圆锥曲线基本题型总结

圆锥曲线基本题型总结：

提纲:

一、定义的应用：

1、定义法求标准方程:

2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：

3、焦点三角形问题：

二、圆锥曲线的标准方程:

1、对方程的理解

2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）

3、各种圆锥曲线系的应用:

三、圆锥曲线的性质:

1、已知方程求性质:

2、求离心率的取值或取值范围

3、涉及性质的问题：

四、直线与圆锥曲线的关系:

1、位置关系的判定:

2、弦长公式的应用：

3、弦的中点问题：

4、韦达定理的应用：

一、定义的应用:

1.定义法求标准方程：

(1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程:(注意细节的处理) 1.设F１,F2为定点,|F1Ｆ2|=６，动点M满足|MF１|＋|MＦ2|＝６,则动点M的轨迹是(）

A ．椭圆

B ．直线

C .圆

D ．线段 【注:2a>|F 1 F 2｜是椭圆，2a=|F 1 F 2｜是线段】 2．设B (-4，0)，C (4,0）,且△ABC 的周长等于1８,则动点Ａ的轨迹方程为( ) A.

ｘ2

25

+＝1 (y ≠0) ??B.＋＼f （ｘ2,9)=1 (y ≠０)

C.错误!+错误!=１ (y ≠０） ?

Ｄ.错误!＋＝１ (y ≠０) 【注:检验去点】

3．已知Ａ(0，－５)、Ｂ(0,5)，|P A |－|PB |＝2a ,当a ＝3或5时，P 点的轨迹为( ） A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线

D ．双曲线一支或一条射线 【注:2a<|Ｆ１ F 2|是双曲线，２a=｜Ｆ1 F 2|是射线，注意一支与两支的判断】

４.已知两定点Ｆ1(－３,0）,Ｆ2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中,是双曲线的是( ) A.||PF １|－|ＰF 2｜|=5 Ｂ.|｜PF 1|-|ＰF 2|｜＝6 C.||PF 1|－|PF 2||=７

D.|｜PF 1|-|PF 2|｜=0 【注:2ａ<|Ｆ1 F 2|是双曲线】

5.平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(５,0)，动点P 满足|PF １|－|ＰF ２|=６,则动点P 的轨迹方程是( ) A.＼f(x 2,１6)－错误!＝1(x ≤－4) ?? ?B.错误!-＝1(ｘ≤-３) C.－＝1(x ≥４) ?

D ．-错误!＝1(x ≥3） 【注：双曲线的一支】

6.如图,P 为圆B ：(ｘ+2)2+y ２

=36上一动点,点Ａ坐标为(2,０),线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ,求点Q 的轨

迹方程.

7.已知点A（0,3)和圆Ｏ1:x２＋(ｙ+)２=1６，点M在圆Ｏ1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|ＰＡ|，求动点P的轨迹方程.

（2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：

8.已知圆A:(x＋３)2＋y2=100,圆A内一定点B(３，0),圆P过B且与圆A内切,求圆心Ｐ的轨迹方程.

已知动圆M过定点B(－4,0)，且和定圆(ｘ-4)2+y2=1６相切,则动圆圆心M的轨迹方程为()

A．错误!－错误!＝1 (x>0)?B.-错误!＝1 (x<0)

Ｃ.－y2

12＝1 D.错误!-=１【注:由题目判断是双曲线的一支还是两支】

9．若动圆P过点N(-2,０），且与另一圆M：(x-2)2+y2＝８相外切,求动圆P的圆心的轨迹方程．

【注:双曲线的一支，注意与上题区分】

10.如图,已知定圆F1:x2+y２+1０x＋2４＝0，定圆F2：x2+y２-10x＋9=0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心Ｍ的轨迹方程.

