2019-2020学年浙江省宁波市奉化区等南三县九年级(上)期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年浙江省宁波市奉化区等南三县九年级（上）期末

数学试卷

一、选择题（共12小题）.

1．（4分）正五边形的每个内角度数为( ) A ．36?

B ．72?

C ．108?

D ．120?

2．（4分）在同一平面上，O 外有一定点P 到圆上的距离最长为10，最短为2，则O 的半径是( ) A ．5

B ．3

C ．6

D ．4

3．（4分）由抛物线2y x =平移得到抛物线2(3)y x =+，则下列平移方式可行的是( ) A ．向上平移3个单位长度 B ．向下平移3个单位长度

C ．向左平移3个单位长度

D ．向右平移3个单位长度

4．（4分）一个不透明的盒子装有m 个除颜色外完全相同的球，其中有4个白球．每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则m 的值约为( ) A ．8

B ．10

C ．20

D ．40

5．（4分）二次函数2y ax bx c =++部分图象如图所示，有以下结论：①0abc >；②240b ac ->；③30a b -=，其中正确的是( )

A ．①②③

B ．②③

C ．①②

D ．①③

6．（4分）如图，在ABC ?中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且//DE BC ，//EF AB ，若3AB BD =，则:ADE EFC S S ??的值为( )

A ．4:1

B ．3:2

C ．2:1

D ．3:1

7．（4分）已知点1(1,)A y ，(22B ，2)y ，3(4,)C y 在一次函数26y x x c =-+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )

A ．213y y y <<

B ．123y y y <<

C ．312y y y <<

D ．231y y y <<

8．（4分）在圆内接四边形ABCD 中，ADC 与ABC 的比为3:2，则B ∠的度数为( ) A ．36?

B ．72?

C ．108?

D ．216?

9．（4分）如图，在菱形ABCD 中，已知4AB =，60B ∠=?，以AC 为直径的O 与菱形ABCD 相交，则图中阴影部分的面积为( )

A ．43π+

B ．23π+

C ．4

233

π+

D ．4

433

π+

10．（4分）如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交与点E ，CPD A B ∠=∠=∠，BC 交PD 与点F ，AD 交PC 于点G ，则下列结论中错误的是( )

A ．CGE CBP ??∽

B ．APD PGD ??∽

C ．APG BFP ??∽

D ．PCF BCP ??∽

11．（4分）如图，小江同学把三角尺含有60?角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺（含有45?角）的孔洞中，已知孔洞的最长边为2cm ，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为( )

A ．

2

233

cm B ．23cm C ．223cm D ．2(23)cm +

12．（4分）如图，平行四边形HEFG 的四个顶点分别在正方形ABCD 的四条边上．//NE AD ，分别交DC ，HG ，AB 于点N ，M ，E ，且CG MN =．要求得平行四边形HEFG 的面积，只需知道一条线段的长度．这条线段可以是( )

A ．EH

B ．AE

C ．EB

D ．DH

二、填空题（每小题4分，共24分） 13．（4分）若

53a b =，则

332a b

a b

--的值为 ． 14．（4分）从1-，0，π，2，1.6中随机取一个数，取到无理数的概率是 ． 15．（4分）如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，//BC AD ，迎水坡AB 长26米，且斜坡AB 的坡度为

12

5

，则河堤的高BE 为 米．

16．（4分）如图，O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且3CE cm =，7DE cm =，则弦AB = cm ．

17．（4分）如图，已知点(,)M a b 是函数22y x x =-++图象上的一个动点．若||1a <，则b 的

取值范围是 ．

18．（4分）如图，已知等边ABC ?的边长为4，BD AB ⊥，且23

3

BD =．连结AB ，CD 并延长交于点E ，则线段BE 的长度为 ．

三、解答题（第19题6分，第20、21题各8分，第22-24题各10分，第踮5题12分，第26题14分，共78分）

19．（6分）计算：22sin 30cos60cos 45?+?-?

