轴方程.40．已知函数=23sinBcosB+2cos2B且函数图像中相邻两条对称轴间的距离为π2.(1)求的值及函数的单调递增区间；(2)当∈−π2,0时，求函数的最值，并写出相应的自变量的取值.。
三角函数计算练习(含详细答案)
三角函数计算练习1.x∈〔﹣，0〕，cosx=，那么tan2x=( )A．B．C．D．2.cos240°=( )A．B．C．D．3.cosα=k，k∈R，α∈〔，π〕，那么sin〔π+α〕=( )A．﹣B．C．±D．﹣k4.角α的终边经过点〔﹣4，3〕，那么cosα=5.cos480°的值为6.，那么cosα=7.sin〔+α〕=，那么cos2α等于( )8.α是第二象限角，P〔x，〕为其终边上一点，且cosα=x，那么x=9.sinα=，那么cos2α=．10.假设cos〔α+〕=，那么cos〔2α+〕=．11.θ∈〔0，π〕，且sin〔θ﹣〕=，那么tan2θ=．试卷答案1.D考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：由cosx的值与x的围，利用同角三角函数间的根本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值．解答：解：由cosx=，x∈〔﹣，0〕，得到sinx=﹣，所以tanx=﹣，那么tan2x===﹣．应选D点评：此题考察了同角三角函数间的根本关系，以与二倍角的正切函数公式．学生求sinx 和tanx时注意利用x的围判定其符合．2.B考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式与特殊角的三角函数值即可化简求值．解答：解：cos240°=cos〔180°+60°〕=﹣cos60°=﹣，应选：B．点评：此题主要考察了诱导公式与特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于根本知识的考察．3.A考点：同角三角函数根本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由与同角三角函数根本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈〔，π〕，∴sinα==，∴sin〔π+α〕=﹣sinα=﹣．应选：A．点评：此题主要考察了同角三角函数根本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于根本知识的考察．4.D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点〔﹣4，3〕，∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，应选：D．点评：此题主要考察任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于根底题．5.D考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：cos480°=cos〔360°+120°〕=cos120°=﹣cos60°=﹣．应选：D．点评：此题主要考察了运用诱导公式化简求值，属于根底题．6.C考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin〔+α〕=sin〔2π++α〕=sin〔+α〕=cosα=．应选C．点评：此题考察了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解此题的关键．7.C考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin〔+α〕=与诱导公式可得cosα=，由二倍角的余弦公式可得cos2α的值．解答：解：∵sin〔+α〕=，∴cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×=﹣，应选：C．点评：此题主要考察了二倍角的余弦公式，诱导公式的应用，属于根底题．8.D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义有cosα=，条件cosα=x都可以用点P的坐标来表达，借助于角的终边上的点，解关于x的方程，便可求得所求的横坐标．解答：解：∵cosα===x，∴x=0〔∵α是第二象限角，舍去〕或x=〔舍去〕或x=﹣．应选：D．点评：此题巧妙运用三角函数的定义，联立方程求出未知量，不失为一种好方法．9.考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简所求后代入即可求值．解答：解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故答案为：．点评：此题主要考察了二倍角的余弦公式的应用，属于根本知识的考察．10.考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦函数公式根据即可求值．解答：解：cos〔2α+〕=2cos2〔α+〕﹣1=2×﹣1=．故答案为：．点评：此题主要考察了二倍角的余弦函数公式的应用，属于根本知识的考察．11.﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，从而可得答案．解答：解：∵sin〔θ﹣〕=〔sinθ﹣cosθ〕=，∴sinθ﹣cosθ=，①∴1﹣2sinθcosθ=，2sinθcosθ=＞0，依题意知，θ∈〔0，〕，又〔sinθ+cosθ〕2=1+sin2θ=，∴sinθ+cosθ=，②联立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣，∴tan2θ==﹣．故答案为：﹣．点评：此题考察两角和与差的正弦函数，考察同角三角函数间的关系式的应用，考察二倍角的正弦、余弦与正切，属于中档题．。
三角函数练习题及答案
三角函数练习题及答案一、填空题1．已知函数()f x 在R 上可导，对任意x 都有()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '<-，若π2π()3cos 33f t f t t ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为_________2．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是AB 中点，点F 为1CC 的中点，点P 为棱1DD 上一点，且满足//AP 平面1D EF ，则直线AP 与EF 所成角的余弦值为_______．3．已知函数()2sin()f x x ωφ=+(0>ω，||φπ<)的部分图象如图所示，()f x 的图象与y 轴的交点的坐标是(0,1)，且关于点(,0)6π-对称，若()f x 在区间14(,)333ππ上单调，则ω的最大值是___________.4．若,,44x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，a ∈R ，且33sin 204sin cos 0x x a y y y a ⎧+-=⎨++=⎩，则()cos 2x y +=______（提示：sin y x =在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上严格增函数） 5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上的一点，若6c =，32b =7sin BAD ∠=，2cos 4BAC ∠=，则AD =__________. 6．已知四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD 是正方形，23AB =120APB ∠=︒，当AD AP ⊥时，球O 的表面积为______.7．已知函数()sin 2sin 23f x x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭同时满足下述性质：①若对于任意的()()()123123,0,,4,x x x f x f x f x π⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立；②236f a π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a 的值为_________.8．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，||9b c -=，则||||||a b c ++的最大值是___________.9．已知函数()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =：①函数()f x 的图象关于点(,0)4π对称；②函数|()|g x 的最小正周期是2π；③把函数f (2x )图象上所有点向右平移8π个单位长度得到的函数图象的对称轴与函数y=()g x 图象的对称轴完全相同；④函数1()()y f x g x =--在R 上的最大值为2.则以上结论正确的序号为_______________ 10．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则11λμ+=__________；ADE 与ABC 周长之比的取值范围为__________．二、单选题11．已知函数()21ln e 1xf x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且222446,a b c ab +-=则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()sin cos f A f B ≤ B ．f (cos A )≤f (cos B ) C ．f (sin A )≥f (sin B )D ．f (sin A )≥f (cos B )12．已知双曲线2221(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点.若11||::3:3:2AB AF BF =，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．113D ．1113．已知函数2()log f x x =，函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()2()g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[0,4]π上的零点个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．814．已知O 是三角形ABC 的外心，若()22AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +=，则实数m 的最大值为（ ）A ．3B ．35C ．75D ．3215．在三棱锥A BCD -中，2AB AD BC ===，CD =AC =3BD =，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．927πB ．9πC ．1847πD ．18π16．已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<-17．在三棱锥S ABC -中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且2SA SB SC +==.设SA x =，该三棱锥的表面积为函数()y f x =，以下判断正确的是（ ） A ．()f x 为常数 B ．()f x 有极小值 C ．()f x 有极大值D ．()f x 是单调函数18．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最．对于高斯函数[]y x =，[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[]1.71=，[]1.22-=-，{}x 表示x 的非负纯小数，即{}[]x x x =-．若函数{}1log a y x x=-+（0a >且1a ≠）有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(]3,4B ．()3,4C ．[)3,4D ．[]3,419．()sin()(0)f x x ωφφ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，若tan 2APB ∠=-，则ω的值为（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．π20．在锐角ABC 中，若cos cos sin sin 3sin A C B Ca c A+=，且3sin cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ） A ．(6,23⎤⎦B ．(0,43⎤⎦C ．(23,43⎤⎦D ．(6,43⎤⎦三、解答题21．如图，长方形ABCD 中，2,3AB BC ==，点,,E F G 分别在线段,,AB BC DA （含端点）上，E 为AB 中点，⊥EF EG ，设AEG θ∠=.（1）求角θ的取值范围；（2）求出EFG ∆周长l 关于角θ的函数解析式()f θ，并求EFG ∆周长l 的取值范围.22．已知函数()2sin 2cos 3f x x a x =+-.（1）当1a =时，求该函数的最大值；（2）是否存在实数a ，使得该函数在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1？若存在，求出对应a的值；若不存在，试说明理由.23．已知函数 2()sin 2cos 1f x x m x =--- [0,]2x π∈()1若()f x 的最小值为 - 3，求m 的值；()2当2m =时，若对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立，求实数a 的取值范围.24．已知向量a ，b 满足2sin 4a x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 4b x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()()f x a b x R =⋅∈.（1）求()f x 的单调区间；（2）已知数列()2*11224n n a n f n N ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求{}n a 的前2n 项和2n S .25．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知sin 2C =（1）若4a =，c =ABC ∆的面积；（2）若ABC ∆22213sin sin sin 16A B C +=，求c 的值.26．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()()2sin cos sin f x x A x A =-+，且当512x π=时，()f x 取最大值. （1）若关于x 的方程()f x t =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，求实数t 的取值范围；（2）若5a =，且sin sin B C +=，求ABC ∆的面积. 27．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan 1cos BC B=-．