等差数列单元测试题含答案

一、等差数列选择题

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =.定义数列{}n b 如下：

()*1

m m b m m

+∈N 是使不等式(

)

n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（）

A ．25

B ．50

C ．75

D ．100

2．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（） A ．11

B ．10

C ．6

D ．3

3．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（） A ．32

B ．33

C ．34

D ．35

4．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n

n S a b n =---?+，*n N ∈，则

存在数列{}n b 和{}n c 使得（）

A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列

B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列

C ．·

n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·

n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 5．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（） A ．4S

B ．5S

C ． 6S

D ． 7S

6．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2

15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（）

A ．7

B ．8

C ．7或8

D ．9

7．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（） A ．7

B ．10

C ．13

D ．16

8．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<，则n 的最大值为（） A ．2m

B ．21m +

C ．22m +

D ．23m +

9．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大21

，则该数列的项数是（） A ．8

B ．4

C ．12

D ．16

10．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（） A ．4

B ．6

C ．7

D ．8

11．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（） A ．450a a +=

B ．560a a +=

C ．670a a +=

D ．890a a +=

12．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（） A ．103

B ．107

C ．109

D ．105

13．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（） A ．25

B ．11

C ．10

D ．9

14．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（） A ．13

B ．26

C ．52

D ．56

15．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23

，且

11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（） A ．(

)n －1

B ．(

23)n C ．

n + D ．

n + 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1

1213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：

①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

17．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（） A ．2019

B ．4040

C ．2020

D ．4038

18．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ?∈都有333

122n n n a a a ++=+，则10a 等于

（） A ．10

C ．64

D ．4

19．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++????

+-=

???????

，数列{}n b 满足1111n n n

b a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 20．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（）

A ．9

B ．12

C ．15

D ．18

二、多选题

21．已知数列{}n a 满足0n a >，

121

n n n a n

a a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）

A ．11a =

B ．121a a =

C ．201920202019S a =

D ．201920202019S a >

22．已知数列{}2

n a n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6

D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列

23．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（） A ．4

B ．5

C ．7

D ．8

24．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >

D ．数列

{}n

a 也是等差数列

25．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：

1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列

数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（） A ．1055a = B ．2020a 是偶数

C ．202020182022

3a a a =+

D ．123a a a +++…20202022a a +=

26．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（） A ．0d <

B ．70a =

C ．95S S >

D ．170S <

27．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =

D ．当8n ≥时，0n a <

28．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（） A ．0d >

B ．0d <

C ．80a =

D ．n S 的最大值是8

或者9S

29．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)

11n a =

-，则关于数列

{}n a 说法正确的是（）

A ．28a =

B ．数列{}n a 为递增数列

C ．数列{}n a 为周期数列

D ．2

2n a n n =+

30．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，

6914a a ?=-．12n n n n b a a a ++=??，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（）

A ．320n a n =-

B ．325n a n =-+

C ．当4n =时，n T 取最小值

D ．当6n =时，n T 取最小值

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．B 【分析】

先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到2121

k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】

由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =，可得21n a n =-，

因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12

m n +≥

，当21m k =-，（*

k N ∈）时，

m m b k m

+=，即()()11212m m m mk m b m m +===++，即2121

k k b --=

，从而()135191

13519502

b b b b ++++=

++++=.

故选：B. 2．A 【分析】

利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】

由3914a a +=，23a =，又{}n a 为等差数列，得39121014a a a d +=+=，

213a a d =+=，

解得12,1a d ==，则101+92911a a d ==+=；故选：A. 3．D 【分析】

设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出

(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=，结合等差数列的求和公式得出

111429m n =-，再由[]90,100m ∈求出n 的值.

【详解】

根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，[]90,100m ∈，则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m +++++

+++=++=

则有291114n m +=，则111429m n =-，所以90111429100m ≤-≤ 解得34.96635.31n ≤≤，因为年龄为整数，所以35n =. 故选：D 4．D 【分析】

由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】解：

(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---?+=+-?-+，

∴当1n =时，有110S a a ==≠；

当2n ≥时，有1

1()2n n n n a S S a bn b --=-=-+?，又当1n =时，0

1()2a a b b a =-+?=也适合上式，

1()2n n a a bn b -∴=-+?，

令n b a b bn =+-，1

2n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，

故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；

因为11

()22n n n a a b bn --+=-??，0b ≠，所以{

n bn -?即不是等差数列，也不是等比数

列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】

由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11

,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解，考查学生的计算能

力. 5．B 【分析】

根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】

依题意55647560

0000

a a a a a a a d >?>??

?+=+

，所以015n a n >?≤≤，所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 6．C 【分析】

215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．

【详解】

2152251524n S n n n ??=-=--

???

，

∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线2

1522524y x ??=--

?上的横坐标为正整数的离散的

点．

又抛物线开口向上，以15

2x =为对称轴，且1515|

7822

-=-|，所以当7,8n =时，n S 有最小值．故选：C 7．C 【分析】

由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

141,16a S ==，

41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.

故选：C 8．C

首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】

由21<，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++=

+，

()()()1232322323<02

m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02

m m m m m a a S m a a ++++++=

++.

故选:C.