20．（8分）小王准备给小李打电话，由于保管不善，电话本上的小李手机号中，有两个数字已经模糊不清，如果用X ，Y 表示这两个看不清的数字，那么小李的号码为187781752X Y （手机号码由11个数字组成），小王记得这11个数字之和是20的整数倍． （1）求X Y +的值；

（2）求出小王一次拨对小李手机号的概率．

21．（8分）某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，30AD BD DE cm ===，40CE cm =，车杆AB 与BC 所成的53ABC ∠=?，图1中B 、E 、C 三点共线，图2中的座板DE 与地面保持平行．问变形前

后两轴心BC 的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC 的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：4sin 535?≈

，3cos535?≈，4

tan 53)3

?≈

22．（10分）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB 为60m ，拱高PM 为18m ，当洪水泛滥到跨度只有30m 时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m ，即4PN m

=

时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．

23．（10分）如图，二次函数的图象与x轴交于(3,0)

A-和(1,0)

B两点，交y轴于点(0,3)

C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；

（3）若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求ADE

?的面积．

24．（10分）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个)与销售单价x（元)有如下关系：60(3060)

y x x

=-+．设这种双肩包每天的销售利润为w元．

（1）求w与x之间的函数解析式；

（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？

25．（12分）定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线．

（1）如图1，在对半四边形ABCD中，

1

()

2

A B C D

∠+∠=∠+∠，求A

∠与B

∠的度数之和；

（2）如图2，O为锐角ABC

?的外心，过点O的直线交AC，BC于点D，E，30

OAB

∠=?，求证：四边形ABED是对半四边形；

（3）如图3，在ABC

?中，D，E分别是AC，BC上一点，3

CD CE

==，3

CE EB

=，F 为DE的中点，120

AFB

∠=?，当AB为对半四边形ABED的对半线时，求AC的长．

26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，已知M的半径为5，圆心M的坐标为(3,0)，M交x轴于点D，交y轴于A，B两点，点C是ADB上的一点（不与点A、D、B重合），连结AC并延长，连结BC，CD，AD．

（1）求点A的坐标；

（2）当点C在AD上时．

①求证：BCD HCD

∠=∠；

②如图2，在CB上取一点G，使CA CG

=，连结AG．

求证：~

ABG ADC

??；

（3）如图3，当点C在BD上运动的过程中，试探究||

AC BC

CD

-

的值是否发生变化？若不变，

请直接写出该定值；若变化，请说明理由．

参考答案

一、选择题（每小题4分，共48分） 1．（4分）正五边形的每个内角度数为( ) A ．36?

B ．72?

C ．108?

D ．120?

解：正五边形的每个外角360725

?

=

=?， ∴正五边形的每个内角18072108=?-?=?，

故选：C ．

2．（4分）在同一平面上，O 外有一定点P 到圆上的距离最长为10，最短为2，则O 的半径是( ) A ．5

B ．3

C ．6

D ．4

解：如图，PA 的长是P 到O 的最长距离，PB 的长是P 到O 的最短距离，

圆外一点P 到O 的最长距离为10，最短距离为2， ∴圆的直径是1028-=，

∴圆的半径是4，． 故选：D ．

3．（4分）由抛物线2y x =平移得到抛物线2(3)y x =+，则下列平移方式可行的是( ) A ．向上平移3个单位长度 B ．向下平移3个单位长度

C ．向左平移3个单位长度

D ．向右平移3个单位长度

解：抛物线2y x =的顶点坐标为(0,0)，抛物线2(3)y x =+的顶点坐标为(3,0)-， 因为点(0,0)向左平移3个单位长度后得到(3,0)-，

所以把抛物线2y x =向左平移3个单位得到抛物线2(3)y x =+． 故选：C ．

4．（4分）一个不透明的盒子装有m 个除颜色外完全相同的球，其中有4个白球．每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则m 的值约为( ) A ．8

B ．10

C ．20

D ．40

解：根据题意得： 4

0.2m

=， 解得：20m =，

经检验：20m =是分式方程的解， 答：m 的值约为20； 故选：C ．

5．（4分）二次函数2y ax bx c =++部分图象如图所示，有以下结论：①0abc >；②240b ac ->；③30a b -=，其中正确的是( )