（Ⅰ）求证：ABC ∆为等腰三角形；（Ⅱ）若ABC ∆是钝角三角形，且面积为24a ，求2b ac 的值．28．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象如图所示：（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴的方程；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()23f x a =-有两个不等的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并求此时12x x +的值.29．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值30．已知函数2()2cos 23cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，求m 的取值范围.【参考答案】一、填空题1．π6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦， 21163．114．1 5．46．28π7．0 8．3310+31039．②③④10． 3 21,32⎡⎢⎣⎦二、单选题 11．D 12．A 13．A 14．D 15．A 16．C 17．A 18．C 19．C 20．D 三、解答题21．（1）[,]63ππ（2）1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，[,]63ππθ∈，EFG ∆周长l 的取值范围为1)]【解析】（1）结合图像可得当点G 位于D 点时，角θ取最大值，点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值，在直角三角形中求解即可. （2）在Rt ΔEAG 中，求出1cos EG θ=，在Rt ΔEBF 中，求得1sin EF θ=，在Rt ΔGEF 中，根据勾股定理得222FG EF EG =+，从而可得111()cos sin sin cos f θθθθθ=++，通分可得1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，令sin cos t θθ=+，借助三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由题意知，当点G 位于D 点时，角θ取最大值，此时tan θ=02πθ<<，所以max 3πθ=当点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值， 此时=3BEF π∠，所以min 236πππθ=-=故所求θ的取值集合为[,]63ππ（2）在Rt ΔEAG 中，cos AE EG θ=，1AE =，所以1cos EG θ=在Rt ΔEBF 中，cos cos()2BE BEF EF πθ∠=-=，1BE =，所以1sin EF θ= 在Rt ΔGEF 中，有勾股定理得222FG EF EG =+2222222211sin cos 1sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+== 因为[,]63ππθ∈，所以sin 0,cos 0θθ，1sin cos FG θθ=所以111()cos sin sin cos f EG EF FG θθθθθ=++=++ 所以1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，[,]63ππθ∈令sin cos t θθ=+，则21sin cos 2t θθ-=所以22(1)211t l t t +==-- 因为[,]63ππθ∈，57[,]41212πππθ+∈，所以sin()4πθ+∈所以sin cos )4t πθθθ=+=+∈所以EFG ∆周长l 的取值范围为1)] 【点睛】本题考查了三角函数的在平面几何中的应用，主要考查了辅助角公式以及换元法求三角函数的值域，属于中档题.22．（1）1-；（2）存在，且2a =. 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，得出()()2cos 11f x x =---，由1cos 1x -≤≤结合二次函数的基本性质可得出该函数的最大值；（2）换元[]cos 0,1t x =∈，将问题转化为二次函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上的最大值为1，然后分0a ≤、01a <<和1a ≥三种情况讨论，利用二次函数的基本性质求出函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上最大值，进而求得实数a 的值.【详解】（1）当1a =时，()()22sin 2cos 3cos 11f x x x x =+-=---，1cos 1x -≤≤，当cos 1x =时，该函数取得最大值，即()max 1f x =-；（2）()22sin 2cos 3cos 2cos 2x a x x a x f x =+-=-+-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设[]cos 0,1t x =∈，设()222t at g t -+-=，[]0,1t ∈，二次函数()y g t =的图象开口向下，对称轴为直线t a =.当0a ≤时，函数()y g t =在[]0,1上单调递减，所以0=t 时，()()max 021g t g ==-≠，0a ∴≤不符合题意；当1a ≥时，函数()y g t =在[]0,1上单调递增，所以1t =时，()()max 1231g t g a ==-=，2a ∴=满足1a ≥；当01a <<时，函数()y g t =在[]0,a 上单调递增，在(],1a 上单调递减， ∴当t a =时，()()2max 21g t g a a ==-=，a ∴=01a <<.综上，存在2a =符合题意. 【点睛】本题考查二次型余弦函数的最值，将问题转化为二次函数的最值来求解是解题的关键，第二问要对二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的单调性求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 23．（1）1m =；（2）13[,)8a ∈+∞【解析】 【分析】(1)将函数化为2()cos 2cos 2f x x m x =--，设cos [0,1]t x =∈，将函数转化为二次函数，利用二次函数在给定的闭区间上的最值问题的解法求解.(2) 对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立, 等价于12max1()()24f x f x a -≤-,然后求出函数()f x 的最值即可解决.【详解】（1）2()cos 2cos 2f x x m x =--，[0,]2x π∈令 cos [0,1]t x =∈， 设222()22()2g t t mt t m m =--=---， ①0m <，则min g(0)2()3g t ==-≠-，②01m ≤≤，则2min )3(2t m g =--=-，∴1m =± ∴1m =③1m ，则min g(1)21()3g m t ==--=-，∴1m =.（舍） 综上所述：1m =.（2）对任意12,[0,]2x x π∈都有()()12124f x f x a -≤-恒成立，等价于12max1()()24f x f x a -≤-，2m =，∴2g()(2)6t t =--，[0,1]t ∈max ()g(0)2f x ==-，min ()g(1)5f x ==-12max ()(25)()3f x f x =---=-∴ 1234a -≥，∴ 138a ≥， 综上所述：13[,)8a ∈+∞.【点睛】本题考查三角函数中的二次“型”的最值问题，和双参恒成立问题，属于中档题. 24．（1）单调增区间为7,1212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，单调减区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）)22n n +【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算可得()2sin 222sin 23f x a b x x x π⎛⎫=⋅=-=+⎪⎝⎭， 再利用三角函数单调区间的求法即可得解；（2）由题意可得()()22222221234212n S n n ⎤=-+-+⋅⋅⋅+--⎦，又()()2221241n n n --=-+，则)2442434n S n n =--⨯-⨯-⋅⋅⋅-+，再利用等差数列求和公式即可得解.【详解】解：（1）向量a ，b 满足2sin 4a x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 4b x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()2sin 222sin 23f x a b x x x π⎛⎫=⋅=-=+⎪⎝⎭， 由2222232k x k πππππ-≤+≤+，可得71212k x k ππππ-≤≤-，k Z ∈， 解得()f x 的单调增区间为7,1212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈； 单调减区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（2）因为22112sin 2244n n a n f n n ππππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222221234212n S n n ⎤=-+-+⋅⋅⋅+--⎦， 又()()2221241n n n --=-+，)2442434n S n n --⨯-⨯-⋅⋅⋅-+，所以())2234122n n n S n n --+==+．【点睛】本题考查了三角函数单调区间的求法及数列中捆绑求和，属中档题.25．（1）2）c =【解析】 【分析】（1）先根据sin2C =sin C 与cos C ，再利用余弦定理求出b 边，最后利用1sin 2ABC S ab C ∆=求出答案；（2）利用正弦定理将等式化为变得关系，再利用余弦定理化为2c 与ab 的关系式，再结合面积求出c 的值． 【详解】解：（1）因为sin2C =所以2101cos 12sin122164C C =-=-⨯=-．又()0,C π∈，所以sin C =．因为4a =，c =2222cos c a b ab C =+-， 所以214016244b b ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得4b =，所以11sin 4422ABC S ab C ∆==⨯⨯= （2）因为22213sin sin sin 16A B C +=，由正弦定理，得2221316a b c +=． 又2222cos a b ab C c +-=，所以283c ab =．又1sin 2ABC S ab C ∆=，得18ab =，所以248c =，所以c = 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题．26．（1）(；（2 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式整理()f x 可得：()sin(2)A f x x =-，再利用已知可得：522122A k πππ⨯-=+（k Z ∈），结合已知可得：3A π=，求得：(0,)2x π∈时，sin(2)13x π<-≤，问题得解.（2）利用正弦定理可得：sin sin )+=+B C b c ，结合sin sin B C +=可得：8+=b c ，对a 边利用余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，结合已知整理得：13=bc ，再利用三角形面积公式计算得解.【详解】解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+---sin cos()cos sin()x x A x x A =-+-sin(2)x A =-.因为()f x 在512x π=处取得最大值， 所以522122A k πππ⨯-=+，k Z ∈, 即2,3A k k Z ππ=-+∈. 因为(0,)A π∈，所以3A π=， 所以()sin(2)3f x x π=-. 因为(0,)2x π∈，所以22(,)333x πππ-∈-所以sin(2)13x π<-≤，因为关于x 的方程()f x t =有解，所以t 的取值范围为(． （2）因为5a =，3A π=，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==于是sin sin )+=+B C b c ．又sin sin B C +=，所以8+=b c . 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，整理得：2225=+-b c bc ，即225()3643=+-=-b c bc bc ，所以13=bc ，所以1sin 2ABC S bc A ∆== 【点睛】本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．27．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2【解析】【分析】（Ⅰ）将正切化弦，结合两角和差正弦公式可求得()sin sin C B C =+，根据三角形内角和可整理为sin sin C A =，则由正弦定理可得到结论；（Ⅱ）利用三角形面积公式可求得1sin 2B =；根据三角形为钝角三角形且（Ⅰ）中的c a =，可知B 为钝角，求得cos B ；利用余弦定理可构造方程求得,a b 之间关系，从而得到所求结果.【详解】 （Ⅰ）由sin tan 1cos B C B =-得：sin sin cos 1cos C B C B=- 则：()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =+=+A B C π++= ()()sin sin sin B C A A π∴+=-= sin sin C A ∴=由正弦定理可知：c a =ABC ∆∴为等腰三角形 （Ⅱ）由题意得：2211sin sin 224a S ac B a B ===，解得：1sin 2B =ABC ∆为钝角三角形，且a c = B ∴为钝角 cos B ∴=由余弦定理得：(2222222cos 22b a c ac B a a =+-==+ 2222b b ac a∴==【点睛】本题考查三角形形状的求解、利用余弦定理、三角形面积公式求解三角形边之间的关系问题，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式、同角三角函数值的求解等知识.28．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()62k x k Z ππ=+∈；（2）522a ≤<，3π. 【解析】【分析】（1）根据图像得A=2,利用412562T πππω=-=，求ω值，再利用6x π=时取到最大值可求φ，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，方程f （x ）＝2a ﹣3有两个不等实根转为f （x ）的图象与直线y ＝2a ﹣3有两个不同的交点，从而可求得a 的取值范围，利用图像的性质可得12x x +的值.