【点睛】

关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11

,1n n n S S n a S n --≥?=?=?，判断数列的项的正负，

第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 9．A 【分析】

设项数为2n ，由题意可得()21

212

n d -?=，及6S S nd -==奇偶可求解．【详解】

设等差数列{}n a 的项数为2n ，末项比首项大

212

， ()212121;2

n a a n d ∴-=-?=① 24S =奇，30S =偶，

30246S S nd ∴-=-==奇偶②．

由①②，可得3

d =，4n =，即项数是8，故选：A. 10．A 【分析】

由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值【详解】

解：由题意得154

52252

a ?+

?=，解得11a =，所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-，因为215m a =，所以22115m ?-=，解得4m =，故选：A 11．B 【分析】

由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】

由等差数列的求和公式可得()

110101002

a a S +=

=，1100a a ∴+=，由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B. 12．B 【分析】

根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】

根据题意可知正整数能被21整除余2，

21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=?=.

故选：B. 13．D 【分析】

利用等差数列的性质直接求解．【详解】因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，

故选：D ． 14．B 【分析】

利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】

由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=，因为()()3589133224a a a a a ++++=，可得410322324a a ?+?=，即4104a a +=，故数列的前13项之和()()113410131313134

26222

a a a a S ++?=

===.

故选：B. 15．C 【分析】由已知可得数列1n x ??????是等差数列，求出数列1n x ??

????

的通项公式，进而得出答案．【详解】

由已知可得数列1n x ??

????

是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-?=，故21

n x n =+

故选：C 16．D 【分析】

由()

1213n n n n S S a n +++=+-+得到()

1132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得

到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】

因为()1

1213n n n n S S a n +++=+-+，

所以()

1132n n n a a n ++=-+-，

所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得：()212133k k a a +-+=，所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，

从而15941a a a a ===???=，

22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，

则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，

()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，

()()20

1411820622

k k =+?=-=

∑1220，

故①②③正确. 故选：D 17．B 【分析】

由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则

()15202020

202016202010102

a a a a S +=

?=?+可得答案. 【详解】等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+

()12020

202052016202010104101040402

a a a a S +=

==?=+?? 故选：B 18．D 【分析】利用等差中项法可知，数列{}

3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}

n a 的公

差，可求得3

10a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】

对*n N ?∈都有3

122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}

n a 为等差数列，

由于11a =，22a =，则数列{}

3n a 的公差为33

217d a a =-=，

所以，33

101919764a a d =+=+?=，因此，104a .

故选：D. 19．B 【分析】由题意可得

1114n n a a +-

=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-

，求得

4n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果

【详解】

解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++????

+-=

???????

，得22

1114n n a a +-=，所以数列21n a ??

???

是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以

14(1)43n n n a =+-=-，因为0n a >

，所以n a =

，

所以

1111n n n

b a a +=+=

所以1

n b =

=，

所以201220T b b b =++???+

1339(91)244=++???+=?-=，故选：B 【点睛】

关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得

1114n n a a +-

=，从而数列21n a ??????

是以4为公差，以1

为首项的等差数列，进而可求n a =

，1

n b =

=，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题 20．A 【分析】

在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】

在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6，所以95132a a a =+，

所以139522639a a a =-=?-=，故选：A

二、多选题

21．BC 【分析】

根据递推公式，得到11n n n

n n a a a +-=-，令1n =，得到121

a a =，可判断A 错，B 正确；

根据求和公式，得到1

n n n

S a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】

由121n n n a n a a n +=+-可知2111

n n n n n a n n n a a a a ++--==+，即11n n n

n n a a a +-=-，当1n =时，则12

a a =

，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321

111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++??????-=++

+=-+-+

+-=-= ? ? ???????，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC.

【点睛】方法点睛：

由递推公式求通项公式的常用方法：

（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如

()1

n n

a f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解；（3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通

项时，常需要构造成等比数列求解；

（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11

,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解.

22．ACD 【分析】

利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解【详解】因为

112a =+，1(1)2

n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得1

d =-. 故选ACD 23．BD 【分析】

依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】

依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：

()()

111110022n n n d n n S na na --=+

=+= 整理得1200

21a n n

+-，因为1a *

∈N ，所以n 为200的因数，()200

12n n

+-≥且为偶数，验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】

关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等

差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题. 24．AB 【分析】

根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】

依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，

1149249,2

a d a d =-=-

. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，149

a d =-

，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ?

?=+-=-

+-=- ??

?，令0n a ≥得5151

0,22n n -

≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列

{}n

a 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.

故选：AB 【点睛】

等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解. 25．AC 【分析】

由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】

对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；

对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确；对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，

32121,a a a a a ???=+=，

各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++???+=+++???++，所以202220202019201811a a a a a a =++???+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 26．ABD 【分析】

结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】

由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确；由56S S <，可得6560S S a -=>，由78S S >，可得8780S S a -=<，

所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确；又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <，所以()

117179171702

a a S a +=

=<，故D 正确.

故选：ABD. 【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及

()

n n n a a S +=

，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 27．AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】

因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，

故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；

10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，

所以310S S ≠，故选项C 不正确；

当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题. 28．BD 【分析】

由6111160S S S S =?-=，即950a =，进而可得答案．【详解】

解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==，因为10a >

所以90a =，0d <，89S S =最大，故选：BD ．【点睛】

本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题． 29．ABD 【分析】

由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项

可得结果. 【详解】

)

11n a =

-得)

11n a +=

，

1=，

即数列

2=，公差为1的等差数列，

2(1)11n n =+-?=+，

∴2

2n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，

所以易知ABD 正确，故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题. 30．AC 【分析】

由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值．【详解】

解：在递增的等差数列{}n a 中，由5105a a +=，得695a a +=，

又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =，则967(2)

3963

a a d ---=

==-，16525317a a d =-=--?=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．

故A 正确，B 错误；

12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---

可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正．而5610820b b +=-=>．

∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．

故选：AC ．【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．