１1．若动圆与圆(x-2）2+y2=１相外切,又与直线x+1＝0相切,则动圆圆心的轨迹是()

A.椭圆

B.双曲线

C.双曲线的一支

D.抛物线

１2.已知动圆M经过点A(3,0),且与直线ｌ：x＝-3相切,求动圆圆心Ｍ的轨迹方程．

【注：同上题做比较，说法不一样,本质相同】

１3.已知点A(3，2),点M到F错误!的距离比它到ｙ轴的距离大错误!.(Ｍ的横坐标非负)

(1)求点M的轨迹方程; 【注：体现抛物线定义的灵活应用】

(2)是否存在M,使｜MA|+｜MＦ|取得最小值?若存在,求此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【注:抛物线定义的应用，涉及抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】

（３）其他问题中的圆锥曲线：

14.已知A,Ｂ两地相距2000m,在A地听到炮弹爆炸声比在Ｂ地晚4 s，且声速为３40 m／ｓ,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【注:双曲线的一支】

2.

15.如图所示,在正方体ABＣD—A１Ｂ1C１D1中,Ｐ是侧面BB1C１Ｃ内一动点，若P到直线BC与到直线C1D１的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是( )

Ａ.直线B．圆

C．双曲线 D.抛物线

【注:体现抛物线定义的灵活应用】

2.涉及到曲线上的点到焦点距离的问题:

1６.设椭圆+＼f（ｙ2,m2－1)=1 （m>1)上一点Ｐ到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为（)

A.错误!Ｂ.错误! C.错误!D．

１7．椭圆错误!+=1的左右焦点为Ｆ1，Ｆ2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ＡBＦ2的周长为(）A．32 Ｂ．1６C.8 D．4

1８.已知双曲线的方程为

x

２

ａ2

－错误!=1,点Ａ,Ｂ在双曲线的右支上，线段A Ｂ经过双曲线的右焦点F 2，|ＡB |=m ,F 1

为另一焦点,则△A ＢF 1的周长为( ）

A.2a ＋2m B ．4a ＋2m C ．a ＋ｍ D.2a +4m

１９.若双曲线x 2-4y 2=4的左、右焦点分别是F １、F 2，过F 2的直线交右支于A 、Ｂ两点,若|A Ｂ|=５，则△AF １B 的周长为___＿＿__＿.

20.设Ｆ１、Ｆ2是椭圆错误!+错误!＝1的两个焦点，Ｐ是椭圆上一点,且Ｐ到两个焦点的距离之差为２，则△PF １Ｆ２是( )

Ａ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．斜三角形 D ．直角三角形

21.椭圆错误!＋＝1的焦点为Ｆ１、F 2，点P 在椭圆上.若｜P Ｆ１|=4，则|ＰF 2|=_____＿_＿，∠Ｆ1ＰF 2的大小为_____＿＿_．

【注：椭圆上的点到焦点的距离，最小是ａ－ｃ,最大是a+ｃ】

22.已知Ｐ是双曲线错误!-=１上一点,F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|P Ｆ1|＝１7，则|PF 2|的值为＿_____＿_．

【注:注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为c -ａ】

23.已知双曲线的方程是错误!－＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点Ｆ1的距离为１0，点N 是PF 1的中点,求|O Ｎ｜的大小(O 为坐标原点). 【注：O 是两焦点的中点,注意中位线的体现】 2４.设F 1、Ｆ2分别是双曲线－＝1的左、右焦点.若点Ｐ在双曲线上,且1PF ·2PF =0，则|1PF ＋2PF |等于( ) A.3 B.6 C.1 Ｄ．2

２5.已知点Ｐ是抛物线ｙ2=2ｘ上的一个动点,则点P 到点(0,２）的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A ．错误! ??B.3 ?C.错误! ?D.错误!

【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】

2６.已知抛物线y 2＝４x 上的点P 到抛物线的准线的距离为ｄ1,到直线3x －4y ＋9＝0的距离为ｄ2,则ｄ1+d 2的最小

值是( ) A ．125 B.6

５ Ｃ．2 D.