【详解】（1）由图知，2,A =4156242=T ππππω=-=,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ), 当6x π=时，函数取得最大值，可得2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈ ，又(0,)2πϕ∈所以6π=ϕ， 故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令262x k πππ+=+则()62k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴方程为()62k x k Z ππ=+∈； （2）70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以方程()23f x a =-有两个不等实根时，()y f x =的图象与直线23y a =-有两个不同的交点，可得1232,a ≤-<522a ∴≤<, 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x =，有122266x x πππ+++=， 故123x x π+=.【点睛】 本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题．29．（1）见解析；（2）178-. 【解析】【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ；运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅=cos a b ⎛+= ⎝=∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x += （2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==- 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．30．(Ⅰ) (),,36ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z (Ⅱ) 62ππ≤≤m 【解析】【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为π2sin 216x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间; (Ⅱ) 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，可得7 2266m πππ≤+≤，从而可得结果. 【详解】（Ⅰ）()22f x cos x =+πcos212sin 216x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得(),36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以，()f x 的单调递增区间是(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2,2666x m ππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦. 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 所以72266m πππ≤+≤，即62m ππ≤≤. 【点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式的应用以及三角函数的单调性、三角函数的值域，属于中档题. 函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.。
三角函数练习题附答案
三角函数练习题附答案一、填空题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．2．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设 ,AD AB AC λμ=+若4AD AF =，则λ-μ的值为___________3．已知三棱锥P ABC -中，23APB ∠=π，3PA PB ==，5AC =，4BC =，且平面PAB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．4．已知单位向量1e ，2e 与非零向量a 满足12322e e +≤()120a e e ⋅-≤，则()1232a e e a⋅+的最大值是______.5．如图，某城市准备在由ABC 和以C 为直角顶点的等腰直角三角形ACD 区域内修建公园，其中BD 是一条观赏道路，已知1AB =，3BC =BD 长度的最大值为______．6．在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则ac的取值范围是______．7．在ABC 中，AB BC ≠，O 为ABC 的外心，且有23AB BC AC +=，sin (cos 3)cos sin 0C A A A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．8．在角1θ，2θ，3θ，…，29θ的终边上分别有一点1P ，2P ，3P ，…，29P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k-+，129k ≤≤，k ∈N ，则12329cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______9．关于函数()()33cos sin f x x x x =+①其表达式可写成()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②直线12x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴；③()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；④存在0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()()3f x f x αα+=+恒成立.其中正确的是______（填写正确的番号）.10．已知O 为△ABC 外接圆的圆心，D 为BC 边的中点，且4BC =，6AO AD ⋅=，则△ABC 面积的最大值为___________.二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-1212．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，若在椭圆E 上存在点M ，使得12MF F △的面积等于2122sin b F MF ∠，则椭圆E 的离心率e 的取值范围为（ ）A ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．3⎛ ⎝⎦C ．122⎛ ⎝⎦D ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭13．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”.若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（ ） A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭14．已知ABC 的内角分别为,,A B C ，23cos 1sin 26A A =-，且ABC 的内切圆面积为π，则AB AC ⋅的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．1215．设函数()211f x x =-，()122x f e x --=，()31sin 23f x x π=，99i ia =，0i =、1、2、、99.记()()()()()()10219998k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1k =、2、3，则（ ） A ．123I I I << B ．321I I I << C ．132I I I << D ．213I I I <<16．在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（ ） A ．132B ．2C ．31+D ．2317．如图，长方形ABCD 中，152AB =，1AD =，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE 沿DE 折起为A DE '．设ADE α∠=，二面角A DE C '--的大小为β，若π2αβ+=，则四棱锥A BCDE '-体积的最大值为（ ）A ．14B ．23C 151-D 51-18．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A ．6B ．62C ．12D ．12219．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ）A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]5520．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞三、解答题21．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度后与函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象重合.（1）求ω和ϕ的值；（2）若函数()88h x f x g x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()h x 的单调递减区间及图象的对称轴方程.22．已知函数()()2sin 24sin 206x x x f πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，求当m 取得最小值时，()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间. 23．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC ⊥AB .在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC ＝23π，.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记∠POB ＝θ(0)2πθ<<.（1）当θ＝3π时，求∠OPQ 的大小； （2）当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．24．已知函数()2sin cos cos2x x x x f =+. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.25．函数211()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭，22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求ϕ值；（2）将()y f x =的图像左移8π个单位后得到()y g x =，求()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少？26．为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m ，圆心角为0120的扇形地上建造市民广场，规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧PQ 上，CD //AB ；上，CD //AB ；OAB ∆区域为文化展区，AB 长为3域，且CD 长不得超过200m.(1)试确定A ，B 的位置，使OAB ∆的周长最大？(2)当OAB ∆的周长最长时，设2DOC θ∠=，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值.27．已知函数()f x a b =⋅，其中()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，x ∈R .（1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.28．已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n ==∈N .（1）若10a =，23d π=，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，n T n b b +=，T 是不超过5的正整数，求T 的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S . 29．已知函数2133()sin 24f x x x =+（1）求()f x 的最小正周期T 和[0,]π上的单调增区间：（2）若2()(1)0n f x m +-⋅>对任意的,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦和*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围.30．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A = (Ⅰ)确定角C 的大小： （Ⅱ）若c ＝,且△ABC 的面积为,求a ＋b 的值．【参考答案】一、填空题1．982．473．28π 4535616．32⎝⎭7．4333-8．09．②③10．2二、单选题 11．A 12．A 13．A 14．A 15．D 16．C 17．A 18．C19．B 20．C 三、解答题21．（1）2ω=，3πϕ=；（2）减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈ 【解析】 【分析】(1)先根据平移后周期不变求得2ω=,再根据三角函数的平移方法求得3πϕ=即可.(2)根据(1)中()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入可得()h x ,利用辅助角公式求得()23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再代入调递减区间及图象的对称轴方程求解即可.【详解】（1）因为函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度后与函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象重合,所以2ω=.5sin 2sin 2cos 222663f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以()cos 2cos 23x x πϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,因为2πϕ<,所以3πϕ=.