A ．①②③

B ．②③

C ．①②

D ．①③

解：①0c >，0ab >，故①正确，符合题意；

②函数与x 轴有两个交点，故240b ac ->，正确，符合题意； ③函数的对称轴为：3

22

b x a =-=-，故3b a =，故③正确，符合题意； 故选：A ．

6．（4分）如图，在ABC ?中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且//DE BC ，//EF AB ，若3AB BD =，则:ADE EFC S S ??的值为( )

A ．4:1

B ．3:2

C ．2:1

D ．3:1

解：

3AB BD =，

2AD BD ∴=，

//DE BC ，//EF AB ， ∴四边形BDEF 是平行四边形，

BD EF ∴=， 2AD EF ∴=，

//DE BC ，//EF AB ， AED C ∴∠=∠，FEC A ∠=∠， ADE EFC ∴??∽，

:ADE EFC S S ??∴的2

(

)4:1AD EF

==， 故选：A ．

7．（4分）已知点1(1,)A y ，(22B ，2)y ，3(4,)C y 在一次函数26y x x c =-+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )

A ．213y y y <<

B ．123y y y <<

C ．312y y y <<

D ．231y y y <<

解：二次函数26y x x c =-+中10a =>， ∴抛物线开口向上，有最小值．

32b

x a

=-

=， ∴离对称轴水平距离越远，函数值越大，

由二次函数图象的对称性可知3224331-<-<-， 231y y y ∴<<．

故选：D ．

8．（4分）在圆内接四边形ABCD 中，ADC 与ABC 的比为3:2，则B ∠的度数为( )

A．36?B．72?C．108?D．216?

解：ADC与ABC的比为3:2，

:3:2

B D

∴∠∠=，

设B

∠、D

∠分别为3x、2x，

四边形ABCD是圆内接四边形，

180

B D

∴∠+∠=?，即32180

x x

+=?，

解得，36

x=?，

则3108

B x

∠==?，

故选：C．

9．（4分）如图，在菱形ABCD中，已知4

AB=，60

B

∠=?，以AC为直径的O与菱形ABCD 相交，则图中阴影部分的面积为()

A．43π

+B．23π

+C．

4

23

3

π

+D．

4

43

3

π

+

解：在菱形ABCD中，已知4

AB=，60

B

∠=?，以AC为直径的O与菱形ABCD相交，60

EAO

∴∠=?，60

OCF

∠=?，2

OA OE OF OC OG OH

======，

60

EOF FOC COG GOH HOA AOE

∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=?，

∴阴影部分的面积为：

2

22sin606024

4243

23603

ππ

??

?+?=+，

故选：D．

10．（4分）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，CPD A B

∠=∠=∠，BC交PD 与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是()

A ．CGE CBP ??∽

B ．APD PGD ??∽

C ．APG BFP ??∽

D ．PCF BCP ??∽

解：CPD A B ∠=∠=∠，且APD B PFB APC CPD ∠=∠+∠=∠+∠， APC BFP ∴∠=∠，且A B ∠=∠， APG BFP ∴??∽，故选项C 不合题意， A CPD ∠=∠，D D ∠=∠，

APD PGD ∴??∽，故选项B 不合题意， B CPD ∠=∠，C C ∠=∠，

PCF BCP ∴??∽，故选项D 不合题意，

由条件无法证明CGE CBP ??∽， 故选项A 符合题意， 故选：A ．

11．（4分）如图，小江同学把三角尺含有60?角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺（含有45?角）的孔洞中，已知孔洞的最长边为2cm ，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为( )

A 2

23 B 23cm C ．223cm D ．2(23)cm +

解：由题意可知当三角尺穿过孔洞部分为等边三角形时，面积最大， 孔洞的最长边为2cm ，

∴三角尺穿过孔洞部分的最大面积2

2323()cm =

=； 故选：B ．

12．（4分）如图，平行四边形HEFG 的四个顶点分别在正方形ABCD 的四条边上．//NE AD ，分别交DC ，HG ，AB 于点N ，M ，E ，且CG MN =．要求得平行四边形HEFG 的面积，

只需知道一条线段的长度．这条线段可以是( )

A ．EH

B ．AE

C ．EB

D ．DH

解：四边形ABCD 是正方形， CD BC ∴=，//CD AB ， //NE AD ， NE AD BC ∴==， CG MN =， DG EM ∴=，

连接EG ，FM ，过M 作MP BC ⊥于P ，

四边形EFGH 是平行四边形， GH EF ∴=，//GH EF ， EGH FEG ∴∠=∠， //DC AB ， DGE BEG ∴∠=∠， DGH BEF ∴∠=∠，

在GDH ?和EBF ?中， 90D B DGH BEF GH EF ∠=∠=???