【注:抛物线定义的应用,将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距离】

２7.设点A 为抛物线ｙ2＝４x 上一点，点Ｂ(1,0），且|AB|＝1，则A 的横坐标的值为( )

A ．-2 Ｂ.0 C.－2或0 D ．-2或２ 【注：抛物线的焦半径，即定义的应用】

3.焦点三角形问题:

椭圆的焦点三角形周长2c 2a 2C PF PF C 21F PF 21+?＝＋＋＝ 椭圆的焦点三角形面积：

推导过程:

2

tan sin cos 121sin 2

1 cos 1

-)cos (12 (1)-(2)

(2)

2a (1)

COS 2-2 1 b 2b PF

PF S 2b

PF

PF 4c 4a PF PF PF PF 4c PF PF PF PF 2

2

2

1

F PF 2

2

1

2

22122

12

2

1

2

2

2

1θθθθθ

θθ=+=

=

+=

=+??

??

?

=+=+

?得

双曲线的焦点三角形面积:

2

tan

b

S 2

F PF 2

1θ

=?

２８.设P 为椭圆＼f(x 2,1０0)＋＝1上一点，F 1、F ２是其焦点，若∠F １PF 2＝，求△F １P Ｆ2的面积． 【注：小题中可以直接套用公式。S=

15tan 2b 】

２9．已知双曲线＼f （x ２

，9)-＝1的左、右焦点分别是Ｆ1、Ｆ2,若双曲线上一点Ｐ使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积.

【注：小题中可以直接套用公式。】

30.已知双曲线的焦点在x 轴上,离心率为2,F １，Ｆ2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2=6０°,S △PF 1F

２

＝1２3，求双曲线的标准方程.

３1.已知点P (３,4)是椭圆+=1 (a >b >０)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：

（1)椭圆的方程; (2)△P Ｆ1Ｆ2的面积．

二、圆锥曲线的标准方程：

1.对方程的理解

3２．方程＋错误!=1表示焦点在ｘ轴上的椭圆,则实数a的取值范围是(）

A.(-3,－１）

B.(－3，－2）

C.(１,＋∞) D．(－3,１)

33.若ｋ>１，则关于x,y的方程(1－k）x2＋ｙ２=k2－1所表示的曲线是()

A.焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆

Ｃ．焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的双曲线【注：先化为标准方程形式】

34．对于曲线C:＋＝１，给出下面四个命题：

①曲线Ｃ不可能表示椭圆;

②当1

③若曲线C表示双曲线，则k＜１或k>４；

④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1

35.已知椭圆x2siｎα－y２cos α=１（０≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是()

A. B．错误!Ｃ.错误!D．

３6.双曲线-＼f(y2,m－5)=1的一个焦点到中心的距离为3,求ｍ的值. 【注:要根据焦点位置分情况讨论】２.求曲线方程(已经性质求方程)

３７.以－y2

12＝－1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )

A.＼f(x２,1６)＋错误!=1 Ｂ．错误!+错误!=1 Ｃ.+=1 D.错误!+＝1

38.根据下列条件，求椭圆的标准方程.

(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，（４,０)，椭圆上任意一点Ｐ到两焦点的距离之和等于1０；

(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,２)，并且椭圆经过点错误!．【注：定义的应用】

３９.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为，且过点P（-5,4)，则椭圆的方程为____＿＿＿___＿_＿＿.

40.中心在原点，焦点在x 轴上,若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ )

Ａ．ｘ2

8１＋=1 B ．x 2

81+＝１ C.错误!+＝1 D ．错误!+＝1

41.设椭圆＋错误!＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8ｘ的焦点相同,离心率为错误!,则此椭圆的方程为( )

A.＋错误!＝1 Ｂ.错误!+错误!＝1 C.错误!＋错误!＝１ D ．＋错误!=1

４２.已知在平面直角坐标系ｘOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为Ｆ1（-3，0)，且右顶点为D(2，

0)．设点A 的坐标是错误!.

(1）求该椭圆的标准方程;

(２）若P 是椭圆上的动点,求线段PA 的中点M 的轨迹方程．【注:相关点法求曲线方程】

４3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2），则双曲线的标准方程为（ )

Ａ．－＝1 B.-＼f(ｘ2,4)＝1

C.y 2

４

－＝1 D.错误!－＝1

44.已知双曲线错误!－错误!＝1(a >０,b ＞０)的一条渐近线方程是y ＝ｘ,它的一个焦点在抛物线y 2=24ｘ的准线上，则双曲线的方程为( )

Ａ.-＼f （ｙ2,10８)=1

B.x 2

9-错误!＝1 C.错误!－错误!＝１ Ｄ.-＝１

45.求与双曲线错误!－＝１有公共焦点,且过点(３错误!，2)的双曲线方程.