（2）由（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()88h x f x g x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,sin 2cos 2212123x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈,解得()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 令()232x k k Z πππ+=+∈,可得图象的对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈. 【点睛】本题主要考查了三角函数的平移运用以及辅助角公式.同时也考查了根据三角函数的解析式求解单调区间以及对称轴等方法.属于中档题.22．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π，得出周期，利用周期公式得出1ω=，即可得出该函数的解析式；（2）根据平移变换得出()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质得出m 的最小值，进而得出()223g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用整体法结合正弦函数的单调性得出该函数在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.【详解】解：（1）()2sin 24sin 26x x x f πωω⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11cos22cos24222xx x ωωω-=--⨯+32cos22x x ωω=+23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由已知函数()f x 的周期T π=，22ππω=，1ω=∴()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到()g x 的图象∴()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭22033m ππ⎡⎤⎛⎫⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即sin 203m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴23m k ππ-=，k Z ∈∴26k m ππ=+，k Z ∈∵0m >，∴当0k =，m 取最小值，此时最小值为6π此时，()223g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 令7612x ππ-≤≤，则2112336x πππ≤+≤当22332x πππ≤+≤或32112236x πππ≤+≤，即当612x ππ-≤≤-或571212x ππ≤≤时，函数()g x 单调递增当232232x πππ≤+≤，即51212x ππ-≤≤时，函数()g x 单调递减. ∴()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以及正弦型函数的单调性，属于中档题.23．（1）6π.（2）sin θ=. 【解析】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠可得含α，θ的关系式，将其展开化简并整理后得tanαθ＝3π代入得答案；（2）令f (θ)f (θ)的最大值，即此时的sin θ，由（1）可知tanα.【详解】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理可得含α，θ的关系式． 因为∠AQC ＝23π，所以∠AQO ＝3π.又OA ＝OB ＝3，所以OQ 在△OPQ 中，OQOP ＝3，∠POQ ＝2π－θ，设∠OPQ ＝α，则∠PQO ＝2π－α＋θ.由正弦定理，得3sin 2παθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝cos (α－θ)．展开并整理，得tanαθ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭.此时当θ＝3π时，tanα因为α∈(0，π)，所以α＝6π.故当θ＝3π时，∠OPQ ＝6π.（2）设f (θ)θ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.则f ′(θ)令f ′(θ)＝0，得sinθθ0满足0sin θ则0cos θ=，即()02f θ===列表如下：由（1）可知tanα＝f (θ)>0，则0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， tanα单调递增则当tanα取最大值2时，α也取得最大值． 故游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，sinθ 【点睛】本题考查三角函数和解三角形的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而由正弦定理构建对应关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题. 24．（1）最小正周期π；单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）最大值和最小值和1. 【解析】（1）利用二倍角的正弦公式的逆用公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化简得()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递减区间；（2）利用正弦函数的性质可求得结果. 【详解】（1）因为()sin 2cos 224x f x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222242k x k πππππ+≤+≤+，得588k x k ππππ+≤≤+，所以()f x 的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.所以当242x ππ+=，即8x π=当244x ππ+=或34π，即0x =或4x π=时，函数取得最小值1.所以()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π和1.【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦型函数的周期公式，考查了求三角函数的单调区间和最值，属于基础题. 25．（1）0ϕ=（2）当4x π=时，min ()g x =；当8x π=-时，max 1()2g x =【解析】 【分析】（1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-，结合函数过点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭和,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解具体ϕ值；（2）根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，再结合余弦函数性质即可求解 【详解】（1）11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+⋅- 11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1cos(2)2x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11cos 423πϕ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭233k ππϕπ∴-=+或2()3k k Z ππ-+∈又,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0ϕ∴=（2）由（1）知 1()cos 22f x x =， 11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当3244x ππ+=时，即4x π=时，min ()4g x = 当204x π+=时，即8x π=-时，max 1()2g x = 【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题26．（1）OA 、OB 都为50m ；（2）8sin 64sin cos S θθθθ=-+；0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；最大值为2625(8m +. 【解析】 【分析】对于（1），设OA m =，OB n =，m ，n (0,200)∈，在△OAB 中，利用余弦定理可得22222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅，整理得222m n mn =++，结合基本不等式即可得出结论；对于（2），当△AOB 的周长最大时，梯形ACBD 为等腰梯形，过O 作OF ⊥CD 交CD 于F ，交AB 于E ，则E 、F 分别为AB ，CD 的中点，利用已知可表示出相关线段；然后利用梯形的面积公式可知，8sin 64sin cos S θθθθ=-+ ，0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()8sin 64sin cos f θθθθθ=-+0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S 的最大值． 【详解】解：（1）设OA m =，OB n =，m ，n (0,200)∈，在OAB ∆中，22222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅，即222m n mn =++.所以22222()3()()()44m n m n mn m n m n +=+-+-=+.所以m n 100+，当且仅当m n 50==时，m n +取得最大值， 此时OAB ∆周长取得最大值.答：当OA 、OB 都为50m 时，OAB ∆的周长最大. （2）当AOB ∆的周长最大时，梯形ABCD 为等腰梯形.如上图所示，过O 作OF CD ⊥交CD 于F ，交AB 于E ，则E 、F 分别为AB 、CD 的中点， 所以DOE θ∠=.由CD 200，得0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.在ODF ∆中，DF 200sin θ=，OF 200cos θ=. 又在AOE ∆中，OE OAcos253π==，故EF 200cos 25θ=-.所以1(503400sin )(200cos 25)2S θθ=-625(38sin )(8cos 1)θθ=-625(838sin 64sin cos 3)θθθθ=-+，0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.令()838sin 64sin cos 3f θθθθθ=-+0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()838cos 64cos 216sin 64cos 26f πθθθθθθ'⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.又16sin 6y πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭及cos 2y θ=在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上均为单调递减函数，故()f θ'在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递减函数.因1()1640623f π⎫'=-⨯>⎪⎪⎝⎭，故()0f θ'>在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立， 于是，()f θ在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递增函数.所以当6πθ=时，()f θ有最大值，此时S 有最大值为625(8153)+. 答：当6πθ=时，梯形ABCD 面积有最大值，且最大值为2625(8153)m +.【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式以及导数的应用，在（2）中得到()838sin 64sin cos 3f θθθθθ=-+()16sin 64cos 26f πθθθ'⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合函数在公共区间上，减函数+减函数等于减函数，从而确定()f θ'在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递减函数.属于难题.27．（1）2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈；（2）最小值为1- 【解析】 【分析】（1）先利用平面向量数量积的坐标运算律以及辅助角公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后解不等式()22262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈可得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出6x π-的取值范围，然后再利用正弦函数的性质得出函数()y f x =的最大值和最小值． 【详解】 （1）()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，()1cos 2cos 2sin cos cos sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫∴=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解不等式()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，得()22233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈； （2）02x π≤≤，663x πππ∴-≤-≤，所以，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()max 2sin 2sin 263f x πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-【点睛】本题考查三角函数的单调性与最值，考查平面数量积的坐标运算，解这类问题首先要利用三角三角恒等变换公式将三角函数解析式化简，并将角视为一个整体，利用正弦函数或余弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解题问题的能力，属于中等题．28．