∠=∠??=?

， ()GDH EBF AAS ∴???， DG BE ∴=，

EM BE ∴=，

∴四边形MEBP 是正方形，

11

2

2

EFM GHEF

MEBP S S S ?∴=

=

正方形， GHEF

MEBP S

S ∴=正方形，

∴求得平行四边形HEFG 的面积，只需知道BE 即可；

故选：C ．

二、填空题（每小题4分，共24分） 13．（4分）若53a b =，则

332a b a b --的值为 4

3

． 解：设53

a b

k ==，则5a k =，3b k =， 所以

3153124

3215693

a b k k k a b k k k --===--．

故答案为

43

． 14．（4分）从1-，0，π，2，1.6中随机取一个数，取到无理数的概率是 2

5

． 解：在所列的5个数中，无理数是π和2， ∴随机取一个数，取到无理数的概率是

2

5

， 故答案为：

25

． 15．（4分）如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，//BC AD ，迎水坡AB 长26米，且斜坡AB 的坡度为

12

5

，则河堤的高BE 为 24 米．

解：由已知斜坡AB 的坡度12

5

，得： :12:5BE AE =，

设5AE x =，则12BE x =，

在直角三角形AEB 中，根据勾股定理得：

222265(12)x x =+，

即2169676x =，

解得：2x =或2x =-（舍去）， 510x =，1224x =

即河堤高BE 等于24米． 故答案为：24．

16．（4分）如图，O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且3CE cm =，7DE cm =，则弦AB = 221 cm ．

解：连接OA ，如图， 3CE =，7DE =， 10CD ∴=，

5OC OA ∴==，2OE =， AB CD ⊥，

AE BE ∴=，

在Rt AOE ?中，225221AE =-=， 2221()AB AE cm ∴==．

故答案为221．

17．（4分）如图，已知点(,)M a b 是函数22y x x =-++图象上的一个动点．若||1a <，则b 的取值范围是 9

04

b

< ．

解：函数22y x x =-++中，令0y =，则220x x -++=， 解得1x =-或2，

∴抛物线与x 轴的交点为(1,0)-，(2,0)，

点(,)M a b 是函数22y x x =-++图象上的一个动点．||1a <， 11a ∴-<<，

2219

2()24y x x x =-++=--+，

∴当12x =

时，有最大值9

4

， b ∴的取值范围是9

04

b

<， 故答案为904

b

<． 18．（4分）如图，已知等边ABC ?的边长为4，BD AB ⊥，且23

3

BD =．连结AB ，CD 并延长交于点E ，则线段BE 的长度为 1 ．

解：如图，作CT AB ⊥于T ．

ABC ?是等边三角形，CT AB ⊥， 60CBT ∴∠=?，2BT AT ==，

sin 6023CT BC ∴=?=

DB AB ⊥， //DB CT ∴， EBD ETC ∴??∽， ∴

BD BE

CT ET

=

，

∴2

BE

BE =

+， 1BE ∴=，

故答案为1．

三、解答题（第19题6分，第20、21题各8分，第22-24题各10分，第踮5题12分，第26题14分，共78分）

19．（6分）计算：22sin 30cos60cos 45?+?-?

解：221111

2sin 30cos60cos 452112222

?+?-?=?