46.双曲线C 与椭圆错误!+错误!=1有相同的焦点，直线y ＝x 为C 的一条渐近线.求双曲线C 的方程.

４7.根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)经过点(－3，-1)；

(2)焦点为直线3x -4y -12＝０与坐标轴的交点．

4８.抛物线y ２

＝2ｐx (p >0)上一点M 的纵坐标为-4错误!,这点到准线的距离为６,则抛物线方程为________.

【注:定义的应用,焦半径】

三、圆锥曲线的性质：

１.已知方程求性质：

4９.椭圆２x２＋3y2=１的焦点坐标是( )

A.错误!B．（0，±1) C.（±1，0) D.错误!【注：焦点位置】

50.椭圆25ｘ2＋9ｙ2=２25的长轴长、短轴长、离心率依次是()

A．5,３,错误!Ｂ．10,6，错误!C．5，3,错误!Ｄ．10,6，错误!

51.设a≠0，a∈R,则抛物线ｙ＝ax2的焦点坐标为(）

A.错误!

B.

C.错误!

D.错误!

【注:先化为抛物线的标准方程，此处最容易出错】

2．求离心率的取值或取值范围

5２.直线x+2y-２=０经过椭圆＋＝1 （a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率等于___＿__.

５３．以等腰直角△AＢＣ的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为_＿＿_____＿＿_＿．

５4.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )

A.错误!

B.错误!

C.错误!

D.

【注：寻找ａ，b,ｃ的等量关系,遇ｂ换成a、c，整理成关于a、ｃ的方程】

5５．椭圆的两个焦点为Ｆ1、F２,短轴的一个端点为Ａ,且三角形Ｆ1ＡF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为_______＿.

5６.设椭圆＋＝1 (ａ＞b>0）的左、右焦点分别是F１、F2,线段F1F2被点错误!分成3∶１的两段，则此椭圆的离心率为____＿＿＿＿．

５7.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,－2)，则它的离心率为（)

Ａ. 6 B. 5 C ．错误! D. 5８.双曲线错误!-＝1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( ) A.２

B ．

C ． D.＼f(３，2)

59.已知双曲线＼f(ｘ2,ａ２

)－＼f(ｙ2,b 2）＝１ (a >0,b >0)的右焦点为Ｆ，若过点Ｆ且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )

A ．(1,2]

B ．(１,2）

C ．[2,＋∞)

D ．（2，+∞)

四、直线与圆锥曲线的关系： 1、 位置关系的判定：

６０.已知抛物线的方程为y 2=4x ，直线ｌ过定点P (-２,1),斜率为ｋ．ｋ为何值时，直线ｌ与抛物线ｙ2=４ｘ：只有一个公共点;有两个公共点；没有公共点?

【注：双曲线和抛物线中,都有相交只有一个交点的情况,这是二次项系数为０的时候,因此相离、相切、相交有两个交点，需要用⊿判断时，必须要加上二次项系数不为０的条件】 61.已知抛物线y ＝4x ２

上一点到直线y ＝4x -5的距离最短,则该点坐标为( ) A ．(1,2） ?

B.(0，0)

C.

Ｄ.(1,４)

2.弦长公式的应用:

62.已知斜率为1的直线l 过椭圆+y 2=1的右焦点F 交椭圆于A 、Ｂ两点，求弦AB 的长．

63．直线y =kx －2交抛物线y 2＝８x 于Ａ、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2,求弦ＡB 的长.

６4.已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线ｙ=2x ＋1截得的弦长为１５,求抛物线的方程.

65.已知椭圆C ：

ｘ2

a 2

＋＝１ (ａ>b ＞0)的离心率为错误!,短轴一个端点到右焦点的距离为.