（1）⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）23π或π；（3）3T =或4，3T =时，23n a n π=，S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭；4T =时，2n a n π=，{}0,1,1S =-【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b ，再根据周期性求解；（2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案；（3）分别令1T =，2，3，4，5进行验证，判断T 的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S 【详解】（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =， 集合{}*|,n S x x b n N ==∈． ∴当120,3a d π==， 所以集合3{2S =-，0，3}2． （2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=， ②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为23n a n π=，此时33S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭. ②当4T =时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{0S =，1，1}-． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为2n a n π=，此时{}0,1,1S =-【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题． 29．(1) T=π，单调增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2) ∅ 【解析】 【分析】（1）化简函数得到1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再计算周期和单调区间.（2）分情况n 的不同奇偶性讨论，根据函数的最值得到答案. 【详解】解：（1）函数2133()sin 24f x x x =131cos 23sin 242x x +=131sin 22sin 2423x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 故()f x 的最小正周期22T ππ==． 由题意可知：222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈解得：51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ 因为[0,]x π∈，所以()g x 的单调增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2）由（1）得1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2,36x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，12()1,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦若2()(1)0n f x m +-⋅>对任意的,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦和*n N ∈恒成立，则2()(1)n f x m +-⋅的最小值大于零． 当n 为偶数时，10m -+>，所以，1m 当n 为奇数时，10m -->，所以，1m <- 综上所述，m 的范围为∅. 【点睛】本题考查了三角函数化简，周期，单调性，恒成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 30．(Ⅰ)3π（Ⅱ）5 【解析】 【详解】试题分析：（12sin sin A C A =即可得sin C =60C =︒（2）∵1sin 2S ab C ==a b + 试题解析： 解：（12sin sin A C A =，∵,A C 是锐角，∴sin C =60C =︒.（2）∵1sin 2S ab C ==6ab = 由余弦定理得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-= ∴5a b +=点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长。
(完整版)三角函数的图象与性质练习题及答案
三角函数的图象与性质练习题一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．6B ．7C ．8D ．94．已知在函数f (x )＝3sin πxR 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D )6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形． 其中正确的序号为( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 10．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( ) A.16B.14C.13D.1211．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数 I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示， 则当t =1001秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调递增区间为______________． 14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 15．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值； (2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．20．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．三角函数的图象与性质练习题及答案一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( B ) A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( A ) A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( C ) A ．6B ．7C ．8D ．94．已知在函数f (x )＝3sin πxR 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( D ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D )6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形． 其中正确的序号为( C )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( A )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( A )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( D ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 10．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( D ) A.16B.14C.13D.1211．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数 I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示， 则当t =1001秒时，电流强度是( A )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( A )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调递增区间为______________．⎣⎡⎦⎤98π＋3k π，21π8＋3k π (k ∈Z ) 14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 31415．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上) ②③16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 2 三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． 解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，又－π<φ<0，则－54<k <－14，∴k ＝－1， 则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值； (2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)f (x )＝21＋cos 2ωx2＋sin 2ωx ＋1＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2＝2⎝⎛⎭⎫sin 2ωx cos π4＋cos 2ωx sin π4＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2. 由题设，函数f (x )的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2， 所以ω＝2.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋2. 当4x ＋π4＝π2＋2k π，即x ＝π16＋k π2(k ∈Z )时，sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4取得最大值1，所以函数f (x )的最大值是2＋2， 此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝π16＋k π2，k ∈Z .19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．解 f (x )＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋12. (1)因为T ＝π，所以ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12， 当－π6≤x ≤π3时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，32. (2)因为f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，所以2ω⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ω＝32k ＋12 (k ∈Z )， 又0<ω<2，所以－13<k <1，又k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝12.20．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程． 解 (1)由图象可知，函数的最大值M =3，最小值m =-1， 则A =,1213,22)1(3=-==--b ， 又π)6π32(2=-=πT ，∴2ππ2π2===T ω，∴f (x )=2sin(2x +φ)+1， 将x =6π，y =3代入上式，得1)3π(=+ϕ ∴π22π3πk +=+ϕ，k ∈Z ， 即φ=6π+2k π，k ∈Z ，∴φ=6π， ∴f (x )=2sin )6π2(+x +1. (2)由2x +6π=2π+k π，得x =6π+21k π，k ∈Z ， ∴f (x )=2sin )6π2(+x +1的对称轴方程为 216π+=x k π，k ∈Z. 21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解 (1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12. 由22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝32. ∵0<x <π，∴－π12<2x －π12<2π－π12. ∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，∴x ＝524π或x ＝38π， ∴所求交点坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，6或⎝⎛⎭⎫3π8，6. 22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值． 解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象过点(－1,0)，∴2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＝22cos π4x . ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23，∴－3π2≤π4x ≤－π6. ∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；π4x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2 2.当。
三角函数同步练习