+-=+-= 20．（8分）小王准备给小李打电话，由于保管不善，电话本上的小李手机号中，有两个数字已经模糊不清，如果用X ，Y 表示这两个看不清的数字，那么小李的号码为187781752X Y （手机号码由11个数字组成），小王记得这11个数字之和是20的整数倍． （1）求X Y +的值；

（2）求出小王一次拨对小李手机号的概率． 解：（1）设这11个数字之和是20的a 倍，

根据题意，得187********X Y a ++++++++++=， 即2046X Y a +=-，

018X Y +， 0204618a ∴-，

解得2.3 3.2a ， a 是整数，

3a ∴=，

2046604614X Y a ∴+=-=-=；

（2）X 、Y 的可能值为9和5，8和6，7和7，6和8，5和9，

小王一次拨对小李手机号码的概率1

5

．

21．（8分）某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，30AD BD DE cm ===，40CE cm =，车杆AB 与BC 所成的53ABC ∠=?，图1中B 、E 、C 三点共线，图2中的座板DE 与地面保持平行．问变形前

后两轴心BC 的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC 的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：4sin 535?≈

，3cos535?≈，4

tan 53)3

?≈

解：如图1，过点D 作DF BE ⊥于点F ，

由题意知30BD DE cm ==， 3

cos 3018()5

BF BD ABC cm ∴=∠=?=， 236BE BF cm ∴==，

则76BC BE CE cm =+=，

如图2，过点D 作DM BC ⊥于M ，过点E 作EN BC ⊥于点N ， 由题意知四边形DENM 是矩形， 30MN DE cm ∴==，

在Rt DBM ?中，3

cos 3018()5

BM BD ABC cm =∠=?

=，

4

sin 3024()5

EN DM BD ABC cm ==∠=?

=， 在Rt CEN ?中，40CE cm =， ∴由勾股定理可得32CN cm =，

则18303280()BC cm =++=，

答：BC 的长度发生了改变，增加了4cm ．

22．（10分）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB 为60m ，拱高PM 为18m ，当洪水泛

滥到跨度只有30m 时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m ，即4PN m =时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．

解：设圆弧所在圆的圆心为O ，连接OA 、OA '，设半径为x 米， 则OA OA OP ='=，

由垂径定理可知AM BM =，A N B N '='， 60AB =米，

30AM ∴=米，且(18)OM OP PM x =-=-米，

在Rt AOM ?中，由勾股定理可得222AO OM AM =+， 即222(18)30x x =-+，解得34x =， 34430ON OP PN ∴=-=-=（米)，

在Rt △A ON '中，由勾股定理可得2222343016A N OA ON '='-=-=（米)， 32A B ∴''=米30>米， ∴不需要采取紧急措施．

23．（10分）如图，二次函数的图象与x 轴交于(3,0)A -和(1,0)B 两点，交y 轴于点(0,3)C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ． （1）求二次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围； （3）若直线与y 轴的交点为E ，连结AD 、AE ，求ADE ?的面积．

解：（1）设二次函数解析式为2y ax bx c =++， 22

0(3)(3)0113a b c a b c

c ?=?-+?-+?=?+?+??=?

， 解得，1a =-，2b =-，3c =， 即二次函数的解析式是223y x x =--+； （2）

223y x x =--+，

∴该函数的对称轴是直线1x =-，

点(0,3)C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点， ∴点(2,3)D -，

∴一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是2x <-或1x >；

（3）点(3,0)A -、点(2,3)D -、点(1,0)B ， 设直线DE 的解析式为y kx m =+， 则230k m k m -+=??+=?，解得，11k m =-??=?，

∴直线DE 的解析式为1y x =-+，

当0x =时，1y =， ∴点E 的坐标为(0,1)，

设直线AE 的解析式为y cx d =+， 则301c d d -+=??=?，得131c d ?=???=?，

∴直线AE 的解析式为1

13

y x =

+，

当2

x=-时，11 (

2)1

33

y=?-+=，

ADE

∴?的面积是：

1

(3)|3|

34

2

-?-

=．

24．（10分）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个)与销售单价x（元)有如下关系：60(3060)

y x x

=-+．设这种双肩包每天的销售利润为w 元．

（1）求w与x之间的函数解析式；

（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？

解：（1）(30)

w x y

=-

(60)(30)

x x

=-+-

230601800

x x x

=-++-

2901800

x x

=-+-，

w与x之间的函数解析式2901800

w x x

=-+-；

（2）根据题意得：22

901800(45)225

w x x x

=-+-=--+，

10

-<，

当45

x=时，w有最大值，最大值是225．

（3）当200

w=时，2901800200

x x

-+-=，

解得

1

40

x=，

2

50

x=，