.Word 资料三角函数同步练习第I 卷（选择题）1.要得到函数y=sin2x 的图象，只需将函数y=sin （2x ﹣）的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向右平移个单位长度 D ．向左平移个单位长度2.sin cos y x a x =+中有一条对称轴是53x π=，则 ()sin cos g x a x x =+最大值为（ ） A.33 B.23 C.33D.233.函数()cos f x x =的一个单调递增区间是（ ） （A ）(0)2π, （B ）(,)22ππ-（C ）(0)-π， （D ）(0,)π4.函数)2(cos 2π+=x y 的单调增区间是（ ）（A ）π(π,π)2k k + k ∈Z （B ）π(π, ππ)2k k ++ k ∈Z （C ）(2π, π2π)k k +k ∈Z （D ）(2ππ, 2π2π)k k ++k ∈Z5.函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f （x ）的图象（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度6.为了得到函数y=sin （2x ﹣）的图象，可以将函数y=sin2x 的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向左平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度答案第2页，总20页7.角θ的终边过点P （﹣1，2），则sin θ=（ ） A ． B ．C ．﹣D ．﹣8.已知2π＜α＜π，3sin2α=2cos α，则cos （α﹣π）等于（ ） A ．32 B ．46 C ．322 D ．6239.函数f （x ）=sin （2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f （x ）在[0，]上的最小值为（ ） A ．﹣B．﹣C ．D ．10.在直径为4cm 的圆中，36°的圆心角所对的弧长是（ ） A ．cm B ．cm C ．cm D ．cm11.化简sin600°的值是（ ） A ．0.5 B ．﹣0.5 C ．D ．12.已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．f （x ）=43sin （23x+6π） B ．f （x ）=54sin （54x+51） C ．f （x ）=54sin （65x+6π） D ．f （x ）=54sin （32x ﹣51）.Word 资料第II 卷（非选择题）13.已知tan α=4，则的值为 ．14.设α、β，且sin αcos （α+β）=sin β，则tan β的最小值是 ．15.已知扇形的半径为2，圆心角是弧度，则该扇形的面积是 ．16.sin20°cos10°+cos20°sin10°= ．17.函数f （x ）=Asin （ωx+φ），（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象的一段如图所示 （1）求此函数的解析式； （2）求函数f （x ）在区间上的最大值和最小值．18.某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： ωx+φ 0 π 2π xAsin （ωx+φ） 05﹣5（1）请将上表数据补充完整，并求出函数f （x ）的解析式； （2）将y=f （x ）的图象向左平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象．若关于x 的方程g （x ）﹣（2m+1）=0在[0，]上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．19.已知cos α=﹣，α为第三象限角．（1）求sin α，tan α的值； （2）求sin （α+），tan2α的值．20.设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π．答案第4页，总20页（Ⅰ）求ω．（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间． 21.已知函数的图象经过三点，在区间内有唯一的最小值．（Ⅰ）求出函数f （x ）=Asin （ωx+ϕ）的解析式；（Ⅱ）求函数f （x ）在R 上的单调递增区间和对称中心坐标． 22. 已知tan （）=3+．（Ⅰ）求tana 的值； （Ⅱ）求cos 2（π﹣a ）+sin （）cos （+a ）+2sin 2（a ﹣π）的值．.Word资料试卷答案1.B2.B3.C4.A5.C6.A7.B ．8.C9.A10.B11.D12.B13.14.15.16.17.【解答】解：（1）由图象可得A=，由=﹣﹣（﹣）=可得周期T=π，∴ω==2，∴f（x）=sin（2x+φ），∵，∴又0＜φ＜π，∴，故，可得，答案第6页，总20页∴此函数的解析式为：；（2）∵，∴，∴f （x ）在即x=0时取得最大值， f （x ）在即时取得最小值．18.【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣，数据补全如下表：ωx+φ 0π2πxAsin （ωx+φ） 050 ﹣50 且函数表达式为f （x ）=5sin （2x ﹣）． （2）通过平移，g （x ）=5sin （2x+），方程g （x ）﹣（2m+1）=0可看成函数g （x ），x ∈[0，]和函数y=2m+1的图象有两个交点，当x ∈[0，]时，2x+∈[，]，为使横线y=2m+1与函数g （x ）有两个交点，只需≤2m+1＜5，解得≤m ＜2．19.【解答】解：（1）∵，α为第三象限角，∴，∴．（2）由（1）得.Word 资料，．20.解：（Ⅰ）2222()(sin cos )2cos sin cos sin 212cos 2f x x x x x x x x ωωωωωωω=++=++++sin 2cos 222sin(2)24x x x πωωω=++=++ 依题意得2223ππω=，故ω=32. （Ⅱ）依题意得: 5()2sin 3()22sin(3)2244g x x x πππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦由5232()242k x k k Z πππππ--+∈≤≤解得227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312k k k Z ππππ++∈略21.【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数的周期T=2（﹣）=1，∴ω==2π，又由题意当x=时，y=0， ∴Asin （2π×+ϕ）=0即sin （+ϕ）=0结合0＜ϕ＜可解得ϕ=，再由题意当x=0时，y=， ∴Asin =，∴A=∴；（Ⅱ）由2k π﹣≤2πx+≤2k π+可解得k ﹣≤x ≤k+∴函数的单调递增区间为[k ﹣，k+]（k ∈Z ）答案第8页，总20页当2πx+=k π时，f （x ）=0，解得x=﹣，∴函数的对称中心为【点评】本题考查三角函数的图象和解析式，涉及单调性和对称性，属中档题． 22.【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得=3+2，∴tan α=．…（Ⅱ）原式=cos 2α+（﹣cos α）（﹣sin α）+2sin 2α ====．….Word 资料试卷答案1.B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】把函数y=sin2x 的图象向右平移个单位即可得到函数 y=sin2（x ﹣）=sin （2x ﹣）的图象，把平移过程逆过来可得结论． 【解答】解：把函数y=sin2x 的图象向右平移个单位即可得到函数 y=sin2（x ﹣）=sin （2x﹣） 的图象，故要得到函数y=sin2x 的函数图象，可将函数y=sin （2x ﹣）的图象向左至少平移个单位即可，故选：B ．【点评】本题主要考查函数 y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律，属于基础题． 2.B方法一；2sin cos 1y x a x a =+=+ 当53x π=时，231122y a a =-+=+平方得：223311424a a a -+=+ 求得33a =- 2313a +=方法二：因为对称轴为53π 所以可知此时的导函数值为0 'cos sin y x a x =-555'cos sin 0333y a πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以132= 所以3a = 2231a +=注意；给三角函数求导也是一种办法，将三角函数求导后原三角函数的对称轴处的导函数都为0 3.C【知识点】三角函数的图像与性质答案第10页，总20页【试题解析】因为在是减函数，在先增后减，在.是减函数，在是增函数，故答案为：C4.A5.C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出ω，由五点法作图求出ω的值，可得f （x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=﹣2，2sinφ=，∴sinφ=，结合|φ|＜，可得φ=．再根据五点法作图可得ω×+=π，求得ω=2，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin （2x+）=2cos2x的图象，故选：C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6.A【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．【点评】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x的系数，属于基础题．7.B【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinθ的值．【解答】解：由题意可得，x=﹣1，y=2，r=|OP|=，∴sinθ===，故选：B．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．8.C【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．分析：由条件求得sinα和cosα的值，再根据cos（α﹣π）=﹣cosα求得结果．解：∵＜α＜π，3sin2α=2cosα，.∴sinα=，cosα=﹣．∴cos（α﹣π）=﹣cosα=﹣（﹣）=，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．9.A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数图象的平移得到，再由函数为奇函数及φ的范围得到，求出φ的值，则函数解析式可求，再由x的范围求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）图象向左平移个单位得，由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，又|φ|＜π，∴，得，∴，由于，∴0≤2x≤π，∴，当，即x=0时，．故选：A．【点评】本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了三角函数值域的求法，是中档题．10.B【考点】弧长公式．【专题】三角函数的求值．【分析】，再利用弧长公式l=αr即可得出．【解答】解：=（弧度）．∴36°的圆心角所对的弧长==cm．故选：B．【点评】本题考查了弧长公式l=αr，属于基础题．11.D【考点】诱导公式的作用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式可求得sin600°的值．【解答】解：sin600°=sin=sin240°=sin=﹣sin60°=﹣．故选D．【点评】本题考查诱导公式sin（2kπ+α）=sinα及sin（π+α）=﹣sinα的应用，属于基础题．12.B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．分析：函数的图象的顶点坐标求出A的范围，由周期求出ω的范围，根据f（2π）＜0，结合所给的选项得出结论．解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得0＜A＜1，T=＞2π，求得0＜ω＜1．再根据f（2π）＜0，结合所给的选项，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的图象特征，属于基础题．13..【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由于已知tanα=4，利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简为，从而求得结果．【解答】解：由于已知tanα=4，则====，故答案为．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题．14.【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】方程思想；分析法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系可得2tan2α•tanβ+tanβ﹣tanα=0，再根据△=1﹣8tan2β≥0，求得tanβ的最小值．【解答】解：∵sinαcos（α+β）=sinβ=sin[（α+β）﹣α]，∴sinαcos（α+β）=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα，化简可得tan（α+β）=2tanα，即=2tanα，∴2tan2α•tanβ﹣tanα+tanβ=0，∴△=1﹣8tan2β≥0，解得﹣≤tanβ≤，∵β∈（，π），∴﹣≤tanβ＜0，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．15.【考点】扇形面积公式．【专题】计算题．【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l=αr=×2=根据扇形的面积公式可得S==故答案为：【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键．16.【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．17.【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由图象可得A值，由周期公式可得ω，代点结合角的范围可得φ，可得解析式；（2）由和三角函数的最值可得．【解答】解：（1）由图象可得A=，由=﹣﹣（﹣）=可得周期T=π，∴ω==2，∴f（x）=sin（2x+φ），∵，∴又0＜φ＜π，∴，故，可得，∴此函数的解析式为：；（2）∵，∴，.∴f（x）在即x=0时取得最大值，f（x）在即时取得最小值．【点评】本题考查三角函数的图象和解析式，涉及三角函数的最值，属中档题．18.【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据五点法进行求解即可．（2）根据函数平移关系求出函数g（x）的表达式，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题即可．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣，数据补全如下表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 0 ﹣5 0且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）通过平移，g（x）=5sin（2x+），方程g（x）﹣（2m+1）=0可看成函数g（x），x∈[0，]和函数y=2m+1的图象有两个交点，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，为使横线y=2m+1与函数g（x）有两个交点，只需≤2m+1＜5，解得≤m＜2．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用五点法以及函数与方程的关系进行转化是解决本题的关键．19.【考点】二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，从而求得tanα的值．（2）由（1）利用两角和的正弦公式求得sin （α+）的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：（1）∵，α为第三象限角，∴，∴．（2）由（1）得，．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于中档题． 20.解：（Ⅰ）2222()(sin cos )2cos sin cos sin 212cos 2f x x x x x x x x ωωωωωωω=++=++++sin 2cos 222)24x x x πωωω=++=++ 依题意得2223ππω=，故ω=32. （Ⅱ）依题意得: 5()23()22)2244g x x x πππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦由5232()242k x k k Z πππππ--+∈≤≤解得227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312k k k Z ππππ++∈.略21.【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得函数的周期T，进而可得ω，代点可得ϕ和A，可得解析式；（Ⅱ）解2kπ﹣≤2πx+≤2kπ+可得函数的单调递增区间，解2πx+=kπ可得函数的对称中心．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数的周期T=2（﹣）=1，∴ω==2π，又由题意当x=时，y=0，∴Asin（2π×+ϕ）=0即sin（+ϕ）=0结合0＜ϕ＜可解得ϕ=，再由题意当x=0时，y=，∴Asin=，∴A=∴；（Ⅱ）由2kπ﹣≤2πx+≤2kπ+可解得k﹣≤x≤k+∴函数的单调递增区间为[k﹣，k+]（k∈Z）当2πx+=kπ时，f（x）=0，解得x=﹣，∴函数的对称中心为【点评】本题考查三角函数的图象和解析式，涉及单调性和对称性，属中档题．22.【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由两角和的正切函数公式化简已知，整理即可求值．（Ⅱ）利用诱导公式及同角三角函数关系式的应用，结合（Ⅰ）的结论即可求值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得=3+2，∴tanα=．…（Ⅱ）原式=cos2α+（﹣cosα）（﹣sinα）+2sin2α====．…【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，诱导公式及同角三角函数关系式的应用，考查了计算能力，属于基础题．。
三角函数计算练习题及答案详解
三角函数计算练习题及答案详解1．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1sinα=tanα cosαtanαcotα=12．诱导公式sin＝___________ sin＝ ___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________sin＝___________ sin＝___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________ππ sin＝____________sin＝____________2ππcos＝____________ +α)＝_____________2ππtan＝____________ +α)＝_____________2 3π3πsin＝____________ sin＝____________2 3π3πcos＝____________ +α)＝____________2 3π3πtan＝____________ +α)＝____________ 2 sin＝－sinα cos=cosα tan=－tanα公式的配套练习5π sin＝___________cos＝___________9πcos＝__________ sin＝____________3．两角和与差的三角函数cos=cosαcosβ－sinαsinβcos=cosαcosβ＋sinαsinβsin =sinαcosβ＋cosαsinβsin =sinαcosβ－cosαsinβtan= tanα+tanβ 1－tanαtanβtanα－tanβ 1＋tanαtanβtan=4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝cos2α－1＝1－sin2α2tanαtan2α= 1－tanα5．公式的变形升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α降幂公式：cos2α＝1＋cos2α1－cos2α sin2α＝2正切公式变形：tanα+tanβ＝tantanα－tanβ＝tan 万能公式2tanα1－tan2α2tanαsin2α＝ tan2α＝ cos2α＝1+tanα1+tanα1－tanα6．插入辅助角公式basinx＋a+b sin a特殊地：sinx±cosx＝sin7．熟悉形式的变形1±sinx±cosx1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα若A、B是锐角，A+B＝2π，则=2nsinn+1αcosαcos2αcos2α?cosα=2sinα8．在三角形中的结论若：A＋B＋C=π A+B+Cπ=2tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCABBCCAtantan ＋tan tan ＋ tan＝122222三角函数计算练习1.已知x∈，cosx=，则tan2x= B． C． D．2.cos240°=A． B． C． D．3.已知cosα=k，k∈R，α∈，则sin= C．± D．﹣k4.已知角α的终边经过点，则cosα=5.cos480°的值为6.已知7.已知sin=，则cos2α等于）为其终边上一点，且cosα=x，则x=.已知α是第二象限角，P=）=．．）=，则cos，且sin，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x 的范围判定其符合．2.B考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．解答：解：cos240°=cos=﹣cos60°=﹣，故选：B．点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于基本知识的考查．3.A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈，∴sinα==，．∴sin=﹣sinα=﹣故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．4.D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点，∴x=﹣4，y=3，r=∴cosα==故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．5.D考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：cos480°=cos=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．6.C考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin=sin=sin=cosα=． =﹣， =5．考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin=及诱导公式可得cosα=，由二倍角的余弦公式可得cos2α的+α）=， =﹣，借助于角的终边上的点，解关于x的方程，便可求得所求的横坐标．解答：解：∵cosα===x，或x=﹣．∴x=0或x=故选：D．点评：本题巧妙运用三角函数的定义，联立方程求出未知量，不失为一种好方法．.考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简所求后代入已知即可求值．解答：解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sinα=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查． 10.考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦函数公式根据已知即可求值．解答：解：cos=2cos﹣1=2×﹣1=．点评：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．11.﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，从而可得答案．解答：解：∵sin==，，2sinθcosθ=），，＞0，又=1+sin2θ=∴sinθ+cosθ=，②联立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cosθ﹣1=﹣2，三角函数公式练习题1．1．sin29??A．11．?C． D22C试题分析：由题可知，sin考点：任意角的三角函数．已知sin?sin??；662?4)?772，cos2??，sin??25104343B．? C．?D．555D 试题分析由?7sin??sin??cos??45①，77?cos2??sin2?? 52571所以?cos??sin???cos??sin???②，由①②可得cos??sin??? ③，2553由①③得，sin?? ，故选D5cos2??考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式．cos690?A．1133B．?C． D．?222C试题分析：由cos690?cos2?360?30?cos??30??cos30?，故选C考点：本题考查三角函数的诱导公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值．tan16?的值为A.?B. C. D.?3C试题分析tanπ=tan=﹣tan=．考点：三角函数的求值，诱导公式．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．．若??????1?cos? ???0???，cos?，cos?4243222A．33536B．? C． D．?399C．试题分析：因为????1??3?，且???0???，cos?，所以????2243444?22???；又因为cos?，且????0，所以??)?43422??????6??????，所以．又因为?????，且sin?24424234422cos?cos[?]?coscos?sinsin1322653．故应选C． ?????33339考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式．．若角?的终边在第二象限且经过点P?，那么sin2x＝518247?? 252525258．已知cos?1??52524考点：二倍角公式，三角函数恒等变形5?1??)?,那么cos?? 52112A．?B．?C．D．55559．已知sin?=sin?cosa,所以选C．52考点：三角函数诱导公式的应用1，则cos2a的值为231177A． B．? C． D．?339910．已知sin?D试题分析：由已知得cos??1272,从而cos2??2cos??1??1??,故选D.99考点：诱导公式及余弦倍角公式.11．已知点P在第三象限，则角?在 A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限B试题分析：由已知得，?考点：三角函数的符号.?tan??0,，故角?在第二象限．cos??0?5，则sin?? 121155A． B．? C． D．?55131312．已知?是第四象限角，tan???D22试题分析：利用切化弦以及sin??cos??1求解即可． tan??sin?5??cos?12，?sin2??cos2??1，?sin2??525sin??0,sin???，13,169又?是第四象限角，2?故选：D.考点：任意角的三角函数的定义 y?sin?xT?213．化简cos?sin2得到A．sin2?B．?sin2?C．cos2?D．?cos2? A 试题分析：cos2?sin2?cos2?sin2?cos2?cos?sin2?考点：三角函数的诱导公式和倍角公式. 14．已知cos?? 3???,0????，则tan?????4??A.11B.C.?1D.?57D3?44?0可知0???，因此sin??，tan??，25354??1tan??tan?由和角公式可知tan????7，故答案为D。
(完整版)三角函数定义练习含答案
课时作业3 三角函数的定义时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．下列命题中正确的是( )A ．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限角B ．若α>β，则cos α<cos βC ．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角D ．若α是第三象限角，则sin αcos α>0且cos αtan α<0解析：α是第三象限角，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则sin αcos α>0且cos αtan α<0.答案：D2．若sin θ·cos θ<0，则θ在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限解析：因为sin θcos θ<0，所以sin θ，cos θ异号．当sin θ>0，cos θ<0时，θ在第二象限；当sin θ<0，cos θ>0时，θ在第四象限．答案：D3．若角α的终边经过点P (35，－45)，则sin αtan α的值是( )A.1615 B ．－1615C.1516 D ．－1516解析：∵r ＝(35)2＋(－45)2＝1，∴点P 在单位圆上．∴sin α＝－45，tan α＝－4535＝－43.∴sin αtan α＝(－45)·(－43)＝1615.答案：A4．若角α终边上一点的坐标为(1，－1)，则角α为( )A ．2k π＋π4，k ∈Z B ．2k π－π4，k ∈ZC ．k π＋π4，k ∈Z D ．k π－π4，k ∈Z解析：∵角α过点(1，－1)，∴α＝2k π－π4，k ∈Z .故选B.答案：B5．已知角α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上，则sin αcos α等于() A ．－310 B ．－1010 C.310 D.1010解析：在α终边上取一点P (1，－3)，此时x ＝1，y ＝－3. ∴r ＝1＋(－3)2＝10. ∴sin α＝y r ＝－310，cos α＝x r ＝110 .∴sin αcos α＝－310×110＝－310.答案：A6．函数y ＝sin x ＋lgcos x tan x的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 2k π<x <2k π＋π2，k ∈Z C.{}x | 2k π<x <2k π＋π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z 解析：要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0 ①cos x >0 ②tan x ≠0 ③由①知：x 的终边在x 轴上、y 轴非负半轴上或第一、二象限内．由②知：x 的终边在第一、四象限或x 轴的正半轴．由③知x 的终边不能在坐标轴上．综上所述，x 的终边在第一象限，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x <2k π＋π2，k ∈Z . 答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．用不等号(>，<)填空： (1)sin 4π5·cos 5π4·tan 5π3________0；(2)tan100°sin200°·cos300°________0.解析：(1)∵45π在第二象限，5π4在第三象限，5π3在第四象限，∴sin 4π5>0，cos 5π4<0，tan 5π3<0，∴sin 4π5·cos 5π4·tan 5π3>0.(2)∵100°在第二象限，200°在第三象限，300°在第四象限， ∴tan100°<0，sin200°<0，cos300°>0，∴tan100°sin200°·cos300°>0. 答案：(1)> (2)>8．函数f (x )＝cos x 的定义域为__________________．解析：若使f (x )有意义，须满足cos x ≥0，即2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴f (x )的定义域为{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z }．答案：{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z }9．下列说法正确的有________．(1)正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零角的正弦值是零(2)若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β<0，则此三角形必为钝角三角形(3)对任意的角α，都有|sin α＋cos α|＝|sin α|＋|cos α|(4)若cos α与tan α同号，则α是第二象限的角解析：对于(1)正角和负角的正弦值都可正、可负，故(1)错．对于(2)∵sin α·cos β<0，又α，β∈(0，π)，∴必有sin α>0，cos β<0，即β∈(π2，π)，∴三角形必为钝角三角形，故(2)对．对于(3)当sin α，cos α异号时，等式不成立．故(3)错．对于(4)若cos α，tan α同号，α可以是第一象限角，故(4)错．因此填(2)．答案：(2)三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)10．已知角α的终边上一点P 与点A (－3,2)关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关于原点对称，求sin α＋sin β的值．解：由题意，P (3,2)，Q (3，－2)，从而sin α＝232＋22＝21313， sin β＝－232＋(－2)2＝－21313，所以sin α＋sin β＝0.11．求下列函数的定义域．(1)y ＝cos x ＋lg(2＋x －x 2)；(2)y ＝tan x ＋cot x .解：(1)依题意有⎩⎨⎧ cos x ≥0，2＋x －x 2>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，－1<x <2.取k ＝0解不等式组得－1<x ≤π2，故原函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，π2. (2)因为tan x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }，cot x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π，k ∈Z }，所以函数y ＝tan x ＋cot x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }∪{x |x ∈R ，且x ≠k π，k ∈Z }＝{x |x ∈R ，且x ≠k π2，k ∈Z }．12．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解：当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，设点P 到原点的距离为r .则r ＝|OP |＝12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝15＝55， tan α＝21＝2；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)．则r ＝|OQ |＝(－1)2＋(－2)2＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝－2－1＝2. 综上所得，当α是第一象限角时，sin α＝255，cos α＝55，tan α＝2； 当α是第三象限角时，sin α＝－255，cos α＝－55，tan α＝2.。
任意角的三角函数练习题及答案详解
任意角的三角函数练习题及答案详解任意角的三角函数一、选择题1.以下四个命题中，正确的是()A.在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等B.｛α｜α=kπ，k∈Z｝≠｛β｜β=-kπ，k∈Z｝C.若α是第二象限的角，则sin2α＜0D.第四象限的角可表示为｛α｜2kπ＋π＜α＜2kπ，k∈Z｝2.若角α的终边过点(-3，-2)，则()A.sinαtanα＞0B.cosαtanα＞0C.sinαcosα＞0D.sinαcotα＞03.角α的终边上有一点P(a，a)，a∈R，且a≠0，则sinα的值是()A.√2/2B.-√2/2C.±√2/2D.1/24.α是第二象限角，其终边上一点P（x，5），且cosα＝4x，则sinα的值为（）sinα=√(1-cos^2α)=√(1-(16x^2/25))=√((9-16x^2)/25)5.使XXX(cosθ·tanθ)有意义的角θ是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一、二象限角或终边在y轴上6.设角α是第二象限角，且|cos2α|=－cos2α，则角2α是（）cos2α<0，所以2α是第二或第三象限角，又|cos2α|=－cos2α，所以cos2α=0，即2α=π/2+kπ，k∈Z，所以2α是第二象限角。
7.点P是角α终边上的一点，且tanα=5/12，则b的值是（）tanα=y/x=5/12，所以y=5x/12，又a^2+b^2=x^2+y^2，代入得a^2+b^2=x^2+(25/144)x^2，所以b=√(119/144)x。
8.在△ABC中，若最大的一个角的正弦值是1/2，则△ABC是（）最大角的正弦值为1/2，所以最大角为π/6，所以△ABC 是等边三角形。
9.若α是第四象限角，则sin(α+π)是（）sin(α+π)=sinαcosπ+cosαsinπ=-sinα10.已知sinα=4/5，且α为第二象限角，那么tanα的值等于（）cosα=√(1-sin^2α)=3/5，所以tanα=sinα/cosα=4/3.二、填空题12.已知角α的终边落在直线y＝3x上，则sinα＝3/√10.因为直线y=3x的斜率为3，所以α的终边与x轴夹角为arctan3，所以sinα=sin(arctan3)=3/√10.13.已知P(-3，y)为角α的终边上一点，且sinα＝13/√218，那么y的值等于-9/√218.因为sinα=y/√(x^2+y^2)=13/√218，且终边过点(-3，y)，所以x=-3，代入得y=-9/√218.14.已知锐角α终边上一点P(1，3)，则α的弧度数为arctan(3/1)。
三角函数练习题及答案百度文库
三角函数练习题及答案百度文库精心选一选山岳得分1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值都A、缩小2倍B、扩大2倍C、不变D、不能确定4，BC=4，sinA=52、在Rt△ABC中，∠C=90，则AC=A、3B、C、D、61sinA=3，则3、若∠A是锐角，且A、00 13sinA?tanA4、若cosA=3，则4sinA?2tanA=411A、 B、 C、D、05、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则a：b：c=2A、1：1：B、1：1：C、1：1：3D、1：1：26、在Rt△ABC中，∠C=900，则下列式子成立的是A、sinA=sinBB、sinA=cosBC、tanA=tanBD、cosA=tanB．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是2223A．sinB=B．cosB=C．tanB=D．tanB=28．点关于y轴对称的点的坐标是11113A．B．C．D．9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．?某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，?若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为A．6.9米 B．8.5米 C．10.3米 D．12.0米10．王英同学从A地沿北偏西60o方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地503m100 m150m m11、如图1，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30?，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45?，则该高楼的高度大约为A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40o的方向行驶40海里到达B 地，再由B地向北偏西10o的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距．30海里0海里 0海里 0海里细心填一填1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．．在△ABC中，若AC=3，则cosA=________．3．在△ABC中，AB=，B=30°，则∠BAC的度数是______．图14．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为____________．5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．第4题图第5题图第6题图6．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个2单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为___________结果保留根号）．．求值：sin260°+cos260°=___________．8．在直角三角形ABC中，∠A=90，BC=13，AB=12，则tanB?_________．．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m．．11．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，?这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米。
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三角函数练习卷
一、选择题：（10*5）
1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）
Α、30° B 、-30° C 、630° D 、-630° 2、已知α= –3，则α是 （ ） A 、第一象限角 B 、第二象限角 C 、第三象限角 D 、第四象限角 3、函数x x y cos sin -+=的定义域是
（
）
A 、))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈
B 、])12(,2
2[ππ
π++
k k ，Z k ∈
C 、])1(,2
[ππ
π++
k k ， Z k ∈ D 、[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈ 4、若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan
（ ）
A 、1
B 、 - 1
C 、
43
D 、3
4-
5、cos(π+α)= —
21，2
3π
<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A 、
23 B 、2
1
C 、23±
D 、—23 6、△ABC 中，若2cosBsinA=sinC 则△ABC 的形状一定是（ ）
A 、等腰直角三角形
B 、直角三角形
C 、等腰三角形
D 、等边三角形
7、cos20ºcos40ºcos60ºcos80º的值为． （ ） A 、
161 B 、163 C 、83 D 、8
1
8、y=sin(x-π
3 )的单调增区间是（ ）
A 、 [kπ-π6 ,kπ+5π6 ] (k ∈Z)
B 、[2kπ-π6 ,2kπ+5π
6 ](k ∈Z) C 、[kπ-7π6 , kπ-π6 ] (k ∈Z) D 、 [2kπ-7π6 ,2kπ-π
6 ] (k ∈Z) 9、函数y=sin(x+3π
2 )的图象是（ ）
A. 关于x 轴对称
B. 关于y 轴对称
C. 关于原点对称
D. 关于x=-3
2 π对称
10、若0<x<2π，则满足 5sin 2x-4=0的x 有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题：（5*4）
1、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．
2、若圆的半径变为原来的2
1
，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的
_____________．
3、sin600o =________________．
4、
______.__________89
cot 2cot 1cot 89cot 2cot 1cot =+⋯⋯++⋯⋯⋅o
o
o
o o o
5、如果cos θ= -
1312 )23,(ππθ∈，那么 cos )4
(π
θ+=________． 三、解答题：（6*5）
1、已知角α的终边在直线y = - x 上，试求角α的各三角函数值．
2、已知：sin （x+6π）=41，求sin （)67x +π+cos 2
（6
5π-x ）的值．
3、设函数f(x)= sin 2x + acosx + 58 a - 32 , x ∈[0, π
2 ]的最大值是1，试确定a 的值．
4、已知tan(x 3 -π
3 )=1，求x 的集合.
5、已知函数f(x)=log a cos(2x-π
3 )（其中a>0,且a ≠1）． （1）求它的定义域； （2）求它的单调区间； （3）判断它的奇偶性；
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求它的最小正周期．。